第五章 复数（A卷·考点梳理卷）-《同步单元AB卷》 （《数学 拓展模块一上册》高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套【河北专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第五章复数的考点梳理卷，主要梳理和考查了复数的概念、复数的几何意义、共轭复数、复数的四则运算、复数的三角形式等常见考点。 第五章 复数 目录 考点一 复数的基本概念​ 1 考点二 复数的分类与相等条件 2 考点三 复数的几何意义 3 考点四 复数的向量表示与模 4 考点五 复数的四则运算 4 考点六 共轭复数 5 考点七 复数的三角形式及其表示 6 考点八 复数三角形式的乘法与乘方运算 6 考点九 复数三角形式的除法运算 7 考点十 复数范围内实系数一元二次方程的求解 8 考点一 复数的基本概念​ 1．下列关于虚数单位​i的运算，正确的是（ ）​ A. ​=1 B. ​=i C. ​=1 D. ​=−i 【答案】C 【分析】本题考查虚数单位​i的核心定义（​=−1）及幂次周期性． 【详解】根据​i的定义及幂次推导：​ =i，=−1（定义）；​ =⋅i=−1⋅i=−i；​ =()2==1；​ =⋅i=1⋅i=i；​ 对比选项，只有 C 正确.故选C 2. 复数​z=3−2i的实部与虚部分别是（ ）​ A. 实部为 3，虚部为 2 B. 实部为 3，虚部为 – 2 C. 实部为 - 2，虚部为 3 D. 实部为 2，虚部为 3​下列说法错误的是（ ） ​ 【答案】B 【分析】本题考查复数的代数形式定义（​z=a+bi，​a∈R为实部，​b∈R为虚部）. 【详解】复数​z=3−2i符合标准形式​z=a+bi，其中​a=3（实部），​b=−2（虚部，注意不含​i）。对比选项，故选B 考点二 复数的分类与相等条件 3．下列复数中，属于纯虚数的是（ ）​ A. ​2+3i B. ​2 C. ​3i D. ​1−i 【答案】C 【分析】本题考查复数的分类（实数：​b=0；虚数：​b=0；纯虚数：​a=0且​b=0） 【详解】选项 A：​2+3i，​b=3，为虚数（非纯虚数）；​ 选项 B：​2=2+0i，​b=0，为实数；​ 选项 C：​3i=0+3i，​a=0且​b=3，为纯虚数；​ 选项 D：​1−i，​a=1，​b=−1，为虚数（非纯虚数）, 故选：C. 4. 若复数​z1​=(m−2)+(n+1)i与​z2​=3−2i（​m,n∈R）相等，则​m+n的值为（ ）​ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【分析】本题考查复数相等的充要条件. 【详解】根据复数相等条件，实部与实部相等，虚部与虚部相等：​ 实部相等：​m−2=3，解得​m=5；​ 虚部相等：​n+1=−2，解得​n=−3；​因此​m+n=5+(−3)=2. 故选：A. 考点三 复数的几何意义 5. 复数​z=−1+2i在复平面内对应的点​Z的坐标为（ ）​ A. ​(1,2) B. ​(−1,2) C. ​(1,−2) D. ​(−1,−2) 【答案】B 【分析】本题考查复数的几何意义. 【详解】对于复数​z=−1+2i，实部​a=−1（对应​x轴），虚部​b=2（对应​y轴），故对应点​Z 的坐标为​(−1,2).故选B. 6. 复平面内，点​M(2,−3)对应的复数为（ ）​ A. ​2+3i B. ​2−3i C. ​−2+3i D. ​−2−3i 【答案】B 【分析】本题考查复数与复平面内点的逆向对应. 【详解】点​M(2,−3)中，​x轴坐标​a=2（实部），​y轴坐标​b=−3（虚部），故对应复数为​ 2−3i. 故选B. 考点四 复数的向量表示与模 7. 复数​z=3−4i的模​∣z∣为（ ）​ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6​ 【答案】C 【分析】本题考查复数模的定义. 【详解】对于​z=3−4i，​a=3，​b=−4，代入模的公式：​∣z∣=​=​=5. 故选C. 8. 复平面内，向量​=(1,3​)对应的复数​z的模为（ ）​ A. 1 B. ​ ​C. D. 4 【答案】C 【分析】本题考查复数的向量表示 【详解】向量​=(1,3​)对应复数​z=1+3​i，其中​a=1，​b=3​；​模​∣z∣=​=​=. 故选C. 考点五 复数的四则运算 9. 计算​(2+3i)+(1−2i)的结果为（ ）​ A. ​3+i B. ​3−i C. ​1+i D. ​1−i 【答案】A. 【分析】本题考查复数的加法运算. 【详解】实部相加：​2+1=3；虚部相加：​3i+(−2i)=i；​故结果为​3+i. 故选A. 10. 计算​的结果为（ ）​ A. ​i B. ​−i C. ​1+i D. ​1−i 【答案】A 【分析】本题考查复数的除法运算 【详解】分母实数化，分母​1−i的共轭复数为​1+i，分子分母同乘​1+i：​ =​；​ 因​=−1，代入得：==i​.故选A. 考点六 共轭复数 11. 复数​z=2−5i的共轭复数​为（ ）​ A. ​2+5i B. ​−2+5i C. ​−2−5i D. ​2−5i ​ 【答案】A 【分析】本题考查共轭复数的定义. 【详解】​z=2−5i中，实部​2不变，虚部​−5变号为​5，故​z=2+5i.故选A 12. 已知复数​z=1+i，则​z⋅的值为（ ）​ A. 1 B. 2 C. ​1+i D. ​1−i 【答案】B 【分析】本题考查共轭复数的核心性质. 【详解】方法一（性质法）：​∣z∣=​=​，故​z⋅z===2；​ 方法二（展开法）：​z=1−i，​z⋅=(1+i)(1−i)=1−=1−(−1)=2.故选B. 考点七 复数的三角形式及其表示 13. 下列复数中，属于标准三角形式的是（ ）​ A. ​2(sin3π​+icos3π​) B. ​2(cos3π​−isin3π​) C. ​−2(cos3π​+isin3π​) D. ​2(cos3π​+isin3π​) 【答案】D 【分析】本题考查复数三角形式的标准结构. 【详解】选项 A：三角函数顺序错误（​sinθ在前，​cosθ在后），非标准形式；​ 选项 B：虚部符号错误（应为​+isinθ），非标准形式；​ 选项 C：​r=−2<0，不符合​r≥0，非标准形式；​ 选项 D：​r=2≥0，且符合 “​cosθ+isinθ” 顺序，为标准三角形式. 故选D. 14. 复数​z=1+​i的三角形式为（ ）​ A. ​2(cos​+isin​) B. ​2(cos+isin​) C. ​2(cos​+isin) D. ​2(cosπ​+isinπ​) 【答案】A 【分析】本题考查复数代数形式化三角形式的步骤. 【详解】步骤 1：r=∣z∣=​==；​ 步骤 2：复数​z对应点​(1,​)在第一象限，​tanθ=ab​=​​=​，故​θ=；​ 因此三角形式为​2(cos+isin​). 故选A. 考点八 复数三角形式的乘法与乘方运算 15. 计算​z1​=2(cos​+isin​)与​z2​=3(cos+isin)的乘积​z1​z2​，结果的模为（ ）​ A. 5 B. 6 C. ​4π​+6π​ D. ​4π​⋅6π​ 【答案】B 【分析】本题考查复数三角形式的乘法法则. 【详解】根据乘法法则，​z1​z2​的模为​r1​⋅r2​；​已知​r1​=2，​r2​=3，故模为​2×3=6.故选B. 16. 计算​z=2(cos​+isin​)的平方​，结果为（ ）​ A. ​2(cos​+isin) B. ​4(cos​+isin) C. ​2(cos​+isin) D. ​4(cos​+isin​) 【答案】B 【分析】本题考查复数三角形式的乘方运算. 【详解】模：==4；​辐角：​2θ=2×=​；​故​=4(cos+isin​).故选B. 考点九 复数三角形式的除法运算 17. 计算，其中​z1​=6(cos+isin​)，​z2​=2(cos​+isin)，结果的辐角为（ ）​ A. ​+ B. −​ C.× D. ​​÷ 【答案】B 【分析】本题考查复数三角形式的除法法则. 【详解】根据除法法则，​​的辐角为​θ1​−θ2​；​已知​θ1​=，​θ2​=，故辐角为​​−​线. 故选B. 18. 计算的结果为（ ）​ A. ​2i B. ​−2i C. ​2 D. ​−2 【答案】A 【分析】本题考查复数三角形式除法的完整计算. 【详解】步骤 1：模：​​=2，辐角：​−​=​；​ 步骤 2： ​2(cos​+isin​)；​ 步骤 3： ​cos​=0，​sin=1，故结果为​2(0+i×1)=2i. 故选A. 考点十 复数范围内实系数一元二次方程的求解 19. 方程+1=0在复数范围内的根为（ ）​ A. ​x=1 B. ​x=−1 C. ​x=±i D. 无实根（复数范围内无解） 【答案】C 【分析】本题考查复数范围内实系数一元二次方程的求解. 【详解】方程变形为​=−1；​因=−1，​==−1，故根为​x=±i.故选C. 20. 方程​−2x+5=0在复数范围内的根为（ ）​ A. ​x=1±2i B. ​x=−1±2i C. ​x=1±5​i D. ​x=−1±5​i 【答案】A 【分析】本题考查复数范围内实系数一元二次方程的求解公式. 【详解】步骤 1： ​Δ=−4×1×5=4−20=−16；​ 步骤 2： ​x===1±2i.故选A 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套【河北专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第五章复数的考点梳理卷，主要梳理和考查了复数的概念、复数的几何意义、共轭复数、复数的四则运算、复数的三角形式等常见考点。 第五章 复数 目录 考点一 复数的基本概念​ 1 考点二 复数的分类与相等条件 2 考点三 复数的几何意义 3 考点四 复数的向量表示与模 4 考点五 复数的四则运算 4 考点六 共轭复数 5 考点七 复数的三角形式及其表示 6 考点八 复数三角形式的乘法与乘方运算 6 考点九 复数三角形式的除法运算 7 考点十 复数范围内实系数一元二次方程的求解 8 考点一 复数的基本概念​ 1．下列关于虚数单位​i的运算，正确的是（ ）​ A. ​=1 B. ​=i C. ​=1 D. ​=−i 2. 复数​z=3−2i的实部与虚部分别是（ ）​ A. 实部为 3，虚部为 2 B. 实部为 3，虚部为 – 2 C. 实部为 - 2，虚部为 3 D. 实部为 2，虚部为 3​下列说法错误的是（ ） ​ 考点二 复数的分类与相等条件 3．下列复数中，属于纯虚数的是（ ）​ A. ​2+3i B. ​2 C. ​3i D. ​1−i 4. 若复数​z1​=(m−2)+(n+1)i与​z2​=3−2i（​m,n∈R）相等，则​m+n的值为（ ）​ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 考点三 复数的几何意义 5. 复数​z=−1+2i在复平面内对应的点​Z的坐标为（ ）​ A. ​(1,2) B. ​(−1,2) C. ​(1,−2) D. ​(−1,−2) 6. 复平面内，点​M(2,−3)对应的复数为（ ）​ A. ​2+3i B. ​2−3i C. ​−2+3i D. ​−2−3i 考点四 复数的向量表示与模 7. 复数​z=3−4i的模​∣z∣为（ ）​ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6​ 8. 复平面内，向量​=(1,3​)对应的复数​z的模为（ ）​ A. 1 B. ​ ​C. D. 4 考点五 复数的四则运算 9. 计算​(2+3i)+(1−2i)的结果为（ ）​ A. ​3+i B. ​3−i C. ​1+i D. ​1−i 10. 计算​的结果为（ ）​ A. ​i B. ​−i C. ​1+i D. ​1−i 考点六 共轭复数 11. 复数​z=2−5i的共轭复数​为（ ）​ A. ​2+5i B. ​−2+5i C. ​−2−5i D. ​2−5i ​ 12. 已知复数​z=1+i，则​z⋅的值为（ ）​ A. 1 B. 2 C. ​1+i D. ​1−i 考点七 复数的三角形式及其表示 13. 下列复数中，属于标准三角形式的是（ ）​ A. ​2(sin3π​+icos3π​) B. ​2(cos3π​−isin3π​) C. ​−2(cos3π​+isin3π​) D. ​2(cos3π​+isin3π​) 14. 复数​z=1+​i的三角形式为（ ）​ A. ​2(cos​+isin​) B. ​2(cos+isin​) C. ​2(cos​+isin) D. ​2(cosπ​+isinπ​) 考点八 复数三角形式的乘法与乘方运算 15. 计算​z1​=2(cos​+isin​)与​z2​=3(cos+isin)的乘积​z1​z2​，结果的模为（ ）​ A. 5 B. 6 C. ​4π​+6π​ D. ​4π​⋅6π​ 16. 计算​z=2(cos​+isin​)的平方​，结果为（ ）​ A. ​2(cos​+isin) B. ​4(cos​+isin) C. ​2(cos​+isin) D. ​4(cos​+isin​) 考点九 复数三角形式的除法运算 17. 计算，其中​z1​=6(cos+isin​)，​z2​=2(cos​+isin)，结果的辐角为（ ）​ A. ​+ B. −​ C.× D. ​​÷ 18. 计算的结果为（ ）​ A. ​2i B. ​−2i C. ​2 D. ​−2 考点十 复数范围内实系数一元二次方程的求解 19. 方程+1=0在复数范围内的根为（ ）​ A. ​x=1 B. ​x=−1 C. ​x=±i D. 无实根（复数范围内无解） 20. 方程​−2x+5=0在复数范围内的根为（ ）​ A. ​x=1±2i B. ​x=−1±2i C. ​x=1±5​i D. ​x=−1±5​i 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $