全册知识点（课件）-2025-2026学年五年级下册数学北师大版

五下识记 复习 找最小公倍数 1.成倍数关系(最小公倍数是大的数)； 2和4，4和8，7和28…… 2.互质数(最小公倍数是两个数的乘积) 相邻的自然数，如:6和7、8和9 两个都是质数，如:2和5、7和11 两个都是合数，如:4和9、8和15 一个质数一个合数，如:3和10、7和16 3.其他(用短除法求最小公倍数) 通分:把分母不相同的分数化成分母相同的分数。 分数的基本性质:分数的分子和分母同时乘或除以相同的数(0除外)，分数的大小不变。 第一单元 分数加减法 第一单元 分数加减法 知识点1:异分母分数相加减 1.先通分，找几个分母的最小公倍数，化成同分母分数； 2.再按照同分母分数加减法的方法计算，分母不变，分子相加减。 (分数加减法与整数加减法的计算道理相同，计数单位相同的数才能直接相加减。) 3.计算结果能约分的要约成最简分数。 第一单元 分数加减法 知识点2:分子是1的异分母分数加减法 1.分母成倍数关系(公分母是大的数)； 2.分母是互质数(公分母是两个数的乘积)； 3.其他(用短除法求最小公倍数) 4.分子都是1（直接用公式）。 第一单元 异分母分数加减法的类型 第一单元 分数加减法 知识点3:解方程两种思维方法 1.等式的基本性质(一) 等式两边同时加或减同一个数，等式仍然成立 等式的基本性质(二) 等式两边同时乘或除以同一个数(0除外)，等式仍然成立。 2.加减法的逆运算 加数1+加数2=和 被减数-减数=差 加数1=和-加数2 差=被减数-减数 加数2=和-加数1 被减数=减数+差 知识点4:1可以化成分子分母相同的分数。 第一单元 分数加减法 知识点5： 整数加减法的运算顺序和运算律在分数加减混合运算中同样适用； 加减法运算顺序：从左往右依次计算，有小括号的先算小括号里面的。 加减法运算律：1.加法交换律 a+b+c=a+c+b 2.加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c) 3.减法的性质（一） a-b-c=a-(b+c) a-(b+c)=a-b-c 减法的性质（二） a-b-c=a-c-b (一个数连续减去两个数，交换减数的位置，差不变。) 4.加减混合运算的性质 移动数字要带上前面的符号a-b+c=a+c-b 5.去括号 括号前是加号，去掉括号不变号，a+(b+c)=a+b+c a+(b-c)=a+b-c 括号前是减号，去掉括号都变号。a-(b+c)=a-b-c a-(b-c)=a-b+c b前面没有符号是+号。 第一单元 分数加减法 知识点6：分数与小数的互化 分数化成小数：分子÷分母 小数化成分数： 1、确定分母--有几位小数就在1后面写几个0； 2、确定分子--去掉小数点做分子； 3、化成最简分数。 分数 小数 小数化成分数：写成分母是10、100、1000、…的分数 (去掉小数点做分子，有几位小数点就在1的后面写上 几个0作分母)，能约分的要约分成最简分数。 分子÷分母 第一单元 分数加减法 知识点6：分数与小数的互化 常见的分数与小数的互化 第一单元 分数加减法 知识点6：分数与小数的互化 常见的分数与小数的互化 第三单元 分数乘法 知识点1：分数乘整数 分数乘整数——分母不变，分子与整数相乘， 结果要约分成最简分数。 意义：1.求几个相同分数的和简便运算。 2.某个分数的整数倍。 简便算法:先约分，再乘。 为什么整数跟分母约分？ 分子跟分母约分（上下约分），整数是分母为1的分数，所以整数与分母约分。 乘数1×乘数2 = 积 10乘数1×乘数2= 10积 100乘数1×乘数2=100积 ×10 ×10 ×10 ×10 ÷10 ÷10 ÷10 ÷10 知识点2：乘数与积扩大或缩小的关系 两个数相乘，一个乘数不变，另一个乘数扩大或 缩小相同的倍数，积也会扩大或缩小相同的倍数。 第三单元 分数乘法 乘数1×乘数2 = 积 乘数1×乘数2 = 积 乘数1×乘数2 = 积 拓展 分数加减法： 1、通分。（运用分数的基本性质化成分母相同的分数； 2、分母不变，分子相加减； 3、约分成最简分数。 知识点3： 分数×整数：分母不变，分子与整数相乘，能约分的先约分。 知识点4： 分数×分数：分子乘分子，分母乘分母,能约分的先约分。 第三单元 分数的计算方法 1、求几个相同分数的和是多少（总量）； 单位数×单位量=总量 2、整体的几分之几是多少（部分）； 整体×分率=部分 3、基准量的几分之几是多少（比较量）； 基准量×分率=比较量 4、求单位“1”的几分之几是多少（对应的量） 单位“1”×对应的分率=对应的量 单位“1”在：是、占、比、和、相当于的后面。 知识点5：分数乘法的意义 积 = 第一个乘数 第三单元 乘数与积的关系 比1小的数 积﹤第一个乘数 比1大的数 积﹥第一个乘数 0 积 = 0 乘数× （不为0） 1 乘数（不为0）乘比1小的数，积小于第一个乘数； 乘数（不为0）乘比1大的数，积大于第一个乘数； 乘数（不为0）乘1，积等于第一个乘数； 乘数（不为0）乘0，积等于0。 知识点6：乘数与积的关系 真分数相乘（真分数×真分数）积小于任何一个乘数； 真分数与假分数（真分×数假分数）相乘积大于真分数小于假分数； 假分数相乘（假分数×假分数）乘积大于或等于两个乘数。 知识点6：变式 第三单元 乘数与积的关系 乘积是1的两个数互为倒数。 条件：①乘积，和、差、商不行； ②两个，三个不行； ③互相依存关系。 3种描述方法： （ ）的倒数是（ ）。 （ ）是（ ）的倒数。 （ ）和（ ）互为倒数。 知识点7：倒数的概念和描述 第三单元 倒数 1、真（假）分数的倒数： 交换分子分母的位置； 2、带分数的倒数 带分数 假分数 交换分子分母的位置 3、小数的倒数： 小数 真（假）分数 最简分数 交换分子分母的位置 4、1的倒数是1； 整数的倒数是 ；分子是1的分数的倒数是整数 。 5、0没有倒数。 知识点7：找倒数的方法 第三单元 倒数 知识点8：真假分数的倒数 真分数的倒数都比1大。 假分数的倒数小于或等于1。 第三单元 倒数 题型1： 甲数的 与乙数的 相等，则（ ）数较大。 假设： ，则 ， ，甲﹤乙 。 题型2： 的倒数和 的倒数的积（和、差、商）是（ ）。 第三单元 倒数题型 知识点9：理解打折的含义 打几折，指现价（部分）是原价（整体）的十分之几； 例如：九折，是指现价是原价的 。 补充知识点： 打几几折，就是指现价（部分）是原价（整体）的 百分之几； 例如：八五折，是指现价是原价的 。 第三单元 知识点10：分数乘法解决问题的变式归类 整体×分率=部分 基准量×分率=比较量 1.不直接告诉整体（基准量） ①隐藏在“比、是、占、和”后面； ②隐藏在文字中，如：2011年是365天，3月大月31天； ③隐藏在图中，通过看图找到数据。（书第35页第15题） ④第一次求出的部分是下一个问题中的整体，如五年级人数是全校人数的部分，是五年级女生人数的整体（书第35页第12题）。 2.不直接告诉分率 如；用去了几分之几，求剩下的几分之几是多少，要先求剩下的分率。【书第34页第9（1）、11】 3.其它 ①同一题中给出不同的整体和分率，求不同的部分，注意整体和分率的对应性。 ②求出部分后增加步骤。 ③在图中标出大概位置（书第35页第14题） ④求正（长）方形的面积。 ⑤已知基准量和多出（少）的分率，求多出（少）的部分。 题型1：求几个几是多少，用乘法。 一辆汽车平均每分行 千米，半时行多少千米？ 求30个 千米，用乘法。 题型2：整体×分率=部分 一根绳子长10米，剪去它的 ，剪去多少米？ 题型3：整体×多（少）的分率=多（少）的部分 题型2：整体×多（少）的分率=多（少）的部分 五年级一共有200人，男生的人数比女生多 。五年级的男 整体 多的分率 生比女生多（ ）人。 多的部分 第三单元 分数乘法 重量单位 时间单位 克 千克 吨 秒 分 时 天（日） 周 长度单位 毫米 厘米 分米 米 千米 面积单位 平方厘米 平方分米 平方米 平方十米 公顷 平方千米 体积单位 立方厘米 立方分米 立方米 毫升 升 知识点11：单位的换算 10 1000 1000 1000 10 1000 1000 1000 10 100 100 100 100 60 60 7 24 1.熟记单位之间的进率 2.高级单位×进率=低级单位 低级单位÷进率=高级单位 低级单位÷高级单位=进率 100 10000 ①看情境 ②看大小用什么去量 ③看数字 知识点12：填单位 花生（1立方厘米） 粉笔盒（1立方分米） 13个幼儿园的小朋友 （1立方米） 填 单 位 体积 容积 小数字配大单位 大数字配小单位 第二单元 2.1长方体的认识 知识点1：长方体各要素名称 长方体上平平的部分是长方体的面。 两个面相交的边叫做长方体的棱。 三条棱相交的点叫做顶点。 面 面 面 棱 顶点 知识点2：长（正）方体的特点 长方体有8个顶点，6个面，12条棱。 相对的面相同，最多有4个面完全相同，6个面可能都是长方形，也可能有两个面是正方形。 相对的棱长度相同（4条长、4条宽、4条高）最多有8条棱长度相同。 正方体有8个顶点，6个面，12条棱。 6个面都是正方形，大小都相同。 12条棱长度都相同。 第二单元 长方体和正方体的特点 顶点 个数 面 个数 形状 大小关系 棱 条数 长度关系 8个 8个 6个 6个 正方形 长方形或正方形（最多2个） 大小相同 相对的两个面大小相同 （最多4个面相同） 12条 12条 长度相同 相对的棱长度相等 4长 4宽 4高分别相等 最多有8条棱相等 第二单元 长方体和正方体的特点 长 宽 高 长 宽 高 知识点3：长方体的长宽高 相交于同一顶点的三条棱的长度分别叫作长方体的 长、宽、高。 实际上长方体的长、宽、高的位置不是固定不变的。 长 宽 高 1.相交于同一顶点的长、宽、高各一条为一组，可分4组。 2.4条长，4条宽，4条高各一组，可分3组。 3.相对的两个面是正方形的长方体，相等的8条棱为一组，剩下的4条棱为一组，可分2组。 长方体的12条棱可以有不同的分组： 长方体的棱长总和=长×4+宽×4+高×4 =（长+宽+高）×4 第二单元 长方体的认识 知识点4：长方体和正方体的棱长 ① ② ③ 绿色圃中小学教育网 http://www.lspjy.com/ 绿色圃中小学教育网 http://www.lspjy.com/ 长方体的棱长总和=长×4+宽×4+高×4 =（长+宽+高）×4 长+宽+高=长方体棱长总和÷4 长=棱长总和÷4-（宽+高） 宽=棱长总和÷4-（长+高） 高=棱长总和÷4-（宽+长） 知识点4：长方体和正方体的棱长 正方体棱长总和=棱长×12 棱长=总和÷12 第二单元 长方体的认识 上、下面的面积=长×宽 前、后面的面积=长×高 左、右面的面积=宽×高 知识点5：长方体不同的面的面积 长 长 长 长 宽 宽 宽 宽 高 高 高 高 第二单元 长方体的认识 知识点6：正方体是特殊的长方体。 棱 棱 棱 长方体 正方体 正方体可以看成是长、宽、高都相等的长方体。 长方体包含了正方体。 包含关系:五年级包含了507班。 并列关系：507和508班是并列关系。 第二单元 长方体的认识 知识点7：找面围长方体： 1、长方体相对的两个面完全一样，找出三组完全一样的面； 2、三组面中只能出现3个长度数据，分别是长方体的长、宽、高。（难点） 第二单元 长方体的认识 第二单元 知识点8：展开与折叠——正方体 方法一：识记11种 方法二： 1.四方连，一侧一个都可以。 确定下面标出相对的面， 2.三方连，有田字不行，231式33式。 上下、左右、前后， 3、二方连只有一个。 不重复，无遗漏。 主干为四方连 主干为三方连 主干为二方连 上 右 下 左 前 后 方法： 1、看相对的面是否相等，上-下、前-后、左-右分别相等。 2、看是否只有3组数据：长、宽、高。 3、看4条长、4条宽、4条高是否分别相等。 第二单元 知识点9：展开与折叠——长方体 第二单元 知识点10：长（正）方体的表面积 n n n n n n n n 下 面 左面 后面 前 面 右面 上 面 长方体的表面积 = 长×宽 ×2 + 长×高×2 +宽×高×2 S=2ab+2ah+2bh 上、下 前、后 左、右 S=2(ab+ah+bh) =（长×宽+长×高+宽×高）×2 上 前 左 S=6a2 正方体的表面积＝棱长×棱长×6 一个面的面积 a2=S÷6 棱长×棱长＝正方体的表面积÷6 长方体6个面的面积之和叫作长方体的表面积。 至少用 个小正方体才能拼成一个大正方体。 8 第二单元 露在外面的面 知识点11：求露在外面的面的面积 两类：方块放墙角、方块放地面 （1）数露在外面的面的方法： ①按方向数：从正面、侧面、上面不同角度数出露在外面的面的个数，然后把每个方向的面数相加。 ②按层数：从下往上数出每层露在外面的面的个数，然后把每层的面数相加。 （2）计算露在外面的面的面积 一个面的面积×面的个数=露在外面的面的面积 前面：3个 右面：3个 上面：4个 共：10个 从下往上数： 第一层：7个 第二层：3个 共:10个 前面：6个 后面：6个 左面：3个 右面：3个 上面：3个 共：21个 从下往上数： 第一层：9个 第二层：7个 第三层：5个 共:21个 体积相等的长方体表面积不一定相等。 体积相等的正方体表面积一定相等。 表面积相等的两个长方体，体积不一定相等。 表面积相等的两个正方体，体积一定相等。 第二单元 长方体的表面积 知识点1：体积与容积 物体所占空间的大小，是物体的体积。 容器所能容纳物体的体积，是容器的容积。 物品、水、气体、空气，都是有体积的。 容器装满不能再装了就是容器的容积。 只有容器才有容积。 对于同一个容器，它的体积一定比容积大，因为它有厚度。 第四单元 长方体（二） 体积与容积 知识点2：体积和容积有什么区别？ 1.从测量方法来说,体积是从物体外部测量的;容积是从物体内部测量的。 2.从它们的大小来说,同一物体,它的体积大于容积。当容器壁很薄的时候,容积近似等于体积。 知识点3： 体积大小只与它所占空间的大小有关，与它的形状无关 。 第四单元 长方体（二） 体积与容积 第四单元 长方体（二） 体积单位 棱长为1厘米的正方体，它的体积是1立方厘米， 记作1厘米³（cm³）。 棱长为1分米的正方体，它的体积是1立方分米， 记作1分米³（dm³）。 棱长为1米的正方体，它的体积是1立方米， 记作1米³（m³）。 1cm 1dm 1m 线 毫米 厘米 分米 米 十米 百米 千米 面 厘米2 分米2 米2 十米2 公顷 千米2 平方厘米 平方分米 平方米 平方百米 平方千米 体 体积单位 厘米3 分米3 米3 立方厘米 立方分米 立方米 容积单位 毫升 升 mL L 第四单元 长方体（二） 体积单位 10 10 10 10 10 10 1000 100 100 100 100 100 1000 1000 1000 第四单元 长方体（二） 体积 长方体的体积 = 长×宽 ×高 长 = 体积÷宽÷高 宽 = 体积÷长÷高 高 = 体积÷长÷宽 正方体的体积=棱长×棱长×棱长 长（正）方体的体积=底面积×高 =横截面面积×长 底面积=体积÷高 高=体积÷底面积 图形与几何 公式 线 面 体 长方体的棱长总和= 长×4+宽×4+高×4 长方体的表面积 = 长×宽 ×2 + 长×高×2 + 宽×高×2 长方体的体积 = 长×宽×高 =（长+宽+高）×4 =（长×宽+长×高+宽×高）×2 长 = 体积÷宽÷高 长+宽+高 =长方体棱长总和÷4 正方体的表面积＝ 棱长×棱长×6 宽 = 体积÷长÷高 长=棱长总和÷4-（宽+高） 棱长×棱长＝ 正方体的表面积÷6 高 = 体积÷长÷宽 宽=棱长总和÷4-（长+高） 正方体的体积= 棱长×棱长×棱长 高=棱长总和÷4-（宽+长） 长（正）方体的体积 =底面积×高 =横截面面积×长 正方体棱长总和=棱长×12 底面积=体积÷高 棱长=总和÷12 高=体积÷底面积 图形与几何 公式 线 面 体 c=4a+4b+4h s = 2ab+2ah+2bh v=abh =4（a+b+h）× s = 2（ab+ah+bh） a = v÷b÷h a+b+h=c÷4 s = 6a2 b = v÷a÷h a=c÷4-（b+h） a2＝s÷6 h = v÷a÷b b=c÷4-（a+h） v=a3 h=c÷4-（a+b） v=sh c=a×12 s =v÷h a=c÷12 h = v÷s 分数的计算 加、减 乘 除 1.先通分，找几个分母的最小公倍数，化成同分母分数； 分数×整数： 分母不变，分子与整数相乘，能约分的先约分。 除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数。 2.再按照同分母分数加减法的方法计算，分母不变，分子相加减。 (分数加减法与整数加减法的计算道理相同，计数单位相同的数才能直接相加减。) 分数×分数： 分子乘分子，分母乘分母,能约分的先约分。 3.计算结果能约分的要约成最简分数。 正方体棱长总和=棱长×12 s =v÷h 棱长=总和÷12 h = v÷s 乘除的意义 除法 分数 整体 （单位1） 基准量 （单位1） 比例尺 比例 被除数÷除数=商 分子÷分母=分数值 部分÷整体=分率 比较量÷基准量=分率 图上距离：实际距离=比例尺 前项：后项=比值 被除数÷商=除数 分子÷分数值=分母 部分÷分率=整体 比较量÷分率=基准量 图上距离÷比例尺=实际距离 前项：比值=后项 除×数商=被除数 分母×分数值=分子 整体×分率=部分 基准量×分率=比较量 实际距离×比例尺=图上距离 后项×比值=前项 题型1：求几个几是多少，用乘法。 一辆汽车平均每分行 千米，半时行多少千米？ 求30个 千米，用乘法。 题型2：整体×分率=部分 一根绳子长10米，剪去它的 ，剪去多少米？ 题型3：整体×多（少）的分率=多（少）的部分 题型2：整体×多（少）的分率=多（少）的部分 五年级一共有200人，男生的人数比女生多 。五年级的男 整体 多的分率 生比女生多（ ）人。 多的部分 第三单元 分数乘法 锯木问题 例：木匠准备把一根3米长的木条锯断，做一个正方体框架，如每锯一次要用分，那么锯这根木条需要 分。（每次锯一段） 站点问题 例：全程共设19个站点，平均每两个站点之间的距离是干米，地铁5号线全线长多少干米？ 第三单元 分数乘法 第三单元 分数乘法 经典问题—对折问题 对折问题 对折一次，平均分成2份；对折两次，平均分成4份； 对折三次，平均分成8份；对折四次，平均分成16份。 例：一根绳子对折3次后是分米，这根绳子原来长 分米。 对折3次，平均分成8份。 第三单元 分数乘法 经典问题—截棍问题 截棍问题 截一次，分成2份 ， 截两次，分成3份， 截三次，分成4份 ， 截四次，分成5份， 截n次，分成n+1份。 例：木匠准备把一根3米长的木条锯断，做一个正方体框架，如每锯一次要用分，那么锯这根木条需要 分。（每次锯一段） 锯12段锯11次 第三单元 分数乘法 经典问题—站点问题 站点问题 1段2个站点 2段3个站点 3段4个站点 4段5个站点 n段，n+1个站点 站点问题 例：全程共设19个站点，平均每两个站点之间的距离是干米，地铁5号线全线长多少干米？ 19个站点，19-1=18段 淘气听到家里的挂钟在下午3时敲钟3次。如果每相邻两次敲钟间1隔30分，那么下午6时敲钟6次，钟声敲完要用多长时间？（钟声时间忽略不计） 6次，间隔6-1=5段 方法： 1.分母不变，分子除以整数。 2.除法是乘法的逆运算。 3.除以一个不为0的整数等于乘这个整数的倒数。 ①被除数不变； ②÷号改×号； ③除数改成它的倒数。 第五单元 分数除法 分数÷整数 分数除法的计算方法： 1.被除数不变， 2.÷号改×号。 3.除数改成它的倒数。 能约分的先约分 分母与分子约，分母与整数约。（上下约） 分数除法 商 =被除数 第五单元 分数除法 比1小的数 商﹥被除数 比1大的数 商﹤被除数 被除数÷ （不为0） 1 被除数除以比1小的数（不为0），商大于被除数； 被除数除以比1大的数（不为0），商小于被除数；被除数除以1，商等于被除数； 被除数和除数相等，商等于1。 知识点6：乘数与积的关系 被除数和除数相等，商等于1。 商 = 被除数 比1小的数 商﹥被除数 比1大的数 商﹤被除数 被除数÷ （不为0） 1 积 = 第一个乘数 比1小的数 积﹤第一个乘数 比1大的数 积﹥第一个乘数 0 积 = 0 乘数× （不为0） 1 分数的乘除法 被除数和除数相等，商等于1。 复习相关分数知识点 1.分数可以表示分率或具体的量。 分数 具体的量——有单位（长度、面积、重量、时间、钱等单位） 分率——没有单位 2.倍数问题。①看“是”字前后谁大谁小； ②求大用“×” ，求少用“÷” 。 3.折纸问题： 对折1次，平均分成2份，对折2次，平均分成4份， 对折3次，平均分成8份，对折4次，平均分成16份。 4.切段问题： 一刀两段，两刀3段，三刀4段，四刀5段…… 单位数×单位量=总量（分数乘法） 总量÷单位数=单位量（平均分） 技巧：问题中单位是什么，就用这个单位的数作被除数 总量÷单位量=单位数（包含除） 包含关系： 整体×分率=部分（分数乘法） 部分÷分率=整体（分数除法三） 部分÷整体=分率(分数除法三) 并列关系： 基准量×分率=比较量（分数乘法） 比较量÷分率=基准量（分数除法三） 比较量÷基准量=分率（分数除法三） 解题步骤： 1.判断题目类型：整体、部分-基准量比较量-平均分、包含除。 2.找单位“1”（整体、基准量），在比、是、占、相当于的后面。 3.看求什么量，选用相应的公式。 4、检验。 分数除法 口诀：单位“1”已知用×，未知用÷，求分率用÷。 单位“1”包括：整体和基准量 在：是、占、比、和、相当于的后面。 单位数×单位量=总量（分数乘法） 总量÷单位数=单位量（平均分） 总量÷单位量=单位数（包含除） 平均分技巧： 问题中单位是什么，就用这个单位的数作被除数。 整体×分率=部分（分数乘法） 部分÷分率=整体（分数除法三） 部分÷整体=分率（分数除法三） 包含关系 基准量×分率=比较量（分数乘法） 比较量÷分率=基准量（分数除法三） 比较量÷基准量=分率（分数除法三） 并列关系 单位“1”已知用×，未知用÷，求分率用÷。 单位“1” 整体 基准量 在是、占、比、和、相当于的后面。 求部分,不直接告诉分率。 1.求对应分率 2.整体×分率=部分 整体×分率=部分 部分÷分率=整体 部分÷整体=分率 包含关系 求比较量,不直接告诉分率。 1.求对应分率 比较量比基准量多几分之几：1 + 几分之几 比较量比基准量少几分之几： 1－几分之几 2.基准量×对应分率=比较量 基准量×分率=比较量 比较量÷分率=基准量 比较量÷基准量=分率 并列关系 1.圈是、占、比、和、相当于； 2.确定关系（包含或并列）和身份； 3.背公式，找等量关系。 用算术法解决问题的步骤： 解方程注意： 1.写解字； 2.等号对齐； 3.除法算式不能省略。 1.找等量关系； 2.设未知数；（设小不设大） 3.列方程；（数字在前，字母在后） 4.解答；（等号对齐，计算结果不写单位） 5.检验。 注意： 1. 写了“解设”解方程时不写“解”字； 2.等号对齐； 3.除法算式不能省略； 4.计算结果不写单位。 用方程解决问题： 第六单元 确定位置 知识点1：确定位置三要素 方向：东、南、西、北、东北、西北、东南、西南 角度：从哪起，向哪数。 距离：如图上1厘米表示实际距离100米（1千米）...... 知识点2：描述路线（用方向标） 知识点3：用量角器量角 知识点4：相对位置，方向相对，度数不变。 知识点5：用数对确定位置 （横轴，纵轴），横轴在前，纵轴在后。 第六单元 确定位置 知识点6：平面图上确定两地的位置 1.确定观测点（“在”字后面）； 2.确定方向，量出角度； 3.量出两地间的距离。 加数1＋加数2=和 和－加数1=加数2 和－加数2=加数1 被减数－减数=差 被减数－差=减数 减数＋差=被减数 乘数1×乘数2=积 积÷乘数1=乘数2 积÷乘数2=乘数1 被除数÷除数=商 被除数÷商=除数 商×除数=被除数 第七单元 用方程解决问题 等量关系 原价×折扣=现价 现价÷原价=折扣 现价÷折扣=原价 第七单元 用方程解决问题 等量关系 单价×数量=总价 总价÷数量=单价 总价÷单价=数量 较小数×倍数=较大数 较大数÷较小数=倍数 较大数÷倍数=较小数 外币×汇率 = 人民币 人民币÷汇率 = 外币 人民币÷外币 = 汇率 第七单元 行程相遇、追及问题 速度×时间=路程 路程÷速度=时间 路程÷时间=速度 相遇问题（同时出发） 速度1+速度2=速度和 速度和×相遇时间=总路程 总路程÷速度和=相遇时间 总路程÷相遇时间=速度和 速度1=路程÷相遇时间-速度2 追及问题（同时出发） 快的速度-慢的速度=速度差 速度差×追及时间=追及路程 追及路程÷速度差=追及时间 追及路程÷追及时间=速度差 联系：1.单位时间移动距离×时间=总移动距离。 2.后两个公式是扩展，速度和/速度差适配不同情况。 适用场景 速度含义 路程含义 单个物体 直线运动 单个物体 的运动速度 单个物体 移动的距离 两个物体 相向而行 两物体速度之和 方向相反，共同缩短距离的效率 两个物体的 初始距离和 （从出发到相遇时共同走过的总距离） 两个物体 同向而行 两物体速度之差 方向相同，快者相对慢者缩短距离的效率 两物体的 初始距离差 （快者比慢者多走的距离） 第七单元 工程合作、对比问题 工程合作问题（同时开始） 效率1+效率2=效率和 效率和×工作时间=工作总量 工作总量÷效率和=工作时间 工作总量÷工作时间=效率和 效率1=工作总量÷工作时间-效率2 工作效率×工作时间=工作总量 工作总量÷工作效率=工作时间 工作总量÷工作时间=工作效率 工程对比问题 效率差×工作时间=工作量差 工作量差÷效率差=工作时间 工作量差÷工作时间=效率差 联系：1.单位时间工作量×时间=总工作量 2.后两个公式是扩展，效率和/效率差适配 合作与对比问题。 适用场景 速度含义 路程含义 单个主体独立完成工作 单个主体的单位时间工作量 该主体在单位时间内完成的全部工作量 多个主体合作完成工作 多个主体单位时间工作量的总和 多个主体单位时间工作量的总和 两个主体独立工作时的对比 两个主体单位时间工作量的差值 两主体相同时间内完成的工作量之差 高效主体效率 - 低效主体效率= 效率差 低效效率 + 效率差=高效效率 高效效率 - 效率差=低效效率 第七单元 工程合作、对比问题 解方程注意： 1.写解字； 2.等号对齐； 3.除法算式不能省略。 1.找等量关系； 2.设未知数；（设小不设大） 3.列方程；（数字在前，字母在后） 4.解答；（等号对齐，计算结果不写单位） 5.检验。 注意： 1.设小不设大，写了“解设”解方程时不写“解”字； 2.等号对齐； 3.重要过程不能省略； 4.计算结果不写单位。 用方程解决问题： 要节约包装纸，就要使包装后的表面积最小。 两个相同的长方体包成一包，重叠的面积最大，表面积最小。 多个相同的长方体包成一包，重叠的面积最大，表面积最小。 数学好玩 平均数的特点 第八单元 统计图的特点 条形统计图： 能直观地看出数量的多少。 折线统计图： 不但能直观地看出数量的多少，还能直观地反映数量的变化趋势。 扇形统计图： 能直观地看出部分占整体的百分比。 单式条形统计图： 能直观地看出一组数量的多少。 复式条形统计图： 能直观地看出两组（多组）数量的多少。 条形统计图的六要素: 标题、横轴、纵轴、条形、数值、图例。 第八单元 数据的表示和分析 注意：画条形统计图时，直条的宽窄必须相同。  取一个单位长度表示数量的多少要根据具体情况而确定；  复式条形统计图中表示不同项目的直条，要用不同的线条或颜色区别开，并在制图日期下面注明图例。   第八单元 数据的表示和分析 单式折线统计图： 不但能直观地看出一组数量的多少， 还能直观地反映一组数据的变化趋势。 复式折线统计图： 不但能直观地看出两组（多组）数量的多少， 还能直观地反映两组（多组）数据的变化趋势。 第八单元 数据的表示和分析 复式条形统计图 注意：画条形统计图时，直条的宽窄必须相同。  取一个单位长度表示数量的多少要根据具体情况而确定；  复式条形统计图中表示不同项目的直条，要用不同的线条或颜色区别开，并在制图日期下面注明图例。   2、折线统计图 用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来。   注意：折线统计图的横轴表示不同的年份、月份等时间时，不同时间之间的距离要根据年份或月份的间隔来确定。  第八单元 数据的表示和分析 3、扇形统计图 能清楚地表示出各部分占整体的百分比。 用整个圆的面积表示总数，用扇形面积表示各部分所占总数的百分数。 第八单元 数据的表示和分析 1.平均数=总数÷份数，一组数据的平均数只有一个； 2.平均数能反映一组数据的总体水平； 3.平均数比最大的数小，比最小的数大（或等于最值）； 数据中任何一个数可能比平均数大，比平均数小或等于平均数。 4.平均数容易受极端数据影响，任意一个数据的变化，都会让平均数变动； 5.加入的数等于平均数，平均数不变； 加入的数小于平均数，平均数变小； 加入的数大于平均数，平均数变大。 6. 0也要参与运算； 第八单元 平均数的特点 你能得到什么信息句式： 最多， 最少。 与 的和（差）是 ， 是 的几分之几。 到 呈上升（下降、持平）趋势。 起伏不大（起伏较大）。 第八单元 数据的表示和分析 复式折线统计图 复式条形统计图 $