第三章 圆锥曲线（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》 （《数学 拓展模块一上册》高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套【河北专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第三章圆锥曲线的单元测试卷，主要考查圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的定义、标准方程、几何性质、离心率e、焦点位置以及综合应用等常见考点等常见考点。 第三章 圆锥曲线 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知椭圆的标准方程为​​​1，则该椭圆的长轴长为（ ）​ A. 5 B. 10 C. 8 D. 4 【答案】B 【分析】本题考查椭圆标准方程中基本量的计算． 【详解】对于椭圆的标准方程​+=1（​a>b>0），其中​a表示椭圆的长半轴长。已知椭圆方程为​+=1，则​=25，解得​a=5。椭圆的长轴长为​2a，所以长轴长为​2×5=10. 故选：B 2. 双曲线​=1的渐近线方程为（ ） A. ​y=±​x B. ​y=±​x C. ​y=±x D. ​y=±​x 【答案】B 【分析】本题考查双曲线的渐近线方程. 【详解】对于双曲线的标准方程​​=1（​a>0，​b>0），其渐近线方程为​y=±x，在双曲线 ​=1中，​=9，​=16，所以​a=3，​b=4。将​a、​b的值代入渐近线方程公式，可得渐近线方程为​y=±x. 故选：B 3. 抛物线​=8x的焦点坐标为（ ）​ A. ​(2,0) B. ​(−2,0) C. ​(0,2) D. ​(0,−2) 【答案】A 【分析】本题考查抛物线的焦点坐标 【详解】抛物线的标准方程​=2px（​p>0）的焦点坐标为​(​,0)。已知抛物线方程为​=8x，与标准方程对比可得​2p=8，解得​p=4。那么​=2，所以该抛物线的焦点坐标为​(2,0) 故选：A 4. 已知椭圆的一个焦点坐标为​(0,3)，且长轴长为 10，则该椭圆的标准方程为（ ） A. ​+​=1 B. +​=1 C. +​=1 D. +​=1 【答案】A 【分析】本题考查椭圆标准方程 【详解】已知椭圆的一个焦点坐标为​(0,3)，可知椭圆的焦点在​y轴上，所以椭圆的标准方程为​+=1（​a>b>0），且​c=3（​c为半焦距）。又已知长轴长为 10，即​2a=10，解得​a=5。根据椭圆的性质​=+，可得 =16。所以该椭圆的标准方程为+​=1. 故选：A 5. 双曲线​=1的离心率为（ ）​ A. ​​ B.​ C. ​​ D. ​​​ 【答案】A 【分析】本题考查双曲线的离心率计算 【详解】对于焦点在​y轴上的双曲线标准方程​=1（​a>0，​b>0），离心率​e=，且满足​=+。在双曲线​−=1中，​=4，​=5，所以​a=2。​=4+5=9，解得​c=3。则离心率​e==. 故选：A 6. 若抛物线​=−2py（​p>0）经过点​(2,−2)，则​p的值为（ ） A. 1 B. 2 C. ​21 ​D. 4 【答案】A 【分析】本题考查抛物线方程中参数的求解 【详解】已知抛物线​=−2py（​p>0）经过点​(2,−2)，将点​(2,−2) 的坐标代入抛物线方程可得：​22=−2p×(−2)，即​4=4p。两边同时除以 4，解得​p=1. 故选：A 7. 椭圆​+=1（​m>4）的离心率为，则​m的值为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】A 【分析】本题考查公式=+的应用 【详解】因为​m>4，所以椭圆​+=1的焦点在​x轴上，此时​=m，​=4，则​a=m​，​b=2. 据椭圆性质​=−，可得​c=​。椭圆的离心率​e=，已知离心率​e=​​，所以​​​=，解得​m=8 故选：A 8. 双曲线​−=1（​a>0，​b>0）的离心率​e=2，则​的值为（ ）​ A. ​ B. ​​​ C. 3 D. ​ 【答案】A 【分析】本题考查双曲线离心率与​a、b​的关系 【详解】双曲线的离心率​e=，且满足​=+。已知离心率​e=2，即​​=2，所以​c=2a。将​c=2a代入=+可得：=+，即​4=+，移项得​=3。两边同时除以​（​a>0）可得​=3，所以​​=. 故选：A 9. 抛物线​y=​的准线方程为（ ） A. ​x=1 B. ​x=−1 C. ​y=1 D. ​y=−1 【答案】C 【分析】本题考查根据抛物线标准方程求准线​ 【详解】将抛物线​ y=​变形为标准形式​=−4y。对于抛物线​=−2py（​p>0），其准线方程为​y=​。在​=−4y中，​2p=4，解得​p=2。所以准线方程为​y=​=1 故选：C 10. 已知椭圆上一点到两焦点的距离之和为 10，且两焦点间的距离为 6，则该椭圆的短轴长为（ ）​ A. 4 B. 8 C. 16 D. 2 【答案】B 【分析】本题考查椭圆的定义和性质 【详解】根据椭圆的定义，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为​2a，已知该距离之和为 10所以​2a=10，解得​a=5。两焦点间的距离为​2c，已知两焦点间距离为 6，所以​2c=6，解得​c=3 。由椭圆的性质​=+（​b为短半轴长），可得​=−=−=25−9=16，则​b=4。椭圆的短轴长为​2b，所以短轴长为​2×4=8. 故选：B 11. 双曲线​​−=1上一点到左焦点的距离为 5，则该点到右焦点的距离为（ ）​ A. 3 B. 13 C. 3 或 13 D. 以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查双曲线的定义. 【详解】对于双曲线​​−=1（​a>0，​b>0），双曲线上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为​2a，在双曲线​​−​=1中，=16，所以​a=4，则​2a=8。设该点到右焦点的距离为​d，根据双曲线定义可得​∣d−5∣=8，则有​d−5=8或​d−5=−8，解得​d=13或​d=−3。由于距离不能为负数，所以​d=−3舍去. 故选：B 12. 抛物线=4x上一点​P到焦点的距离为 5，则点​P的横坐标为（ ）​ A. 5 B. 4 C. 3 D. 2​ 【答案】B 【分析】本题考查抛物线的定义. 【详解】由抛物线标准方程为​=4x，可知2p=4，p=2所以抛物线的准线方程为​x=​=−1。设点​P的坐标为​(x0​,y0​)，根据抛物线的定义，点​P到焦点的距离等于点​P到准线的距离，已知点​P到焦点的距离为 5，所以​x0​−(−1)=5，即​x0​+1=5，解得​x0​=4，所以点​P的横坐标为 4. 故选：B 13. 椭圆​+​=1的离心率为（ ）​ A. ​​ B. ​​ C. ​ D. ​​ 【答案】B 【分析】本题考查椭圆离心率的计算. 【详解】椭圆​​+​=1的标准形式为​+​=1（​a>b>0），其中​=25，​=9，所以​a=5，​b=3。根据椭圆性质​=−，可得​c==4。椭圆的离心率​e=​，所以​e=. 故选：B 14. 双曲线​−​=1（​a>0，​b>0）的一条渐近线方程为​y=x，则该双曲线的离心率为（ ）​ A. ​​ B. ​ C. ​ D.​ 【答案】B 【分析】本题考查双曲线的渐近线与离心率的公式应用. 【详解】因为双曲线​−​=1的一条渐近线为y=​x，结合焦点在y轴上的渐近线公式y=±​x，可得：​（取正渐近线即可，负渐近线不影响比值关系）整理得：b=2a, 根据双曲线的核心性质=+，将b=2a代入：=5因c>0,a>0，两边开方得：c=​a，由离心率定义e=，将c=​a代入得e=​=. 故选：B 15. 已知抛物线​上一点​到直线​的距离为 4，则点​到该抛物线焦点的距离为（ ）​ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【分析】本题综合考查抛物线的定义与点到直线的距离​. 【详解】对于抛物线​=4x，其标准形式为​=2px（​p>0），可得​2p=4，​p=2，因此准线方程为​x=−=−1, 。​根据抛物线定义：抛物线上任一点到焦点的距离 = 该点到准线的距离。​ 已知点​M到准线​x=−1的距离为 4，故点​M到焦点的距离也为 4. 故选：B 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．椭圆+​=1的焦点坐标为________． 【答案】​(±4,0) 【分析】本题考查椭圆焦点坐标的计算 【详解】椭圆方程​+​=1符合​+=1（​a>b>0），故焦点在​x轴上。​其中​=36，​=20，由椭圆性质​=−，得​=36−20=16，即​c=4。​因此焦点坐标为​(±4,0) 17. 双曲线​​−​=1的实轴长为________ 【答案】8 【分析】本题考查双曲线的“实轴长 = 2a” 【详解】双曲线方程​​−​=1符合−​=1（​a>0，​b>0），其中​=16，故​a=4。​ 实轴长为​2a=2×4=8 18. 若抛物线​=2py（​p>0）经过点​(2,1)，则​p的值为________ 【答案】2 【分析】本题考查抛物线方程中参数的求解 【详解】将点​(2,1)代入抛物线方程​=2py，得​=2p×1，即​4=2p。​两边同时除以 2，解得​p=2 19. 已知椭圆的两焦点坐标为​(±2,0)，长轴长为 8，则该椭圆的离心率为________ 【答案】 【分析】本题考查椭圆离心率的计算 【详解】由两焦点坐标​(±2,0)可知，半焦距​c=2；​由长轴长为 8，得​2a=8，即​a=4；​ 椭圆离心率​e===​ 20. 双曲线​​−=1的焦点到其渐近线的距离为________ 【答案】4 【分析】本题考查双曲线的焦点与渐近线的位置关系 【详解】双曲线​​−=1中，​=9，=16，故​c==​=5，焦点坐标为​(±5,0)；渐近线方程为​y=±​x=±​x，整理为标准式​4x±3y=0；​取焦点​(5,0)到渐近线​4x−3y=0 的距离，代入点到直线距离公式​d=​，得​ d=​==4 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在​x轴上，长轴长为 6，离心率为​，求该椭圆的标准方程. 【答案】+=1。 【分析】本题考查椭圆标准方程的求解 【详解】已知椭圆长轴长​2a=6，解得​a=3，则​=9由于​e=​=，得​c=1。​ 由椭圆性质​=+得​=8。​因椭圆焦点在​x轴上，标准方程为​+​=1. 22．双曲线的焦点在​y轴上，虚轴长为 4，离心率为​​，求该双曲线的标准方程. 【答案】​−​=1 【分析】本题考查双曲线标准方程的求解 【详解】由题可知虚轴长​2b=4，解得​b=2，则​=4；​由于离心率​​e=​=​​，即​c=​​a。由双曲线性质​=+得​=+4，解得=16。​因此双曲线标准方程​为−​=1​. 23．抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为​y轴，且经过点​(−2,−3) （1）求该抛物线的标准方程； （2）求该抛物线上点​(−2,−3)到其焦点的距离 【答案】（1）​=​y；（2）​​ 【分析】本题考查抛物线的标准方程与定义的综合应用 【详解】​（1）​因抛物线顶点在原点、对称轴为​y轴，且经过点​(−2,−3)，故设方程为​=−2py（​p>0）。​将点​(−2,−3)代入​=−2py，得​=−2p×(−3)，解得​p=​。则​标准方程​为 ​=−​y。​（2）​由=−2py（​p=​），则准线方程为​y=​= ​由抛物线上任一点到焦点的距离 = 该点到准线的距离可知点​(−2,−3)到准线​y=​的距离为​|−3−​​|=​，故该点到焦点的距离为​​. 24．已知椭圆+​=1的左、右焦点分别为​F1​、​F2​，过​F1​作直线​l垂直于​x轴, 交椭圆于​A、​B两点，求​△ABF2​的面积 【答案】​（或 14.4） 【分析】本题考查椭圆与三角形面积的综合应用 【详解】由题可知​=25，=9，故​c=​==4，因此左焦点​F1​(−4,0)，右焦点​F2​(4,0)，两焦点间距离​F1​F2​=2c=8（即​△ABF2​的高）. 由于直线​l过​F1​(−4,0)且垂直于​x轴，故直线​l的方程为​x=−4。​将​x=−4代入椭圆方程+=1，得：​+​=1，解得​y=±​。​因此​A(−4,)，​B(−4,−​)。​则AB=​|​−(−​)|​=​.所以​S△ABF2​​=​×​×8=​ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套【河北专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第三章圆锥曲线的单元测试卷，主要考查圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的定义、标准方程、几何性质、离心率e、焦点位置以及综合应用等常见考点等常见考点。 第三章 圆锥曲线 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知椭圆的标准方程为​​​1，则该椭圆的长轴长为（ ）​ A. 5 B. 10 C. 8 D. 4 2. 双曲线​=1的渐近线方程为（ ） A. ​y=±​x B. ​y=±​x C. ​y=±x D. ​y=±​x 3. 抛物线​=8x的焦点坐标为（ ）​ A. ​(2,0) B. ​(−2,0) C. ​(0,2) D. ​(0,−2) 4. 已知椭圆的一个焦点坐标为​(0,3)，且长轴长为 10，则该椭圆的标准方程为（ ） A. ​+​=1 B. +​=1 C. +​=1 D. +​=1 5. 双曲线​=1的离心率为（ ）​ A. ​​ B.​ C. ​​ D. ​​​ 6. 若抛物线​=−2py（​p>0）经过点​(2,−2)，则​p的值为（ ） A. 1 B. 2 C. ​21 ​D. 4 7. 椭圆​+=1（​m>4）的离心率为，则​m的值为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 8. 双曲线​−=1（​a>0，​b>0）的离心率​e=2，则​的值为（ ）​ A. ​ B. ​​​ C. 3 D. ​ 9. 抛物线​y=​的准线方程为（ ） A. ​x=1 B. ​x=−1 C. ​y=1 D. ​y=−1 10. 已知椭圆上一点到两焦点的距离之和为 10，且两焦点间的距离为 6，则该椭圆的短轴长为（ ）​ A. 4 B. 8 C. 16 D. 2 11. 双曲线​​−=1上一点到左焦点的距离为 5，则该点到右焦点的距离为（ ）​ A. 3 B. 13 C. 3 或 13 D. 以上都不对 12. 抛物线=4x上一点​P到焦点的距离为 5，则点​P的横坐标为（ ）​ A. 5 B. 4 C. 3 D. 2​ 13. 椭圆​+​=1的离心率为（ ）​ A. ​​ B. ​​ C. ​ D. ​​ 14. 双曲线​−​=1（​a>0，​b>0）的一条渐近线方程为​y=x，则该双曲线的离心率为（ ）​ A. ​​ B. ​ C. ​ D.​ 15. 已知抛物线​上一点​到直线​的距离为 4，则点​到该抛物线焦点的距离为（ ）​ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．椭圆+​=1的焦点坐标为________． 17. 双曲线​​−​=1的实轴长为________ 18. 若抛物线​=2py（​p>0）经过点​(2,1)，则​p的值为________ 19. 已知椭圆的两焦点坐标为​(±2,0)，长轴长为 8，则该椭圆的离心率为________ 20. 双曲线​​−=1的焦点到其渐近线的距离为________ 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在​x轴上，长轴长为 6，离心率为​，求该椭圆的标准方程. 22．双曲线的焦点在​y轴上，虚轴长为 4，离心率为​​，求该双曲线的标准方程. 23．抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为​y轴，且经过点​(−2,−3) （1）求该抛物线的标准方程； （2）求该抛物线上点​(−2,−3)到其焦点的距离 24．已知椭圆+​=1的左、右焦点分别为​F1​、​F2​，过​F1​作直线​l垂直于​x轴, 交椭圆于​A、​B两点，求​△ABF2​的面积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $