精品解析：2021--2022学年广东省广州市九年级下学期期末模拟数学测试卷一

2022年广州市九年级下学期模拟数学测试卷一 一．选择题（共 10 小题，30 分） 1. 下列一元二次方程中，两根之和为 2 的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为，，则，．利用一元二次方程的根与系数的关系对以下选项进行逐一验证并作出正确的选择． 【详解】解：A项：，故不符合题意； B项：，本方程无根，故不符合题意； C项：，故不符合题意； D项：，符合题意． 故选：D． 2. 如果两点和在反比例函数的图象上，那么与间的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把两点和分别代入反比例函数求出、的值即可． 【详解】解：把点代入反比例函数得，； 点代入反比例函数得，； ， ． 故选：D． 【点睛】本题比较简单，考查了反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式． 3. 如图，顺次连接四边形各中点得四边形，要使四边形为菱形，应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形和菱形的判定，掌握三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题关键．连接、，根据三角形中位线定理，推出，，四边形是平行四边形，要使四边形为菱形，则，从而得出，即可得解． 【详解】解：如图，连接、， 顺次连接四边形各中点得四边形， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，，，， ，， 四边形是平行四边形， 要使四边形为菱形，则， ， ， 故选：D． 4. 如图，已知D，E分别是△ABC的AB，AC边上的点，DE∥BC，，那么AE：AC等于( ) A. 1：9 B. 1：8 C. 1：3 D. 1：2 【答案】C 【解析】 【分析】由DE∥BC证得 【详解】∵DE∥BC，△ADE∽△ABC,再由得到，即可得到AE:AC. ∴△ADE∽△ABC, ∵， ∴, ∴, ∴AE：AC=1:3. 故选：C. 【点睛】此题考查三角形相似的判定及性质，平行于三角形一边的直线截出的三角形与原三角形相似，面积的比等于相似比的平方. 5. 关于x的方程有实根，则（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的知识，需掌握一元二次方程的根与之间的关系是解此题的关键．本题分两种情况进行讨论：①，是一元一次方程，必有实数根；②，是一元二次方程，可得判别式，继而可得：，解此不等式即可求得答案． 【详解】解：分两种情况： ①若，则方程为，必有实数根； ②若，则方程是一元二次方程，那么， 解得：． 综上可知，当时，关于x的方程有实根． 故选：B． 6. 如图是某几何体的三视图及相关数据，下列四个选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，勾股定理，圆锥的高，母线和底面半径的关系，熟练掌握几何体的三视图，正确的求出几何体的长宽高是解题的关键． 根据几何的三视图判断为圆锥，然后得圆锥的高为b，母线长为c，底面圆的直径为，过主视图中三角形的顶点向底边作垂线可得直角三角形，根据直角三角形两斜边长大于直角边的长度以及勾股定理即可解答． 【详解】解：∵主视图与左视图都是等腰三角形，俯视图是圆， ∴几何体为圆锥； ∵圆锥的高是b，母线长为c，底面半径为a， 如图：过主视图中三角形的顶点向底边作垂线，则所构成的直角三角形的两直角边长为a、b，斜边长为c． ∴，故选项A说法不正确，不符合题意； ，故选项B说法不正确，不符合题意； ，故选项C说法不正确，不符合题意； 选项D说法正确，符合题意； 故选：D． 7. 一次函数y=-5x+3的图象经过的象限是（ ） A. 一、二、三 B. 二、三、四 C. 一、二、四 D. 一、三、四 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数与系数的关系进行判断． 【详解】解：∵k=-5＜0， ∴一次函数经过第二、四象限， ∵b=3＞0， ∴一次函数与y轴交于正半轴， ∴一次函数y=-5x+3的图象经过第一、二、四象限． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与系数的关系：y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．k＞0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限；k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；k＜0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限． 8. 下列命题正确的是（ ） A. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定及正方形的判定逐一判断即可求解． 【详解】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，则说法错误，故A选项不符合题意； B、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，则说法错误，故B选项不符合题意； C、对角线相等且平分的四边形是矩形，则说法错误，故C选项不符合题意； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，则说法正确，故D选项符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定及正方形的判定，熟练掌握其判定定理是解题的关键． 9. 在矩形中，，，是上一动点，于，于，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点A作AG⊥BD于G，连接PO，根据勾股定理求出BD的长，再根据△ABD的面积的两种求法求出AG的长，然后根据△AOD的面积求出PE+PF=AG，即可求解． 【详解】如图，过点A作AG⊥BD于G，连接PO， ∵AB=6，AD=8， ∴BD=， ∴S△ABD=BD•AG=AB•AD， 即×10•AG=×6×8， 解得AG=4.8， 在矩形ABCD中，AO=OD， ∴S△AOD=AO•PE+OD•PF=OD•AG， ∴PE+PF=AG=4.8． 故选C． 【点睛】本题考查了矩形的性质及勾股定理，作出辅助线，根据三角形的面积求出PE+PF=AG是解题的关键． 10. 如图，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S1、S2，那么S1、S2的大小关系是（） A. S1＞ S2 B. S1 = S2 C. S1＜ S2 D. S1、S2的大小关系不确定 【答案】A 【解析】 【分析】利用了正方形的性质和等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：设大正方形的边长为x，根据等腰直角三角形的性质知AC、BC的长，进而可求得S2的边长，由面积的求法可得答案． 解：如图，设大正方形的边长为x， 根据等腰直角三角形的性质知，AC=BC，BC=CE=CD， ∴AC=2CD，CD=， ∴S2的边长为x，S2的面积为x2，S1的边长为，S1的面积为x2， ∴S1＞S2， 故选：A． 二．填空题（共5小题，共15分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件求值即可； 【详解】解：由题意得：x+1≥0，解得：x≥-1， 故答案为：x≥-1； 【点睛】本题考查了二次根式的定义，掌握被开方数不能为负是解题关键． 12. 若是一元二次方程的一个根，则b的值为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 把代入一元二次方程得，然后解关于b的方程即可． 【详解】解：把代入一元二次方程， 得， ∴． 故答案为：4． 13. 如图所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱的高为米，踏板长为米，支撑点到踏脚的距离为米，现在踏脚着地，则捣头点上升了________米． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意将其转化为如图所示的几何模型，易得△DAB∽△DEF，即可得出对应边成比例解答即可． 【详解】∵AB∥EF， ∴△DAB∽△DEF， ∴AD：DE=AB：EF， ∴0.6：1.6=0.3：EF， ∴EF=0.8米． ∴捣头点E上升了0.8米． 故答案为0.8 【点睛】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，解答此题时只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出捣头点E上升的高度． 14. 如图，两条宽度为1的纸带，相交成角，那么重叠部分的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的面积计算，准确作出辅助线，利用勾股定理进行计算是解题的关键． 先确定重叠部分为菱形，再通过构造直角三角形，利用勾股定理求出菱形边长，最后根据菱形的面积公式计算面积即可得解． 【详解】由题可知：重叠部分是菱形，设菱形，则， 过作于点， 纸带的宽度为1， ， 设， ， ， （在直角三角形中，角所对直角边是斜边的一半）， 在中，， 解得：， ， 重叠部分的面积是：． 故答案是：． 15. 如图，D、E分别是的边上的点，，，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查比例性质和相似三角形面积比等于相似比的平方．先得到，进入即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 三．解答题（共8小题，共75分） 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ， ， 解得：． 17. 如图，是圆O的直径，切圆O于点D，，与圆O相交于点E，F．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、切线的性质．连接，证明，，根据相似三角形的性质得以证明． 【详解】证明：如图，连接， 是圆 O 的直径， ． 切圆 O 于点 D， ，． ， ． ． 即 同理连接，可证． 即． ． 18. 如图，方格纸中有一条美丽可爱的小金鱼． （1）在同一方格纸中，画出将小金鱼图案绕原点O旋转后得到的图案； （2）在同一方格纸中，并在y轴的右侧，将原小金鱼图案以原点O为位似中心放大，使它们的相似比为2∶1，画出放大后小金鱼的图案． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2）如图，即为所求． 【解析】 【分析】此题考查图形的旋转和位似图形的作图，熟练掌握作图方法是关键． （1）直接根据旋转作图的方法作图即可； （2）根据位似作图的方法作图，，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大的图形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知如图，一次函数y=ax+b图象经过点（1，2）、点（-1，6）．求： （1）这个一次函数的解析式； （2）一次函数图象与两坐标轴围成的面积． 【答案】（1）y=-2x+4；（2）4 【解析】 【分析】（1）由图可知，函数经过了（1，2）和（-1，6）两点，可用待定系数法来求出函数的解析式． （2）一次函数与两坐标轴围成的是个直角三角形，且直角边的长分别是A、B两点的纵坐标和横坐标的绝对值．那么只要求出A、B的坐标即可得出三角形的面积，根据（1）中求出的函数关系式，A、B的坐标就可以求出来了． 【详解】解：（1）依题意， 当x=1时，y=2； 当x=-1时，y=6． 则 解之得 ∴一次函数解析式为：y=-2x+4． （2）一次函数图象与y轴、x轴分别相交于A、B两点， 由y=-2x+4，得 A点坐标（0，4），B点坐标（2，0）， 即OA=4，OB=2． ∴S△AOB=OA•OB=×4×2=4． 即一次函数图象与两坐标轴围成的面积为4． 【点睛】借助函数图象表达题目中的信息时，读懂图象是关键．本题中用待定系数法求出函数解析式是解题的基础． 20. 如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H． （1）求证：CF=DG； （2）求出∠FHG的度数． 【答案】 （1）证明：在和中， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）在和中，利用即可证得两个三角形全等，利用全等三角形的对应边相等即可证得； （2）根据全等三角形的对应角相等，以及三角形的内角和定理，即可证得，从而求解． 【详解】（1） 略 （2）解：， ， 又， 又中，， 中，， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确证明三角形全等． 21. 如图，抛物线经过点和点． （1）求出抛物线的解析式； （2）若直线轴，在第一象限内与抛物线交于点M，与直线交于点N，设线段的长度为n，请结合函数图象求出n的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把A，B的坐标代入函数解析式，得出方程组，求出方程组的解即可； （2）求出直线的解析式，设点M横坐标为m，根据函数解析式得出点M的坐标为，点N的坐标为，求出n的值，再化成顶点式，即可得出答案． 本题考查了一次函数和二次函数的综合运用，需熟练掌握函数图象的相关性质是解决此题的关键． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点和点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 如图，设点M的横坐标为m， 则点M的坐标为，点N的坐标为， 又∵点M，N在第一象限， ∴线段的长度， 当时，n有最大值，最大值为， ∴n的取值范围是． 22. 为了加强视力保护意识，小明想在长为4.3米，宽为3.2米的书房里挂一张测试距离为5米的视力表.在一次课题学习课上，小明向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙、丙三位同学设计的方案新颖，构思巧妙. （1）甲生的方案：如图1，将视力表挂在墙和墙的夹角处，被测试人站立在对角线上，问：甲生的设计方案是否可行？请说明理由. （2）乙生的方案：如图2，将视力表挂在墙上，在墙上挂一面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理课计算得到：测试线应画在距离墙_____米处. （3）丙生的方案：如图3，根据测试距离为的大视力表制作一个测试距离为的小视力表.图中的，如果大视力表中“E”的长是，那么小视力表中相应的“E”的长是多少？ 【答案】（1）可行； （2）米； （3） 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理，物理中的平面镜成像的原理，相似三角形的性质等知识． （1）由勾股定理求得对角线的长与5米比较． （2）根据平面镜成像原理知，视力表与它的像关于镜子成对称图形，故距的距离米． （3）由相似三角形的性质可求解． 【小问1详解】 解：甲生的设计方案可行． 根据勾股定理，得米． ∴米． ∴甲生的设计方案可行； 【小问2详解】 解：设测试线应画在距离墙x米处， 根据平面镜成像，可得：， ∴， ∴测试线应画在距离墙米处； 【小问3详解】 解：∵ ∴． ∴ ∴ ∴． 答：小视力表中相应“E”的长是． 23. 已知：如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，点A，C的坐标分别为，，． （1）求点B的坐标和过点A，B的直线的函数表达式； （2）在x轴上找一点D，连接，使得与相似（不包括全等），并求点D的坐标； （3）在（2）的条件下，若P，Q分别是和上的动点，连接，设，问是否存在这样的m使得与相似？如存在，请求出的m值；如不存在，请说明理由． 【答案】（1）B点坐标为，直线的函数表达式为 （2）点D的坐标为 （3）存在，m的值为或 【解析】 【分析】（1）根据点A、C的坐标求出的长度，根据题意求出点B的坐标，设过点A，B的直线的函数表达式为，利用待定系数法求解即可得到直线的函数表达式； （2）过点B作，交x轴于点D，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可； （3）分时和时两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【小问1详解】 解：∵点A，C， ∴， ∵，， ∴， ∴B点坐标为， 设过点A，B的直线的函数表达式为， 由， 解得， ∴直线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：如图，过点B作，交x轴于点D， 在和中， ∵， ∴， ∴D点为所求， 又， ∴， ∴, ∴点D坐标为． 【小问3详解】 解：这样的m存在． 理由： 在中，由勾股定理得， 如图，当时，， 则， 解得， 如图，当时，， 则， 解得， 故存在m的值是或时，使得与相似． 【点睛】本题考查函数和几何图形的综合运用，解题的关键是会灵活的运用函数图像的性质和交点的意义求出相应的线段的长度或表示线段的长度，再结合具体图形的性质求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年广州市九年级下学期模拟数学测试卷一 一．选择题（共 10 小题，30 分） 1. 下列一元二次方程中，两根之和为 2 的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果两点和在反比例函数的图象上，那么与间的关系是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，顺次连接四边形各中点得四边形，要使四边形为菱形，应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知D，E分别是△ABC的AB，AC边上的点，DE∥BC，，那么AE：AC等于( ) A. 1：9 B. 1：8 C. 1：3 D. 1：2 5. 关于x的方程有实根，则（ ） A. B. C. 且 D. 且 6. 如图是某几何体的三视图及相关数据，下列四个选项正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 一次函数y=-5x+3的图象经过的象限是（ ） A. 一、二、三 B. 二、三、四 C. 一、二、四 D. 一、三、四 8. 下列命题正确的是（ ） A. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 9. 在矩形中，，，是上一动点，于，于，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S1、S2，那么S1、S2的大小关系是（） A. S1＞ S2 B. S1 = S2 C. S1＜ S2 D. S1、S2的大小关系不确定 二．填空题（共5小题，共15分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是______． 12. 若是一元二次方程的一个根，则b的值为_____． 13. 如图所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱的高为米，踏板长为米，支撑点到踏脚的距离为米，现在踏脚着地，则捣头点上升了________米． 14. 如图，两条宽度为1的纸带，相交成角，那么重叠部分的面积是_____． 15. 如图，D、E分别是的边上的点，，，则_____． 三．解答题（共8小题，共75分） 16. 解方程：． 17. 如图，是圆O的直径，切圆O于点D，，与圆O相交于点E，F．求证：． 18. 如图，方格纸中有一条美丽可爱的小金鱼． （1）在同一方格纸中，画出将小金鱼图案绕原点O旋转后得到的图案； （2）在同一方格纸中，并在y轴的右侧，将原小金鱼图案以原点O为位似中心放大，使它们的相似比为2∶1，画出放大后小金鱼的图案． 19. 已知如图，一次函数y=ax+b图象经过点（1，2）、点（-1，6）．求： （1）这个一次函数的解析式； （2）一次函数图象与两坐标轴围成的面积． 20. 如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H． （1）求证：CF=DG； （2）求出∠FHG的度数． 21. 如图，抛物线经过点和点． （1）求出抛物线的解析式； （2）若直线轴，在第一象限内与抛物线交于点M，与直线交于点N，设线段的长度为n，请结合函数图象求出n的取值范围． 22. 为了加强视力保护意识，小明想在长为4.3米，宽为3.2米的书房里挂一张测试距离为5米的视力表.在一次课题学习课上，小明向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙、丙三位同学设计的方案新颖，构思巧妙. （1）甲生的方案：如图1，将视力表挂在墙和墙的夹角处，被测试人站立在对角线上，问：甲生的设计方案是否可行？请说明理由. （2）乙生的方案：如图2，将视力表挂在墙上，在墙上挂一面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理课计算得到：测试线应画在距离墙_____米处. （3）丙生的方案：如图3，根据测试距离为的大视力表制作一个测试距离为的小视力表.图中的，如果大视力表中“E”的长是，那么小视力表中相应的“E”的长是多少？ 23. 已知：如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，点A，C的坐标分别为，，． （1）求点B的坐标和过点A，B的直线的函数表达式； （2）在x轴上找一点D，连接，使得与相似（不包括全等），并求点D的坐标； （3）在（2）的条件下，若P，Q分别是和上的动点，连接，设，问是否存在这样的m使得与相似？如存在，请求出的m值；如不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $