第四章 立体几何（A卷·考点梳理卷）-《同步单元AB卷》 （《数学 拓展模块一上册》高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套【河北专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第四章立体几何的考点梳理卷，主要梳理和考查了平面的特征性质、空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定与性质、空间问题平面化思想与综合证明等常见考点。 第四章 立体几何 目录 考点一 平面的基本性质及其推论​ 1 考点二 空间直线与直线的位置关系 2 考点三 异面直线所成的角 2 考点四 直线与平面的位置关系 3 考点五 直线与平面平行的判定与性质 4 考点六 直线与平面垂直的判定与性质 4 考点七 平面与平面的位置关系 5 考点八 平面与平面平行的判定与性质 5 考点九 平面与平面垂直的判定与性质 6 考点十 空间问题平面化思想与综合证明 7 考点一 平面的基本性质及其推论​ 1．下列命题中，正确的是（ ） A. 一点和一条直线确定一个平面 B. 两两相交的三条直线确定一个平面 C. 四边形一定是平面图形 D. 三角形一定是平面图形 【答案】D 【分析】本题考查平面的基本性质． 【详解】A. 错误。一点和一条直线只能确定一个平面需要该点不在此直线上。 B. 错误。两两相交的三条直线若交于同一点，则不一定共面。 C. 错误。四边形可能是空间四边形，不一定是平面图形。 D. 正确。根据公理，不共线的三点确定一个平面，三角形由不共线的三点组成，因此一定是平面图形.故选D 2. 下列说法错误的是（ ） A. 若两个平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线 B. 若四点不共面，则其中任意三点不共线 C. 若两条直线是异面直线，则它们既不平行也不相交 D. 若一条直线与一个平面有无数个公共点，则这条直线在这个平面内​ 【答案】A 【分析】本题考查平面的基本性质及其推论. 【详解】A. 错误。若两个平面有一个公共点，则它们有一条过该点的公共直线，但"有且只有一条"的说法不准确，因为如果两个平面重合，则有无数条公共直线。应改为"则它们相交于过该点的一条直线"。 B. 正确。这是四点共面的必要条件。 C. 正确。这是异面直线的定义。 D. 正确。根据公理，如果一条直线有两个点在一个平面内，那么这条直线就在这个平面内．故选A 考点二 空间直线与直线的位置关系 3．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，与棱AB既不平行也不相交的棱有（ ） A. 2条 B. 4条 C. 6条 D. 8条 【答案】B 【分析】本题考查空间直线与直线的位置关系，特别是异面直线的判断 【详解】在正方体中，与AB既不平行也不相交的棱是与AB异面的棱。这些棱是：A₁D₁、B₁C₁、C₁C、D₁D,共4条. 故选：B. 4. 关于空间两条直线a、b，下列命题正确的是（ ） A. 若a、b没有公共点，则a∥b B. 若a、b都平行于平面α，则a∥b C. 若a、b是异面直线，则存在唯一的平面与a、b都平行 D. 若a、b是异面直线，则存在唯一的平面与a、b都垂直 【答案】D 【分析】本题考查空间直线位置关系的判定. 【详解】A. 错误。没有公共点的直线可能是平行直线，也可能是异面直线。 B. 错误。两条直线都平行于同一个平面，它们可能平行、相交或异面。 C. 错误。过异面直线中的一条，可以作无数个平面与另一条平行。 D. 正确。对于任意两条异面直线，存在唯一的平面与它们都垂直. 故选：D. 考点三 异面直线所成的角 5. 在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，异面直线AD₁与B₁C所成的角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】D 【分析】本题考查异面直线所成角的计算. 【详解】连接BC₁，∵ AD₁∥BC₁，∴ AD₁与B₁C所成的角就是BC₁与B₁C所成的角。在△B₁BC₁中，BB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，B₁C₁在平面内，故BB₁⊥B₁C₁。又B₁C₁=B₁C=√2BB₁，∴ △B₁BC₁是等腰直角三角形，∠B₁C₁B=45°，∴ ∠B₁CB₁=90°.故选D. 6. 在正方体​ABCD−A1​B1​C1​D1​中，异面直线​AB1​与​BC1​所成角的度数为（ ）​ A. ​30 B. ​45 C. ​60 D. ​90 【答案】C 【分析】本题考查异面直线所成角的定义​. 【详解】在正方体中，​AB1​∥DC1​（​AB∥DC，​BB1​∥CC1​，故四边形​AB1​C1​D是平行四边形）；​异面直线​AB1​与​BC1​所成角，等同于​DC1​与​BC1​所成角（即​∠BC1​D）；连接​BD，在正方体中，​BC1​=DC1​=BD（均为面对角线或体对角线，长度相等），故​△BC1​D是等边三角形，​∠BC1​D=60；​因此，异面直线​AB1​与​BC1​所成角为​60. 故选C. 考点四 直线与平面的位置关系 7. 若直线a∥平面，直线b⊂，则a与b的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 平行或异面 【答案】D 【分析】本题考查直线与平面平行时，直线与平面内直线的位置关系. 【详解】当a∥时，a与内的直线b可能平行（如果a∥b），也可能异面（如果a与b不平行）. 故选D. 8. 若直线l与平面α有公共点，则下列结论正确的是（ ） A. l⊂α B. l∥α C. l与α相交 D. l与α至少有一个公共点 【答案】D 【分析】本题考查直线与平面位置关系的基本概念 【详解】直线与平面的位置关系有三种：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行。有公共点时，可能是直线在平面内或直线与平面相交，因此至少有一个公共点. 故选D. 考点五 直线与平面平行的判定与性质 9. 下列条件中，能判定直线l∥平面α的是（ ） A. l与平面α内的一条直线平行 B. l与平面α内的两条直线平行 C. l与平面α内的无数条直线平行 D. l与平面α内的所有直线都没有公共点 【答案】D. 【分析】本题考查直线与平面平行的判定条件. 【详解】A. 错误。l可能与平面α相交。 B. 错误。如果这两条直线平行，l仍可能与平面α相交。 C. 错误。无数条不等于所有。 D. 正确。这是直线与平面平行的定义. 故选D. 10. 已知直线a∥平面α，直线b∥平面α，则a与b的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 平行、相交或异面 【答案】D 【分析】本题考查直线与平面平行时，两条这样的直线之间的位置关系 【详解】两条直线都平行于同一个平面，它们可能平行（如教室中南北方向的两条灯管）、相交（如十字路口的两条道路）、异面（如立交桥中不同层面的两条道路）​.故选D. 考点六 直线与平面垂直的判定与性质 11. 下列命题正确的是（ ） A. 如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面 B. 如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线垂直于这个平面 C. 如果一条直线垂直于平面内的任意一条直线，那么这条直线垂直于这个平面 D. 如果一条直线垂直于平面内的一条平行线，那么这条直线垂直于这个平面​ 【答案】C 【分析】本题考查直线与平面垂直的判定定理. 【详解】A. 错误。需要垂直于平面内的两条相交直线。 B. 错误。无数条不一定是两条相交直线。 C. 正确。这是直线与平面垂直的定义。 D. 错误。需要垂直于平面内的两条相交直线.故选C 12. 在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，与AC垂直的棱有（ ） A. 2条 B. 4条 C. 6条 D. 8条 【答案】B 【分析】本题考查直线与直线垂直的判断，特别是空间中的垂直关系. 【详解】在正方体中，与AC垂直的棱有：B₁B、D₁D、A₁A、C₁C。共4条.故选B. 考点七 平面与平面的位置关系 13. 已知平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则a与b的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 平行或异面 【答案】D 【分析】本题考查两个平面平行时，分别在这两个平面内的直线的位置关系. 【详解】当∥时，内的直线a与内的直线b可能平行（如果a∥b），也可能异面（如果a与b不平行）. 故选D. 14. 下列命题正确的是（ ） A. 如果一个平面内的两条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 B. 如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 C. 如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线都平行 D. 如果两个平面平行，那么一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面 【答案】D 【分析】本题考查平面与平面平行的判定和性质. 【详解】A. 错误。需要两条相交直线。 B. 正确。如果一个平面内的所有直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 C. 错误。两条直线可能异面。 D. 正确。这是面面平行的性质定理. 故选D. 考点八 平面与平面平行的判定与性质 15. 下列条件中，能判定平面∥平面的是（ ） A. 内有无数条直线与平行 B. 内的两条直线分别与内的两条直线平行 C. 内的两条相交直线分别与内的两条直线平行 D. 内的两条相交直线分别与平行 【答案】D 【分析】本题考查平面与平面平行的判定定理. 【详解】A. 错误。无数条不一定是两条相交直线。 B. 错误。需要两条相交直线。 C. 错误。需要α内的两条相交直线分别与β内的两条相交直线平行。 D. 正确。这是面面平行的判定定理.故选D. 16. 已知平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥b，则下列结论正确的是（ ） A. a∥β B. a与β相交 C. a⊂β D. a与β重合 【答案】A 【分析】本题考查平面与平面平行的性质. 【详解】由于α∥β，且a⊂α，所以a∥β（如果一条直线在一个平面内，另一个平面与这个平面平行，那么这条直线与另一个平面平行）. 故选A. 考点九 平面与平面垂直的判定与性质 17. 下列命题正确的是（ ） A. 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直 B. 如果一个平面内的两条直线都垂直于另一个平面，那么这两个平面垂直 C. 如果两个平面垂直，那么一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面 D. 如果两个平面垂直，那么一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面内的任何一条直线 【答案】A 【分析】本题考查平面与平面垂直的判定和性质. 【详解】A. 正确。这是面面垂直的判定定理。 B. 错误。需要两条相交直线。 C. 错误。只有垂直于交线的直线才垂直于另一个平面。 D. 错误。一个平面内的直线只需垂直于另一个平面内与交线垂直的直线. 故选A. 18. 已知平面⊥平面，直线a⊂，且a⊥，则a与的位置关系是（ ） A. a∥ B. a⊂ C. a与相交 D. a∥或a⊂ 【答案】B 【分析】本题考查平面与平面垂直的性质. 【详解】由于α⊥β，且a⊂α，a⊥β，根据面面垂直的性质定理，如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。这里a已经垂直于β，所以a应该与α和β的交线平行或重合，但a仍在α内. 故选B. 考点十 空间问题平面化思想与综合证明 19. 在空间四边形​ABCD中，​E、​F、​G、​H分别是​AB、​BC、​CD、​DA的中点，若​AC=BD，则四边形​EFGH的形状是（ ）​ A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】C 【分析】本题考查 “空间问题平面化”（利用中位线将空间四边形转化为平面四边形）. 【详解】根据三角形中位线性质：​E、​F是​AB、​BC中点，故​EF∥AC且​EF=​AC；​G、​H是​CD、​DA中点，故​GH∥AC且​GH=​AC；​E、​H是​AB、​DA中点，故​EH∥BD且​EH=BD；​因此​EF∥GH且​EF=GH，四边形​EFGH是平行四边形；​ 已知​AC=BD，故​EF=EH（​​AC=​BD），平行四边形中邻边相等，故为菱形.故选C. 20. 关于空间中的直线和平面的关系，下列命题正确的是（ ） A. 若a∥，b∥，则a∥b B. 若a⊥，b⊥，则a∥b C. 若a∥，a⊥，则⊥ D. 若⊥，a⊂，则a⊥ 【答案】C 【分析】本题考查空间中线面关系的综合判断. 【详解】A. 错误。a和b可能平行、相交或异面。 B. 错误。a和b可能平行，也可能相交（如教室中相邻两面墙与地面的交线）。 C. 正确。如果一条直线平行于一个平面，且垂直于另一个平面，那么这两个平面垂直。 D. 错误。需要a垂直于α与β的交线.故选C 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套【河北专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第四章立体几何的考点梳理卷，主要梳理和考查了平面的特征性质、空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定与性质、空间问题平面化思想与综合证明等常见考点。 第四章 立体几何 目录 考点一 平面的基本性质及其推论​ 1 考点二 空间直线与直线的位置关系 2 考点三 异面直线所成的角 2 考点四 直线与平面的位置关系 3 考点五 直线与平面平行的判定与性质 4 考点六 直线与平面垂直的判定与性质 4 考点七 平面与平面的位置关系 5 考点八 平面与平面平行的判定与性质 5 考点九 平面与平面垂直的判定与性质 6 考点十 空间问题平面化思想与综合证明 7 考点一 平面的基本性质及其推论​ 1．下列命题中，正确的是（ ） A. 一点和一条直线确定一个平面 B. 两两相交的三条直线确定一个平面 C. 四边形一定是平面图形 D. 三角形一定是平面图形 2. 下列说法错误的是（ ） A. 若两个平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线 B. 若四点不共面，则其中任意三点不共线 C. 若两条直线是异面直线，则它们既不平行也不相交 D. 若一条直线与一个平面有无数个公共点，则这条直线在这个平面内​ 考点二 空间直线与直线的位置关系 3．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，与棱AB既不平行也不相交的棱有（ ） A. 2条 B. 4条 C. 6条 D. 8条 4. 关于空间两条直线a、b，下列命题正确的是（ ） A. 若a、b没有公共点，则a∥b B. 若a、b都平行于平面α，则a∥b C. 若a、b是异面直线，则存在唯一的平面与a、b都平行 D. 若a、b是异面直线，则存在唯一的平面与a、b都垂直 考点三 异面直线所成的角 5. 在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，异面直线AD₁与B₁C所成的角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 6. 在正方体​ABCD−A1​B1​C1​D1​中，异面直线​AB1​与​BC1​所成角的度数为（ ）​ A. ​30 B. ​45 C. ​60 D. ​90 考点四 直线与平面的位置关系 7. 若直线a∥平面，直线b⊂，则a与b的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 平行或异面 8. 若直线l与平面α有公共点，则下列结论正确的是（ ） A. l⊂α B. l∥α C. l与α相交 D. l与α至少有一个公共点 考点五 直线与平面平行的判定与性质 9. 下列条件中，能判定直线l∥平面α的是（ ） A. l与平面α内的一条直线平行 B. l与平面α内的两条直线平行 C. l与平面α内的无数条直线平行 D. l与平面α内的所有直线都没有公共点 10. 已知直线a∥平面α，直线b∥平面α，则a与b的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 平行、相交或异面 考点六 直线与平面垂直的判定与性质 11. 下列命题正确的是（ ） A. 如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面 B. 如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线垂直于这个平面 C. 如果一条直线垂直于平面内的任意一条直线，那么这条直线垂直于这个平面 D. 如果一条直线垂直于平面内的一条平行线，那么这条直线垂直于这个平面​【答案】C 12. 在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，与AC垂直的棱有（ ） A. 2条 B. 4条 C. 6条 D. 8条 考点七 平面与平面的位置关系 13. 已知平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则a与b的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 平行或异面 14. 下列命题正确的是（ ） A. 如果一个平面内的两条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 B. 如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 C. 如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线都平行 D. 如果两个平面平行，那么一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面 考点八 平面与平面平行的判定与性质 15. 下列条件中，能判定平面∥平面的是（ ） A. 内有无数条直线与平行 B. 内的两条直线分别与内的两条直线平行 C. 内的两条相交直线分别与内的两条直线平行 D. 内的两条相交直线分别与平行 16. 已知平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥b，则下列结论正确的是（ ） A. a∥β B. a与β相交 C. a⊂β D. a与β重合 考点九 平面与平面垂直的判定与性质 17. 下列命题正确的是（ ） A. 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直 B. 如果一个平面内的两条直线都垂直于另一个平面，那么这两个平面垂直 C. 如果两个平面垂直，那么一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面 D. 如果两个平面垂直，那么一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面内的任何一条直线 18. 已知平面⊥平面，直线a⊂，且a⊥，则a与的位置关系是（ ） A. a∥ B. a⊂ C. a与相交 D. a∥或a⊂ 考点十 空间问题平面化思想与综合证明 19. 在空间四边形​ABCD中，​E、​F、​G、​H分别是​AB、​BC、​CD、​DA的中点，若​AC=BD，则四边形​EFGH的形状是（ ）​ A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 20. 关于空间中的直线和平面的关系，下列命题正确的是（ ） A. 若a∥，b∥，则a∥b B. 若a⊥，b⊥，则a∥b C. 若a∥，a⊥，则⊥ D. 若⊥，a⊂，则a⊥ 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