二面角 -知识点训练卷 河北省2026年对口升学《数学考纲百套卷》第61卷（原卷版+解析版）

编写说明：河北省2026年对口升学《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及河北历年对口升学真题进行编写。本套试卷共100份：第一部分是按照课程标准编写的70份知识点训练卷；第二部分是集合与充要条件、函数、三角函数等11个章节的20份专题训练卷；第三部分是参考考试真题编写的10份综合模拟卷。 本卷是河北省2026年对口升学《数学考纲百套卷》的第61卷，是知识点训练卷，主要考查二面角掌握情况。 河北省2026年对口升学《数学考纲百套卷》 第61卷 二面角 知识点训练卷 考试时间：90分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本题共20小题，每小题3分，共60分） 1.已知边长为的菱形,,将菱形沿对角线折成直二面角，则的长为（ ） A. B. C. D.以上结论都不对 2.在四棱锥中，，，平面平面，，，则二面角的正切值为（    ） A． B． C． D． 3.已知如图，在三棱柱中，底面是等边三角形， ，在底面的射影为的中点，为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）         A． B． C． D． 4.正方体中，直线与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 5.在长方体中，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6.自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是(  ) A．相等 B．互补 C．互余 D．相等或互补 7.若一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是（     ） A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．不确定 8.如图所示，在正方体中，直线与平面所成的角是（    ） A． B． C． D． 9.在正方体中, 二面角的大小是（ ） A． B． C． D． 10.如图，在正三棱柱中，，，点D是侧棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（       ） A． B． C． D． 11.已知矩形的两边，，平面，且，则二面角的正切值为（ ） A． B． C． D． 12.如图，在正方体中，二面角的大小为(        ) A. B. C. D. 13.如图，以等腰三角形的斜边上的高位折痕，将和折起，使折起后的成等边三角形，则二面角的余弦值等于（ ） A. B. C. D. 14.如图，四棱锥的侧面底面， 为等边三角形， ， ，，点为的中点，则直线与底面所成的角的正弦值为(        ) A. B. C. D. 15.棱锥的正视图和侧视图都是正三角形，俯视图是正方形，则其侧面与底面所成二面角的大小是（ ） A. B. C. D. 16.把正三角形沿高折成二面角后，，则二面角为（ ） A. B. C. D. 17.在正方体中，平面与平面所成二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 18.已知长方体中，，，长方体的体积是32，则直线和平面所成角的正弦值为（       ） A． B． C． D． 19．已知边长为a的菱形ABCD中，，沿对角线BD折成空间四边形ABCD，使二面角为，则AC的长是（    ） A． B． C． D． 20.如图，在长方体中，，为的中点，则二面角的大小为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 21.如图，三棱锥 中，已知 平面 .则二面角的正弦值为_____. 22.在正方体中，二面角平面角的正切值为 . 23.在正方体中，二面角的大小为__________. 24.将正方形沿对角线折成直二面角后， . 25.如图，在直二面角中，和分别在平面和上，它们都垂直于，且，，，则 . 三、解答题（本题共4小题，26、27题8分，28、29题12分，共40分） 26.如图三棱锥中，平面平面，，，，且与平面所成的角为，求二面角的正切值. 27.如图，在矩形中，，，沿对角线把△折起，使点移到点，且在平面内的射影恰好落在上． （1）求证：平面平面； （2）求二面角的余弦值． 28.如图，棱锥的底面是矩形，平面，． (1)求证：平面； (2)求平面和平面夹角的余弦值的大小． 29.如图，在直三棱柱中，，，． 求异面直线与的距离； 求二面角的余弦值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：河北省2026年对口升学《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及河北历年对口升学真题进行编写。本套试卷共100份：第一部分是按照课程标准编写的70份知识点训练卷；第二部分是集合与充要条件、函数、三角函数等11个章节的20份专题训练卷；第三部分是参考考试真题编写的10份综合模拟卷。 本卷是河北省2026年对口升学《数学考纲百套卷》的第61卷，是知识点训练卷，主要考查二面角掌握情况。 河北省2026年对口升学《数学考纲百套卷》 第61卷 二面角 知识点训练卷 考试时间：90分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本题共20小题，每小题3分，共60分） 1.已知边长为的菱形,,将菱形沿对角线折成直二面角，则的长为（ ） A. B. C. D.以上结论都不对 【答案】C 【详解】如图，取中点,连接，则,所以是等腰直角三角形，因为，所以，因此. 故选:C. 2.在四棱锥中，，，平面平面，，，则二面角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】平面平面，平面平面，， 取CD的中点O，连接PO，OA，,平面， 则平面ABCD，平面ABCD可得, 由，，，可得四边形ABCO为正方形， 三角形ADO为等腰直角三角形，取AD的中点E，连接OE,PE，则，, 可得平面PEO，平面PEO，， 则即为二面角的平面角，，， 则, 故选：A 3.已知如图，在三棱柱中，底面是等边三角形， ，在底面的射影为的中点，为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）         A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设的中点为，连，则平面，所以， 连，则，，又，， 所以，，所以四边形为平行四边形， 因为为等边三角形，且为的中点，所以， 因为，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 过作，则平面，连，则是直线与平面所成的角， 因为，所以，又，所以， 所以，所以，又，所以， 所以， 因为，所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故选：C. 4.正方体中，直线与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】正方体中，连接，连接，如图， 则有，而平面，平面，即有， 又平面，因此平面， 则是直线与平面所成的角， 在中，，，则有， 所以直线与平面所成的角为. 故选：A 5.在长方体中，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】长方体中，，， ，平面,平面,, 又平面平面， 为二面角所成的平面角， ， 所以二面角的余弦值为. 故选：D. 6.自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是(  ) A．相等 B．互补 C．互余 D．相等或互补 【答案】D 【详解】如图， A为二面角α­l­β内任意一点，AB⊥α，AC⊥β，过B作BD⊥l于D、连接CD， 则∠BDC为二面角α­l­β的平面角， ∠ABD＝∠ACD＝90°，∠BAC为两条垂线AB与AC所成角或其补角， ∵∠A＋∠BDC＝180°，∴当二面角的平面角为锐角或直角时， AB与AC所成角与二面角的平面角大小相等， 当二面角的平面角为钝角时，AB与AC所成角与二面角的平面角大小互补， 故选：D. 7.若一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是（     ） A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．不确定 【答案】C 【详解】若方向相同则相等，若方向相反则互补， 故选：C. 8.如图所示，在正方体中，直线与平面所成的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为在正方体中，平面， 所以为与平面所成的角， 因为为等腰直角三角形，所以， 所以直线与平面所成的角为， 故选：A. 9.在正方体中, 二面角的大小是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】从图中可知，， 则即为二面角， ∵，， 所以二面角的大小是：， 故选：C. 10.如图，在正三棱柱中，，，点D是侧棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】平面，与平面所成的角为， 又，，可得，而平面平面， 与平面所成角的正弦值为， 故选：B. 11.已知矩形的两边，，平面，且，则二面角的正切值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，在平面内，过作的垂线，垂足为，连接， 因为平面， 平面，所以， 因为， ，故平面， 因为平面，故，所以为的平面角， 在直角三角形中， ，，故， 故， 故选B. 12.如图，在正方体中，二面角的大小为(        ) A. B. C. D. 【答案】B 【详解】∵ 因为几何体是正方体， ∴ ，， ∴ 是二面角的平面角． ∵ ， ∴ 二面角的大小为. 故选. 13.如图，以等腰三角形的斜边上的高位折痕，将和折起，使折起后的成等边三角形，则二面角的余弦值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】设中点为，，连接，，则为所求二面角，证明，即可求得二面角的余弦值． 【解答】设中点为，，连接，， ∵ ， ∴ ， ∴ 为所求二面角， ∵ ，∴ ，，， ∴ ∴ ∴ 故选． 14.如图，四棱锥的侧面底面， 为等边三角形， ， ，，点为的中点，则直线与底面所成的角的正弦值为(        ) A. B. C. D. 【答案】A 【详解】作于，连接，， ∵ 侧面底面， ∴ 底面， ∵ 底面， ∴ ， ∴ 即为直线与底面所成的角， 设， 又∵ 为等边三角形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ . 故选. 15.棱锥的正视图和侧视图都是正三角形，俯视图是正方形，则其侧面与底面所成二面角的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】因为棱锥的正视图和侧视图都是正三角形， 俯视图是正方形， 所以该棱锥是正四棱锥，如图： 过作底面的射影，则为正视图，且， 因为，所以， 即为侧面和底面所成的二面角． 因为为正三角形，所以， 所以侧面与底面所成二面角的大小是． 故选． 16.把正三角形沿高折成二面角后，，则二面角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据于，易得沿折成二面角后，即为二面角的平面角，解即可求出二面角的大小． 【详解】∵，∴沿折成二面角后，， 故即为二面角的平面角 又∵ ， ∴ 故选． 17.在正方体中，平面与平面所成二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据正方体分段性质得出为平面与平面所成二面角的夹角，在中运用余弦定理求解即可． 【详解】取中的，连接，，，， ∵ 在正方体中，设棱长为， ∴ ，， 根据正方体的几何性质得出，，，， ∴ 面，平面，面，平面， ∴ ，， ∴ 为平面与平面所成二面角的夹角， ∴ 在中， 故选： 18.已知长方体中，，，长方体的体积是32，则直线和平面所成角的正弦值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为长方体的体积是32，所以，所以四边形为正方形， 如下图所示： 取的中点，连接，则， 又，所以平面， 所以即为和平面所成角， 由勾股定理可知;， 所以在中，， 故选：C. 19．已知边长为a的菱形ABCD中，，沿对角线BD折成空间四边形ABCD，使二面角为，则AC的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由线线垂直可求解为二面角的平面角，再由边的关系求解边长即可. 【详解】如图，边长为a的菱形ABCD中， ，且二面角为， 因为，， 所以为二面角的平面角， 即交， 因此都是正三角形， 在菱形ABCD中，， 所以. 故选:A. 20.如图，在长方体中，，为的中点，则二面角的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】找出二面角的平面角，并求出其大小. 【详解】由长方体的性质可知平面，平面，平面， ∴，且， ∴为二面角的平面角． ∵，∴． 故选：B. 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 21.如图，三棱锥 中，已知 平面 .则二面角的正弦值为_____. 【答案】 【详解】取BC的中点D，连结PD，AD，因为，所以， 因为平面ABC，平面ABC，所以， 因为平面PAD，平面PAD，，所以平面PAD， 因为平面PAD，所以， 所以即为二面角的平面角， 因为，所以，， 即二面角的正弦值是. 故答案为：. 22.在正方体中，二面角平面角的正切值为 . 【答案】 【详解】如图 取的中点，连接， 在正方体中，可知， 所以，所以二面角的平面角为， 设，所以， 所以， 故答案为：. 23.在正方体中，二面角的大小为__________. 【答案】 【详解】 平面，平面， 又，平面， 即为二面角的平面角，  ， 二面角的大小为， 故答案为：. 24.将正方形沿对角线折成直二面角后， . 【答案】 【详解】设正方形对角线的焦点为O，边长为2， 根据直二面角的性质知，折起后DB=2，又因为DA=DB=2， 所以为等边三角形，， 故答案为：. 25.如图，在直二面角中，和分别在平面和上，它们都垂直于，且，，，则 . 【答案】 【详解】连接，在直二面角中，，， 所以，又，则，又， 所以，在△、△中， 故答案为：. 三、解答题（本题共4小题，26、27题8分，28、29题12分，共40分） 26.如图三棱锥中，平面平面，，，，且与平面所成的角为，求二面角的正切值. 【答案】2 【解析】过点在平面内作于，过点在平面内作于，连结，可得即直线与平面所成的角，结合已知可证得即二面角的平面角，解，和可得答案． 【详解】解：过点在平面内作于，过点在平面内作于，连结 ∵ 平面平面，且平面平面 ∴ 平面 ∴ 即直线与平面所成的角，且 ∴ ∴ 在中，由得： 又∵ ，且 ∴ 平面 ∴ ∴ 即二面角的平面角 又∵ 中，，知， ∴ 在中：． ∴ 在中：， 即二面角的正切值为． 故答案为：2. 27.如图，在矩形中，，，沿对角线把△折起，使点移到点，且在平面内的射影恰好落在上． （1）求证：平面平面； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见详解；（2）. 【详解】（1）证明：在平面内的射影恰好落在上，即为在面上的射影，而，所以， ∵，， ∴平面，又平面， ∴平面平面． （2）由（1）知：，在中，有，即， ∴，又，，即面， ∴二面角的平面角是， ∴， ∴二面角的余弦值是． 故答案为：（1）证明见详解；（2）. 28.如图，棱锥的底面是矩形，平面，． (1)求证：平面； (2)求平面和平面夹角的余弦值的大小． 【答案】(1)证明过程见详解；(2) 【详解】（1）因为平面，BD平面，所以PA⊥BD，因为，底面是矩形，所以由勾股定理得：，所以底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又PA=A，所以BD⊥平面PAC. 因为PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，所以PA⊥CD，又CD⊥AD，PA，所以CD⊥平面PAD，因为PD平面PAD，所以CD⊥PD，又因为CD⊥AD，所以∠PDA是平面和平面的夹角，由于PA=AD，∠PAD=90°，所以∠PDA=45°，所以，所以平面PCD与平面ABCD的夹角余弦值为. 故答案为：(1)证明过程见详解；(2). 29.如图，在直三棱柱中，，，． 求异面直线与的距离； 求二面角的余弦值． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）利用线面垂直判定定理证明 平面，然后取中点连结AM．证明即为异面直线与的距离． （2）由（1）可知，证明，则即为所求角．求余弦值即可． 【详解】 解：，，，  ，  ． 平面，  且，  平面． 取的中点，连结，如图所示， 则. 又， 为等腰三角形， ∴ ， ∴ 即为异面直线与的距离．  ， ∴ ． (2) 连结，如图所示， 由可知. 又，， ，， ． 为等边三角形，， 则即为二面角的平面角． ，，，  ． ∴ 二面角的余弦值为. 故答案为：（1）；（2） . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $