15.3.1等腰三角形第1课时教学设计2025-2026学年人教版数学八年级上册

该初中数学教学设计聚焦等腰三角形的性质探究，以“定义—观察—猜想—证明—应用”为主线，通过折叠纸片直观感知边角关系，自然引出“等边对等角”和“三线合一”的核心结论，前后知识衔接紧密，形成清晰的学习支架。 本设计突出数学眼光、数学思维与数学语言的融合运用，如在活动一中引导学生用几何直观发现性质，借助辅助线完成逻辑推理，体现推理能力与符号意识；例题设置层层递进，强化模型观念与应用意识。教师可直接使用其结构化流程与典型问题，提升课堂效率，学生则能在动手实践中深化理解，发展理性思维与创新意识。

15.3.1等腰三角形 第1课时 教学设计 一、内容与内容解析 （一）教学内容 本节课是人教版初中数学八年级（上册）第十五章“轴对称”的第3节。内容包括等腰三角形的定义，等腰三角形“等边对等角”“三线合一”的性质，以及性质的证明与应用。 （二）教学内容解析 等腰三角形是轴对称图形的典型代表，是对前面轴对称知识的深化与应用，也为后续学习等边三角形、直角三角形等内容奠定基础。 “等边对等角”是证明角相等的重要依据，“三线合一”将等腰三角形的边、角、线关系紧密结合，是解决线段垂直、平分以及角平分线问题的关键工具，在几何推理和计算中应用广泛。 基于以上分析，确定本节课的教学重点为： 【教学重点】等腰三角形的性质及应用. 二、目标与目标解析 （一）教学目标 1. 能说出等腰三角形的定义，掌握“等边对等角”“三线合一”的性质，会用性质进行简单的推理、计算。 2. 通过动手折叠、观察、猜想、证明的过程，提升几何直观能力和逻辑推理能力。 3. 感受数学图形的对称性，激发对几何学习的兴趣，培养严谨的推理习惯 （二）教学目标解析 1. 学生能在图形中准确识别等腰三角形的腰、底边、顶角、底角；能独立证明两个性质，且能运用性质解决“已知等腰三角形一个角求另外两个角”“证明线段相等或垂直”等基础问题。 2.学生通过折叠等腰三角形纸片，自主发现边、角的等量关系，再通过辅助线（如作顶角平分线）完成性质的证明，经历“直观感知—猜想—逻辑验证”的几何学习过程。 3.在小组合作探究性质的过程中，增强合作意识；通过性质的实际应用（如建筑中的等腰三角形结构），体会数学与生活的联系。 三、学生学情分析 知识基础：学生已学习轴对称的概念和性质，能识别轴对称图形，具备初步的几何图形观察能力和简单推理能力，但对“通过辅助线构造全等三角形证明性质”的思路尚不熟悉。 认知特点：八年级学生处于形象思维向抽象思维过渡阶段，喜欢动手操作，但逻辑推理的严谨性不足，容易忽略“三线合一”性质中“一条线同时满足三种身份”的前提条件，在应用时易出错。 潜在困难：证明“等边对等角”时，辅助线的添加（选顶角平分线、底边上的高还是中线）需要引导；应用“三线合一”时，容易混淆“等腰三角形”这一前提，直接套用性质。基于上述分析，确定本节课的教学难点为： 【教学难点】等腰三角形性质的证明. 四、教学策略分析 1. 直观演示与动手操作结合：提前让学生制作等腰三角形纸片，通过折叠、重合等操作，直观感知性质，降低抽象推理的难度。 2. 问题引导式教学：设计阶梯式问题（如“折叠后等腰三角形的两个底角重合吗？”“如何证明这两个角相等？”“折叠产生的折痕有什么特殊性质？”），引导学生逐步深入探究。 3. 小组合作探究：将学生分成4-6人小组，围绕“性质的证明思路”“性质的应用场景”展开讨论，培养合作能力和表达能力。 4. 讲练结合：在性质讲解后，及时安排基础练习（如计算题、证明题），通过练习巩固知识，发现学生的易错点并及时纠正。 五、教学过程分析 （一）情境引入 展示生活中的等腰三角形图形（如屋顶、金字塔、等腰三角尺），提问：“这些图形有什么共同特点？”引导学生回顾等腰三角形的定义，明确腰、底边、顶角、底角的概念。 过渡：“等腰三角形作为轴对称图形，除了‘两腰相等’，还有哪些特殊性质？这节课我们一起探究。” 分析：通过生活实例导入，拉近数学与生活的距离，激发学生兴趣；回顾旧知为新知探究做好铺垫。 设计意图：通过复习旧知，激活学生已有的知识储备，降低新知识的学习难度。 （二）主动参与、感悟新知 活动一： 探究 如图，在纸上画一个等腰三角形，把它剪下来.将这个等腰三角形对折，使它的两腰重合，再展开，找出其中重合的线段和角. 重合的线段 AB和AC → 等腰三角形的两个腰相等 BD和CD → AD是底边上的中线 重合的角 ∠B和∠C → 等腰三角形的两个底角相等 ∠BAD和∠CAD → AD是顶角的平分线 ∠ADB和∠ADC → AD是底边上的高 探究 由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗?说一说你的猜想. 猜想1 等腰三角形的两个底角相等. 符号语言 如图 ，在△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C. 证明 作底边BC的中线AD，则BD=CD. 在△ABD和△ACD中， AB=AC，BD=CD，AD=AD， ∴△ABD≌△ACD(SSS). ∴∠B=∠C. 猜想2：等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合. 符号语言 如图 ，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线. 求证：AD是BC边上的高，AD是∠BAC的平分线. 证明 ∵AD是BC边上的中线， ∴BD=CD. 在△ABD和△ACD中， AB=AC，BD=CD，AD=AD， ∴△ABD≌△ACD(SSS). ∴∠ADB=∠ADC=90°，∠BAD=∠CAD， ∴AD是BC边上的高，AD是∠BAC的平分线. 追问 这样可以证明猜想2吗？ 符号语言 如图 ，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高. 求证：AD是BC边上的中线，AD是∠BAC的平分线. 证明 ∵AD是BC边上的高， ∴∠ADB=∠ADC=90°. 在Rt△ABD和Rt△ACD中， AB=AC，AD=AD， ∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL). ∴BD=CD，∠BAD=∠CAD， ∴AD是BC边上的中线，AD是∠BAC的平分线. 符号语言 如图 ，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线. 求证：AD是BC边上的中线，AD是BC边上的高. 证明 ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD=∠CAD. 在△ABD和△ACD中， AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD， ∴△ABD≌△ACD(SAS). ∴BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°， ∴AD是BC边上的中线，AD是BC边上的高. 等腰三角形的性质: 等腰三角形的两个底角相等.简写成“等边对等角”. 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合.简写成“三线合一”. 思考 在等腰三角形性质的探索过程和证明过程中，“折痕”“辅助线”发挥了非常重要的作用，由此，你能发现等腰三角形具有什么特征？ 等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线(顶角的平分线、底边上的高)所在直线就是它的对称轴. 例1　(教材P76例1)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD.求△ABC各角的度数. 解：∵ AB＝AC，BD＝BC＝AD， ∴ ∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD(等边对等角). 设∠A＝x，则∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x， 从而∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x. 于是在△ABC中，有∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°. 解得x＝36°. 所以，在△ABC中，∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝72°. 例2　如图，已知点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE.求证：BD＝CE. 证明：过点A作AP⊥BC于点P. ∵AB＝AC， ∴BP＝PC. ∵AD＝AE， ∴DP＝PE. ∴BP－DP＝PC－PE， 即BD＝CE. 【变式训练】 1.如图，在△ABC中，AB＝AC＝BD，DA＝DC，求∠B的度数． 解：设∠B＝x°. ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B＝x°. ∵DA＝DC， ∴∠C＝∠DAC＝x°. ∴∠ADB＝∠C＋∠DAC＝2x°. ∵AB＝BD， ∴∠ADB＝∠BAD＝2x°. 在△ABD中，∠B＝x°，∠ADB＝∠BAD＝2x°， ∴x°＋2x°＋2x°＝180°， 解得x°＝36°. ∴∠B＝36°. 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，点E在AB上，BE＝BD，∠BAC＝76°，求∠ADE的度数． 解：∵AB＝AC，∠BAC＝76°， ∴∠B＝∠C＝(180°－∠BAC)＝52°. ∵BD＝BE， ∴∠BDE＝∠BED＝(180°－∠B)＝64°. ∵D是BC的中点， ∴AD⊥BC. ∴∠ADB＝90°. ∴∠ADE＝∠ADB－∠BDE＝26°. （三）课堂总结 1、本节课研究了什么问题？ 2、本节课经历了怎样的研究过程？用到了哪些数学思想？ 3、对今后数学研究的启发？你还有哪些疑惑呢？ 【设计意图】梳理知识脉络，提炼核心方法，帮助学生形成系统的认知，同时加深对代数式价值的理解。 （四）布置作业、巩固提高 1．在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（   ） A． B． C． D．平分 2．如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（    ） A．18 B． C．9 D． 3．如图，锐角三角形中，，点D，E分别在边，上，连接，．下列命题中，假命题是（     ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．如图，在△ABC中，∠C＝35°，AB＝AC，则∠B＝( ) A．20° B．25° C．30° D．35° 5．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，连接AE，且BD＝DE.若∠BAE＝30°，求∠C的度数． 6．如图，已知在等腰三角形ABC中，AB＝AC，P，Q分别是边AC，AB上的点，且AP＝PQ＝QC＝BC，求∠PCQ的度数． 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $