专题01 实数的概念及运算 讲义—2025-2026学年七年级上册数学同步培优专题突破（浙教版2024）

2025-2026学年七年级上学期数学同步培优专题突破 专题01 实数的概念及运算 目录 板块一： 1 板块二： 9 考点01 正数、负数的意义 9 考点02 绝对值、相反数的概念 10 考点03 有理数的大小比较 11 考点04 平方根、算术平方根、立方根的概念与计算 11 考点05 无理数的大小估计与比较 12 考点06 实数数的运算 13 考点07 新定义运算问题 16 板块三：（45分钟） 20 板块一： 知识点1：正数与负数 1.引入正数和负数两个概念是为了表示两个相反意义的量： （1） 表示海拔高度超过海平面的用正数表示，海拔高度低于海平面的用负数表示； （2） 表示温度高于0摄氏度用正数表示，温度低于0摄氏度用负数表示； （3） 表示盈利的钱数用正数表示，亏损的钱数用负数表示。 2.表示两个相反意义的量，哪个用正数表示，哪个用负数表示，是人为规定的，一般表示高的，上涨的，等量用正数表示，相反的用负数表示。 3.正数：像+1、2、1.2、、π等大于0的数，叫做正数； 4.负数：像-1、-2、－1.2、－π等小于0的数，叫做负数． 知识点2：有理数的概念及分类 1. 有理数的概念：整数和分数统称为有理数。 2. 有理数的四种表现形式：整数、分数、有限小数、无限循环小数。判断一个数是不是有理数，只要看看这个数是不是这四种就行了，如果是这四种中一个，那这个数一定是有理数；如果不是这四种中的任何一种，那它一定不是有理数。 3. 有理数的分类方法： （1）按概念分类： （2）按正负分类： 　 知识点3：数轴的概念、画法、数轴上的点与有理数的关系 1.数轴是规定了原点，正方向，单位长度的直线。 2.数轴的三要素：原点，正方向，单位长度。 3.数轴的画法 （1）第一步：画一条直线（通常画成水平的）； （2）第二步：在这条直线上描上一个点作为原点，用这个点表示0； （3）第三步：在这条直线的右末端画上箭头，用来表示正方向； （4）第四步：根据实际需要，选取适当的长度作为单位长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，… 这样，数轴就画好了。 4.有理数可以用数轴上的一个点表示，但数轴上的点表示的数并不都是有理数。 （1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示． （2）任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点表示的数不一定都是有理数，还可以表示其他数（无理数），比如等． 知识点4：有理数的大小比较 1.可以将有理数a，b都画在数轴上，这样两个数就可以用两个点表示，两个数的大小关系就转化为两个点的左右位置关系，显然数轴上两个点的位置关系分为三种： 两个数a,b的大小关系 两个点的位置关系 2.有理数的大小比较方法： （1）在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大（可以类比人的右手力量大于左手形象记忆）； （2）正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。 3. 对于有理数 a，b，下列三种关系有且只有一种成立: ,, 4.有理数的大小关系可以借助数轴转化为点的位置关系。 ，说明，画在数轴上对应的点的位置关系是在的右边， ，说明，画在数轴上对应的点的位置关系是在的右边， 所以，一定在的右边，即。 同理，我们可以得到如果,那么就有。 5.有理数的大小关系与自然数一样也具有传递性： （1）如果,那么就有。 （2）如果,那么就有。 知识点5：绝对值 1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。 2.绝对值的表示方法：数a的绝对值记作|a|. 3.绝对值的代数意义： （1）一个正数的绝对值是它本身； （2）一个负数的绝对值是它的相反数； （3）0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有： 4.绝对值的几何意义： 一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． 的几何意义：数轴上表示数的点到原点的距离。 5.绝对值的性质：非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0即 6.利用绝对值比较两个有理数的大小： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 知识点6：相反数 1.相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0，即：符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数。 2.相反数的表示方法：的相反数为。 3.相反数的性质： （1）和的关系：若两数互为相反数，则；反之，若，则两数互为相反数。 （2）位置关系：互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等. 4.多重符号的化简问题： 多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定： 若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-1)]}=1 ； 若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-1)]}=-1 . 知识点7：有理数的加法 1.有理数的加法法则：（分类讨论的数学思想） （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0； （3）一个数同0相加，仍得这个数． 名师点拨：如何利用加法法则进行加法运算？ （1）判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则；； （2）确定和的符号(是“+”还是“－”)． （3）求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)． 2.加法运算律： （1）加法交换律： （2）加法结合律： 名师点拨： （1）加法运算律的作用：简化运算，凑整十整百，凑同分母的，同号的数； （2）交换加数的位置时，不要忘记符号． 知识点8：有理数的减法 1.有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：． 名师点拨： （1）将减法转化为加法时，注意“两变”，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”． （2）灵活使用减法法则，比较熟练的同学也可以不按步骤，直接写结果，提高效率。 知识点9：有理数的加减混合运算 1.做有理数的加减混合运算题目时的步骤： （1）观察问题中包含的运算，思考能否使用加法运算律，能用则用，简化运算； （2）将加减法统一成加法运算； （3）利用加法运算法则解决问题。 知识点10：有理数的乘法 1.有理数的乘法法则： （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数同0相乘，都得0． 名师点拨： （1）不为0的两数相乘，先定符号，再把绝对值相乘． （2）当乘数中有负数时，必须用括号括起来，如5与-3的乘积，应列为5×(-3)，不应该写成5×-3． 2. 有理数的乘法法则的推广：（乘法的符号法则） （1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定： 当负因数有奇数个时，积为负； 当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0． 名师点拨： （1）几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0． 3. 有理数的乘法运算律： （1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等：即：． （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。 即：． （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加． 即：． 名师点拨： （1）利用交换律时，要连同符号一起交换，符号也是乘数的一部分． （2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘． （3）运用运算律的目的是“简化运算”，运算是恒等变形，可以从前到后，也可以从后到前，也就是可以正用，也可以逆用． 4.倒数的概念： 乘积是1的两个数互为倒数． 名师点拨： （1）“互为倒数”的两个数是一种关系，必须成对出现.如-2的倒数是，不能说是倒数； （2）0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数； （3）互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)因此，正数的倒数必定还是正数；负数的倒数必定还是负数． 知识点11：有理数的除法 1. 有理数除法法则： 法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即。 法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0. 名师点拨： （1）0不能当除数； （2）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值． 2.有理数的乘除混合运算： 由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果． 3.有理数的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的． 知识点12：乘方 1.乘方的定义：求相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂． 即有：. 底数：在中，叫做底数， 指数：n叫做指数. 1. 特别地，当指数=2时，一般成为平方；当指数=3时，一般成为立方。 名师点拨： （1）乘方与幂是不同的，乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果． （2）当底数是以下几种情况时，要用括号括起来： 底数是负数、底数是分数、底数不是单独的一个数而是含有运算的式子。 （3）一个数可以看作这个数本身的一次方，指数1通常省略不写． 2.乘方的符号法则： （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即． 名师点拨： （1）有理数的乘方运算，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值． （2）计算幂时，可以转化成乘法计算。 知识点13：科学记数法 1.科学记数法的定义： 把一个绝对值大于10的数表示成的形式（其中l≤||＜10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法. 名师点拨： （1）负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其它与正数一样； （2）把一个数写成形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1. 知识点14：有理数的混合运算 1.有理数的混合运算顺序：（三原则） (1)先乘方，再乘除，最后加减； (2)同级运算，从左到右进行； (3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 名师点拨： （1）有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方是第三级运算； （2）在含有多重括号的混合运算中，一般都按从里向外的顺序进行，特别时候也可以从从外向里． （3）运算前要认真审题，看能否使用运算律，能用的可以简化计算，提高正确率 知识点15：算术平方根 1.概念：如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根。 2.表示方法: 3.性质: ①规定：0的算术平方根是0； ②双重非负性，即。 知识点16：平方根 1.平方根概念：如果，那么这个数叫做的平方根, 也叫二次方根。 2.表示方法: 3.性质: ①一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数; ②0的平方根是0； ③负数没有平方根。 知识点17：开平方 1.开平方概念：求一个数的平方根的运算叫做开平方； 注意理解平方根是数，是开平方运算的结果；而开平方是一种运算； 2. 开平方与平方的关系：开平方与平方互为逆运算。 知识点18：立方根 1. 立方根概念：一般地，如果，那么这个数叫做的立方根, 也叫三次方根。 2.表示方法: 3.性质: ①正数的立方根是正数;②0的立方根是0；③负数的立方根是负数。 知识点19：开立方 1.概念：求一个数的立方根的运算叫做开立方。 2.开立方与立方关系：开立方与立方互为逆运算。 知识点20：实数、无理数的概念及其分类 1.概念：有理数与无理数统称为实数。 2.分类：（1）按定义分类 （2）按正负分类 3.有理数、无理数概念 （1）有理数：整数和分数统称为有理数，即能写成分数形式的数。 有理数的四种表现形式：整数、分数、有限小数、无限循环小数。 （2）无理数：无限不循环小数，无理数的四种常见表现形式： · 开方开不尽的数，如等； · 有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等； · 有特定结构的数，如0.1010010001…等；（注意省略号） 4. 实数与数轴上的点是一一对应的关系。 5. 实数的大小比较方法： 方法一: 作差比较法 方法二: 作商比较法 设a、b是两正实数，， 方法三: 平方法 设a、b是两负实数，则。 设a、b是两正实数，则。 6、无理数的大小估计方法: 先找到离最近的两个平方数，例如的前面一个平方数为,后面一个平方数为,即, 则 知识点21：近似值与准确值 1. 准确值：与实际完全相同数据叫作准确值。 2. 近似值：能够在一定程度上反被考察对象的大小与准确值非常接近，但又不完全相等的数据称为近似值。3. 精确度：一个近似值四舍五入到哪一位，就说这个近似值精确到哪一位。 4. 取近似值的方法：四舍五入法、去尾法、进一法。 板块二： 考点01 正数、负数的意义 1．（24-25七年级上·浙江温州·期中）某次数学测试的平均成绩是80分，小王得了85分，记作分，小李的成绩记作分，表示得了　　分 A．67 B．62 C．72 D．83 2．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上记作．则表示气温为（   ） A．零上 B．零下 C．零上 D．零下 3．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）某品牌方便面的标准重量为，一般认为合格品的标准为“”，下列重量的方便面合格的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列选项的各对量中，表示具有相反意义的量是（　　） A．向东走5步，向北走4步 B．水位上升2米，股票下跌两元 C．进货2吨，库存3吨 D．收入100元，支出50元 5．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）某公司去年每季度盈亏情况如下：“+”表示盈利，“-”表示亏损，单位：万元．第一季度；第二季度；第三季度，第四季度，则这个公司去年一年共 （填“盈利”或“亏损”） 万元． 6．（24-25七年级上·浙江金华·期中）中国是世界上最早使用正负数的国家，用正负数可以表示具有相反意义的量．如果盈余200元记作元，那么亏损50元记作 元． 7．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知某市一天早晨的气温是，中午比早晨上升了，傍晚又比中午下降了，则傍晚的气温是 ． 8．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）规定盈利为正，亏损为负．某公司10月份亏损了6万元，记做 万元． 9．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如果钟表的分针顺时针方向旋转，记作，则分针逆时针方向旋转，记作 ． 10．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）红富士苹果的包装箱上标明苹果质量为，这里10表示苹果质量为，和是指质量在到之间的苹果都属于符合标准．如果已知某箱苹果质量为，那么这箱苹果 （选填“符合”或“不符合”）标准． 考点02 绝对值、相反数的概念 11．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）比较，，，这四个数，其中最小的是（    ） A． B． C． D．0 12．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）实数a，b在数轴上的位置如下图所示，则的化简结果为（   ） A． B． C． D． 13．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若，则（   ） A．0或 B．或0 C．或0或 D．或 14．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）有理数4，，0，中绝对值最小的一个数是（   ） A．4 B． C． D．0 15．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）（   ） A． B．2021 C． D． 16．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）学科素养·分类讨论 若，，且，异号，则的值为（   ） A．7 B．3或 C．3 D．7或3 17．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知，，且，则的值是（　　） A． B．或 C．或 D．或 18．（24-25七年级上·浙江温州·期中）若与互为相反数，则 ． 19．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）的相反数是 ，绝对值是 ． 20．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，若点A和点B表示的数互为相反数，则点C表示的数是 ． 考点03 有理数的大小比较 21．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）在，，0，1这四个数中，最大的数是（   ）． A． B． C．0 D．1 22．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）比较数的大小，比较正确的是 （   ） A． B． C． D． 23．（24-25七年级上·浙江温州·期中）四个有理数1，0，，，其中最小的数是（    ） A．1 B．0 C． D． 24．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）下列各组有理数的大小比较中，错误的是（   ） A． B． C． D． 25．（24-25七年级上·浙江·期中）某一天，哈尔滨、北京、杭州、金华四个城市的最低气温分别是，，，，其中气温最低的城市是（    ） A．哈尔滨 B．北京 C．杭州 D．金华 26．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）比较大小：2 ， 2， ． 27．（24-25七年级上·浙江温州·期中）比较大小（用“”或””表示） ． 28．（24-25七年级上·浙江金华·期中）比较大小： 29．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）比较大小 0（“”，“”或“”）． 30．（24-25七年级上·浙江温州·期中）将，，这三个数的大小关系用“”号连接可表示为 ． 考点04 平方根、算术平方根、立方根的概念与计算 31．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列各式正确的是（） A． B． C． D． 32．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列说法正确的是（   ） A．是16的一个平方根 B．16的平方根是4 C．的算术平方根是 D．的算术平方根是4 33．（24-25七年级上·浙江温州·期中）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 34．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）“的平方根是”，用数学式子表达为（　　） A． B． C． D． 35．（24-25七年级上·浙江温州·期中）下列选项中计算正确的是（   ） A． B． C． D． 36．（24-25七年级上·浙江温州·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和3，则的值是(    ) A． B． C． D． 37．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）一个正数的两个不同的平方根分别是和，则a为（　　） A．0 B． C．9 D．1 8．（24-25七年级上·浙江温州·期中）下列计算中，正确的是　　 A． B． C． D． 39．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）下列说法错误的是（ ） A．是16的平方根 B．没有立方根 C．的平方根是 D． 40．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）64的平方根为 ；的立方根为 ． 考点05 无理数的大小估计与比较 41．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知整数满足，则整数不可能是（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 42．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列整数中，与最接近的是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 43．（24-25七年级上·浙江温州·期中）已知，是两个连续整数，，则，分别是（   ） A．1，2 B．2，3 C．3，4 D．4，5 44．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）数轴上表示的点A的位置应在（　　） A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间 45．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）试估算在哪两个数之间（   ） A．3和4 B．4和5 C．5和6 D．6和7 46．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）与最接近的整数是（） A．2 B．3 C．4 D．5 47．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）面积为 15 的正方形的边长为 ，则 的值在 （     ） A．1 和 2 之间 B．2 和 3 之间 C．3 和 4 之间 D．4 和 5 之间 48．（24-25七年级上·浙江金华·期中）已知整数满足，则的值为 ． 49．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）比较大小：① 0；② ；③ ． 50．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）我们规定：表示不超过的最大整数．如：，．则的值为 ． 考点06 实数数的运算 51．（24-25七年级上·浙江金华·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 52．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 53．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 54．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 55．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 56．（24-25七年级上·浙江金华·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 57．（24-25七年级上·浙江金华·期中）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 58．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 59．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下面的计算错在哪里？指出错误步骤的序号，并给出正确的解答过程． ……① ……② ．……③ 60．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）阅读下题解答： 计算：． 分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值． 解：． 所以原式． 根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算． 计算： 考点07 新定义运算问题 61．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知a是有理数，[a]表示不超过a的最大整数，如，，，等，那么的值是（　　） A． B． C． D． 62．（24-25七年级上·浙江温州·期中）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b规定．如：．则的值为 ． 63．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）在学习完有理数后，小奇对有理数运算产生了浓厚的兴趣，定义了一种新运算“*”，规则如下：（、不相等），则 ． 64．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）定义一种新的运算“*”，规定有理数，如． (1)求的值； (2)求的值． 65．（24-25七年级上·浙江温州·期中）对任意实数定义一种新运算“⊕”，规定：．如：． (1)求的值； (2)已知x为的整数部分，化简并求值：； (3)若比小，请直接写出一个满足条件的m值． 66．（24-25七年级上·浙江金华·期中）用“”定义一种新运算：对于任意实数和，（为常数）．例如：． (1)当时，求的值； (2)若的值比的值大，求的值； (3)若的值为，求的值． 67．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）对于任意有理数，定义一种新运算：． (1)若，，求的值； (2)已知点，点在数轴上表示的数分别为，，且，两点的距离是，是的相反数，求的值． 68．（24-25七年级上·浙江温州·期中）跟随小希、小望，一起探究“分差”，完成问题． 【定义】对于确定顺序的三个互不相等的数：a，b，c，计算，，将这三个数的最小值称为a，b，c的“分差”． 【理解定义】例如，对于“1，，3”，确定顺序即，，， 所以，，， 所以“1，，3”的“分差”为． 【知识探究】 小希：如果将“1，，3”三个数均乘以2得“2，，6”，那么其分差为原分差乘以2，结果为． 问题①：通过计算判断小希的说法是否正确？ 小希：我猜想“a，b，c”的分差与“，，”的分差一定互为相反数！ 小望：不能这么轻易下结论，还要考虑所乘因数的正负性． 问题②：结合小望的考虑，请你举出一组数（绝对值不大于5的整数）加以计算说明小希的猜想是否正确． 【得出结论】 问题③：小希和小望通过讨论，最后得到一般性结论：当m为_____时，“，，”的分差为“a，b，c”的分差乘以m．（在横线处直接写出答案） 69．（24-25七年级上·浙江舟山·期中）探究2个“新定义运算”问题． (1)定义一种新运算“”，运算规则为：，则______． (2)定义另一种新运算“”，运算规则未知，其运算符合下述规律： ，且，． 请先阅读范例，然后回答问题． 范例学习 若，则，； 或． ①若， 填空：______，______，______，______ ②若， 计算：． 70．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）探究规律，完成相关题目： 小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；； ；； ；；；． 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？ (1)观察以上式子，类比计算： ① ， ； (2)计算：；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致，写出必要的运算步骤） (3)若．计算：的值． 板块三：（45分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1．小明和晓晓相约周六早上8点30分在植物园门口见面．若小明早到10分钟记为分钟，则晓晓晚到2分钟记为（   ） A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 2．在数中，负整数有 （   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．2024的绝对值是（   ） A． B． C． D．2024 4．下列式子中，正确的是（　　） A． B． C． D． 5．下列各式运算结果为正数的是（    ）．   A． B． C． D． 6．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 7．新款三折叠手机华为MateXT非凡大师于9月20日10：08正式开售．开售前预约人数已超过650万，数据“650万”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 8．下列说法正确的是（   ） A．4的平方根是2 B．没有平方根 C．的算术平方根是 D．8的立方根是 9．“9的算术平方根是3”，用数学式子表达为（   ） A． B． C． D． 10．对于实数的描述正确的是（   ） A．介于2和3之间，更接近于2 B．介于2和3之间，更接近于3 C．介于3和4之间，更接近于3 D．介于3和4之间，更接近于4 二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 11．若a的相反数是2025，则 ． 12．化简： ； ； ； ． 13．若，且，则 ． 14．一个数在数轴上表示的点离原点的距离是5，这个数是 ． 15．比较大小： ． 16．数轴上一点表示的数为，将点先向右移个单位，再向左移个单位，则这个点表示的数是 ． 17．若一个正数的两个平方根分别为和，则这个数是 ． 18．若整数满足条件，则的值是 ． 19．计算的结果是 ． 20．如果一个实数的平方根与它的立方根相等，则这个数是 ． 三、解答题（本题共5小题，共40分） 21．（本题12分）计算： (1) (2) (3) (4) 22．（本题6分）计算 (1) (2) 23．（本题6分）已知的平方根是的立方根是2． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 24．（本题8分）把下列各数分别填入相应的集合中： 0，，，3.1415926，，，，0.13030030003…．（相邻两个3之间的0逐次加1），0.15，，，1016． (1)整数集合：{_____…}； (2)负有理数集合：{_____…}； (3)无理数集合：{_____…}； (4)非负整数集合：{_____…}． 25．（本题8分）如图，有理数a，b满足，且． (1)在数轴上标出表示数a，b，，对应的点的大致位置； (2)试将a，b，，，1，用“”将它们连接起来； (3)若，请直接写出不小于且小于b的整数． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级上学期数学同步培优专题突破 专题01 实数的概念及运算 目录 板块一： 1 板块二： 9 考点01 正数、负数的意义 9 考点02 绝对值、相反数的概念 12 考点03 有理数的大小比较 17 考点04 平方根、算术平方根、立方根的概念与计算 21 考点05 无理数的大小估计与比较 25 考点06 实数数的运算 29 考点07 新定义运算问题 37 板块三：（45分钟） 46 板块一： 知识点1：正数与负数 1.引入正数和负数两个概念是为了表示两个相反意义的量： （1） 表示海拔高度超过海平面的用正数表示，海拔高度低于海平面的用负数表示； （2） 表示温度高于0摄氏度用正数表示，温度低于0摄氏度用负数表示； （3） 表示盈利的钱数用正数表示，亏损的钱数用负数表示。 2.表示两个相反意义的量，哪个用正数表示，哪个用负数表示，是人为规定的，一般表示高的，上涨的，等量用正数表示，相反的用负数表示。 3.正数：像+1、2、1.2、、π等大于0的数，叫做正数； 4.负数：像-1、-2、－1.2、－π等小于0的数，叫做负数． 知识点2：有理数的概念及分类 1. 有理数的概念：整数和分数统称为有理数。 2. 有理数的四种表现形式：整数、分数、有限小数、无限循环小数。判断一个数是不是有理数，只要看看这个数是不是这四种就行了，如果是这四种中一个，那这个数一定是有理数；如果不是这四种中的任何一种，那它一定不是有理数。 3. 有理数的分类方法： （1）按概念分类： （2）按正负分类： 　 知识点3：数轴的概念、画法、数轴上的点与有理数的关系 1.数轴是规定了原点，正方向，单位长度的直线。 2.数轴的三要素：原点，正方向，单位长度。 3.数轴的画法 （1）第一步：画一条直线（通常画成水平的）； （2）第二步：在这条直线上描上一个点作为原点，用这个点表示0； （3）第三步：在这条直线的右末端画上箭头，用来表示正方向； （4）第四步：根据实际需要，选取适当的长度作为单位长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，… 这样，数轴就画好了。 4.有理数可以用数轴上的一个点表示，但数轴上的点表示的数并不都是有理数。 （1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示． （2）任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点表示的数不一定都是有理数，还可以表示其他数（无理数），比如等． 知识点4：有理数的大小比较 1.可以将有理数a，b都画在数轴上，这样两个数就可以用两个点表示，两个数的大小关系就转化为两个点的左右位置关系，显然数轴上两个点的位置关系分为三种： 两个数a,b的大小关系 两个点的位置关系 2.有理数的大小比较方法： （1）在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大（可以类比人的右手力量大于左手形象记忆）； （2）正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。 3. 对于有理数 a，b，下列三种关系有且只有一种成立: ,, 4.有理数的大小关系可以借助数轴转化为点的位置关系。 ，说明，画在数轴上对应的点的位置关系是在的右边， ，说明，画在数轴上对应的点的位置关系是在的右边， 所以，一定在的右边，即。 同理，我们可以得到如果,那么就有。 5.有理数的大小关系与自然数一样也具有传递性： （1）如果,那么就有。 （2）如果,那么就有。 知识点5：绝对值 1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。 2.绝对值的表示方法：数a的绝对值记作|a|. 3.绝对值的代数意义： （1）一个正数的绝对值是它本身； （2）一个负数的绝对值是它的相反数； （3）0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有： 4.绝对值的几何意义： 一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． 的几何意义：数轴上表示数的点到原点的距离。 5.绝对值的性质：非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0即 6.利用绝对值比较两个有理数的大小： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 知识点6：相反数 1.相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0，即：符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数。 2.相反数的表示方法：的相反数为。 3.相反数的性质： （1）和的关系：若两数互为相反数，则；反之，若，则两数互为相反数。 （2）位置关系：互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等. 4.多重符号的化简问题： 多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定： 若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-1)]}=1 ； 若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-1)]}=-1 . 知识点7：有理数的加法 1.有理数的加法法则：（分类讨论的数学思想） （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0； （3）一个数同0相加，仍得这个数． 名师点拨：如何利用加法法则进行加法运算？ （1）判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则；； （2）确定和的符号(是“+”还是“－”)． （3）求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)． 2.加法运算律： （1）加法交换律： （2）加法结合律： 名师点拨： （1）加法运算律的作用：简化运算，凑整十整百，凑同分母的，同号的数； （2）交换加数的位置时，不要忘记符号． 知识点8：有理数的减法 1.有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：． 名师点拨： （1）将减法转化为加法时，注意“两变”，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”． （2）灵活使用减法法则，比较熟练的同学也可以不按步骤，直接写结果，提高效率。 知识点9：有理数的加减混合运算 1.做有理数的加减混合运算题目时的步骤： （1）观察问题中包含的运算，思考能否使用加法运算律，能用则用，简化运算； （2）将加减法统一成加法运算； （3）利用加法运算法则解决问题。 知识点10：有理数的乘法 1.有理数的乘法法则： （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数同0相乘，都得0． 名师点拨： （1）不为0的两数相乘，先定符号，再把绝对值相乘． （2）当乘数中有负数时，必须用括号括起来，如5与-3的乘积，应列为5×(-3)，不应该写成5×-3． 2. 有理数的乘法法则的推广：（乘法的符号法则） （1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定： 当负因数有奇数个时，积为负； 当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0． 名师点拨： （1）几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0． 3. 有理数的乘法运算律： （1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等：即：． （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。 即：． （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加． 即：． 名师点拨： （1）利用交换律时，要连同符号一起交换，符号也是乘数的一部分． （2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘． （3）运用运算律的目的是“简化运算”，运算是恒等变形，可以从前到后，也可以从后到前，也就是可以正用，也可以逆用． 4.倒数的概念： 乘积是1的两个数互为倒数． 名师点拨： （1）“互为倒数”的两个数是一种关系，必须成对出现.如-2的倒数是，不能说是倒数； （2）0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数； （3）互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)因此，正数的倒数必定还是正数；负数的倒数必定还是负数． 知识点11：有理数的除法 1. 有理数除法法则： 法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即。 法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0. 名师点拨： （1）0不能当除数； （2）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值． 2.有理数的乘除混合运算： 由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果． 3.有理数的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的． 知识点12：乘方 1.乘方的定义：求相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂． 即有：. 底数：在中，叫做底数， 指数：n叫做指数. 特别地，当指数=2时，一般成为平方；当指数=3时，一般成为立方。 名师点拨： （1）乘方与幂是不同的，乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果． （2）当底数是以下几种情况时，要用括号括起来： 底数是负数、底数是分数、底数不是单独的一个数而是含有运算的式子。 （3）一个数可以看作这个数本身的一次方，指数1通常省略不写． 2.乘方的符号法则： （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即． 名师点拨： （1）有理数的乘方运算，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值． （2）计算幂时，可以转化成乘法计算。 知识点13：科学记数法 1.科学记数法的定义： 把一个绝对值大于10的数表示成的形式（其中l≤||＜10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法. 名师点拨： （1）负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其它与正数一样； （2）把一个数写成形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1. 知识点14：有理数的混合运算 1.有理数的混合运算顺序：（三原则） (1)先乘方，再乘除，最后加减； (2)同级运算，从左到右进行； (3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 名师点拨： （1）有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方是第三级运算； （2）在含有多重括号的混合运算中，一般都按从里向外的顺序进行，特别时候也可以从从外向里． （3）运算前要认真审题，看能否使用运算律，能用的可以简化计算，提高正确率 知识点15：算术平方根 1.概念：如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根。 2.表示方法: 3.性质: ①规定：0的算术平方根是0； ②双重非负性，即。 知识点16：平方根 1.平方根概念：如果，那么这个数叫做的平方根, 也叫二次方根。 2.表示方法: 3.性质: ①一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数; ②0的平方根是0； ③负数没有平方根。 知识点17：开平方 1.开平方概念：求一个数的平方根的运算叫做开平方； 注意理解平方根是数，是开平方运算的结果；而开平方是一种运算； 2. 开平方与平方的关系：开平方与平方互为逆运算。 知识点18：立方根 1. 立方根概念：一般地，如果，那么这个数叫做的立方根, 也叫三次方根。 2.表示方法: 3.性质: ①正数的立方根是正数;②0的立方根是0；③负数的立方根是负数。 知识点19：开立方 1.概念：求一个数的立方根的运算叫做开立方。 2.开立方与立方关系：开立方与立方互为逆运算。 知识点20：实数、无理数的概念及其分类 1.概念：有理数与无理数统称为实数。 2.分类：（1）按定义分类 （2）按正负分类 3.有理数、无理数概念 （1）有理数：整数和分数统称为有理数，即能写成分数形式的数。 有理数的四种表现形式：整数、分数、有限小数、无限循环小数。 （2）无理数：无限不循环小数，无理数的四种常见表现形式： · 开方开不尽的数，如等； · 有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等； · 有特定结构的数，如0.1010010001…等；（注意省略号） 4. 实数与数轴上的点是一一对应的关系。 5. 实数的大小比较方法： 方法一: 作差比较法 方法二: 作商比较法 设a、b是两正实数，， 方法三: 平方法 设a、b是两负实数，则。 设a、b是两正实数，则。 6、无理数的大小估计方法: 先找到离最近的两个平方数，例如的前面一个平方数为,后面一个平方数为,即, 则 知识点21：近似值与准确值 1. 准确值：与实际完全相同数据叫作准确值。 2. 近似值：能够在一定程度上反被考察对象的大小与准确值非常接近，但又不完全相等的数据称为近似值。3. 精确度：一个近似值四舍五入到哪一位，就说这个近似值精确到哪一位。 4. 取近似值的方法：四舍五入法、去尾法、进一法。 板块二： 考点01 正数、负数的意义 1．（24-25七年级上·浙江温州·期中）某次数学测试的平均成绩是80分，小王得了85分，记作分，小李的成绩记作分，表示得了　　分 A．67 B．62 C．72 D．83 【答案】C 【知识点】相反意义的量、有理数的减法运算 【分析】本题考查正数和负数，有理数计算．关键是掌握正负数表示的实际意义．由正负数的概念可计算． 【详解】解：平均成绩是80分，小王得了85分，记作分，小李的成绩记作分， 则（分， 即小李得了72分， 答：小李的成绩记作分，表示得了72分， 故选：C． 2．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上记作．则表示气温为（   ） A．零上 B．零下 C．零上 D．零下 【答案】B 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题主要考查正负数的意义，此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：若零上记为正，则零下就记为负，直接得出结论即可． 【详解】解：若规定零上为正，气温为零上记作“”，那么“”表示气温为零下． 故选：B． 3．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）某品牌方便面的标准重量为，一般认为合格品的标准为“”，下列重量的方便面合格的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用、有理数减法的实际应用 【分析】本题考查了正负数的实际应用及有理数加减法的应用；根据合格品的标准为“”，得最大重量为，最小重量为，在最小重量与最大重量间的即为合格，据此判断即可． 【详解】解：由题意得：最大重量为，最小重量为，在此范围内的只有选项C中重量满足； 故选：C． 4．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列选项的各对量中，表示具有相反意义的量是（　　） A．向东走5步，向北走4步 B．水位上升2米，股票下跌两元 C．进货2吨，库存3吨 D．收入100元，支出50元 【答案】D 【知识点】相反意义的量 【分析】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键．正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：向东走5步，向北走4步不是具有相反意义的量，则A不符合题意； 水位上升2米，股票下跌两元不是具有相反意义的量，则B不符合题意； 进货2吨，库存3吨不是具有相反意义的量，则C不符合题意； 收入100元，支出50元是具有相反意义的量，则D符合题意； 故选：D． 5．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）某公司去年每季度盈亏情况如下：“+”表示盈利，“-”表示亏损，单位：万元．第一季度；第二季度；第三季度，第四季度，则这个公司去年一年共 （填“盈利”或“亏损”） 万元． 【答案】 盈利 4 【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，正数和负数，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 根据正数和负数的实际意义列式计算即可． 【详解】解：（万元）， 即这个公司去年一年共盈利4万元， 故答案为：盈利；4． 6．（24-25七年级上·浙江金华·期中）中国是世界上最早使用正负数的国家，用正负数可以表示具有相反意义的量．如果盈余200元记作元，那么亏损50元记作 元． 【答案】 【知识点】相反意义的量 【分析】本题考查了相反意义的量，理解“一是它们的意义相反，二是它们都是数量．”是解题的关键． 【详解】解：因为盈余200元记作元， 所以亏损50元记作元； 故答案：． 7．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知某市一天早晨的气温是，中午比早晨上升了，傍晚又比中午下降了，则傍晚的气温是 ． 【答案】 【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，正负数的意义，熟练掌握有理数的加减混合运算法则是解题的关键； 由题意根据正负数的意义和有理数的加减法则列式运算即可． 【详解】解：上升为加，下降为减． 根据题意可得：； 故答案为： 8．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）规定盈利为正，亏损为负．某公司10月份亏损了6万元，记做 万元． 【答案】 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题考查正负数的意义．根据正负数表示的意义作答即可． 【详解】解：∵盈利为正，亏损为负， ∴亏损了6万元，记作万元． 故答案为：． 9．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如果钟表的分针顺时针方向旋转，记作，则分针逆时针方向旋转，记作 ． 【答案】 【知识点】正负数的定义、相反意义的量 【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．根据逆时针旋转为正，则顺时针旋转为负解答． 【详解】解：钟表的分针沿顺时针方向转记作， 则逆时针方向转记作， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）红富士苹果的包装箱上标明苹果质量为，这里10表示苹果质量为，和是指质量在到之间的苹果都属于符合标准．如果已知某箱苹果质量为，那么这箱苹果 （选填“符合”或“不符合”）标准． 【答案】不符合 【知识点】正负数的实际应用、有理数减法的实际应用 【分析】本题考查正负数的意义，有理数减法的实际应用，根据题意，求出符合标准的最低要求，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴这箱苹果不符合标准； 故答案为：不符合． 考点02 绝对值、相反数的概念 11．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）比较，，，这四个数，其中最小的是（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【知识点】化简多重符号、求一个数的绝对值、有理数大小比较 【分析】本题考查了相反数和绝对值，有理数大小比较．先计算相反数和绝对值，再根据有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．依此即可求解． 【详解】解：，， 因为，，， 所以，即， 所以其中最小的数是． 故选：C． 12．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）实数a，b在数轴上的位置如下图所示，则的化简结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算 【分析】本题考查数轴，利用数轴判断式子的符号，整式的加减计算，解题的关键是学会根据点在数轴上的位置来判断数的正负以及代数式的值的符号，根据绝对值定义化简，再计算加减法． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴ . 故选B． 13．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若，则（   ） A．0或 B．或0 C．或0或 D．或 【答案】D 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了绝对值的化简，有理数的混合运算，分四种情况：①三个都为正数；②三个都为负数；③一个正数，两个负数；④一个负数，两个正数，进行解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴有四种情况： ①三个都为正数，则原式； ②三个都为负数，则原式； ③一个正数，两个负数，假设a为正数，b，c为负数，则原式； ④一个负数，两个正数，假设a为负数，b，c为正数，则原式； 综上，的值为或， 故选：D 14．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）有理数4，，0，中绝对值最小的一个数是（   ） A．4 B． C． D．0 【答案】D 【知识点】求一个数的绝对值、有理数大小比较 【分析】本题考查了绝对值和有理数的大小比较，能正确求出每个数的绝对值是解此题的关键．先求出每个数的绝对值，再比较即可． 【详解】解：∵，，，， ∵， ∴绝对值最小的数是0． 故选：D． 15．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）（   ） A． B．2021 C． D． 【答案】B 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查了绝对值的性质，掌握求一个数的绝对值的计算是解题的关键． 根据绝对值的性质求解即可． 【详解】解：， 故选：B ． 16．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）学科素养·分类讨论 若，，且，异号，则的值为（   ） A．7 B．3或 C．3 D．7或3 【答案】A 【知识点】绝对值的几何意义、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了绝对值、代数式求值等知识点．熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 由、可得、，由m，n异号，则分当、和、两种情况求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵、异号， ∴，或，； 当，时，； 当，时，． 综上，的值为7． 故选A． 17．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知，，且，则的值是（　　） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【知识点】绝对值的几何意义、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了化简绝对值，代数式求值，先根据绝对值的意义得到，，再由，推出，，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解：，， ，， ， ， ，， 当时，， 当时，， 故选：C． 18．（24-25七年级上·浙江温州·期中）若与互为相反数，则 ． 【答案】1 【知识点】相反数的定义、绝对值非负性、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 19．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）的相反数是 ，绝对值是 ． 【答案】 【知识点】相反数的定义、求一个数的绝对值 【分析】本题考查相反数，绝对值的知识，解题的关键是掌握相反数的定义，绝对值的意义． 根据相反数：只有符合不同的两个数叫做互为相反数，绝对值的意义，即可． 【详解】解：∵相反数：只有符合不同的两个数叫做互为相反数 ∴的相反数是：， ∵， ∴； 故答案为：，． 20．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，若点A和点B表示的数互为相反数，则点C表示的数是 ． 【答案】 【知识点】用数轴上的点表示有理数、相反数的定义 【分析】本题考查了数轴与相反数，掌握数轴的性质以及相反数的定义是解题关键．根据点A和点B表示的数互为相反数，确定原点的位置，即可得出点C表示的数． 【详解】解：点A和点B表示的数互为相反数， 的中点为原点， 表示如下： 点C表示的数是， 故答案为：． 考点03 有理数的大小比较 21．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）在，，0，1这四个数中，最大的数是（   ）． A． B． C．0 D．1 【答案】D 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握比较方法“正数都大于负数，负数小于零，正数大于零；两正数绝对值较大的数较大，两个负数比较大小绝对值大的反而小．”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 最大的数是， 故选：D． 22．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）比较数的大小，比较正确的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数大小比较 【分析】此题考查了比较数的大小．正数大于0，负数小于0，两个负数绝对值越大反而越小，据此进行解答即可． 【详解】A. ，故选项错误，不合题意； B. ，故选项错误，不合题意；     C. ，故选项正确，符合题意；     D. ，故选项错误，不合题意； 故选：C 23．（24-25七年级上·浙江温州·期中）四个有理数1，0，，，其中最小的数是（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查了有理数的大小比较．根据正数大于0，0大于负数比较即可． 【详解】解：， 最小的数是， 故选：C． 24．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）下列各组有理数的大小比较中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】化简多重符号、求一个数的绝对值、有理数大小比较 【分析】本题考查有理数大小的比较，绝对值的意义，化简多重符号，解题的关键是掌握去小括号，正正得正，正负得负，负正得负，负负得正，根据有理数的大小比较的原则，负数小于零小于正数，即可． 【详解】解：A、，， ∵， ∴，故A错误，符合题意； B、，， ∵， ∴，故B正确，不符合题意； C、，， ∵， ∴，故C正确，不符合题意； D、，， ∵， ∴，故D正确，不符合题意． 故选：A． 25．（24-25七年级上·浙江·期中）某一天，哈尔滨、北京、杭州、金华四个城市的最低气温分别是，，，，其中气温最低的城市是（    ） A．哈尔滨 B．北京 C．杭州 D．金华 【答案】A 【知识点】有理数大小比较的实际应用 【分析】本题考查了有理数的大小比较的知识，明确在实数中负数小于0小于正数，且两个负数比较大小时绝对值越大负数越小． 【详解】解：因为， 所以最低气温是， 所以气温最低的城市是哈尔滨． 故选：A． 26．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）比较大小：2 ， 2， ． 【答案】 【知识点】有理数大小比较、实数的大小比较 【分析】本题主要考查了实数比较大小，根据正数大于负数，负数比较大小，绝对值大的反而小，实数比较大小的方法逐项求解即可． 【详解】∵正数大于负数 ∴； ∵ ∴； ∵， ∵ ∴． 故答案为：，，． 27．（24-25七年级上·浙江温州·期中）比较大小（用“”或””表示） ． 【答案】 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据“正数大于0，负数小于0，正数大于负数”便可直接解答，熟知大小比较法则是解题的关键． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 28．（24-25七年级上·浙江金华·期中）比较大小： 【答案】＜ 【知识点】求一个数的绝对值、有理数大小比较 【分析】本题主要考查有理数的大小比较及绝对值的意义，熟练掌握有理数的大小比较及绝对值的意义是解题的关键；由可进行求解． 【详解】解：由可知：，即 故答案为：＜． 29．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）比较大小 0（“”，“”或“”）． 【答案】 【知识点】有理数大小比较、多个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算和有理数的大小比较，先进行有理数的乘法运算，再与0比较大小即可得解，熟练掌握有理数的乘法运算法则并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解： ， ， ， 故答案为： ． 30．（24-25七年级上·浙江温州·期中）将，，这三个数的大小关系用“”号连接可表示为 ． 【答案】 【知识点】有理数大小比较、有理数的乘方运算 【分析】本题比较有理数比较大小，根据有理数的乘方法则，以及正数大于负数，两个负数，绝对值大的反而小进行判断即可． 【详解】解：∵，，，且， ∴； 故答案为：． 考点04 平方根、算术平方根、立方根的概念与计算 31．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列各式正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根，平方根，熟练掌握这些数学知识是解题的关键．根据算术平方根，平方根的意义，即可解答． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：C． 32．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列说法正确的是（   ） A．是16的一个平方根 B．16的平方根是4 C．的算术平方根是 D．的算术平方根是4 【答案】A 【分析】本题考查平方根和算术平方根，根据平方根和算术平方根的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、是16的一个平方根，原说法正确，符合题意； B、16的平方根是，原说法错误，不符合题意； C、的算术平方根是4，原说法错误，不符合题意； D、的算术平方根是2，原说法错误，不符合题意； 故选A． 33．（24-25七年级上·浙江温州·期中）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方、平方根与算术平方根，掌握相关定义及计算法则是解题的关键．平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．根据平方与算术平方根的定义，以及算术平方根逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意； B、，故该选项不正确，不符合题意； C、无意义，故该选项不正确，不符合题意； D、，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 34．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）“的平方根是”，用数学式子表达为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是平方根的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据算术平方根和平方根的定义进行解题即可． 【详解】解：“的平方根是”，用式子表示为． 故选：C． 35．（24-25七年级上·浙江温州·期中）下列选项中计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，平方根和有理数的乘方，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 根据平方根，算术平方根和有理数的乘方法则逐项判断即可． 【详解】A． ，原式错误，故选项不符合题意； B． ，计算正确，故选项符合题意； C． ，原式错误，故选项不符合题意； D． ，原式错误，故选项不符合题意； 故选：B． 36．（24-25七年级上·浙江温州·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和3，则的值是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的定义，利用正数的平方根有两个，且互为相反数列出方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】解：一个正数的两个平方根是和3， ， ， ∴ 故选：D． 37．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）一个正数的两个不同的平方根分别是和，则a为（　　） A．0 B． C．9 D．1 【答案】B 【分析】本题考查平方根，熟练掌握其性质是解题的关键．根据平方根的性质可得，解得a的值即可． 【详解】解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是是和， ∴， 解得：， 故选：B． 38．（24-25七年级上·浙江温州·期中）下列计算中，正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了立方根的定义和性质，注意本题答案不唯一．求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．根据立方根的性质以及算术平方根的定义即可判断． 【详解】解：，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项错误 ，故D选项正确； 故选：D． 39．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）下列说法错误的是（ ） A．是16的平方根 B．没有立方根 C．的平方根是 D． 【答案】B 【分析】本题考查平方根，立方根的定义，根据平方根和立方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、16的平方根是，故是16的平方根，本选项说法正确； B、任何一个数都有立方根，的立方根是，故本选项的说法错误； C、，故的平方根是，本选项的说法正确； D、25的算术平方根是5，即，故本选项的说法正确． 故选：B 40．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）64的平方根为 ；的立方根为 ． 【答案】 2 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，求一个数的立方根等知识点，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． 根据平方根和立方根的定义进行求解即可，注意先化简，再求解． 【详解】解：64的平方根为， 的立方根为， 故答案为：，． 考点05 无理数的大小估计与比较 41．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知整数满足，则整数不可能是（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】A 【分析】本题考查的是无理数的估算，掌握“无理数的估算方法”是解题的关键．根据得出的取值范围，即可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴整数不可能是． 故选：A． 42．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列整数中，与最接近的是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了估算无理数的大小，有理数乘方的应用，由题意得出与35最接近的平方数，即 ， 然后可判断的范围，即可判断出来． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 故，与最接近的是：4， 故选：C． 43．（24-25七年级上·浙江温州·期中）已知，是两个连续整数，，则，分别是（   ） A．1，2 B．2，3 C．3，4 D．4，5 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据得到，进而得到，，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，是两个连续整数， ∴，， 故选：C. 44．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）数轴上表示的点A的位置应在（　　） A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间 【答案】A 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键． 先估算出的取值范围，进而可得出的范围． 【详解】解：， ， ， ， 故选：． 45．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）试估算在哪两个数之间（   ） A．3和4 B．4和5 C．5和6 D．6和7 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据无理数的估算方法得到，进而可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴在5和6之间， 故选：C． 46．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）与最接近的整数是（） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查的是估算无理数的大小，熟练计算出的大致范围是解题的关键．根据，可得，且更接近于，即可得出结果． 【详解】解：∵， ，且更接近于， ∴与最接近的整数是，即3， 故选：B． 47．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）面积为 15 的正方形的边长为 ，则 的值在 （     ） A．1 和 2 之间 B．2 和 3 之间 C．3 和 4 之间 D．4 和 5 之间 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算．熟练掌握夹逼法求无理数的范围，是解题的关键．先求出正方形的边长，再利用夹逼法，求出范围即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴（负值已舍掉）； ∵，即：， ∴m的值在3和4之间， 故选：C． 48．（24-25七年级上·浙江金华·期中）已知整数满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，利用夹逼法可得，进而即可求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵整数满足， ∴， 故答案为：． 49．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）比较大小：① 0；② ；③ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握实数的性质和两个负数如何比较大小． ①根据负数是小于0的数进行解答即可； ②先求出它们的绝对值，然后根据两个负数比较，绝对值大的反而小进行比较即可； ③先估算的大小，然后根据绝对值的性质去掉绝对值符号，再比较大小即可． 【详解】解：①∵负数小于0， ∴； ②， ∵， ∴； ③∵ ∴， ∴； 故答案为：；；． 50．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）我们规定：表示不超过的最大整数．如：，．则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是无理数大小的估算，掌握的意义是解题的关键．根据的定义确定其值，进行计算即可． 【详解】解：，，，，，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 考点06 实数数的运算 51．（24-25七年级上·浙江金华·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、实数的混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，求一个数的算术平方根，求一个数的立方根． （1）直接计算加减即可； （2）先将带分数化为假分数，然后将除法转化为乘法，再计算即可； （3）根据乘法分配律计算即可； （4）先计算乘方，立方根，算术平方根，再计算加减即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 52．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)4 (2) (3) (4) 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律、含乘方的有理数混合运算、求一个数的立方根 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先把减法运算变为加法运算，再根据有理数加法法则计算即可； （2）先把除法运算变为乘法运算，再根据有理数乘法法则计算即可； （3）利用乘法分配律计算即可； （4）先根据有理数的乘方、立方根的运算法则计算，再算乘除，最后算加减即可． 【详解】（1）， ， ； （2）， ， ； （3）， ， ， ， ； （4）， ， ， ． 53．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)50 (2) (3) (4)3 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律、有理数的除法运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】（1）按照有理数加减的运算法则计算即可． （2） 根据除法运算法则计算即可． （3）利用简便计算解答即可． （4）按照有理数的乘方混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，有理数的运算律，除法运算，含有乘方的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 54．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数乘法运算律、含乘方的有理数混合运算、负整数指数幂、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数的混合运算，乘法分配律，立方根及绝对值，负指数幂，按照实数的混合运算法则计算即可． （1）按照有理数加减运算法则计算即可． （2）含乘方的有理数的混合运算，先算乘方，绝对值运算，再算乘除法，最后算加减法．． （3）先算立方根及绝对值，负指数幂，再进行实数的混合运算即可． （4）利用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 55．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、实数的混合运算 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键： （1）利用减法法则进行计算即可； （2）先进行开方运算，再进行乘除运算，最后进行加减运算即可； （3）根据混合运算的法则进行计算即可； （4）先乘方，再乘除，最后算加减． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 56．（24-25七年级上·浙江金华·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0； (2)30； (3)17； (4)14． 【知识点】含乘方的有理数混合运算、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查了有理数的混合运算，立方根，算术平方根，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）按照有理数加减的运算法则计算即可． （2）根据乘法的分配律计算即可． （3）先乘方再计算乘除，然后计算加减即可． （4）先计算有理数的乘方，立方根，算术平方根，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 57．（24-25七年级上·浙江金华·期中）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)15 (3)15 (4) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、实数的混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，实数的运算． （1）先把有理数的减法转化为加法，然后利用加法交换律和结合律进行计算即可； （2）先算乘方，再算除法，后算加减即可； （3）利用乘法分配律进行计算即可； （4）先化简各式，然后计算乘法，最后算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 58．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)10 (2) (3) (4)4 【知识点】含乘方的有理数混合运算、实数的混合运算 【分析】本题考查实数的混合运算，正确的计算是解题的关键： （1）根据有理数的减法法则进行计算即可； （2）先乘方，再进行加法运算即可； （3）先乘方，再乘法，最后算减法； （4）先进行乘法运算，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 59．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下面的计算错在哪里？指出错误步骤的序号，并给出正确的解答过程． ……① ……② ．……③ 【答案】错在①②， 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据运算法则和运算步骤分析可找出错误的步骤，然后按照正确的运算法则和运算步骤计算即可． 【详解】解：错在①②． 原式． 60．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）阅读下题解答： 计算：． 分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值． 解：． 所以原式． 根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算． 计算： 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题是阅读材料问题，考查了有理数的混合运算和对阅读材料问题的运用，根据阅读材料先计算所求式子的倒数，从而得出原式的结果． 【详解】解： ， ∴． 考点07 新定义运算问题 61．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知a是有理数，[a]表示不超过a的最大整数，如，，，等，那么的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题主要考查有理数的乘除混合运算，根据新定义求出各个数，再进行乘除运算即可求解． 【详解】解： ， 故选：B． 62．（24-25七年级上·浙江温州·期中）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b规定．如：．则的值为 ． 【答案】15 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，正确理解运算法则是解题的关键．根据新定义列出算式，按照有理数混合运算法则计算即可． 【详解】解：根据题意：． 故答案为：． 63．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）在学习完有理数后，小奇对有理数运算产生了浓厚的兴趣，定义了一种新运算“*”，规则如下：（、不相等），则 ． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算．根据新定义的计算方法先计算括号里面的，再根据新定义的计算方法计算即可． 【详解】解：因为， 所以 ． 故答案为：． 64．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）定义一种新的运算“*”，规定有理数，如． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)60 (2) 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了新定义运算，有理数乘法运算；理解新定义运算是解题的关键． （1）按照新定义表示出算式，再按有理数乘法运算法则进行运算，即可求解； （2）按照新定义分步表示出算式，再按有理数乘法运算法则进行运算，即可求解； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 65．（24-25七年级上·浙江温州·期中）对任意实数定义一种新运算“⊕”，规定：．如：． (1)求的值； (2)已知x为的整数部分，化简并求值：； (3)若比小，请直接写出一个满足条件的m值． 【答案】(1) (2)30 (3)（答案不唯一） 【知识点】含乘方的有理数混合运算、无理数的大小估算、新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，无理数的估算，解题的关键是理解新定义，列出算式． （1）根据题干提供的信息列出算式进行计算即可； （2）根据x为的整数部分，得出，然后把代入列式求解即可； （3）先求出，，比小，得出m的取值范围，得出答案即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， 又∵x为的整数部分， ∴， ∴ ． （3）解：∵， ， 又∵比小， ∴， ∴， ∴满足条件的m值可以是．（答案不唯一） 66．（24-25七年级上·浙江金华·期中）用“”定义一种新运算：对于任意实数和，（为常数）．例如：． (1)当时，求的值； (2)若的值比的值大，求的值； (3)若的值为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数四则混合运算、已知式子的值，求代数式的值、整式的加减运算 【分析】（）根据新定义运算计算即可； （）据新定义运算列出方程，再解方程即可求解； （）据新定义运算列出方程，求出的值，再代入代数式计算即可求解； 本题考查了代数式求值，整式的加减，有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． 【详解】（1）解：当时，； （2）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴． 67．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）对于任意有理数，定义一种新运算：． (1)若，，求的值； (2)已知点，点在数轴上表示的数分别为，，且，两点的距离是，是的相反数，求的值． 【答案】(1)； (2)或． 【知识点】相反数的定义、绝对值的几何意义、有理数四则混合运算 【分析】本题考查相反数，绝对值的非负性，有理数的混合运算． 根据新定义，把，的值代入，进行计算，即可得到结果； 根据题意，先得到x的值为或，再得到的值为，代入进行计算即可得到结果． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：点，点在数轴上表示的数分别为，，且，两点的距离是， 点表示的数为或， 或， 是的相反数， ， 当时，， ， 当时，， ， 综上所述，或． 68．（24-25七年级上·浙江温州·期中）跟随小希、小望，一起探究“分差”，完成问题． 【定义】对于确定顺序的三个互不相等的数：a，b，c，计算，，将这三个数的最小值称为a，b，c的“分差”． 【理解定义】例如，对于“1，，3”，确定顺序即，，， 所以，，， 所以“1，，3”的“分差”为． 【知识探究】 小希：如果将“1，，3”三个数均乘以2得“2，，6”，那么其分差为原分差乘以2，结果为． 问题①：通过计算判断小希的说法是否正确？ 小希：我猜想“a，b，c”的分差与“，，”的分差一定互为相反数！ 小望：不能这么轻易下结论，还要考虑所乘因数的正负性． 问题②：结合小望的考虑，请你举出一组数（绝对值不大于5的整数）加以计算说明小希的猜想是否正确． 【得出结论】 问题③：小希和小望通过讨论，最后得到一般性结论：当m为_____时，“，，”的分差为“a，b，c”的分差乘以m．（在横线处直接写出答案） 【答案】问题①小希的说法正确；问题②小希的猜想错误；问题③2（写正数或大于0均可） 【知识点】相反数的定义、有理数四则混合运算、新定义下的实数运算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，相反数的意义，解题时要熟练掌握并准确计算是关键． 问题①：对于“2，，6”，确定顺序即，，，所以，，，故可以判断得解； 问题②：可以直接引用“1，，3”的分差，再求“，2，”的分差，对于“，2，”，，，，所以“，2，”的“分差”为，与不是相反数，故可以判断得解； 问题③：由问题①与问题②即可得出规律，故可以判断得解． 【详解】解：问题①： 对于“2，，6”，确定顺序即，，， 所以，，， 所以“2，，6”的“分差”为，则小希的说法正确． 问题②： 可以直接引用“1，，3”的分差，再求“，2，”的分差， 对于“，2，”，，，， 所以“，2，”的“分差”为，与不是相反数，所以小希的猜想错误． 问题③： 由定义和问题①即可得出规律：当m为正数或大于0，“，，”的分差为“a，b，c”的分差乘以m． 故答案：2（写正数或大于0均可）． 69．（24-25七年级上·浙江舟山·期中）探究2个“新定义运算”问题． (1)定义一种新运算“”，运算规则为：，则______． (2)定义另一种新运算“”，运算规则未知，其运算符合下述规律： ，且，． 请先阅读范例，然后回答问题． 范例学习 若， 则， ； 或． ①若， 填空：______，______，______，______ ②若， 计算：． 【答案】(1)1 (2)①4    0  ；② 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的新定义运算，理解新定义运算是解题的关键． （1）根据新定义运算计算即可求解； （2）①根据新定义运算即可求解；②根据新定义计算即可求解． 【详解】（1）解：根据题意：； （2）解：①根据题意：， ， ， ， ； ②， ， ， 同理：，，； ． 70．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）探究规律，完成相关题目： 小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；； ；； ；；；． 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？ (1)观察以上式子，类比计算： ① ， ； (2)计算：；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致，写出必要的运算步骤） (3)若．计算：的值． 【答案】(1)①；②； (2) (3) 【知识点】有理数的加减混合运算、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的新定义运算，正确理解新定义掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据题意得出：同号得正，异号得负，并把绝对值相加的运算法则依次计算即可． （2）根据零与任意数※（加乘）或任何数同零※（加乘），都得这个数的绝对值，结合前面的运算计算即可； （3）根据题意得出，确定，然后代入式子进行计算即可． 【详解】（1）解：① =， 故答案为：． ② =， 故答案为：． （2）解： = ． （3）∵， ∴， ∴， ∴ ． 板块三：（45分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1．小明和晓晓相约周六早上8点30分在植物园门口见面．若小明早到10分钟记为分钟，则晓晓晚到2分钟记为（   ） A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 【答案】A 【分析】此题考查了正负数的应用，根据正负数是表示一对意义相反的量进行辨别，解题的关键是能明确问题间的数量关系和具有意义相反的量． 【详解】解：∵早到10分钟记为分钟， ∴晚到2分钟记为分钟， 故选：A． 2．在数中，负整数有 （   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的分类．根据有理数的分类解答即可． 【详解】解：负整数有，共3个． 故选：B 3．2024的绝对值是（   ） A． B． C． D．2024 【答案】D 【分析】本题考查的是绝对值的含义，根据一个正数的绝对值是其本身，从而可得答案． 【详解】解：2024的绝对值是， 故选：D 4．下列式子中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此逐项判断即可． 【详解】解：A：∵， ∴， ∴选项A不符合题意； B：∵ ∴ ∴选项B不符合题意； C：∵， ∴选项C不符合题意； D： ∴ ∴选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，熟记相关结论即可． 5．下列各式运算结果为正数的是（    ）．   A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的运算，根据有理数乘方、乘法和加法运算法则，绝对值的意义，求出结果，进行判断即可．熟练掌握有理数的运算法则，是解题的关键． 【详解】解：A．，故A不符合题意； B．，故B符合题意； C．，故C不符合题意； D．，故D不符合题意． 故选：B． 6．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、有理数乘法运算律等知识点，正确应用乘法分配律是解题的关键． 根据有理数混合运算法则以及乘法运算律逐项判断即可解答． 【详解】解：A：左边为，根据乘法分配律，应展开为，但选项A的右边为，符号错误，故A错误，不符合题意； B．左边为，正确展开应为，但选项B的右边为，导致结果错误，故B错误，不符合题意； C．左边为，根据分配律展开为，计算得，与左边结果一致，故C正确，符合题意； D．除法不满足分配律，左边，右边，明显不等，故D错误，不符合题意． 故选C． 7．新款三折叠手机华为MateXT非凡大师于9月20日10：08正式开售．开售前预约人数已超过650万，数据“650万”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中， n为整数；确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：数据“650万”用科学记数法表示为． 故选：C． 8．下列说法正确的是（   ） A．4的平方根是2 B．没有平方根 C．的算术平方根是 D．8的立方根是 【答案】B 【分析】本题考查了立方根、平方根以及算术平方根的定义；熟练掌握开方与平方、立方的互逆关系是解决问题的关键．关键平方根、算术平方根和立方根的定义分别求出结果，即可得出结论． 【详解】解：∵4的平方根是，∴A不正确； ∵没有平方根，∴B正确； ∵，3的算术平方根是；∴C不正确； ∵8的立方根是．∴D不正确； 故选：B． 9．“9的算术平方根是3”，用数学式子表达为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了算术平方根和平方根，熟练掌握定义是解题的关键．根据算术平方根和平方根的定义进行解答即可． 【详解】A. ，故选项错误，不符合题意；     B. ，表示“9的算术平方根是3”，故选项正确，符合题意；     C. ，表示“9的平方根是”，故选项不符合题意；         D. ，表示“9的算术平方根的相反数是”，故选项不符合题意；     故选：B 10．对于实数的描述正确的是（   ） A．介于2和3之间，更接近于2 B．介于2和3之间，更接近于3 C．介于3和4之间，更接近于3 D．介于3和4之间，更接近于4 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解决本题的关键． 先判断的范围，再判断接近的数． 【详解】解：∵，即， ∴介于3和4之间，更接近于4． 故选：D． 二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 11．若a的相反数是2025，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解答此题的关键．根据只有符号不同的两个数互为相反数即可求得答案． 【详解】解：∵a和2025互为相反数， ∴． 故答案为：． 12．化简： ； ； ； ． 【答案】 【分析】根据相反数的定义化简相应符号即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：，，，． 【点睛】本题考查了相反数，解题的关键是利用相反数的定义化简符号． 13．若，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据，得出，根据，即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴， 故答案为：． 14．一个数在数轴上表示的点离原点的距离是5，这个数是 ． 【答案】5或 【解析】略 15．比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查比较有理数大小，根据两个负数相比较，绝对值大的反而小，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故答案为：． 16．数轴上一点表示的数为，将点先向右移个单位，再向左移个单位，则这个点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴与有理数，根据“左减右加”列式计算即可求解，根据题意正确列出算式是解题的关键． 【详解】解：这个点表示的数是， 故答案为：． 17．若一个正数的两个平方根分别为和，则这个数是 ． 【答案】 【分析】根据平方根的定义求出的值，进而确定这个正数的两个平方根，再根据平方根的定义进行计算即可． 本题考查平方根、算术平方根，理解平方根、算术平方根的定义是正确解答的关键． 【详解】解：一个正数的两个平方根分别为和， ， 解得， 当时，， 这个数为． 故答案为：． 18．若整数满足条件，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可求解，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，，而整数满足条件， ∴， ∴， 故答案为：． 19．计算的结果是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根，熟练掌握算术平方根和立方根的运算是解题的关键． 直接利用算术平方根以及立方根的意义分别化简得出答案． 【详解】 ． 故答案为：3． 20．如果一个实数的平方根与它的立方根相等，则这个数是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了平方根和立方根，掌握的平方根和立方根的定义是解题的关键． 根据平方根和立方根的定义即可求解． 【详解】解：设这个实数为， 当时，它的平方根是0，立方根是0，二者相等，符合题意； 当时，它的平方根是，立方根是,不符合题意； 综上，这个数是0. 故答案为：0. 三、解答题（本题共5小题，共40分） 21．（本题12分）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）先计算乘法，再计算加减法即可得到结果； （2）原式从左到右依次计算即可得到结果； （3）将除法变成乘法，再利用乘法分配律计算即可得到结果； （4）先计算乘方运算，再计算括号，然后计算乘法运算，最后算加减运算即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 22．（本题6分）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的运算， （1）先根据算术平方根及立方根的定义将原式化简，再进行加减运算即可； （2）先根据绝对值的意义，算术平方根的定义将原式化简，再进行加减运算即可； 掌握相应的运算法则和定义是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2） ． 23．（本题6分）已知的平方根是的立方根是2． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)3 【分析】本题考查了平方根和算术平方根，代数式的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据平方根和算术平方根的定义求解即可； （2）先求出的值，然后根据算术平方根的定义求解． 【详解】（1）解：的平方根是， 解得：， 的立方根是2， ． 解得：； （2）解：把代入中得：， 的算术平方根为3． 24．（本题8分）把下列各数分别填入相应的集合中： 0，，，3.1415926，，，，0.13030030003…．（相邻两个3之间的0逐次加1），0.15，，，1016． (1)整数集合：{_____…}； (2)负有理数集合：{_____…}； (3)无理数集合：{_____…}； (4)非负整数集合：{_____…}． 【答案】(1)0，，，，1016． (2)3.1415926，0.15， (3)，，， (4)，，，0.13030030003…．（相邻两个3之间的0逐次加1）， 【分析】此题考查了实数的分类．化简需要化简的各数后，根据实数的分类进行解答即可． 【详解】（1）解：，， 整数集合：{0，，，，1016，…}； （2）正分数集合：{3.1415926，0.15，…}； （3）负有理数集合：{，，…}； （4）无理数集合：{，，，0.13030030003…，…}； 25．（本题8分）如图，有理数a，b满足，且． (1)在数轴上标出表示数a，b，，对应的点的大致位置； (2)试将a，b，，，1，用“”将它们连接起来； (3)若，请直接写出不小于且小于b的整数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的相关知识，包含数轴的应用，绝对值的概念，有理数的大小比较，整数的确定，正确对这些数进行大小比较是解决本题的关键． （1）根据可得；由，且，可得，，据此在数轴上标注即可； （2）利用数轴比较大小即可； （3）由可得，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴，， ∴数a，b，，在数轴上的位置如图： （2）解：由（1）中的数轴可知，， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴不小于且小于b的整数有． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $