第五章 复数（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》 （《数学 拓展模块一上册》高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套【河北专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第五章章复数的单元测试卷，主要考查复数的概念和几何意义、共轭复数、复数的四则运算、复数的三角形式等常见考点。 第五章 复数 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 复数​z=−2+3i的实部和虚部分别是（ ）​ A. 实部 2，虚部 3 B. 实部- 2，虚部 3 C. 实部 2，虚部3i D. 实部- 2，虚部 3i下列命题正确的是（ ） 2. 下列复数中，属于纯虚数的是（ ）​ A. ​1−2i B. ​0 C. ​5i D. ​3 3. 复数z=2(cos​+isin)的代数形式为（ ） A. 1+3​i B. 2+2i C. 1−3​i D. 2−2i 4. 复数​z=1−3​i的模​∣z∣为（ ）​ A. 1 B. C. ​3​ D. 4 5. 计算​(3−2i)+(1+4i)−(2−i)的结果为（ ）​ A. ​2+3i B. ​2−3i C. ​−2+3i D. ​−2−3i 6. 计算​(2+i)(3−2i)的结果为（ ）​ A. ​4−i B. ​4+i C. ​8−i D. ​8+i 7. 计算​的结果为（ ）​ A. ​−i B. ​i C. ​1−i D. ​1+i 8. 复数​z=3−4i的共轭复数​z为（ ）​ A. ​3+4i B. ​−3+4i C. ​−3−4i D. ​3−4i 9. 在复平面内，复数z=−2+3i 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 复数​z=−1+i的三角形式为（ ）​ A. ​2​(cos​+isin) B. ​2​(cos​+isin) C. ​2(cos​+isin​) D. ​2(cos+isin) 11. 计算​2(cos​+isin)×3(cos​+isin)的结果为（ ）​ A. ​6(cos​+isin​) B. ​6(cos​+isin) C. ​5(cos+isin​) D. ​5(cos+isin​) 12. 计算​[(cos+isin)]4的结果为（ ）​ A. ​4 B. ​−4 C. ​4i D. ​−4i 13. 方程+4=0在复数范围内的根为（ ）​ A. ​x=±2 B. ​x=±2i C. ​x=2 D. ​x=−2i 14. 方程​−4x+5=0在复数范围内的根为（ ）​ A. ​x=2±i B. ​x=−2±i C. ​x=2±​i D. ​x=−2±​i 15. 复平面内，复数​z对应的点​Z在以原点为圆心、2 为半径的圆上，则​∣z∣的值为（ ）A. 1 B. 2 C. 4 D. 不确定 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．复数​z=(−3m)+(−5m+6)i为实数，则实数​m的值为________ 17. 计算的值为________ 18. 复数​z=3−4i对应的向量​的坐标为_______ 19. 设z=1+i，则= ________ 20. 若实系数一元二次方程​+bx+c=0的一个根为​1+i，则另一个根为________，​c的值为________ 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．计算下列各式：​ （1）​(2+3i)(1−2i)+(3−4i)；​（2）​+​. 22．已知复数z=1−3​i。 (1) 求 z 的三角形式； (2) 利用三角形式计算 . 23．已知复平面内，复数​z满足​∣z−2+i∣=1，求​∣z∣的最大值和最小值 24．求解下列在复数范围内的方程：​ （1）​2+3=0；​（2）−2x+4=0 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套【河北专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第五章章复数的单元测试卷，主要考查复数的概念和几何意义、共轭复数、复数的四则运算、复数的三角形式等常见考点。 第五章 复数 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 复数​z=−2+3i的实部和虚部分别是（ ）​ A. 实部 2，虚部 3 B. 实部- 2，虚部 3 C. 实部 2，虚部3i D. 实部- 2，虚部 3i下列命题正确的是（ ） 【答案】B 【分析】本题考查复数的基本概念． 【详解】复数​z=−2+3i符合标准形式​z=a+bi（​a,b∈R），其中​a=−2（实部），​b=3（虚部）。选项中只有 B 符合定义. 故选：B 2. 下列复数中，属于纯虚数的是（ ）​ A. ​1−2i B. ​0 C. ​5i D. ​3 【答案】C 【分析】本题考查复数的分类. 【详解】 选项 A：​1−2i（​a=1，虚数非纯虚数）；​ 选项 B：​0=0+0i（​b=0，实数）；​ 选项 C：​5i=0+5i（​a=0,b=5，纯虚数）；​ 选项 D：​3=3+0i（​b=0，实数）. 3. 复数z=2(cos​+isin)的代数形式为（ ） A. 1+3​i B. 2+2i C. 1−3​i D. 2−2i 【答案】A 【分析】利用三角形式化为代数形式：z=r(cosθ+isinθ)=rcosθ+irsinθ 【详解】z=2(cos​+isin​)=2​+i2​​=1+3​i 故选：A 4. 复数​z=1−3​i的模​∣z∣为（ ）​ A. 1 B. C. ​3​ D. 4 【答案】B 【分析】 本题考查复数模的计算​ 【详解】对于​z=1−3​i，​a=1，​b=−3​，代入公式：​∣z∣=​=. 故选：B 5. 计算​(3−2i)+(1+4i)−(2−i)的结果为（ ）​ A. ​2+3i B. ​2−3i C. ​−2+3i D. ​−2−3i 【答案】A 【分析】本题考查复数的加减混合运算 【详解】​实部运算：​3+1−2=2；​虚部运算：​−2i+4i−(−i)=3i；​结果为​2+3i. 故选：A 6. 计算​(2+i)(3−2i)的结果为（ ）​ A. ​4−i B. ​4+i C. ​8−i D. ​8+i 【答案】C 【分析】本题考查复数的乘法运算 【详解】展开得：​23+2(−2i)+i3+i(−2i)=6−4i+3i−2； ​代入​=−1：​6−i−2(−1)=6−i+2=8−i. 故选：C 7. 计算​的结果为（ ）​ A. ​−i B. ​i C. ​1−i D. ​1+i 【答案】A 【分析】本题考查复数的除法运算 【详解】分母​1+2i的共轭复数为​1−2i，分子分母同乘：​ ​=​===−i .故选：A 8. 复数​z=3−4i的共轭复数​z为（ ）​ A. ​3+4i B. ​−3+4i C. ​−3−4i D. ​3−4i 【答案】A 【分析】本题考查共轭复数的定义 【详解】​z=3−4i的实部 3 不变，虚部​−4变号为 4，故​z=3+4i. 故选：A 9. 在复平面内，复数z=−2+3i 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【分析】 复数的几何意义：z=a+bi 对应点 (a,b). ​ 【详解】​z=−2+3i对应点(−2,3)，在第二象限 故选：B 10. 复数​z=−1+i的三角形式为（ ）​ A. ​2​(cos​+isin) B. ​2​(cos​+isin) C. ​2(cos​+isin​) D. ​2(cos+isin) 【答案】A 【分析】本题考查复数代数形式化三角形式 【详解】​求模：​r=∣z∣=+​=2​；​求辐角主值：​z对应点​(−1,1)； 在第二象限，​tanθ==−1，故​θ=​；​ 三角形式为​2​(cos​+isin). 故选：A 11. 计算​2(cos​+isin)×3(cos​+isin)的结果为（ ）​ A. ​6(cos​+isin​) B. ​6(cos​+isin) C. ​5(cos+isin​) D. ​5(cos+isin​) 【答案】A 【分析】本题考查复数三角形式的乘法法则. 【详解】模：​2×3=6；​辐角：​​+=；​结果为​6(cos+isin). 故选：A 12. 计算​[(cos+isin)]4的结果为（ ）​ A. ​4 B. ​−4 C. ​4i D. ​−4i 【答案】B 【分析】本题考查复数三角形式的乘方运算. 【详解】​模：​(​)4=4；​辐角：​4×​=π；​结果为​4(cosπ+isinπ)=4(−1+0i)=−4. 故选：B 13. 方程+4=0在复数范围内的根为（ ）​ A. ​x=±2 B. ​x=±2i C. ​x=2 D. ​x=−2i 【答案】B 【分析】本题考查简单实系数一元二次方程的复数解. 【详解】方程变形为​=−4，因​=−1，故​x=±​i=±2i. 故选：B 14. 方程​−4x+5=0在复数范围内的根为（ ）​ A. ​x=2±i B. ​x=−2±i C. ​x=2±​i D. ​x=−2±​i 【答案】A 【分析】本题考查实系数一元二次方程的复数解. 【详解】​a=1，​b=−4，​c=5，​Δ=−4×1×5=16−20=−4；​ 代入公式：​x===2±i. 故选：A 15. 复平面内，复数​z对应的点​Z在以原点为圆心、2 为半径的圆上，则​∣z∣的值为（ ）A. 1 B. 2 C. 4 D. 不确定 【答案】B 【分析】本题考查复数模的几何意义. 【详解】点​Z在以原点为圆心、2 为半径的圆上，故点​Z到原点的距离为 2，即​∣z∣=2 ​​. 故选：B 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．复数​z=(−3m)+(−5m+6)i为实数，则实数​m的值为________ 【答案】2 或 3 【分析】本题考查复数的分类 【详解】复数​z为实数，故虚部​−5m+6=0；​解方程：​(m−2)(m−3)=0⇒m=2或​m=3；​ 当​m=2时，实部​−3×2=4−6=−2（实数）；当​m=3时，实部​−3×3=0（实数），故​ m=2或 3 17. 计算的值为________ 【答案】i 【分析】本题考查虚数单位​i的幂次周期性 【详解】2025÷4=506⋯⋯1（余数为 1）；​故===⋅i=i 18. 复数​z=3−4i对应的向量​的坐标为_______ 【答案】​(3,−4) 【分析】本题考查复数的向量表示 【详解】​z=3−4i中，​a=3，​b=−4，故向量​的坐标为​(3,−4) 19. 设z=1+i，则= ________ 【答案】−2+2i 【分析】利用二项式展开或三角形式 【详解】=⋅z=2i⋅(1+i)=2i+2=−2+2i 20. 若实系数一元二次方程​+bx+c=0的一个根为​1+i，则另一个根为________，​c的值为________ 【答案】1−i；2​ 【分析】本题考查实系数一元二次方程的根的性质 【详解】由共轭虚根定理，另一个根为​1−i；​由韦达定理，两根之积​(1+i)(1−i)=；​ 计算：​(1+i)(1−i)=1−=2，故​c=2​ 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．计算下列各式：​ （1）​(2+3i)(1−2i)+(3−4i)；​（2）​+​. 【答案】（1）​11−5i；（2）​1 【分析】本题考查复数的四则混合运算，（1）先算乘法再算加法；（2）先分别分母实数化，再合并同类项 【详解】（1）​(2+3i)(1−2i)+(3−4i) 第一步：计算乘法：​2×1+2×(−2i)+3i×1+3i×(−2i)=2−4i+3i−6 代入​=−1：​2−i−6(−1)=2−i+6=8−i 第二步：加​(3−4i)：​8−i+3−4i=11−5i（4 分）​ （2）+ 第一步：分别分母实数化：=​===i（6 分）​ ​===1−i（8 分）​ 第二步：合并：​i+1−i=1. 22．已知复数z=1−3​i。 (1) 求 z 的三角形式； (2) 利用三角形式计算 . 【答案】(1)  z=2(cos+isin​)；(2) =8 【分析】(1) 求模和辐角主值；(2) 利用棣莫弗定理 【详解】(1) ∣z∣=​=​=2，点 (1,−3​) 在第四象限，辐角主值θ=2π−=​ 所以三角形式为 z=2(cos+isin​) (2)  ==(cos3​+isin3)=8(cos5π+isin5π)=8(−1+0)=−8 23．已知复平面内，复数​z满足​∣z−2+i∣=1，求​∣z∣的最大值和最小值 【答案】最大值​​+1，最小值​​−1 【分析】本题考查复数模的几何意义与圆的位置关系 【详解】第一步：分析​∣z−2+i∣=1的几何意义​设​z=x+yi（​x,y∈R），​z0​=2−i（对应点​P(2,−1)），则​∣z−z0​∣=1表示以​P(2,−1)为圆心、1 为半径的圆（3 分）​ 第二步：计算圆心​P到原点​O的距离​∣OP∣=​==（6 分）​ 第三步：求​∣z∣的最值（圆上点到原点的距离）​；最大值：圆心到原点距离+半径= ​​+1（8 分）​最小值：圆心到原点距离 - 半径 = ​​−1（10 分）​。 故​∣z∣的最大值为​+1，最小值为​−1​ 24．求解下列在复数范围内的方程：​ （1）​2+3=0；​（2）−2x+4=0 【答案】（1）​x=±；（2）​x=1±​i 【分析】本题考查实系数一元二次方程的复数解 【详解】（1）解方程​2+3=0 ​第一步：变形为​=−​（2 分）​ 第二步：开方：​x=±​​=±​​i（5 分）​ （2）解方程​−2x+4=0 第一步：计算判别式：​Δ=−4×1×4=4−16=−12（7 分）​ 第二步：代入求根公式：​x===1±​i（10 分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $