15.3.1 等腰三角形（预习讲义）2025-2026学年人教版数学八年级上册

本讲义聚焦等腰三角形的定义、性质及应用核心知识点，前承轴对称概念，后续为等边三角形学习奠基。通过梳理定义（腰、底边、顶角、底角识别），性质（等边对等角的全等证明、三线合一应用）及对称性，构建“定义-性质-应用”的学习支架，系统呈现知识脉络。 该资料以核心素养为设计亮点，知识点分解培养抽象能力（数学眼光），证明过程（作顶角平分线证全等）发展推理意识（数学思维），表格总结与符号语言（如AB=AC⇒∠B=∠C）强化模型意识（数学语言）。分层练习辅助课中教学，例题解析与参考答案助力课后查漏补缺，提升知识应用能力。

2025-2026学年数学八年级上册人教版 第十五章 轴对称 15.3.1 等腰三角形（预习讲义） 姓名： 班级： 学习目标 1. 理解等腰三角形的定义，能识别等腰三角形的边和角。 2. 掌握等腰三角形的性质，包括等边对等角、三线合一。 3. 能运用等腰三角形的性质解决简单的几何问题。 知识点梳理 1. 等腰三角形的定义 · 定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 · 组成要素： (1) 相等的两条边称为腰； (2) 第三条边称为底边； (3) 两腰的夹角称为顶角； (4) 底边与腰的夹角称为底角。 2. 等腰三角形的性质 · 性质1（等边对等角）：等腰三角形的两个底角相等。 符号语言：若△ABC中AB=AC，则∠B=∠C。 · 性质2（三线合一）：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 3. 等腰三角形的对称性 · 等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线所在的直线（或底边上的高、中线所在的直线）。 重点知识讲解 1. 等边对等角的证明 · 已知：△ABC中，AB=AC。 · 求证：∠B=∠C。 · 证明方法： (1) 作顶角∠BAC的平分线AD，交BC于D。 (2) 由SAS可证△ABD≌△ACD，从而得出∠B=∠C。 2. 三线合一的应用 · 示例：若AD是等腰△ABC的顶角平分线，则AD同时是： (1) 底边BC的中线（即BD=DC）； (2) 底边BC的高（即AD⊥BC）。 3. 典型例题分析 例题：如图（请根据提示自行画出三角形），△ABC中AB=AC，∠A=40°，求∠B的度数。 · 解析： 1. 由等边对等角，∠B=∠C； 2. 三角形内角和为180°，故∠B=180°−40°2=70°。 知识点总结 核心内容 关键点 定义 两条边相等的三角形，腰、底边、顶角、底角。 性质1：等边对等角 两底角相等，符号语言：AB=AC ⇒ ∠B=∠C。 性质2：三线合一 顶角平分线、底边中线、高线重合。 对称性 轴对称图形，对称轴为顶角平分线。 注意事项 1. 使用性质时需先明确等腰三角形的腰和底边； 2. 证明题中常通过作辅助线（如顶角平分线）构造全等三角形。 巩固练习 一、选择题 1．等腰三角形一边长为4，一边长9，它的周长是（　　） A．17 B．22 C．17或22 D．不确定 2．若等腰三角形有一个角是 100°，则它的底角为（　　） A．100° B．40° C．100°或 40° D．80° 3．直角三角形斜边上的高与中线分别为和，则它的面积为　　． A．30 B．60 C．45 D．15 4．下列说法中错误的是（　　） A．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 B．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半 C．轴对称图形的对应点所连线段被对称轴垂直平分 D．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等 5．在△ABC中，AC=BC>AB，P为△ABC所在平面内一点，且点P与△ABC的任意两个顶点构成的△PAB，△PBC，△PAC均为等腰三角形.满足上述条件的点P有(　　). A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 6．如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=2，ON=4，点P是边OB上的点，则能使点P，M，N构成等腰三角形的点P的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．下列尺规作图中，一定能得到的是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在等腰三角形ABC中，AD是底边BC上的中线，DE是△ABD的高线.图中与∠BAD相等的角有(　　). A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，中，是的中点，下列结论不正确的是（　　） A． B． C．平分 D． 10．如图，中，为的中点，于点，若，，则（　　） A．3 B．4 C． D． 11．如图，在3×3的正方形网格中，点A、B在格点(网格线的交点)上，要找一个格点C，连接AC，BC，使ABC成为轴对称图形，则符合条件的格点C的个数是（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 12．如图，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（　　） A．BC B．CE C．AD D．AC 13．如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（　　） A．8个 B．7个 C．6个 D．5个 二、填空题 14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为　 　． 15．四边形中，，点在边上，，，，则的面积． 16．如图，在中，，为的中点．若，则的度数为　 　． 17．如图，在中，，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是　 　． 18．如图， 在 中， 平分， 点 在 的延长线上，， 若， 则的度数为　 　． 19．如图，的内角和外角的角平分线交于点O．交于点F，过点O作交延长线于点E，交延长线于点G，连接，有以下结论：①；②；③；④若，则．其中正确的结论有　 　 三、解答题 20．如图，在中，点是边上的一点，连结，垂直平分，垂足为，交于点．连结． （1）若的周长为，的周长为，求的长． （2）若，，求的度数． 21．如图，点E，F在BC上，BE=CF，∠A=∠D，∠B=∠C，AF与DE交于点O． （1）求证：AB=DC； （2）试判断△OEF的形状，并说明理由． 22．如图1，中，于D，，过点A作于H，交于P．回答下列问题： （1）求线段的长； （2）连结，求证：； （3）如图2，若点O为的中点，点M为线段延长线上一动点，连结，过点O作，交线段延长线于点N，则的值是否发生变化？若发生变化，请求出该值的取值范围；若不变化，请求出该值． 23．如图，在平面直角坐标系中，点B坐标为(-3，0)，点A是y轴正半轴上一点，且AB=5，点P是x轴上位于点B右侧的一个动点，设点P的坐标为（m，0） （1）点A的坐标为(　　) （2）当△ABP是等腰三角形时，求P点的坐标； （3）如图2，过点P作PE⊥AB交线段AB于点E，连接OE．若点A关于直线OE的对称点为A'，当点A'恰好落在直线PE上时，BE=________(直接写出答案) 参考答案 1．B 2．B 3．A 4．A 5．D 6．B 7．C 8．B 9．D 10．C 11．B 12．B 13．A 14．7 15．5 16． 17． 18．50 19．①③④ 20．（1）解：垂直平分， ，， 的周长为，的周长为， ，， ， （2）解：∵，，， ， ， ， ， ， ​​​​​​​ 21．（1）证明：∵BE=CF， ∴BE+EF=CF+EF， 即BF=CE． 又∵∠A=∠D，∠B=∠C， ∴△ABF≌△DCE（AAS）， ∴AB=DC （2）解：△OEF为等腰三角形 理由如下：∵△ABF≌△DCE， ∴∠AFB=∠DEC， ∴OE=OF， ∴△OEF为等腰三角形 22．（1）2 （2） （3）的值不发生改变，值为4 23．（1）0，4；（2）P点的坐标为(3，0)、 (2，0)或；（3） 学科网（北京）股份有限公司 $