精品解析：广东省佛山市石门实验学校2022-2023学年八年级扬长杯数学能力竞赛

石门实验学校扬长杯八年级数学能力竞赛试题 一、选择题（每题3分，共计60分） 1. 下列图形可由平移得到的是（　　） A. B. C. D. 2. 把等式的解集在数轴上表示，正确的是( ) A. B. C. D. 3. 如图，数轴上所表示的关于的不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于的不等式的解如图所示，则的取值是（ ） A. B. C. D. 5. 对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（　　） A. a=3，b=2 B. a=－3，b=2 C. a=3，b=－1 D. a=－1，b=3 6. 由下列条件不能判断是直角三角形的是（　　） A. B. C. D. 7. 下列因式不能整除（　　　） A. B. C. D. 8. 下列多项式中，能用提公因式进行分解因式的是( ) A. B. C. D. 9. 到三角形三个顶点距离都相等的点是三角形（ ）的交点． A. 三边中垂线 B. 三条中线 C. 三条高 D. 三条内角平分线 10. 下列不等式变形中，错误的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 下列各式中，能用完全平方公式分解的个数为（ ） ①；②；③；④；⑤ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，CD⊥AB于D，则CD的长是( ) A. 5 B. 7 C. D. 14. 如图，的垂直平分线交于点，若，则的度数是（ ） A. 25° B. 20° C. 30° D. 15° 15. 如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△AB1C1，若点B1在线段BC的延长线上，则∠BB1C1的大小为( ) A. 70° B. 80° C. 84° D. 86° 16. 如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（ ） A. 点A与点是对称点 B. C. D. 17. 如图，四边形中，，平分，于点．，，则的长为（ ） A. B. C. D. 18. 在Rt△ABC中，AC=BC，点D为AB中点．∠GDH=90°，∠GDH绕点D旋转，DG，DH分别与边AC，BC交于E，F两点．下列结论：①AE+BF=AB；②AE2+BF2=EF2；③S四边形CEDF=S△ABC；④△DEF始终为等腰直角三角形．其中正确的是( ) A. ①②④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 19. 如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，若矩形纸片的宽AB=4，则折痕BM的长为( ) A. B. C. 8 D. 20. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，P是△ABC的高CD上一个动点，以B点为旋转中心把线段BP逆时针旋转45°得到BP′，连接DP′，则DP′的最小值是（　　） A. 2-2 B. 4﹣2 C. 2﹣ D. -1 二、填空题（每题4分，共计40分） 21. 多项式分解因式的结果是____________. 22. 把分解因式的结果是____． 23. 已知点在第一象限，则m的取值范围_____． 24. 若(2x)n-81=(4x2+9)(2x+3)(2x-3）则n=__________ 25. 若关于x的不等式组的解集是x＞a，则a的取值范围是______． 26. 如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC=4，则PD等于_____． 27. 已知a，b，c是的三边长，且满足，则此三角形是______________． 28. 小军同学在网格纸上将某些图形进行平移操作，他发现平移前后的两个图形所组成的图形可以是轴对称图形．如图所示，现在他将正方形从当前位置开始进行一次平移操作，平移后的正方形的顶点也在格点上，则使平移前后的两个正方形组成轴对称图形的平移方向有________个． 29. 如图，在中，，，点和点均在边上，且，若，，则____________． 30. 如图，O是正内一点，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点B逆时针旋转得到；②点O与的距离为4；③；④；⑤．其中正确的结论有___________________． 三、解答题（共6题，合计50分） 31. 因式分解： （1）； （2）． 32. 解不等式组：． 33. 茶为国饮，茶文化是中国传统文化的重要组成部分，这也带动了茶艺、茶具、茶服等相关文化的延伸及产业的发展，在“春季茶叶节”期间，某茶具店老板购进了A、B两种不同的茶具．若购进A种茶具1套和B种茶具2套，需要250元：若购进A种茶具3套和B种茶具4套需要600元． （1）A、B两种茶具每套进价分别为多少元？ （2）由于茶具畅销，茶具店老板决定再次购进A、B两种茶具共80套茶具厂对这两种类型的茶具进行了价格调整，A种茶具的进价比第一次购进时提高了8%，B种茶具的进价按第一次购进时进价的八折．如果茶具店老板此次用于购进A、B两种茶具的总费用不超过6240元，则茶具店老板最多能购进A种茶具多少套？ 34. 一个四位数，记千位和百位的数字之和为a，十位和个位的数字之和为b，如果，那么称这个四位数为“心平气和数”．例如：1625，，，因为，所以1625是“心平气和数”． （1）直接写出：最小的“心平气和数”是 ，最大的“心平气和数”是 ； （2）将一个“心平气和数”的个位与十位的数字交换位置，同时将百位与千位的数字交换位置，称交换前后的这两个“心平气和数”为一组“相关心平气和数”，例如：1625与6152为一组“相关心平气和数”．求证：任意的一组“相关心平气和数”之和都是11的倍数． 35. 若一个三角形三边的长互不相等，且其边长，，满足（为最长边，为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边的长分别为，，．，这个三角形为“不均衡三角形”． （1）下列长度的小木棍中，能组成“不均衡三角形”的是_____________（填序号）． ①；②；③；④． （2）若一个“不均衡三角形”三边的长分别为，，，求出的整数值． 36. 阅读 （1）阅读理解： 如图①，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断． 中线AD的取值范围是________； （2）问题解决： 如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF； （3）问题拓展： 如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石门实验学校扬长杯八年级数学能力竞赛试题 一、选择题（每题3分，共计60分） 1. 下列图形可由平移得到的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：观察可知A选项中的图形可以通过平移得到， B、C选项中的图形需要通过旋转得到， D选项中的图形可以通过翻折得到， 故选：A 2. 把等式的解集在数轴上表示，正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】2x-3<1, 2x<4, x<2. 故选D. 3. 如图，数轴上所表示的关于的不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数轴即可得出不等式组的解集． 【详解】解：由数轴可得： 根据“同小取小”可得不等式组的解集为： 故选:B 【点睛】本题考查根据数轴确定不等式组的解集．属于简单题． 4. 已知关于的不等式的解如图所示，则的取值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数轴可以得到不等式的解集为x＜2，然后解原不等式即可. 【详解】解：， ∴， ∵数轴上表示的不等式的解集为：， ∴， ∴， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式和不等式解集在数轴上的表示，解题的关键在于能够读懂数轴上表示的不等式的解集. 5. 对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（　　） A. a=3，b=2 B. a=－3，b=2 C. a=3，b=－1 D. a=－1，b=3 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：在A中，a2=9，b2=4，且3＞2，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故A选项中a、b的值不能说明命题为假命题； 在B中，a2=9，b2=4，且－3＜2，此时虽然满足a2＞b2，但a＞b不成立，故B选项中a、b的值可以说明命题为假命题； 在C中，a2=9，b2=1，且3＞－1，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故C选项中a、b的值不能说明命题为假命题； 在D中，a2=1，b2=9，且－1＜3，此时满足a2＜b2，得出a＜b，即意味着命题“若a2＞b2，则a＞b”成立，故D选项中a、b的值不能说明命题为假命题； 故选B． 考点：命题与定理． 6. 由下列条件不能判断是直角三角形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断，此题比较容易．利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A、∵，且，可求得，故不是直角三角形； B、不妨设，此时，故是直角三角形； C、，且，可求得，故是直角三角形； D、，满足勾股定理的逆定理，故是直角三角形； 故选：A． 7. 下列因式不能整除（　　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将4x3y＋4x2y2＋xy3按照因式分解的方法进行变形，则可得出哪些整式可以整除多项式4x3y＋4x2y2＋xy3，则问题得解． 【详解】解：∵4x3y＋4x2y2＋xy3　 ＝xy（4x2＋4xy＋y2） ＝xy（2x＋y）（2x＋y） ＝x（2xy＋y2）（2x＋y） ∴xy、（2x＋y）、（2xy＋y2）均能整除4x3y＋4x2y2＋xy3，x2＋2xy不能整除4x3y＋4x2y2＋xy3． 故选：C． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法并正确对原式变形是解题的关键． 8. 下列多项式中，能用提公因式进行分解因式的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A.不能进行因式分解，故不符合题意； B.x2+2x=x(x+2),故能用提公因式进行分解因式,符合题意； C.不能进行因式分解，故不符合题意； D.不能进行因式分解，故不符合题意； 故选B. 9. 到三角形三个顶点距离都相等的点是三角形（ ）的交点． A. 三边中垂线 B. 三条中线 C. 三条高 D. 三条内角平分线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，熟练掌握线段垂直平分线的判定是解题的关键，根据线段垂直平分线的性质进行解答即可． 【详解】解：∵到线段两端点距离都相等的点在这条线段的中垂线上， ∴到三角形三个顶点距离都相等的点是三角形三边的中垂线 故选∶ A． 10. 下列不等式变形中，错误的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟记性质是解决此题的关键．根据不等式的性质分别对每一个选项进行判断即可． 【详解】解：A．，因为，则不等式两边同时除以得，变形正确． B．，不等式两边同时乘以一个非负数，原式变形错误． C．，不等式两边同时加上，不等号的方向不变，即，变形正确． D．，不等式两边同时减去，不等号的方向不变，即，变形正确． 故选：B． 11. 如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式性质可得，求解即可． 【详解】解：关于的不等式的解集为 则，解得 故选：C 【点睛】此题考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的有关性质，不等式两边同时乘以（除以）一个负数，不等号方向改变． 12. 下列各式中，能用完全平方公式分解的个数为（ ） ①；②；③；④；⑤ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握完全平方公式因式分解的方法是解题关键．根据完全平方公式分解逐一判断即可． 【详解】解：①，符合题意； ②，不能用完全平方公式分解，不符合题意； ③，不能用完全平方公式分解，不符合题意； ④，符合题意； ⑤，不可以用完全平方公式分解，不符合题意； 能用完全平方公式分解有①④，共个． 故选：B． 13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，CD⊥AB于D，则CD的长是( ) A. 5 B. 7 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用勾股定理计算出AB的长，再根据三角形的面积公式计算出CD的长即可． 【详解】解：∵在Rt中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3， ∴AB= ∵ ×AC×BC= ×CD×AB， ∴ ×3×4=×5×CD， 解得：CD=． 故选． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，以及三角形的面积，关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和等于斜边长的平方． 14. 如图，的垂直平分线交于点，若，则的度数是（ ） A. 25° B. 20° C. 30° D. 15° 【答案】D 【解析】 【分析】根据等要三角形的性质得到∠ABC，再根据垂直平分线的性质求出∠ABD，从而可得结果． 【详解】解：∵AB=AC，∠C=∠ABC=65°， ∴∠A=180°-65°×2=50°， ∵MN垂直平分AB， ∴AD=BD， ∴∠A=∠ABD=50°， ∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=15°， 故选D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相应的性质定理． 15. 如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△AB1C1，若点B1在线段BC的延长线上，则∠BB1C1的大小为( ) A. 70° B. 80° C. 84° D. 86° 【答案】B 【解析】 【分析】由旋转的性质可知∠B＝∠AB1C1，AB＝AB1，由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠B＝∠BB1A＝∠AB1C1＝40°，从而可求得∠BB1C1＝80°. 【详解】由旋转的性质可知：∠B＝∠AB1C1，AB＝AB1，∠BAB1＝100°. ∵AB＝AB1，∠BAB1＝100°， ∴∠B＝∠BB1A＝40°. ∴∠AB1C1＝40°. ∴∠BB1C1＝∠BB1A+∠AB1C1＝40°+40°＝80°. 故选B. 【点睛】本题主要考查的是旋转的性质，由旋转的性质得到△ABB1为等腰三角形是解题的关键. 16. 如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（ ） A. 点A与点是对称点 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称的定义和性质，掌握中心对称的定义“把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心”，是求解本题的关键．利用中心对称的定义和性质求解即可． 【详解】A、与关于点O成中心对称， 点A与是一组对称点，故A正确，不符合题意； B、由中心对称的性质可知：对应点到对称中心的距离相等， ，故B正确，不符合题意； C、与不是对应角， 不成立，故C错误，符合题意； D、与是对应线段， ，故D正确，不符合题意． 故选：C． 17. 如图，四边形中，，平分，于点．，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，过点作，交的延长线于，由角平分线的性质可得，，再分别证明和，得到，，即可得，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于， ∵平分，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 18. 在Rt△ABC中，AC=BC，点D为AB中点．∠GDH=90°，∠GDH绕点D旋转，DG，DH分别与边AC，BC交于E，F两点．下列结论：①AE+BF=AB；②AE2+BF2=EF2；③S四边形CEDF=S△ABC；④△DEF始终为等腰直角三角形．其中正确的是( ) A. ①②④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】连接CD根据等腰直角三角形的性质就可以得出△ADE≌△CDF，就可以得出AE=CF，进而得出CE=BF，就有AE+BF=AC，由勾股定理就可以求出结论． 【详解】解：如图， 连接CD，∵AC=BC，点D为AB中点，∠ACB=90°， ∴AD=CD=BD=AB．∠A=∠B=∠ACD=∠BCD=45°，∠ADC=∠BDC=90°． ∴∠ADE+∠EDC=90°， ∵∠EDC+∠FDC=∠GDH=90°， ∴∠ADE=∠CDF． 在△ADE和△CDF中， ∴△ADE≌△CDF（ASA）， ∴AE=CF，DE=DF，S△ADE=S△CDF． ∵AC=BC， ∴AC-AE=BC-CF， ∴CE=BF． ∵AC=AE+CE， ∴AC=AE+BF=． ∵DE=DF，∠GDH=90°， ∴△DEF始终为等腰直角三角形． ∵CE2+CF2=EF2， ∴AE2+BF2=EF2． ∵S四边形CEDF=S△EDC+S△EDF， ∴S四边形CEDF=S△EDC+S△ADE=S△ABC． ∴正确的有①②③④． 故选D． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，解题关键是证明△ADE≌△CDF． 19. 如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，若矩形纸片的宽AB=4，则折痕BM的长为( ) A. B. C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据折叠性质可得BE=AB，A′B=AB=4，∠BA′M=∠A=90°，∠ABM=∠MBA′，可得∠EA′B=30°，根据直角三角形两锐角互余可得∠EBA′=60°，进而可得∠ABM=30°，在Rt△ABM中，利用∠ABM的余弦求出BM的长即可. 【详解】∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，AB=4， ∴BE=AB=2，∠BEF=90°， ∵把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点A’处，并使折痕经过点B， ∴A′B=AB=4，∠BA′M=∠A=90°，∠ABM=∠MBA′， ∴∠EA′B=30°， ∴∠EBA′=60°， ∴∠ABM=30°， ∴在Rt△ABM中，AB=BMcos∠ABM，即4=BMcos30°， 解得：BM=， 故选A. 【点睛】本题考查了折叠的性质及三角函数的定义，折叠前后，对应边相等，对应角相等；在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边比斜边；余弦是角的邻边比斜边；正切是角的对边比邻边；余切是角的邻边比对边；熟练掌握相关知识是解题关键. 20. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，P是△ABC的高CD上一个动点，以B点为旋转中心把线段BP逆时针旋转45°得到BP′，连接DP′，则DP′的最小值是（　　） A. 2-2 B. 4﹣2 C. 2﹣ D. -1 【答案】A 【解析】 【分析】在BC上截取BE＝BD，根据等腰直角三角形的性质求得BA和BE，再由旋转的性质证明△BDP'≌△BEP，从而可得到PE＝P'D，再由等腰直角三角形的性质求得PE，从而求得DP′的最小值. 【详解】解：如图，在BC上截取BE＝BD， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4， CD⊥AB， ∴BA＝4，∠ABC＝∠BAC＝∠BCD＝∠DCA＝45°，BD＝CD＝AD＝2＝BE， ∵旋转 ∴BP＝BP'，∠PBP'＝45°， ∵BE＝BD，∠ABC＝∠PBP'＝45°，BP＝BP' ∴△BDP'≌△BEP（SAS） ∴PE＝P'D ∴当PE⊥CD时，PE有最小值，即DP'有最小值， ∵PE⊥CD，∠BCD＝45°， ∴CE＝PE＝BC﹣BE＝4﹣2 ∴P'D =PE＝2﹣2 故选A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定和性质，熟练掌握其性质并能熟练应用是解题的关键. 二、填空题（每题4分，共计40分） 21. 多项式分解因式的结果是____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据提公因式法：提3x，再应用平方差公式即可解答. 【详解】原式= = 故答案为： 【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法则是解题关键. 22. 把分解因式的结果是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，采用十字相乘法直接分解即可． 【详解】可将分为， 故， 故答案为：． 23. 已知点在第一象限，则m的取值范围_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据第一象限内点的横坐标和纵坐标均为正数这一性质，列出关于的不等式组，进而求解的取值范围．本题主要考查了平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，就一元一次不等式组，熟练掌握“第一象限内的点的横、纵坐标都为正数”是解题的关键． 【详解】解：因为点在第一象限， 所以可得 解，得； 解，得． 所以原不等式组的解集为． 故答案为：． 24. 若(2x)n-81=(4x2+9)(2x+3)(2x-3）则n=__________ 【答案】4 【解析】 【分析】将等式的右边利用平方差公式计算，即可求解． 【详解】解：∵（4x2+9）（2x+3）（2x﹣3）=（4x2+9）（4x2﹣9）=16x4﹣81=（2x）4﹣81． ∴n=4 故答案为：4 【点睛】本题考查了平方差公式，两次利用平方差公式计算后根据指数相等求解即可． 25. 若关于x的不等式组的解集是x＞a，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大并结合不等式组的解集可得a的范围． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组的解集为， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键． 26. 如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC=4，则PD等于_____． 【答案】2 【解析】 【分析】作PE⊥OA于E，根据三角形的外角的性质得到∠ACP=30°，根据直角三角形的性质得到PE=PC=2，根据角平分线的性质解答即可. 【详解】作PE⊥OA于E， ∵CP∥OB， ∴∠OPC=∠POD， ∵P是∠AOB平分线上一点， ∴∠POA=∠POD=15°， ∴∠ACP=∠OPC+∠POA=30°， ∴PE=PC=2， ∵P是∠AOB平分线上一点，PD⊥OB，PE⊥OA， ∴PD=PE=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 27. 已知a，b，c是的三边长，且满足，则此三角形是______________． 【答案】等边三角形 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据题意，将题中式子进行化简得到，推出得到这个三角形是一个等边三角形．据此解答． 【详解】解：∵， ∴， ， 即， ∴且， ∴， ∴这个三角形是一个等边三角形． 故答案为：等边三角形． 28. 小军同学在网格纸上将某些图形进行平移操作，他发现平移前后的两个图形所组成的图形可以是轴对称图形．如图所示，现在他将正方形从当前位置开始进行一次平移操作，平移后的正方形的顶点也在格点上，则使平移前后的两个正方形组成轴对称图形的平移方向有________个． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了图形的平移，轴对称图形等知识，掌握正方形的结构特征是解答本题的关键．根据正方形是轴对称图形，正方形的对称轴有4条，沿着正方形的对称轴方向进行平移，平移前后的两个图形一定能组成轴对称图形；要使平移后的正方形顶点还在格点上，且沿对称轴平移，即向上平移，向下平移，向右平移，向右上，向右下平移，据此可选出正确答案． 【详解】解：因为正方形是轴对称图形，有四条对称轴， 所以沿着正方形的对称轴的方向进行平移，平移前后的两个图形一定能组成轴对称图形， 观察图形可知，向上平移，向下平移，向右平移，向右上，向右下平移时，平移前后的两个正方形组成的图形都是轴对称图形． 综上可知，使平移前后的两个正方形组成轴对称图形的平移方向有5个． 故答案为：5． 29. 如图，在中，，，点和点均在边上，且，若，，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】通过将绕点逆时针旋转得到，利用旋转性质和等腰直角三角形、全等三角形的相关知识，结合勾股定理求解． 【详解】解：∵，， ∴， 将绕点逆时针旋转得到，连接． ∵ 旋转， ∴ ，，，． ∵ ，， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 又∵ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ，， ∴ ． 在中，，， 由勾股定理得， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定方法是解题的关键． 30. 如图，O是正内一点，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点B逆时针旋转得到；②点O与的距离为4；③；④；⑤．其中正确的结论有___________________． 【答案】①②③⑤ 【解析】 【分析】连接，过点O作，垂足为D，由旋转的性质可得，，根据等边三角形的性质可得，从而证明，即可判断①正确，证明是等边三角形，即可判断②正确；根据等边三角形的性质可得，根据全等三角形的性质及勾股定理逆定理可证是直角三角形，即可判断③正确；在中，求出的长，然后根据进行计算即可判断④不正确；将绕点A逆时针旋转，使得与重合，点O旋转至，连接，仿照④的解题思路，即可判断⑤正确． 【详解】解：如图所示： ∵为正三角形， ∴，， ∵线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 又∵， ∴可以由绕点B逆时针旋转得到， 故结论①正确； 连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 故结论②正确； ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， 故结论③正确； 四边形的面积为：， 过点O作， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形的面积为， 故结论④不正确； 如图所示：将绕点A逆时针旋转，使得与重合，点O旋转至，连接， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， 同结论④证明过程可求得：，， ∴，故结论⑤正确； 综上所述：结论①②③⑤正确， 故答案为：①②③⑤． 【点睛】本题考查了图形旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，三角形面积，面积的割补法，综合掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． 三、解答题（共6题，合计50分） 31. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． （1）先提公因式，再用完全平方公式即可完成分解； （2）采用十字相乘法即可完成因式分解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：， ， ， 故． 32. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解法，以及分式不等式的解法．熟练掌握一元一次不等式的解法和分式不等式的解法是解题的关键．分别解每一个不等式，然后找到两个不等式的解集的交集． 【详解】解： 解不等式得； 解不等式得； ∴原不等式组的解集为． 33. 茶为国饮，茶文化是中国传统文化的重要组成部分，这也带动了茶艺、茶具、茶服等相关文化的延伸及产业的发展，在“春季茶叶节”期间，某茶具店老板购进了A、B两种不同的茶具．若购进A种茶具1套和B种茶具2套，需要250元：若购进A种茶具3套和B种茶具4套需要600元． （1）A、B两种茶具每套进价分别为多少元？ （2）由于茶具畅销，茶具店老板决定再次购进A、B两种茶具共80套茶具厂对这两种类型的茶具进行了价格调整，A种茶具的进价比第一次购进时提高了8%，B种茶具的进价按第一次购进时进价的八折．如果茶具店老板此次用于购进A、B两种茶具的总费用不超过6240元，则茶具店老板最多能购进A种茶具多少套？ 【答案】（1）A、B两种茶具每套进价分别为100元和75元；（2）最多可购进A种茶具30套． 【解析】 【分析】（1）找到总价等量关系和公式（单价数量=总价）构建二元一次方程组求解即可； （2）计算A种茶具提高后的单价为元，B种茶具的原进价的八折为元，然后分别算出A、B两种茶具的总费用的和建立不等量关系求解即可． 【详解】解：（1）设A种茶具每套进价为元，B两种茶具每套进价元， 根据题意得 解得： A、B两种茶具每套进价分别为100元和75元； （2）设最多购进A种茶具套，则B种茶具为套， 根据题意得 解得： a取正整数 的最大值为30 最多可购进A种茶具30套． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用及一元一次不等式的应用，找到等量关系式和不等量关系式建立方程和不等式是解题的关键． 34. 一个四位数，记千位和百位的数字之和为a，十位和个位的数字之和为b，如果，那么称这个四位数为“心平气和数”．例如：1625，，，因为，所以1625是“心平气和数”． （1）直接写出：最小的“心平气和数”是 ，最大的“心平气和数”是 ； （2）将一个“心平气和数”的个位与十位的数字交换位置，同时将百位与千位的数字交换位置，称交换前后的这两个“心平气和数”为一组“相关心平气和数”，例如：1625与6152为一组“相关心平气和数”．求证：任意的一组“相关心平气和数”之和都是11的倍数． 【答案】（1）1001，9999 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，利用提取公因式的方法提出11是本题的一个关键，此外，关于数字取值范围的判断也是一个关键之处． （1）因为是求最小的“心平气和数”和最大的“心平气和数”，所以一个必须以1开头的四位数，不难得到1001和9999这两答案； （2）可以设千位和百位数字之和为，十位和个位的数字之和为，千位数字为，十位数字为，根据题意列出一组“相关心平气和数”之和，利用提取公因式进行因式分解就可以了． 【小问1详解】 最小的“心平气和数”必须以1开头，而1000显然不符合题意，所以最小的只能是1001，最大的“心平气和数”必须以9开头，后面的数字尽可能在0-9这10个数字中选最大的，所以最大的“心平气和数”一定是9999． 【小问2详解】 证明：设千位和百位数字之和为，十位和个位的数字之和为，千位数字为，十位数字为， 个位数字为，百位数字为， 依题意可得，这组“相关心平气和数”之和为： ， 为整数， 是11的倍数， 任意的一组“相关心平气和数”之和都是11的倍数． 35. 若一个三角形三边的长互不相等，且其边长，，满足（为最长边，为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边的长分别为，，．，这个三角形为“不均衡三角形”． （1）下列长度的小木棍中，能组成“不均衡三角形”的是_____________（填序号）． ①；②；③；④． （2）若一个“不均衡三角形”三边的长分别为，，，求出的整数值． 【答案】（1）② （2）的整数值为或或或 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，熟练掌握“不均衡三角形”的定义、以及分类讨论思想的应用是解题的关键． (1)根据“不均衡三角形”的定义即可求解； (2)分三种情况对进行讨论即可求解． 【详解】解：（1）①， 不能组成“不均衡三角形”； ②， 能组成“不均衡三角形”； ③， 不能组成“不均衡三角形”； ④， 不能组成“不均衡三角形”． 故答案为：②． （2）①当最长边长为，最短边长为时， 且， 解得． 由得， ∴该情况不符合题意，舍去； ②当最长边长为，最短边长为时， 且， 解得． 取整数， ． 当时， 三边的长分别为22，16，14，可以构成三角形； ③当最长边长为，最短边长为时， ，且， 解得． 取整数， 或或，且都可以构成三角形． 综上所述，的整数值为或或或． 36. 阅读 （1）阅读理解： 如图①，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断． 中线AD的取值范围是________； （2）问题解决： 如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF； （3）问题拓展： 如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）2＜AD＜8； （2）证明：延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM，如图②所示： 同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS）， ∴BM=CF， ∵DE⊥DF，DM=DF， ∴EM=EF， 在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM， ∴BE+CF＞EF； （3）解：BE+DF=EF；理由如下： 延长AB至点N，使BN=DF，连接CN，如图3所示： ∵∠ABC+∠D=180°，∠NBC+∠ABC=180°， ∴∠NBC=∠D， 在△NBC和△FDC中， BN=DF，∠NBC =∠D，BC=DC， ∴△NBC≌△FDC（SAS）， ∴CN=CF，∠NCB=∠FCD， ∵∠BCD=140°，∠ECF=70°， ∴∠BCE+∠FCD=70°， ∴∠ECN=70°=∠ECF， 在△NCE和△FCE中， CN=CF，∠ECN=∠ECF，CE=CE， ∴△NCE≌△FCE（SAS）， ∴EN=EF， ∵BE+BN=EN， ∴BE+DF=EF． 【解析】 【分析】（1）延长AD至E，使DE=AD，由SAS证明△ACD≌△EBD，得出BE=AC=6，在△ABE中，由三角形的三边关系求出AE的取值范围，即可得出AD的取值范围； （2）延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM=CF，由线段垂直平分线的性质得出EM=EF，在△BME中，由三角形的三边关系得出BE+BM＞EM即可得出结论； （3）延长AB至点N，使BN=DF，连接CN，证出∠NBC=∠D，由SAS证明△NBC≌△FDC，得出CN=CF，∠NCB=∠FCD，证出∠ECN=70°=∠ECF，再由SAS证明△NCE≌△FCE，得出EN=EF，即可得出结论． 【详解】（1）解：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，如图①所示： ∵AD是BC边上的中线， ∴BD=CD， 在△BDE和△CDA中，BD=CD，∠BDE=∠CDA，DE=AD， ∴△BDE≌△CDA（SAS）， ∴BE=AC=6， 在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE， ∴10﹣6＜AE＜10+6，即4＜AE＜16， ∴2＜AD＜8； 故答案为2＜AD＜8； （2）略 （3）略 考点：全等三角形的判定和性质；三角形的三边关系定理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $