2.3直线的交点坐标与距离公式讲义+巩固提升训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.3直线的交点坐标与距离公式 基础巩固 一、单选题 1．（2025高二·全国·专题练习）直线和的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·山西运城·期中）已知点，点B在直线上运动，当线段最短时，点B的坐标为（    ）. A． B． C． D． 3．（25-26高二上·全国·单元测试）已知三边所在直线方程分别为，则边上的高所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·广东·阶段练习）平面直角坐标系中，已知点，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·江苏常州·期末）点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·北京·阶段练习）若点在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C．13 D． 7．（25-26高二上·全国·单元测试）已知，两点到直线l：的距离相等，则a的值为（    ） A． B． C．或 D．或 8．（2025高三·全国·专题练习）已知直线，，则下列说法错误的是（ ） A．直线过定点 B．当时， C．当时， D．当时，两直线，之间的距离为1 二、多选题 9．（25-26高二上·全国·期中）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线在轴上的截距为1 B．直线与直线之间的距离为 C．直线的一个方向向量为 D．直线与直线垂直 10．（25-26高一上·河北石家庄·开学考试）已知O为坐标原点，点，，，，则（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线：，：，：，若直线，，不能围成三角形，则实数a的值可能为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（25-26高二上·全国·单元测试）若直线与直线的交点位于第一象限，则实数的取值范围是 ． 13．（24-25高二上·上海·阶段练习）直线过点，且原点与距离为5，则直线的方程为 . 14．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线与，过点的直线被截得的线段恰好被点平分，则这三条直线围成的三角形面积为 ． 四、解答题 15．如图，和是在直线同侧的两个等边三角形．试用坐标法证明：． 16．（25-26高二上·全国·课堂例题）如图所示，是直线l的一个法向量， (1)什么是平面上点P到直线l的距离？ (2)如何从向量投影的角度得出的模的表达式？ 17．（24-25高二下·河北张家口·阶段练习）已知直线与直线． (1)当为何值时，与相交； (2)当为何值时，与平行，并求与的距离；. 18．（24-25高二上·广东湛江·期末）设，直线，直线． (1)若直线与的距离为，求的值． (2)若直线与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积为4，求的值． 19．（25-26高二上·全国·单元测试）已知两直线，． (1)求直线与的交点的坐标； (2)求过直线交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； (3)若直线与直线能构成三角形，求实数的取值范围． 能力提升 一、填空题 1．（24-25高二上·福建莆田·期中）数学家莱昂哈德▪欧拉在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的重心、外心、垂心在同一条直线上，这条直线被称为欧拉线.已知的顶点，，其欧拉线方程为，则外接圆的半径 ，顶点的坐标为 . 二、单选题 2．（23-24高二上�辽宁沈阳�阶段练习）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．已知点M，N分别在直线：与直线：，且，点，，则|的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·全国·单元测试）若动点，分别在直线与上移动，则的中点到原点的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·辽宁·阶段练习）已知、，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·内蒙古赤峰·三模）出租车几何，又称曼哈顿距离（ManhattanDistance），最早由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基在研究度量几何时提出，用以标明两点在各坐标轴上的绝对差之和.设点，，则，两点之间的曼哈顿距离为.已知点，，动点满足，是直线上的动点，则的最小值为（） A． B． C． D． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3直线的交点坐标与距离公式 题型1 直线的交点问题 4 考点1 两直线相交问题 4 考点2 三条直线相交的问题 5 考点3 求过交点的直线问题 5 题型2 两点间距离公式的应用 6 题型3 点到直线的距离公式的应用 7 题型4 两条平行直线间的距离公式的应用 8 题型5 直线的交点坐标与距离公式综合应用 10 知识点一 两条直线相交 1．两条直线的交点 已知两条直线若两直线方程组成的方程组 有唯一解则两直线相交,交点坐标为 2．方程组的解的组数与两直线的位置关系 方程组的解 交点 两直线的位置关系 方程的系数特征 无解 两直线无交点 平行 有唯一解 两条直线有唯一交点 相交 有无数个解 两条直线有无数个交点 重合 , 3．两条直线相交的条件的理解 (1)设,则与相交的条件是, 或 (2)设两条直线,,则与相交 知识点二 两点间的距离 1．两点间的距离公式 由点,得于是,由此得到两点间的距离公式 特别地,原点与任一点间的距离 2．坐标法解题的基本步骤 (1)建立适当的平面直角坐标系,用坐标表示有关的量； (2)进行代数运算； (3)把代数运算的结果“翻译”成几何关系. 注：1.两点间的距离公式的特殊形式：①当轴时,;②当轴时, 2.平面内两点间的距离公式是建立在数轴上两点间的距离公式的基础上的,是将不垂直于坐标轴的线段进行分解,转化成垂直于坐标轴的线段,利用勾股定理推导得出的.这一过程体现了“化斜为直”“化一般为特殊”的数学思想. 3.已知斜率为的直线上的两点,由两点间的距离公式可得 4.利用两点间的距离公式可以将有关的几何问题转化为代数问题. 知识点三 点到直线的距离 1．点到直线的距离公式 平面上任意一点到直线(,不同时为)的距离 2．点到直线的距离公式的推导 如图所示,设,,则直线与轴和轴都相交,过点分别作轴和轴的平行线,交直线于和,则直线的方程为,的坐标为;直线的方程为,的坐标为,于是有 设,由三角形的面积公式可得,于是得因此,点到直线的距离可以验证,当,或时,上述公式也成立. 知识点四 两条平行直线之间的距离 1．两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长. 2．两条平行直线间的距离公式 一般地,两条平行直线(其中与不同时为0,且(间的距离 3．两条平行直线间的距离公式的推导 两条平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离. 对于两条平行直线(其中与不同时为,(,在直线上任取一点.,则点到直线的距离,即与之间的距离.证明过程如下： 因为点在直线上,所以,即,所以两条平行直线,(其中与不同时为,且(之间的距离为. 注：1.两条平行直线间的距离公式适用于两条直线的方程都是一般式,并且的系数分别对应相等的情况,否则必须先化为一般式且系数对应相等才能使用此公式. 2.当两直线都与轴(或轴)垂直时,可利用数形结合来解决. (1)两直线都与轴垂直时,,,则 (2)两直线都与轴垂直时,,,则 题型1 直线的交点问题 考点1 两直线相交问题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点；若不相交，说明它们的位置关系． (1)和； (2)和； (3)和． 2．直线与直线互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25高二上�广东东莞�阶段练习）若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点2 三条直线相交的问题 4．（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知三条直线，，相交于一点，则 . 5．（多选）（24-25高二上·广东佛山·期中）已知三条直线能构成三角形，则实数可能为（   ） A． B． C． D．6 6．（多选）（24-25高二上·湖北·期中）若三条直线，，不能构成三角形，则的值为（    ） A． B． C． D． 考点3 求过交点的直线问题 7．（2025高二上·上海·专题练习）直线l经过原点，且经过两条直线的交点，则直线l的方程为 . 8．（2025高三·全国·专题练习）求经过点和两直线和的交点的直线方程． 9．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知直线l过直线与直线的交点，且与直线平行，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 10．已知两条直线和的交点为，则过点且与直线垂直的直线的方程为（　　） A． B． C． D． 题型2 两点间距离公式的应用 11．（2025高二上·全国·专题练习）已知点，试判断此三角形的形状，并求其面积． 12．（23-24高一下�北京顺义�阶段练习）已知三角形的顶点为，，. (1)求直线的方程； (2)若直线l过点B且与直线交于点E，，求直线l的方程. 13．（25-26高二上·河南南阳·开学考试）已知是直线上的两点，若，求 . 14．（25-26高二上·全国·课前预习）顺次连接构成一个等腰三角形，则实数m的一个取值可能为 ． 15．（24-25高二上·山东青岛·期中）数学家欧拉（Euler）1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．若的顶点，则欧拉线方程为 ． 16．（25-26高二上·全国·单元测试）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 题型3 点到直线的距离公式的应用 17．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知两点和到直线距离相等，则值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 18．（多选）（24-25高二上·广东东莞·期中）过点且与两点距离相等的直线方程（    ） A． B． C． D． 19．（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）点，到直线的距离相等，则 . 20．（25-26高二上·全国·课前预习）已知直线和的交点为，则点到直线的距离的取值范围是（   ） A． B． C． D． 21．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知直线与. (1)若两点分别在直线上运动，求的中点到原点的最短距离； (2)若直线过点，且被直线截得的线段长为，求直线的方程. 题型4 两条平行直线间的距离公式的应用 22．（25-26高二上·全国·期中）若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线在x轴上的截距为 ． 23．（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）已知直线. (1)若直线过点，且，求直线的方程； (2)若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程. 24．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知直线，直线， (1)若与相交，求实数的值； (2)若与平行.求实数的值并求出此时两直线间的距离. 25．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线与直线，在上任取一点，在上任取一点，连接AB，取AB的靠近点的四等分点，过点作的平行线，则与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 26．（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知点为动点，且的面积为1，则动点的轨迹方程为（    ） A． B．或 C． D．或 题型5 直线的交点坐标与距离公式综合应用 27．（24-25高二上�福建福州�期中）在中，已知，边上的中线所在直线方程是，边的高线所在直线方程是. (1)求点的坐标； (2)判断的形状. 28．（24-25高二下·山东菏泽·开学考试）已知在中，边上的高所在的直线方程为边上的高所在的直线方程为，点的坐标为.求： (1)边所在的直线方程； (2)的面积. 29．（24-25高二上·广东潮州·期末）四边形的四个顶点坐标分别为. (1)求边的垂直平分线的方程； (2)若四边形为平行四边形，求顶点的坐标及四边形的面积. 30．（25-26高二上·全国·单元测试）已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为． (1)求直线的方程； (2)若直线上任意一点，都满足，求直线的方程． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3直线的交点坐标与距离公式 基础巩固 一、单选题 1．（2025高二·全国·专题练习）直线和的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求直线交点坐标 【分析】联立方程求解即可. 【详解】由方程组，得，即交点为． 故选：C． 2．（23-24高二上·山西运城·期中）已知点，点B在直线上运动，当线段最短时，点B的坐标为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】直线的斜截式方程及辨析、求直线交点坐标 【分析】当线段最短时，直线与直线垂直，点为直线与直线的交点. 【详解】当线段最短时，直线与直线垂直， 此时点为直线与直线的交点. 因为直线与直线垂直， 所以，直线方程为， 由得，所以. 故选：A. 3．（25-26高二上·全国·单元测试）已知三边所在直线方程分别为，则边上的高所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由两条直线垂直求方程、求直线交点坐标 【分析】在中，边上的高必过点B，联立、得出交点B，设边上的高所在直线的斜率为，根据互相垂直直线斜率乘积为解出斜率，求出直线所在方程. 【详解】设边上的高所在直线的斜率为，则有， 联立、方程，得交点， 中边上的高过点，斜率为，所在直线的方程为， 即． 故选：A. 4．（25-26高三上·广东·阶段练习）平面直角坐标系中，已知点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】余弦定理解三角形、求平面两点间的距离 【分析】根据两点间距离公式计算，再利用余弦定理即可求得. 【详解】因为，三点不共线， 则， ， ， 由余弦定理，可得. 故选：D. 5．（24-25高二上·江苏常州·期末）点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】直线过定点问题、求平面两点间的距离 【分析】分析得直线过定点，当与直线垂直时距离有最大值，利用两点间距离公式计算可得结果. 【详解】 由得， 由得，故直线过定点. 记点为点，当与直线垂直时，点到直线的距离有最大值， 最大值为. 故选：D. 6．（24-25高二上·北京·阶段练习）若点在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C．13 D． 【答案】C 【知识点】用两点间的距离公式求函数最值 【分析】通过消元，将所求转化为，分析该式子的几何意义为轴上某动点到两定点的距离之和，利用的性质，即可得出所求最小值. 【详解】因为点在直线上运动，所以， 所以， 表示轴上一点到两定点的距离之和. 在轴两侧，因为中，两边之和大于第三边，所以， 当三点共线时，，此时最小值为， 即的最小值为. 故选：C. 7．（25-26高二上·全国·单元测试）已知，两点到直线l：的距离相等，则a的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】已知两点求斜率、已知点到直线距离求参数、求到两点距离相等的直线方程 【分析】法一：由点线距离公式列方程求参数值；法二：两点到直线的距离相等，则直线与两定点所在直线平行，或直线过以两定点为端点的线段的中点，列方程求参数值. 【详解】法一：因为点，到直线l：的距离相等， 所以，即， 化简得，解得或； 法二：若，由，，得直线AB的斜率为，又直线l的斜率为，故； 若在两侧，线段AB的中点，代入直线l：，得，则． 经检验，或均符合题意. 故选：C 8．（2025高三·全国·专题练习）已知直线，，则下列说法错误的是（ ） A．直线过定点 B．当时， C．当时， D．当时，两直线，之间的距离为1 【答案】B 【知识点】由斜率判断两条直线平行、直线过定点问题、求平行线间的距离 【分析】利用过两直线的交点直线系方程求得定点坐标判断A；根据两直线垂直与平行的条件计算可判断BC；根据两平行直线间的距离公式计算可判断D. 【详解】对A，变形为 令，则，因此直线过定点，故A正确； 对于B，当时，，由于，，故两直线不平行，故B错误； 对于C，当时，， 由于，故两直线平行，故C正确； 对于D，当时，则满足，解得， 此时，则两直线距离为， 故D正确； 故选：B. 二、多选题 9．（25-26高二上·全国·期中）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线在轴上的截距为1 B．直线与直线之间的距离为 C．直线的一个方向向量为 D．直线与直线垂直 【答案】BD 【知识点】由一般式方程判断直线的垂直、求平行线间的距离、求直线的方向向量（平面中） 【分析】令可判断A；利用平行线之间的距离公式可判断B；求出直线的斜率可判断C；由方程判断两直线的位置关系可判断D． 【详解】对于A，令得，直线在轴上的截距为，故A错误； 对于B，直线与直线平行，直线与直线之间的距离为，故B正确； 对于C，直线的斜率为，以为方向向量的直线的斜率为3，故C错误； 对于D，由，得，故D正确． 故选：BD. 10．（25-26高一上·河北石家庄·开学考试）已知O为坐标原点，点，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、求平面两点间的距离 【分析】应用两点距离公式及同角三角函数的平方关系判断各项的正误. 【详解】A：由，对； B：由，，故不一定成立，错； C：由，，结合A分析，则，对； D：由A、C分析，易知，对. 故选：ACD 11．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线：，：，：，若直线，，不能围成三角形，则实数a的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】已知直线平行求参数、直线过定点问题、求直线交点坐标、三线能围成三角形的问题 【分析】根据已知得，的交点坐标为，又过定点，讨论经过点，或与平行，或与平行求参数值，即可得. 【详解】由，解得，所以，的交点坐标为，又过定点， 若直线，，不能围成三角形，只需经过点，或与平行，或与平行， 当经过点时，，解得， 当与平行时，且，解得， 当与平行时，，解得， 故a的值为，，. 故选：BCD 三、填空题 12．（25-26高二上·全国·单元测试）若直线与直线的交点位于第一象限，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求直线交点坐标 【分析】解方程组求得交点坐标，再结合已知建立不等式并求解. 【详解】由，解得，即直线与直线交于点， 依题意，，解得，所以实数的取值范围是. 故答案为： 13．（24-25高二上·上海·阶段练习）直线过点，且原点与距离为5，则直线的方程为 . 【答案】 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求点到直线的距离、已知点到直线距离求参数 【分析】对直线的斜率分类讨论，利用点斜式设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】当直线的斜率不存在时，直线方程为,则原点到其距离为4，不成立； 当直线的斜率存在时，设为，则直线的方程为，即， 根据点到直线的距离公式，直线到点的距离为： ， 依题意，，即，，， 解得，因此直线的方程为，即. 故答案为：. 14．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线与，过点的直线被截得的线段恰好被点平分，则这三条直线围成的三角形面积为 ． 【答案】/ 【知识点】三线能围成三角形的问题 【分析】设直线与直线的交点分别为，且，则，代入直线，即可得点的坐标，则可算出和直线的方程，再求的交点到的距离，最后利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】设直线与直线的交点分别为，且，则由题意可知，点关于点的对称点在上,所以，解得， 所以，所以． 因为直线过点，所以直线的斜率， 所以直线的方程为，即． 联立的方程得解得的交点坐标为． 因为点到直线的距离， 所以这三条直线围成的三角形面积为． 故答案为：． 四、解答题 15．如图，和是在直线同侧的两个等边三角形．试用坐标法证明：． 【答案】证明见解析. 【知识点】求平面两点间的距离 【分析】以点为坐标原点，取所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图，设和的边长分别为和．求出各点坐标，计算出线段长可得． 【详解】如图所示，以点为坐标原点，取所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图． 设和的边长分别为和． 则，，，， 由距离公式，得 ， ， 所以． 16．（25-26高二上·全国·课堂例题）如图所示，是直线l的一个法向量， (1)什么是平面上点P到直线l的距离？ (2)如何从向量投影的角度得出的模的表达式？ 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【知识点】求点到直线的距离、求直线的法向量 【分析】（1）根据题意分析即可； （2）根据题意结合向量投影分析判断. 【详解】（1）点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足． （2）设是直线：上的任意一点， 因为，则，. 则是在上的投影向量， 所以， 因为点在直线l上，则， 故. 17．（24-25高二下·河北张家口·阶段练习）已知直线与直线． (1)当为何值时，与相交； (2)当为何值时，与平行，并求与的距离；. 【答案】(1)且 (2) 【知识点】已知直线平行求参数、由直线交点的个数求参数、求平行线间的距离 【分析】（1）当时与相交，即可求出的值； （2）根据一般式下两直线平行的条件得到方程（不等式）组，求出的值，再由距离公式计算可得. 【详解】（1）因为直线与直线， 当直线与相交，则，解得且. （2）由直线与平行，则，解得， 所以此时直线，， 所以与的距离. 18．（24-25高二上·广东湛江·期末）设，直线，直线． (1)若直线与的距离为，求的值． (2)若直线与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积为4，求的值． 【答案】(1)或； (2)4. 【知识点】直线与坐标轴围成图形的面积问题、求平行线间的距离 【分析】（1）利用平行线间距离公式列式求出 （2）求出直线的横纵截距，由面积列式求出. 【详解】（1）当时，直线与直线平行， 则，解得或， 所以或. （2）依题意，，直线交轴于，交轴于， 则，所以. 19．（25-26高二上·全国·单元测试）已知两直线，． (1)求直线与的交点的坐标； (2)求过直线交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； (3)若直线与直线能构成三角形，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】直线截距式方程及辨析、求直线交点坐标、三线能围成三角形的问题 【分析】（1）联立两条直线构成方程组，求解方程组即可得到交点坐标； （2）在两坐标轴上的截距相等时，设出直线方程，分截距为和不为两种情况讨论即可； （3）直线与直线能构成三角形时要考虑不能构成三角形的三种情况即可. 【详解】（1）由题意得，，解得，点的坐标为． （2）设所求直线为， （ⅰ）当直线在两坐标轴上的截距不为0时，设直线方程为，则，解得， 直线的方程为，即； （ⅱ）当直线在两坐标轴上的截距为0时，设直线方程为，则，解得， 直线的方程为，即． 综上，直线的方程为或． （3）（ⅰ）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得； （ⅱ）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得； （ⅲ）当直线过与的交点时，不能构成三角形，此时，解得． 综上，当，且，且时，能构成三角形． 能力提升 一、填空题 1．（24-25高二上·福建莆田·期中）数学家莱昂哈德▪欧拉在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的重心、外心、垂心在同一条直线上，这条直线被称为欧拉线.已知的顶点，，其欧拉线方程为，则外接圆的半径 ，顶点的坐标为 . 【答案】 【知识点】求直线交点坐标、求平面两点间的距离 【分析】第一空，由欧拉线定义可得AB中垂线与其交点即为外心，然后由外心坐标可得外接圆半径；第二空，设，由重心坐标公式及欧拉线方程可得纵坐标，然后由外接圆半径可得横坐标. 【详解】第一空，因，，则AB中点坐标为，， 则AB中垂线方程为：， 则其与交点为，即外心坐标为， 则外接圆半径； 第二空，设，结合，，可得重心坐标为：， 因其在上，则，则.又，外心坐标为， 则或3（与B重合，舍去），则. 故答案为：； 二、单选题 2．（23-24高二上�辽宁沈阳�阶段练习）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由一般式方程判断直线的垂直、直线过定点问题、求平面两点间的距离 【分析】根据直线方程求出、坐标，然后分和两种情况讨论，利用直线垂直的条件可证两直线垂直，从而得出，再利用基本不等式求得的最大值即可得解. 【详解】解：对直线：，当时，则直线过定点， 对直线：，当时，则直线过定点， 当时，如上图，直线为，直线为， 则交点， 此时，，∴； 当时，如上图，直线的斜率为，直线的斜率为， ∵，∴，则是直角三角形， ∴， 又∵， 且， ∴，当且仅当时等号成立. ∴的最大值为. 故选：B. 3．已知点M，N分别在直线：与直线：，且，点，，则|的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求直线交点坐标、用两点间的距离公式求函数最值 【分析】设出点坐标，求得点坐标，求得的表达式，再求得其最小值. 【详解】设，则直线的方程为， 由， 所以， 设， 则表示直线上的点与连线的距离之和， 所以的最小值为. 故选：C 4．（25-26高二上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知两点求斜率、求点到直线的距离 【分析】由点到直线的距离公式得，作图，结合的几何意义求解可得． 【详解】将直线与化为一般式为， 所以到两直线的距离之和为， 所以①． 当时，①式变形为； 当时，①式变形为； 当时，①式变形为； 当时，①式变形为． 则动点的轨迹为如图所示的四边形的边， 的几何意义为四边形边上任意一点与连线的斜率． 由，得， 由，得, ，，，， 所以的取值范围是． 故选：C 5．（25-26高二上·全国·单元测试）若动点，分别在直线与上移动，则的中点到原点的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】轨迹问题——直线、求点到直线的距离 【分析】根据动点满足的关系式，结合中点公式可得中点满足的方程，利用点到直线的距离求解. 【详解】设的中点的坐标为，则有， 又，分别在直线与上， ∴联立得，两式相加得， ∴，即， 即的中点在直线上移动， ∴到原点距离的最小值即原点到直线的距离． 故选：A. 6．（25-26高三上·辽宁·阶段练习）已知、，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用两点间的距离公式求函数最值 【分析】记点、、、，，可得出，数形结合可得出所求代数式的最小值. 【详解】记点、、、，，如下图所示： 易知四边形是边长为的正方形， 所以，，，， 所以， 当且仅当点在线段上时，等号成立， ， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 所以 ， 当且仅当点为线段、的交点时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 7．（2025·内蒙古赤峰·三模）出租车几何，又称曼哈顿距离（ManhattanDistance），最早由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基在研究度量几何时提出，用以标明两点在各坐标轴上的绝对差之和.设点，，则，两点之间的曼哈顿距离为.已知点，，动点满足，是直线上的动点，则的最小值为（） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】距离新定义 【分析】由题意可知的轨迹关于轴对称，也关于轴对称，进而先研究其在时的函数解析式，并画出其图象，结合对称性可将图象补充完整，数形结合求解即可. 【详解】由题意可知，的轨迹关于轴对称，也关于轴对称． 当时，， 即 画出此函数的图象，并结合对称性可得点的轨迹是如图所示的六边形． 由图可知，的最小值为图中点到直线的距离． 故选：A 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3直线的交点坐标与距离公式 题型1 直线的交点问题 4 考点1 两直线相交问题 4 考点2 三条直线相交的问题 6 考点3 求过交点的直线问题 8 题型2 两点间距离公式的应用 10 题型3 点到直线的距离公式的应用 14 题型4 两条平行直线间的距离公式的应用 17 题型5 直线的交点坐标与距离公式综合应用 20 知识点一 两条直线相交 1．两条直线的交点 已知两条直线若两直线方程组成的方程组 有唯一解则两直线相交,交点坐标为 2．方程组的解的组数与两直线的位置关系 方程组的解 交点 两直线的位置关系 方程的系数特征 无解 两直线无交点 平行 有唯一解 两条直线有唯一交点 相交 有无数个解 两条直线有无数个交点 重合 , 3．两条直线相交的条件的理解 (1)设,则与相交的条件是, 或 (2)设两条直线,,则与相交 知识点二 两点间的距离 1．两点间的距离公式 由点,得于是,由此得到两点间的距离公式 特别地,原点与任一点间的距离 2．坐标法解题的基本步骤 (1)建立适当的平面直角坐标系,用坐标表示有关的量； (2)进行代数运算； (3)把代数运算的结果“翻译”成几何关系. 注：1.两点间的距离公式的特殊形式：①当轴时,;②当轴时, 2.平面内两点间的距离公式是建立在数轴上两点间的距离公式的基础上的,是将不垂直于坐标轴的线段进行分解,转化成垂直于坐标轴的线段,利用勾股定理推导得出的.这一过程体现了“化斜为直”“化一般为特殊”的数学思想. 3.已知斜率为的直线上的两点,由两点间的距离公式可得 4.利用两点间的距离公式可以将有关的几何问题转化为代数问题. 知识点三 点到直线的距离 1．点到直线的距离公式 平面上任意一点到直线(,不同时为)的距离 2．点到直线的距离公式的推导 如图所示,设,,则直线与轴和轴都相交,过点分别作轴和轴的平行线,交直线于和,则直线的方程为,的坐标为;直线的方程为,的坐标为,于是有 设,由三角形的面积公式可得,于是得因此,点到直线的距离可以验证,当,或时,上述公式也成立. 知识点四 两条平行直线之间的距离 1．两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长. 2．两条平行直线间的距离公式 一般地,两条平行直线(其中与不同时为0,且(间的距离 3．两条平行直线间的距离公式的推导 两条平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离. 对于两条平行直线(其中与不同时为,(,在直线上任取一点.,则点到直线的距离,即与之间的距离.证明过程如下： 因为点在直线上,所以,即,所以两条平行直线,(其中与不同时为,且(之间的距离为. 注：1.两条平行直线间的距离公式适用于两条直线的方程都是一般式,并且的系数分别对应相等的情况,否则必须先化为一般式且系数对应相等才能使用此公式. 2.当两直线都与轴(或轴)垂直时,可利用数形结合来解决. (1)两直线都与轴垂直时,,,则 (2)两直线都与轴垂直时,,,则 题型1 直线的交点问题 考点1 两直线相交问题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点；若不相交，说明它们的位置关系． (1)和； (2)和； (3)和． 【答案】(1)相交，交点坐标为 (2)不相交，重合 (3)不相交， 【知识点】由方程组的解的个数判断直线位置关系、求直线交点坐标 【分析】（1）解方程组得到两直线的交点坐标； （2）通过方程组的解判断两直线的位置关系； （3）通过方程组的解判断两直线的位置关系. 【详解】（1）解方程组，得 因此直线和相交，交点坐标为． （2）方程组有无数个解，这表明直线和重合． （3）方程组无解，这表明直线和没有公共点，故． 2．直线与直线互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求直线交点坐标、已知直线垂直求参数 【分析】时，直线分别化为：，此时两条直线不垂直. 时，利用两条直线垂直可得：，解得. 联立方程解出即可得出. 【详解】时，直线分别化为：，此时两条直线不垂直. 时，由两条直线垂直可得：，解得. 综上可得：. 联立，解得，. ∴这两条直线的交点坐标为. 故选： 【点睛】本题考查了直线相互垂直、分类讨论方法、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 3．（24-25高二上�广东东莞�阶段练习）若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由直线的交点坐标求参数、求直线交点坐标 【分析】联立直线方程求出交点坐标，由题意可列出不等式组，即可求得答案. 【详解】由题意联立，解得， 即直线：与直线：的交点为， 由题意可得，解得， 即实数的取值范围是， 故选：A 考点2 三条直线相交的问题 4．（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知三条直线，，相交于一点，则 . 【答案】3 【知识点】由直线的交点坐标求参数、求直线交点坐标 【分析】先由两直线方程求得交点，再将该点代入第三条直线方程，计算即得. 【详解】由和联立，解得， 依题意，点在直线上，解得. 故答案为：3. 5．（多选）（24-25高二上·广东佛山·期中）已知三条直线能构成三角形，则实数可能为（   ） A． B． C． D．6 【答案】AC 【知识点】由直线的交点坐标求参数、求直线交点坐标、已知直线平行求参数 【分析】对三条直线的位置关系分三种情况分别讨论，即可得解. 【详解】若三条直线不能构成三角形，则直线存在以下三种情况； ①当与平行（或重合）时，则，解得； ②当与平行（或重合）时，则，解得； ③当三条直线交于同一点时，由，解得， 代入解得. 所以选项中，三条直线能构成三角形的实数可能为，AC正确， 故选：AC. 6．（多选）（24-25高二上·湖北·期中）若三条直线，，不能构成三角形，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】由直线的交点坐标求参数、求直线交点坐标、已知直线平行求参数 【分析】由三条直线不能围成三角形，则三条直线中至少有两条直线平行或三条直线交于同一点列式可得结果. 【详解】设，，， 由，解得， 所以与的交点为， 因为三条直线不能围成三角形，所以过与的交点或或， 当过与的交点时，，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 综上，的值为. 故选：ABD. 考点3 求过交点的直线问题 7．（2025高二上·上海·专题练习）直线l经过原点，且经过两条直线的交点，则直线l的方程为 【答案】 【知识点】求直线交点坐标、直线的点斜式方程及辨析 【分析】思路一：求出交点坐标得直线斜率即可求解；思路二：设所求直线l的方程为，将原点坐标代入求得的值即可. 【详解】方法1：联立，解得，所以两直线的交点为， 所以直线l的斜率为，则直线l的方程为； 方法2：设所求直线l的方程为， 因为直线l经过原点，所以，解得； 所以直线l的方程为. 故答案为：. 8．（2025高三·全国·专题练习）求经过点和两直线和的交点的直线方程． 【答案】 【知识点】直线交点系方程及应用、求直线交点坐标、直线两点式方程及辨析 【分析】解法1：设过点的直线方程为，代入点坐标可得答案；解法2：解方程组求出点坐标，由直线两点式方程可得答案． 【详解】解法1：设过点的直线方程为， ，解得， 则，即． 又点不在上，直线不合题意． 故所求直线方程为． 解法2：由，得，即． 所求直线过与， 由得， 故所求直线方程为． 9．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知直线l过直线与直线的交点，且与直线平行，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求直线交点坐标、由两条直线平行求方程 【分析】先求出直线的交点，再设直线的平行直线，最后代入交点求参. 【详解】直线与直线的交点为， 又因为与直线平行，所以设直线为：， 代入得，所以， 所以直线的方程为. 故选：A. 10．已知两条直线和的交点为，则过点且与直线垂直的直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由两条直线垂直求方程 【分析】设所求直线为，然后由直线与垂直，列方程可求出，从而可求出直线的方程. 【详解】设所求直线的方程为，即， 因为直线与垂直， 所以，解得， 所以直线的方程为，即. 故选：B. 题型2 两点间距离公式的应用 11．（2025高二上·全国·专题练习）已知点，试判断此三角形的形状，并求其面积． 【答案】是等腰直角三角形，. 【知识点】由顶点坐标判断三角形的形状、已知两点求斜率、由斜率判断两条直线垂直、求平面两点间的距离 【分析】根据两点间的距离公式求出的三边的长，然后根据三边的关系判断出三角形的形状，再根据三角形的面积公式求三角形的面积． 【详解】解法一  因为， ， 又， 所以，且， 所以是等腰直角三角形， ． 解法二  因为，， 则， 所以． 又， ， 所以， 所以是等腰直角三角形， ． 【点睛】本题主要考查两点间的距离公式的应用，通过三角形的三边之长判断三角形的形状. 12．（23-24高一下�北京顺义�阶段练习）已知三角形的顶点为，，. (1)求直线的方程； (2)若直线l过点B且与直线交于点E，，求直线l的方程. 【答案】(1). (2)直线的方程为或. 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由距离求点的坐标 【分析】（1）由，，即可求出直线的斜率，由点斜式即可写出直线的方程； （2）设出点的坐标，由两点间的距离公式列出方程，解出的值，根据、点的坐标即可求出直线的方程. 【详解】（1）因为直线的斜率为， 所以直线的方程为：， 即直线的方程为：. （2）因为点E在直线上，直线的方程为：， 所以设的坐标为，，， ， 解得：或， 的坐标为或， 因为直线过点， 当直线的斜率不存在时，则， 当直线的斜率存在时，， 所以，化简可得. 直线的方程为或. 13．（25-26高二上·河南南阳·开学考试）已知是直线上的两点，若，求 . 【答案】 【知识点】求平面两点间的距离 【分析】根据题设条件先求出，再利用两点间的距离公式计算即得. 【详解】因为，在直线l上，所以，. 由已知，得， 由两点间的距离公式，得. 故答案为：. 14．（25-26高二上·全国·课前预习）顺次连接构成一个等腰三角形，则实数m的一个取值可能为 ． 【答案】（或，答案不唯一） 【知识点】求平面两点间的距离 【分析】分别计算、、时的的值即可. 【详解】当时，由两点间距离公式可得，解得； 当时，由两点间距离公式可得， 解得； 当时，由两点间距离公式可得， 此时方程无解，综上，m的取值可能为． 故答案为：（或，答案不唯一）. 15．（24-25高二上·山东青岛·期中）数学家欧拉（Euler）1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．若的顶点，则欧拉线方程为 ． 【答案】 【知识点】已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、由距离求点的坐标 【分析】根据给定信息，利用三角形重心坐标公式求出的重心，再结合对称性求出的外心，然后由点斜式即可求得欧拉线的方程. 【详解】因的顶点，则其重心为,即； 显然的外心在线段的中垂线上，故可设， 由，可得，解得, 则外心坐标为，于是, 故欧拉线方程为：，即. 故答案为：. 16．（25-26高二上·全国·单元测试）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【知识点】求平面两点间的距离 【分析】将转化成到点的距离与到点的距离之差，再结合和两点间的距离公式进行求解． 【详解】由所求的式子的形式想到距离之差， ， 可转化成轴上一点到点的距离与到点的距离之差， 则（当且仅当三点共线时取等号）， 所以的最大值为． 故选：B. 题型3 点到直线的距离公式的应用 17．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知两点和到直线距离相等，则值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【知识点】求到两点距离相等的直线方程 【详解】根据点到直线的距离公式列出等式，由此能求出． 【解答】两点和到直线距离相等， ，解得，或． 故选：B． 18．（多选）（24-25高二上·广东东莞·期中）过点且与两点距离相等的直线方程（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求到两点距离相等的直线方程 【分析】先设直线方程，再根据点到直线距离公式列方程解得结果. 【详解】由题意得：满足条件的直线斜率存在， 可设所求直线方程为，即， 因为与点距离相等， 则，可得，解得或， 所以所求直线方程为或. 故选：BC 19．（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）点，到直线的距离相等，则 . 【答案】或 【知识点】求点到直线的距离、求到两点距离相等的直线方程 【分析】根据条件，利用点到直线的距离公式建立方程，即可求解. 【详解】由题有， 整理得到，解得或， 故答案为：或. 20．（25-26高二上·全国·课前预习）已知直线和的交点为，则点到直线的距离的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求直线交点坐标、求点到直线的距离 【分析】联立直线方程求得点的坐标，对的取值分情况讨论，并结合点到直线的距离公式，进而求得点到直线的距离的取值范围. 【详解】联立，解得，即点的坐标为， 点到直线的距离， 当时，， 当时，，恒有，于是， 综上，点到直线的距离的取值范围是. 故选：C. 21．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知直线与. (1)若两点分别在直线上运动，求的中点到原点的最短距离； (2)若直线过点，且被直线截得的线段长为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【知识点】由距离求已知直线的平行线、求点到直线的距离、直线的点斜式方程及辨析、求平行线间的距离 【分析】（1）将问题转化为原点到直线的距离，利用点到直线距离公式可求得结果； （2）根据平行线间距离公式可确定直线与垂直，由此可得直线斜率，利用直线点斜式可整理得到结果. 【详解】（1）设与直线平行且到距离相等的直线上的点为， 则，，即， 的中点到原点的最短距离即为原点到直线的距离， 所求最短距离为. （2）与之间的距离， 直线与直线垂直，即，又直线过点， 直线方程为：，即. 题型4 两条平行直线间的距离公式的应用 22．（25-26高二上·全国·期中）若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线在x轴上的截距为 ． 【答案】或13 【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离 【分析】由两直线平行可得n，再利用平行直线间的距离公式计算可得m，即可得到答案． 【详解】由题意，，因为，所以，解得，所以：，即， 由两平行直线间的距离公式得，解得或． 在中，令，得，故直线在x轴上的截距为或13. 故答案为：或13. 23．（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）已知直线. (1)若直线过点，且，求直线的方程； (2)若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【知识点】由距离求已知直线的平行线、由两条直线垂直求方程 【分析】（1）根据两直线垂直求出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程； （2）直线的方程为，利用平行线间的距离公式可得出关于的等式，解出的值，即可得出直线的方程. 【详解】（1）易知直线的斜率为，因为，所以直线的斜率为， 又因为直线过点，所以，直线的方程为，即. （2）直线，设直线的方程为， 因为直线与直线之间的距离为， 由平行线间的距离公式可得，解得或， 因此直线的方程为或. 24．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知直线，直线， (1)若与相交，求实数的值； (2)若与平行.求实数的值并求出此时两直线间的距离. 【答案】(1)且. (2) 【知识点】已知直线平行求参数、由直线交点的个数求参数、求平行线间的距离 【分析】（1）根据给定的直线方程，利用两直线相交的充要条件列式求解. （2）由两直线平行列式求出，再利用平行线间距离公式求解. 【详解】（1）由直线与直线相交， 得，即，解得且， 所以实数的取值为且. （2）由直线与平行，得，即，解得， 此时，即，直线， 所以直线与间距离. 25．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线与直线，在上任取一点，在上任取一点，连接AB，取AB的靠近点的四等分点，过点作的平行线，则与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求平行线间的距离 【分析】方法1，由题可得与平行，则与之间的距离为与之间距离的，据此可得答案；方法2，注意到A，B 的选取对直线方程无影响，为此取，可得方程，据此可得答案. 【详解】方法1，直线的方程可化为，又，故直线与平行． 如图，过A作于点，交直线于点，则为所求直线与的距离． 因为，，所以．    方法2，由方法1，直线与平行，则A，B 的选取对直线方程无影响， 不妨设，因为为AB上靠近点的四等分点，则， 设，则. 设直线的方程为，将点的坐标代入，得， 则，故直线与之间的距离． 故选：B 26．（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知点为动点，且的面积为1，则动点的轨迹方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【知识点】由距离求已知直线的平行线、求点到直线的距离 【分析】由题意求得，进而可求点到直线的距离，根据动点的轨迹是与平行的直线，设直线方程为，计算即可得出结果. 【详解】由可知，直线的方程为 的面积为点到直线的距离， 动点的轨迹是与平行的直线，设直线方程为， 则或 动点的轨迹方程为或. 故选：D 题型5 直线的交点坐标与距离公式综合应用 27．（24-25高二上�福建福州�期中）在中，已知，边上的中线所在直线方程是，边的高线所在直线方程是. (1)求点的坐标； (2)判断的形状. 【答案】(1) (2)直角三角形 【知识点】已知直线垂直求参数、求平面两点间的距离 【分析】（1）设，由题意可得，，求解即可. （2）设，由题意可得且，可求得，进而可判断的形状.. 【详解】（1）设， 因为边的高线所在直线方程是，所以， 又，所以①， 又点在直线上，所以②， 由①②解得，所以点的坐标为； （2）设，因为点在上，所以， 因为边上的中线所在直线方程是， 所以，解得，所以， 所以，， 所以，所以， 又，， 所以是直角三角形. 28．（24-25高二下·山东菏泽·开学考试）已知在中，边上的高所在的直线方程为边上的高所在的直线方程为，点的坐标为.求： (1)边所在的直线方程； (2)的面积. 【答案】(1) (2)7 【知识点】已知两点求斜率、直线的一般式方程及辨析、求直线交点坐标、求点到直线的距离 【分析】（1）先分别求出两条直线的交点，再应用两点求斜率，最后根据斜率及点得出直线方程； （2）先求两点间距离及点到直线距离，最后应用面积公式计算即可. 【详解】（1）由题意得设边上的高的斜率为1，边上的高的斜率为，所以直线的斜率分别为. 因为，所以直线的方程分别为. 由解得即； 由解得即. 所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即得. （2）由（1）知，，直线的方程为， 所以. 因为，所以点到直线的距离. 所以的面积. 29．（24-25高二上·广东潮州·期末）四边形的四个顶点坐标分别为. (1)求边的垂直平分线的方程； (2)若四边形为平行四边形，求顶点的坐标及四边形的面积. 【答案】(1) (2)，13 【知识点】直线平行、垂直的判定在几何中的应用、直线的点斜式方程及辨析 【分析】（1）由坐标求出BC的中点为，又由BC的斜率即可求出与BC垂直的直线的斜率，最后由直线的点斜式即可求解； （2）由四边形为平行四边形可得，联立方程组即可求得顶点的坐标，由点到直线的距离公式即可求得点到直线BC的距离，根据面积公式即可求解. 【详解】（1）因为，所以边BC的中点为， 又因为边BC的斜率为， 所以边BC的垂直平分线的斜率为， 所以边BC的垂直平分线的方程为， 化简得； （2）因为四边形为平行四边形，顶点， 所以，且， 联立，解得， 所以顶点. 因为边BC的斜率为， 所以直线BC的方程为， 化简得， 所以点到直线BC的距离为， 又， 所以平行四边形的面积为 30．（25-26高二上·全国·单元测试）已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为． (1)求直线的方程； (2)若直线上任意一点，都满足，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【知识点】已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、求点到直线的距离、求点关于直线的对称点 【分析】（1）设点，根据的中点在直线上，求出点的坐标，再求得关于直线对称的点，进而可求直线的方程； （2）根据题意确定点到直线的距离相等，从而得直线与直线平行，且直线到直线的距离等于点到直线的距离，列式求解即可． 【详解】（1）如图，由点在直线上，设，则的中点在直线上，    所以，解得，所以． 设点关于直线对称的点为， 则有，解得，即， 显然在上，则直线的斜率为， 则直线的方程为，整理得． （2）点到直线的距离为． 因为点满足，所以点到直线的距离相等， 所以直线与直线平行，且直线到直线的距离等于点到直线的距离． 设，则有，解得或4， 所以直线的方程为或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $