专题07 函数的单调性（讲义） -湖北省2026年技能高考一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：湖北省2026年技能高考一轮复习《数学知识点清单》，依据《湖北省普通高等学校招收中等职业学校毕业生技能高考文化综合考试大纲》及历年湖北技能高考数学真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含10个模块共40个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是湖北省2026年技能高考一轮复习《数学知识点清单》的第7个专题：函数的单调性。本专题涵盖函数单调性等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 湖北省2026年技能高考 一轮复习 《数学知识点清单》 专题07 函数的单调性（讲义） 知识点1 函数的单调性 1.增函数 (1)定义:设函数y=f(x)在区间(a,b)内有意义.如果对任意的x1,x₂∈(a,b),当x1＜x₂时,都有f(x1)<f(x₂)成立,那么函数f(x)叫作区间(a,b)内的增函数. (2)图象特征:y随x的增大而增大，函数图象(如图3-1所示)自左到右呈上升趋势. 2.减函数 (1)定义:设函数y=f(x)在区间(a,b)内有意义.如果对任意的x1,x₂∈(a,b),当x1＜x₂时,都有f(x1)>f(x2成立,那么函数f(x)叫作区间(a,b)内的减函数. (2)图象特征:y 随x的增大而减小,函数图象(如图3-2所示)自左到右呈下降趋势. 图3-1 增函数 图3-2 减函数 3.单调区间 如果函数f(x)在区间(a,b)内是增函数(或减函数),那么称函数f(x)在区间(a,b)内具有单调性,区间(a,b)叫作函数f(x)的单调区间. 4.证明(判断)函数在指定区间上的单调性 (1)设元:设任意的x1,x₂∈A,且x1<x₂,目的是使x1与x2在区间A内，并规定x1与x2的大小关系. (2)作差:求 f(x1)-f(x2),目的是将f(x1)-f(x2)与0比较大小. (3)变形:将f(x1)-f(x2)变形,变形到可以与0比较大小为止. (4)判号:确定f(x1)-f(x₂)大于0、等于0或小于0. (5)定论:根据(1)和(4)得出结论,f(x1)、f(x₂)之间的不等号与x1、x₂之间的不等号“同向”则“增”;两个变量的不等号“异向”则“减”. 5.常见函数的单调性的判定(先看定义域) (1)一次函数、反比例函数主要看k的符号. (2)二次函数先看二次项系数的符号,然后求出对称轴,画图象,对称轴两边单调性正好相反. (3)记住正弦、余弦函数相应的单调区间. 注意: ①一次函数y=kx+b在R上,当k>0时是增函数,当k<0时是减函数. ②反比例函数y=在定义域(一∞,0)和(0,+∞)上,当k>0时是减函数,当k<0时是增函数. ③二次函数y=ax2+bx+c(x∈R),当a>0时，在(-∞,-]是减函数，（-，+∞]上是增函数;当a<0时，在 在(-∞,-]是增函数，（-，+∞]上是减函数. 一、单选题 1.（24-25高三·全国·对口/高职单招）若函数是减函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三·全国·对口/高职单招）若是减函数，则下列关于实数的说法正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25高三·全国·对口/高职单招）已知函数在上是增函数，若，则的取值范围是 . 4．（24-25高三·全国·对口/高职单招）函数在上的最大值为 ． 5．（23-24高三下·全国·对口/高职单招）函数单调递减区间为 . 一、单选题 1．已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，总有成立，则函数一定是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数 2．下列函数是增函数的是（    ） A． B． C． D． 3．若函数在R上是增函数，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．若是定义在上的减函数，，则（    ） A． B． C． D． 5．如果二次函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则（　　） A．2 B．-2 C．10 D．-10 6．设函数是上的减函数，则    （    ） A． B． C． D． 7．已知四个函数的图象如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是（    ） A．   B．   C．   D．   8．函数的部分图象如图所示，则此函数在上的最小值，最大值分别是（    ） A．，3 B．0，2 C．，2 D．3，2 9．下列四个函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 10．若函数的图象如图所示，则的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 11．函数和的递增区间依次为（   ） A． B． C． D． 12．若函数与在区间上都单调递减，则函数在区间上（   ） A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．先减后增 13．已知抛物线过，，三点，则，，大小关系是（    ） A． B． C． D． 14．关于函数，下列叙述错误的是（    ） A．函数的最大值是1 B．函数图象的对称轴是直线 C．函数的单调递减区间是 D．函数图象过点 15．已知函数是上的减函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．下列四个函数在是增函数的为（　　） A． B． C． D． 17．函数是定义在上的增函数，则满足的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 18．已知函数，若对于任意给定的不等实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 19．已知函数在上单调递减，则函数的增区间为（ ） A． B． C． D． 20．函数，的单调减区间为（ ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：湖北省2026年技能高考一轮复习《数学知识点清单》，依据《湖北省普通高等学校招收中等职业学校毕业生技能高考文化综合考试大纲》及历年湖北技能高考数学真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含10个模块共40个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是湖北省2026年技能高考一轮复习《数学知识点清单》的第7个专题：函数的单调性。本专题涵盖函数单调性等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 湖北省2026年技能高考 一轮复习 《数学知识点清单》 专题07 函数的单调性（讲义） 知识点1 函数的单调性 1.增函数 (1)定义:设函数y=f(x)在区间(a,b)内有意义.如果对任意的x1,x₂∈(a,b),当x1＜x₂时,都有f(x1)<f(x₂)成立,那么函数f(x)叫作区间(a,b)内的增函数. (2)图象特征:y随x的增大而增大，函数图象(如图3-1所示)自左到右呈上升趋势. 2.减函数 (1)定义:设函数y=f(x)在区间(a,b)内有意义.如果对任意的x1,x₂∈(a,b),当x1＜x₂时,都有f(x1)>f(x2成立,那么函数f(x)叫作区间(a,b)内的减函数. (2)图象特征:y 随x的增大而减小,函数图象(如图3-2所示)自左到右呈下降趋势. 图3-1 增函数 图3-2 减函数 3.单调区间 如果函数f(x)在区间(a,b)内是增函数(或减函数),那么称函数f(x)在区间(a,b)内具有单调性,区间(a,b)叫作函数f(x)的单调区间. 4.证明(判断)函数在指定区间上的单调性 (1)设元:设任意的x1,x₂∈A,且x1<x₂,目的是使x1与x2在区间A内，并规定x1与x2的大小关系. (2)作差:求 f(x1)-f(x2),目的是将f(x1)-f(x2)与0比较大小. (3)变形:将f(x1)-f(x2)变形,变形到可以与0比较大小为止. (4)判号:确定f(x1)-f(x₂)大于0、等于0或小于0. (5)定论:根据(1)和(4)得出结论,f(x1)、f(x₂)之间的不等号与x1、x₂之间的不等号“同向”则“增”;两个变量的不等号“异向”则“减”. 5.常见函数的单调性的判定(先看定义域) (1)一次函数、反比例函数主要看k的符号. (2)二次函数先看二次项系数的符号,然后求出对称轴,画图象,对称轴两边单调性正好相反. (3)记住正弦、余弦函数相应的单调区间. 注意: ①一次函数y=kx+b在R上,当k>0时是增函数,当k<0时是减函数. ②反比例函数y=在定义域(一∞,0)和(0,+∞)上,当k>0时是减函数,当k<0时是增函数. ③二次函数y=ax2+bx+c(x∈R),当a>0时，在(-∞,-]是减函数，（-，+∞]上是增函数;当a<0时，在 在(-∞,-]是增函数，（-，+∞]上是减函数. 一、单选题 1.（24-25高三·全国·对口/高职单招）若函数是减函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数为减函数，得出即可得解. 【详解】因为函数是减函数，所以，解得， 故选：. 2．（24-25高三·全国·对口/高职单招）若是减函数，则下列关于实数的说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合一次函数的单调性，即可求解. 【详解】因为是减函数，所以， 所以，即． 故选：B. 二、填空题 3．（24-25高三·全国·对口/高职单招）已知函数在上是增函数，若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据增函数的性质得，再由一元一次不等式的解法求解即可. 【详解】在上是增函数，， ，解得. 所以的取值范围是. 故答案为：. 4．（24-25高三·全国·对口/高职单招）函数在上的最大值为 ． 【答案】10 【分析】利用二次函数的性质得出对称轴，得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可. 【详解】函数的图象是开口向上，对称轴为直线的抛物线， 函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，， 函数在上的最大值为10. 故答案为：10. 5．（23-24高三下·全国·对口/高职单招）函数单调递减区间为 . 【答案】 【分析】先求出二次函数的对称轴，再由二次函数的性质即可求解. 【详解】因为函数的对称轴为， 又因为，函数的图像开口向下， 所以函数的单调递减区间为. 故答案为：. 一、单选题 1．已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，总有成立，则函数一定是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数 【答案】C 【分析】根据函数的单调性的定义求解即可. 【详解】对于任意两个不相等的实数，总有成立， 等价于对于任意两个不相等的实数，总有． 所以函数一定是增函数． 故选：C. 2．下列函数是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一次函数、反比例函数、二次函数的单调性逐项判断即可. 【详解】对于A，函数，为一次函数，其中，所以是减函数，A选项错误； 对于B，函数，为反比例函数，在和上分别单调递减，B选项错误； 对于C，函数，为一次函数，其中，所以是增函数，C选项正确； 对于D，函数，为二次函数，其中，图象开口向下，对称轴为， 在上单调递增，在上单调递减，D选项错误. 故选：C. 3．若函数在R上是增函数，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一次函数为增函数则斜率大于0，写出式子计算得到答案. 【详解】因为函数在R上是增函数， 所以，解得， 故选：C. 4．若是定义在上的减函数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的单调性即可得解. 【详解】因为是定义在上的减函数，， 所以，解得， 故选：. 5．如果二次函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则（　　） A．2 B．-2 C．10 D．-10 【答案】C 【分析】根据二次函数的单调性，得到对称轴为，即可求解参数. 【详解】∵二次函数开口向上，在区间上是减函数，在区间上是增函数， ∴二次函数的对称轴为, 所以，解得. 故选：C. 6．设函数是上的减函数，则    （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数单调性的定义即可求解. 【详解】对A、B、C，当时，， 故A、B、C错误. 对D，因为，所以. 因为在上为减函数，所以，故D正确. 故选：D. 7．已知四个函数的图象如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据函数的单调性定义主线判断即可得解. 【详解】选项，函数分别在及上单调递增，但存在，使，故在定义域内不具有单调性； 选项，函数在定义域内为单调递增函数，故正确； 选项，函数分别在及上单调递增，但存在，使，故在定义域内不具有单调性； 选项，函数分别在及上单调递减，但存在，，使，故在定义域内不具有单调性； 故选：. 8．函数的部分图象如图所示，则此函数在上的最小值，最大值分别是（    ） A．，3 B．0，2 C．，2 D．3，2 【答案】C 【分析】分析函数图像即可得到函数的最值即可得解. 【详解】当时，由题图可知，时，的最小值为； 当时，的最大值为， 故选：. 9．下列四个函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据常见函数的单调性判断选项即可. 【详解】A：一次函数，因为，所以函数在上单调递减，故A错误； B：二次函数，对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，故B错误； C：一次函数，因为，所以函数在上单调递增，故C正确； D：反比例函数在上单调递减，故D错误. 故选：C. 10．若函数的图象如图所示，则的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析图像结合函数单调性的定义即可得解. 【详解】由函数的图象可知函数的单调递减区间为． 故选：. 11．函数和的递增区间依次为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的单调性求解即可. 【详解】函数，故其递增区间为， ，对称轴为，开口向下，故其递增区间． 故选：C． 12．若函数与在区间上都单调递减，则函数在区间上（   ） A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．先减后增 【答案】B 【分析】根据一次函数，反比例函数的单调性，确定的符号，再由二次函数的对称轴公式，确定对称轴的符号，再由二次函数的图像开口方向判断函数的单调性即可. 【详解】已知函数与在区间上都单调递减， 则， 所以函数的对称轴， 又由可知，函数的图像开口向下， 所以函数在区间上单调递减， 故选：B. 13．已知抛物线过，，三点，则，，大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的单调性求解即可. 【详解】∵函数的对称轴为y轴，开口向上， ∴距离对称轴越远函数值越大， ∵，，到y轴的距离依次为：2，0，1， ∴. 故选：C. 14．关于函数，下列叙述错误的是（    ） A．函数的最大值是1 B．函数图象的对称轴是直线 C．函数的单调递减区间是 D．函数图象过点 【答案】C 【分析】利用二次函数的对称轴、最值、单调区间可判断. 【详解】函数为二次函数，图象为抛物线，， 函数开口向下，所以函数最大值为. ，A选项正确； 函数图象对称轴为，B选项正确； 函数开口向下，函数的单调递减区间是，C选项错误； 将点代入可值，等式成立，D选项正确； 故选：C. 15．已知函数是上的减函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数单调性的定义即可求解. 【详解】因为函数是在上的减函数，且. 所以，解得，所以实数的取值范围是. 故选：A. 16．下列四个函数在是增函数的为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数特征，利用所给定函数的性质即可选定选项. 【详解】对选项A，二次函数开口向上，对称轴为轴，在是减函数，故A选项不正确； 对选项B，为一次函数，，在是减函数，故B选项不正确； 对选项C，，二次函数，开口向下，对称轴为，在是增函数，在是减函数，故C选项不正确； 对选项D，为反比例型函数，，在是增函数，故D选项正确. 故选：D. 17．函数是定义在上的增函数，则满足的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的单调性列不等式即可求解. 【详解】由题意知函数是定义在上的增函数， 则由，得， 解得，即， 故选：D 18．已知函数，若对于任意给定的不等实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数单调性列出不等式计算即可解得. 【详解】因为，所以函数为增函数， 所以，解得. 故选：D 19．已知函数在上单调递减，则函数的增区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数与二次函数的单调性，即可求出. 【详解】函数在上单调递减，， 为开口向下的二次函数，其对称轴方程为， 在上单调递增，即函数的增区间为. 故选：C. 20．函数，的单调减区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出二次函数的对称轴，根据二次函数的单调性求出符合题意的单调减区间. 【详解】函数对称轴为直线，开口向上，所以单调减区间为， 又，所以函数，的单调减区间为. 故选：D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $