第四章 立体几何（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》 （《数学 拓展模块一上册》高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套【河北专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第四章立体几何的单元测试卷，主要考查平面的特征性质、空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定与性质、空间问题平面化思想与综合证明等常见考点等常见考点。 第四章 立体几何 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 下列命题正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 两条相交直线确定一个平面 C. 四边形一定是平面图形 D. 两条平行直线不能确定一个平面 【答案】B 【分析】考查平面的基本性质． 【详解】根据公理2，两条相交直线确定一个平面，故B正确。A错误，因为不共线的三点确定一个平面；C错误，四边形可以是空间四边形；D错误，两条平行直线确定一个平面. 故选：B 2. 题目：若直线a∥直线b，b⊂平面，则a与的位置关系是（ ） A. a⊂ B. a与相交 C. a∥或a⊂ D. a∥ 【答案】C 【分析】考查直线与平面平行的判定. 【详解】 由直线a∥直线b，且b⊂平面α，可知a∥α或a⊂α. 故选：C 3. 已知直线l⊥平面，直线m⊂平面，则l与m的位置关系是（ ）​ A. 平行 B. 异面 C. 相交 D. 垂直 【答案】D 【分析】考查直线与平面垂直的性质 【详解】由线面垂直的定义，直线l垂直于平面α内的所有直线，故l⊥m 故选：D 4. 若直线​l⊥平面​，直线​m ⊂平面​，则直线​l与直线​m的位置关系是（ ）​ A. 平行 B. 垂直 C. 相交 D. 异面 【答案】B 【分析】 本题考查直线与平面垂直的性质​ 【详解】根据直线与平面垂直的性质：若直线垂直于一个平面，则该直线垂直于平面内的任意一条直线；​已知​l⊥α，​m⊂α，故​l⊥m（​l与​m可能相交，也可能异面，但垂直关系恒成立）. 故选：B 5. 下列条件中，能判定平面α∥平面β的是（ ） A. 内有无数条直线与平行 B. 内两条直线与平行 C. 内两条相交直线与平行 D. 内一条直线与平行 【答案】C 【分析】考查面面平行的判定定理 【详解】由面面平行的判定定理，一个平面内两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行. 故选：C 6. 已知直线a∥平面，直线b⊥平面，则a与b的位置关系是（ ） A. 平行 B. 异面 C. 相交 D. 垂直 【答案】D 【分析】考查线面平行与线面垂直的性质 【详解】由b⊥α，a∥α，可得a⊥b. 故选：D 7. 在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，则EF与AC的位置关系是（ ） A. 平行 B. 异面 C. 相交 D. 垂直 【答案】A 【分析】考查空间直线的位置关系 【详解】E、F分别为AB、BC中点，故EF∥AC，且EF与AC共面，故A正确。故选：A 8. 已知平面∥平面，直线a⊂，直线b⊂，则a与b的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交 C. 平行或异面 D. 异面 【答案】C 【分析】考查面面平行的性质 【详解】由于∥，a⊂，b⊂，故a与b无公共点，可能平行或异面. 故选：C 9. 已知平面​∥平面​，点​A∈，点​B∈，过​AB作平面​与​交于直线​m，与​交于直线​n，则直线​m与直线​n的位置关系是（ ）​ A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 垂直​ 【答案】A 【分析】本题考查平面与平面平行的性质​ 【详解】​因​∥，平面与​交于​m，与​交于​n（即​m=∩，​n=∩）；​ 根据面面平行性质：平行平面被第三个平面所截，交线平行，故​m∥n 故选：A 10. 已知直线a⊥直线b，直线b⊥直线c，则a与c的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 平行、相交或异面 【答案】D 【分析】考查空间直线垂直的性质 【详解】在空间中，垂直于同一直线的两条直线可能平行、相交或异面. 故选：D 11. 在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，与棱AB异面的棱有（ ） A. 2条 B. 4条 C. 6条 D. 8条 【答案】B 【分析】考查异面直线的概念. 【详解】与AB异面的棱有：A₁D₁、B₁C₁、C₁C、D₁D，共4条. 故选：B 12. 若平面​⊥平面​，点​P∈，​P∈​，则过点​P且与平面垂直的直线（ ）​ A. 有且只有一条，且在​内 B. 有且只有一条，且不在​内 C. 有无数条，均在​内 D. 有无数条，均不在​内 【答案】A 【分析】本题考查面面垂直性质的应用. 【详解】根据面面垂直性质：过平面​α内一点​P（不在交线​l上），有且只有一条直线垂直于平面​β，且该直线必在​α内（若直线不在​α内，则与​α有且只有一个公共点​P，但根据性质定理，垂直于​β的直线需满足 “在​α内且垂直于​l”，故唯一且在​α内）. 故选：A 13. 在空间，下列命题正确的是（ ） A. 平行于同一直线的两条直线平行 B. 垂直于同一直线的两条直线平行 C. 平行于同一平面的两条直线平行 D. 垂直于同一平面的两个平面平行 【答案】A 【分析】考查空间平行与垂直的性质. 【详解】由公理4，平行于同一直线的两条直线平行，故A正确。 B错误，可能相交或异面；C错误，可能平行、相交或异面；D错误，可能相交或平行. 故选：A 14. 在正四面体ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，则EF与AC所成的角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】D 【分析】考查异面直线所成角的计算. 【详解】取AD中点G，连接EG、FG，则EG∥BD，FG∥AC，故∠EFG即为所求角。在正四面体中，易证AC⊥BD，故EG⊥FG，又△EFG为直角三角形，故∠EFG=90°，即EF与AC所成角为90°. 故选：D 15. 如图，在长方体​ABCD−A1​B1​C1​D1​中，​AB=2，​BC=1，​AA1​=3，则直线​A1​C与平面​ABCD所成角的正切值为（ ）​ A. ​​ B. ​​​ C. ​​ D. ​ 【答案】A 【分析】本题考查直线与平面所成角的计算​. 【详解】因​A1​A⊥平面​ABCD（长方体侧棱垂直于底面），故​A1​在平面​ABCD内的射影为​A，因此直线​A1​C的射影为​AC；​直线​A1​C与平面​ABCD所成角为​∠A1​CA；​在​Rt△A1​AC中，​A1​A=3（对边），​AC==​=​（邻边）；​故​tan∠A1​CA==​=​​. 故选：A 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．空间两条不重合的直线的位置关系有______． 【答案】平行、相交或异面 【分析】考查空间直线的位置关系 【详解】空间两条不重合的直线可能平行、相交或异面 17. 在正方体​ABCD−A1​B1​C1​D1​中，异面直线​A1​B与​AD1​所成角的度数为________ 【答案】60 【分析】本题考查正方体中异面直线所成角 【详解】连接​D1​C、​A1​C1​—— 因​A1​B∥D1​C（正方体中对边平行且相等），故异面直线​A1​B 与​AD1​所成角等于​∠AD1​C；​又​AD1​=D1​C=AC（均为正方体的面对角线，棱长设为 1，则长度均为​2​），故​△AD1​C为等边三角形，​∠AD1​C=60 18. 已知直线​l⊥平面​α，直线​m∥平面​α，则直线​l与直线​m的位置关系是________ 【答案】垂直 【分析】本题考查线面垂直与线面平行的性质综合 【详解】因​m∥α，故存在直线​n⊂α，使得​m∥n（线面平行性质）；​又​l⊥α，故​l⊥n（线面垂直性质）；​由​m∥n，得​l⊥m（垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条） 19. 若平面​α∥平面​β，点​P∈α，点​P到平面​β的距离为 4，则平面​α与平面​β之间的距离为________ 【答案】 【分析】本题考查两个平行平面之间距离的定义 【详解】根据平行平面距离的定义：两个平行平面之间的距离是它们的公垂线段的长度，且等于其中一个平面内任意一点到另一个平面的距离；​ 已知点​P∈α，​P到​β的距离为 4，故​α与​β之间的距离为 4 20. 在三棱锥​P−ABC中，若​PA⊥平面​ABC，​AB⊥BC，​PA=AB=BC=2，则点​B到平面​PAC的距离为________ 【答案】 【分析】本题考查点到平面的距离计算 【详解】​因​PA⊥平面​ABC，故​PA⊥BC；又​AB⊥BC，​PA∩AB=A，故​BC⊥平面​PAB，进而​BC⊥平面​PAC内的直线​AB；​在平面​PAC中，过​B作​BD⊥AC于​D，因​PA⊥BD（​PA⊥平面​ABC），​AC∩PA=A，故​BD⊥平面​PAC，​BD即为点​B到平面​PAC的距离；​在​Rt△ABC中，​AB=BC=2，故​AC=2​，​BD=ACAB⋅BC​=​=​ 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB，求直线PC与平面PAD所成的角. 【答案】 【分析】考查线面角的计算 【详解】∵ PA⊥底面ABCD，∴ PA⊥CD ∵ ABCD为正方形，∴ CD⊥AD ∴ CD⊥平面PAD，∴ PD为PC在平面PAD内的射影 ∴ ∠CPD即为所求角 设PA=AB=1，则PD=，PC=，CD=1 在Rt△PCD中，sin∠CPD=CD/PD=，∴ ∠CPD= 45°. 22．已知平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥b，求证：a∥β，b∥α. 【答案】证明见详解 【分析】考查面面平行的性质 【详解】证明：∵ α∥β，a⊂α，∴ a∥β 同理，∵ α∥β，b⊂β，∴ b∥α 又∵ a∥b，∴ 结论成立. 23．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求证：BD₁⊥平面AB₁ 【答案】证明见详解 【分析】考查线面垂直的判定 【详解】​证明：连接AC、B₁D₁ ∵ ABCD为正方形，∴ AC⊥BD ∵ DD₁⊥平面ABCD，∴ DD₁⊥AC ∴ AC⊥平面BDD₁，∴ AC⊥BD₁ 同理，可证AB₁⊥BD₁ ∵ AC∩AB₁=A，∴ BD₁⊥平面AB₁C​. 24．如图，在正方体​ABCD−A1​B1​C1​D1​中，棱长为 2，​E、​F分别是​A1​B1​、​B1​C1​的中点，求证：​ （1）平面​BEF∥平面​A1​DC；​ （2）求平面​BEF与平面​A1​DC之间的距离 【答案】（1）见详解；（2）​​​ 【分析】本题考查面面平行的判定与距离计算，（1）核心是 “证明一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面”；（2）核心是 “转化为点到平面的距离”（利用正方体棱长计算） 【详解】（1）证明平面​BEF∥平面​A1​DC：​ 因​E、​F分别是​A1​B1​、​B1​C1​的中点，故​EF∥A1​C1​（三角形中位线）；​ 又正方体中​A1​C1​∥AC，​AC⊂平面​A1​DC，故​EF∥平面​A1​DC​ 同理，​BE∥A1​D（​BE∥AB1​，​AB1​∥A1​D，平行公理），​BE⊂平面​A1​DC，故​BE∥平面​A1​DC； 因​EF∩BE=E，​EF⊂平面​BEF，​BE⊂平面​BEF， 根据面面平行判定定理，故平面​BEF∥平面​A1​DC ​ （2）求平面​BEF与平面​A1​DC之间的距离：​ 平面平行距离转化为点​A1​到平面​BEF的距离（或点​B到平面​A1​DC的距离）；​ 计算点​B到平面​A1​DC的距离：在正方体中，平面​A1​DC是等边三角形（棱长为​2​），面积​S=×=2​； 三棱锥​B−A1​DC的体积​V=31​×S△A1​DC​×h（​h为距离），也可表示为​V=​×S△BDC​×AA1； 计算​S△BDC​=​×2×2=2，​AA1​=2，故​V=​×2×2=； 由​V=​×2​×h=​，解得​h=​​；故平面​BEF与平面​A1​DC之间的距离为​​ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套【河北专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第四章立体几何的单元测试卷，主要考查平面的特征性质、空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定与性质、空间问题平面化思想与综合证明等常见考点等常见考点。 第四章 立体几何 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 下列命题正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 两条相交直线确定一个平面 C. 四边形一定是平面图形 D. 两条平行直线不能确定一个平面 2. 题目：若直线a∥直线b，b⊂平面，则a与的位置关系是（ ） A. a⊂ B. a与相交 C. a∥或a⊂ D. a∥ 3. 已知直线l⊥平面，直线m⊂平面，则l与m的位置关系是（ ）​ A. 平行 B. 异面 C. 相交 D. 垂直 4. 若直线​l⊥平面​，直线​m ⊂平面​，则直线​l与直线​m的位置关系是（ ）​ A. 平行 B. 垂直 C. 相交 D. 异面 5. 下列条件中，能判定平面α∥平面β的是（ ） A. 内有无数条直线与平行 B. 内两条直线与平行 C. 内两条相交直线与平行 D. 内一条直线与平行 6. 已知直线a∥平面，直线b⊥平面，则a与b的位置关系是（ ） A. 平行 B. 异面 C. 相交 D. 垂直 7. 在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，则EF与AC的位置关系是（ ） A. 平行 B. 异面 C. 相交 D. 垂直 8. 已知平面∥平面，直线a⊂，直线b⊂，则a与b的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交 C. 平行或异面 D. 异面 9. 已知平面​∥平面​，点​A∈，点​B∈，过​AB作平面​与​交于直线​m，与​交于直线​n，则直线​m与直线​n的位置关系是（ ）​ A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 垂直​ 10. 已知直线a⊥直线b，直线b⊥直线c，则a与c的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 平行、相交或异面 11. 在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，与棱AB异面的棱有（ ） A. 2条 B. 4条 C. 6条 D. 8条 12. 若平面​⊥平面​，点​P∈，​P∈​，则过点​P且与平面垂直的直线（ ）​ A. 有且只有一条，且在​内 B. 有且只有一条，且不在​内 C. 有无数条，均在​内 D. 有无数条，均不在​内 13. 在空间，下列命题正确的是（ ） A. 平行于同一直线的两条直线平行 B. 垂直于同一直线的两条直线平行 C. 平行于同一平面的两条直线平行 D. 垂直于同一平面的两个平面平行 14. 在正四面体ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，则EF与AC所成的角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 15. 如图，在长方体​ABCD−A1​B1​C1​D1​中，​AB=2，​BC=1，​AA1​=3，则直线​A1​C与平面​ABCD所成角的正切值为（ ）​ A. ​​ B. ​​​ C. ​​ D. ​ 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．空间两条不重合的直线的位置关系有______． 17. 在正方体​ABCD−A1​B1​C1​D1​中，异面直线​A1​B与​AD1​所成角的度数为________ 18. 已知直线​l⊥平面​α，直线​m∥平面​α，则直线​l与直线​m的位置关系是________ 19. 若平面​α∥平面​β，点​P∈α，点​P到平面​β的距离为 4，则平面​α与平面​β之间的距离为________ 20. 在三棱锥​P−ABC中，若​PA⊥平面​ABC，​AB⊥BC，​PA=AB=BC=2，则点​B到平面​PAC的距离为________ 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB，求直线PC与平面PAD所成的角. 22．已知平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥b，求证：a∥β，b∥α. 23．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求证：BD₁⊥平面AB₁ 24．如图，在正方体​ABCD−A1​B1​C1​D1​中，棱长为 2，​E、​F分别是​A1​B1​、​B1​C1​的中点，求证：​ （1）平面​BEF∥平面​A1​DC；​ （2）求平面​BEF与平面​A1​DC之间的距离 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $