专题07 平面向量与复数（讲义）-2026版四川省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版四川省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及四川省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版四川省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》的第7个专题，内容为平面向量与复数。 2026版四川省（对口招生）二轮复习 《数学考纲专题练》 专题07 平面向量与复数 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一、课标解读 (一)平面向量 1. 向量的定义 2. 向量的有关概念 3. 向量的线性运算及共线向量定理 4. 平面向量的坐标运算 5. 平面向量的数量积及运算律 (二)复数 1．复数的有关概念 2．复数的几何意义 3．复数的运算 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2023 选择题 3 平面向量的线性运算 4 （1）题型：选择题与填空题。 （2）分值：4分+4分。 （3）内容：平面向量的线性运算及平面向量的数量积。 填空题 17 平面向量的数量积 4 2024 选择题 4 平面向量的数量积 4 填空题 20 平面向量（求模的最大值） 4 2025 选择题 10 平面向量的数量积（向量垂直求参数） 4 填空题 18 平面向量的数量积 4 三、考点预测 根据2023-2025年的真题考情，预估2026年四川省对口招生考试依然有2道题目对平面向量的线性运算及平面向量的数量积进行考查，题型分别为单项选择题与填空题，分值各4分。 另外，由于复数是四川职教高考最新课标中的考点要求，估计会在2026的高考中会有所涉及，考点为复数的相关概念及运算，题型为选择或填空题，分值为4分。 具体考点可能涉及如下内容： · 平面向量的线性运算 · 平面向量的坐标运算 · 平面向量的数量积 · 复数的相关概念及运算 四、知识梳理 （一）平面向量 1．向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)，记作||. 2．向量的有关概念： 名称 定义 备注 平行向量 方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线 共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 3.向量的线性运算： 向量 运算 定　义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量 和的运算 三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差的运算 三角形法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 4.共线向量定理： 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. （1）平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 5.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. （2）向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. （3）平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 6．平面向量的数量积 （1）定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ 叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0. （2）几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积． （3）．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． ①数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. ②模：|a|＝＝. ③夹角：cos θ＝＝. ④两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. ⑤|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·. 7．平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． （二）复数 1．复数的有关概念 (1)复数的概念： ①虚数单位i: i2＝－1； ②形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数． (2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． (3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)． (4)复数的模：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝. 2．复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)． (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 3．复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)． (2)复数加法的运算律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 五、10分钟小测验 一、单选题 1．若与共线且方向相反，则k为（    ） A． B． C．2 D．0 2．设向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，向量，且，则（    ） A． B． C． D．1 4．若P为平行四边形在平面上一点，且，则P为（    ） A．对角线上任意一点 B．对角线上任意一点 C．对角线与的交点 D．边的中点 5．已知向量 ，则 （    ） A． B． C． D． 6．已知为平面向量，，则夹角的余弦值等于（    ） A． B． C． D． 7．已知向量，，则（    ） A．5 B．4 C．3 D． 8．已知向量，若与的夹角为直角，则实数等于（   ） A． B．5 C．31 D．32 9．在中，M是的中点，，，则（    ） A．11 B．16 C．30 D．61 10．已知向量，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】 1.B 【分析】利用向量的共线定理与线性运算的坐标表示得到关于的方程组，解之即可得解. 【详解】因为与共线且方向相反， 所以，即， 所以，解得或（舍去）， 所以. 故选：B. 2.A 【分析】由向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】向量，，且， 所以，所以. 故选：A. 3.B 【分析】根据向量平行的性质及模长公式求解即可. 【详解】向量，向量，且， 则，解得. 则. 故选：B. 4.C 【分析】根据向量的共线定理和向量的加法法则即可得出结论. 【详解】已知P为平行四边形在平面上一点，且， 如图，取中点为，中点为， 则，， 从而，即， 由向量共线定理可知，点共线，且为的中点， 故P为对角线与的交点. 故选：C. 5.A 【分析】由向量线性运算的坐标坐标表示求解即可. 【详解】因为向量 ， 则. 故选：A. 6.C 【分析】由已知先求向量的坐标，再由两向量的内积公式即可求解. 【详解】设，由已知得， 得，解得，所以 设的夹角为，则. 故选：C． 7.A 【分析】根据向量运算及模的坐标表示求解. 【详解】∵向量，，∴， ∴. 故选：A. 8.C 【分析】根据向量的坐标表示求出，再利用向量垂直的坐标公式求解. 【详解】已知向量， 则， 若与的夹角为直角，， 则， 解得， 故选：C. 9.B 【分析】根据向量之间的关系，结合向量的模长公式，联立方程，即可求解. 【详解】 因为M是的中点，则有， 因为，故的模长为5，故的模长为，即， 因为，又因为，故有， 联立可得， 根据模长公式的定义，可得 ， 解方程可得. 故选：B. 10.C 【分析】根据题意，结合向量的内积、向量的模、向量垂直与平行的坐标表示，即可判断求解. 【详解】因为向量， 所以，故选项A错误； 所以，故，故选项B错误； 所以，所以，所以，故选项C正确； 因为，故不平行，故选项D错误. 故选：C. 六、经典例题解析 【考试题型1】平面向量的线性运算及数量积 【例1】（23-24高三下·四川·对口/高职单招）已知平面向量，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】利用向量内积的坐标表示即可得解. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 【例2】（24-25高三下·四川自贡·二模），且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的垂直得出，结合向量的内积公式即可得解. 【详解】因为且， 则， 即， 又两向量夹角 所以，即. 故选：D． 【例3】（18-19高三·四川·一模）已知，则等于（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据向量加法及模长的坐标公式，结合同角三角函数平方关系式求解即可. 【详解】，. 故选：B. 【例4】（23-24高三下·四川·模拟预测）已知平面向量，，若，则（    ） A．2或 B． C．或3 D．3 【答案】C 【分析】由向量垂直的坐标公式即可求解. 【详解】由得，解得或 故选：C 【例5】（23-24高三下·四川自贡·三模）如图所示，每个小方格是边长为的正方形，且向量端点均在格点上，已知向量、，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图像得到向量的坐标，再利用向量坐标的线性运算和模长公式求解即可. 【详解】如图可知，点. 所以. 所以. 所以. 故选：. 【例6】（21-22高三·四川·模拟预测）已知平面向量，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为. 所以. 故选：D. 【例7】（21-22高三·四川·二模）已知点，及向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由，求出的坐标，再求的坐标即可. 【详解】因为点，， 所以，又， 所以. 故选：B. 【考试题型1】复数的相关概念及运算 【例8】（23-24高三下·四川·对口/高职单招）已知为虚数单位，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据复数的运算，结合题意即可求解． 【详解】因为， 故选：A． 【例9】（24-25高三下·四川·职教高考）设为虚数单位，若是正实数，且为小于6的正整数，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据虚数单位的定义及运算求解即可. 【详解】因为为虚数单位，所以有， 则，，， 若为小于6的正整数，且是正实数，则. 故选：C. 【例10】（22-23高二上·四川广安·期末）若复数，，则复数（   ） A． B．3 C．1 D． 【答案】B 【分析】根据复数的乘法运算以及复数的相等，求得，即得答案. 【详解】因为复数，，即， 得到故， 故选：B. 七、专题归纳小结 （一）平面向量 1. 解决与平面向量的概念有关的命题真假的判定问题，其关键在于透彻理解平面向量的概念，还应注意零向量的特殊性，以及两个向量相等必须满足：①模相等；②方向相同． 2. 在进行向量线性运算时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线，相似三角形对应边成比例得平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解． 3. 平行向量定理的条件和结论是充要条件关系，既可以证明向量共线，也可以由向量共线求参数．利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点． 4. 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的． 5. 利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解；在将向量用坐标表示时，要看准向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标． 6. 向量共线问题中，一般是根据其中的一些关系求解参数值，如果向量是用坐标表示的，就可以使用两个向量共线的充要条件的坐标表示列出方程，根据方程求解其中的参数值． 7. 在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a|＝要引起足够重视，是求距离常用的公式． 8. 已知两向量垂直就是利用其数量积为零列出方程，通过解方程求出其中的参数值．在计算数量积时要注意方法的选择：一种方法是把互相垂直的两个向量的坐标求出来，再计算数量积；另一种方法是根据数量积的运算法则进行整体计算，把这个数量积的计算化归为基本的向量数量积的计算． （二）复数 1. 处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．复数问题的实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的方法，其依据是复数相等的充要条件和复数的模的运算及性质． 2. 复数的代数形式的运算主要有加法、减法、乘法、除法，除法实际上是分母实数化的过程． 3. 根据复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $