专题2.6 函数28道压轴题型专训（7大题型）-2025-2026学年高一数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版必修第一册）

专题2.6 函数28道压轴题型专训（7大题型） 题型一 复杂(根式型、分式型等)函数的值域 题型二 根据值域求参数的值或者范围 题型三 分段函数的性质及应用 题型四 根据函数的单调性求参数值 题型五 利用函数单调性求最值或值域 题型六 函数奇偶性的应用 题型七 幂函数奇偶性的应用 【经典例题一 复杂(根式型、分式型等)函数的值域】 1．（23-24高一上·浙江宁波·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·重庆·周测）函数的最大值为（    ）． A． B． C． D．2 3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知，对于任意的实数，在区间上的最大值和最小值分别为和，则的取值范围为 . 4．（23-24高一·全国·课后作业）已知函数的值域为，求实数的值． 【经典例题二 根据值域求参数的值或者范围】 5．（2024·上海普陀·二模）定义域均为D的三个函数，，满足条件：对任意，点与点都关于点对称，则称是关于的“对称函数”.已知函数，，是关于的“对称函数“，记的定义域为D，若对任意，都存在，使得成立，则实数a的取值范围是（    ） A．. B．. C．. D．. 6．(多选题)（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知函数，若函数的值域为，则下列的值满足条件的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）定义在上的函数满足，且当时，，，对，使得，则实数的取值范围为 . 8．（23-24高一上·上海松江·期中）设函数，函数，，其中为常数，且，令函数为函数和的积函数. （1）求函数的表达式，并求其定义域； （2）当时，求函数的值域 （3）是否存在自然数，使得函数的值域恰好为？若存在，试写出所有满足条件的自然数所构成的集合；若不存在，试说明理由. 【经典例题三 分段函数的性质及应用】 9．（23-24高三下·河北石家庄·阶段练习）设符号表示中的最小者，已知函数则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2025高二下·全国·专题练习）设函数，，用表示，的最大者，记为，则（ ） A． B． C．的值域为 D．不等式的解集为 11．（2024·山东聊城·二模）已知，若，则的最小值为 ． 12．（23-24高一上·浙江·期中）已知函数在区间上是单调函数． （1）求实数的所有取值组成的集合； （2）试写出在区间上的最大值； （3）设，令，若对任意，总有，求的取值范围． 【经典例题四 根据函数的单调性求参数值】 13．（23-24高一上·河北·期中）已知是定义在上的函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（多选题）（2024高三·全国·专题练习）定义在上的单调函数满足：（为常数）.若，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 15．（22-23高一上·江苏常州·期中）已知函数在上单调递减，则实数a 的范围为 ． 16．（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知函数. （1）若，求函数的零点； （2）设函数，若对任意，，，满足，求实数a的取值范围. 【经典例题五 利用函数单调性求最值或值域】 17．（23-24高三上·浙江·期中）已知函数的定义域为，对于任意的，，都有，当时，都有，且，当时，则的最大值是（    ） A．5 B．6 C．8 D．12 18．（多选题）（23-24高一上·山东枣庄·阶段练习）定义为中的最大值，设，则的函数值可以取（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 19．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数在区间是增函数，且，若，则的最大值为 . 20．（23-24高一上·河北邯郸·期中）已知函数. (1)若a=0，求函数的值域； (2)求函数的最大值. 【经典例题六 函数奇偶性的应用】 21．（23-24高二下·云南曲靖·阶段练习）设函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 22．（多选题）（24-25高一上·江苏·阶段练习）已知函数的定义域均为，若函数单调递增，函数单调递减且为奇函数，则（    ） A． B． C．可能存在单调递减区间 D． 23．（24-25高一上·福建福州·期中）若关于的函数的最大值为，最小值为，且，则实数的值为 ． 24．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）设函数与的定义域都是且,是偶函数, 是奇函数,且. （1）求和的解析式 ； （2）求的值. 【经典例题七 幂函数奇偶性的应用】 25．（22-23高一上·广东珠海·期中）已知常数在上有最大值，若的最小值为，则（    ） A．0 B．3 C．4 D．5 26．（多选题）（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知幂函数的图象经过点，则下列命题正确的有（    ） A．该函数在定义域上是偶函数 B．对定义域上任意实数，，且，都有 C．对定义域上任意实数，，且，都有 D．对定义域上任意实数，，都有 27．（24-25高一上·广东佛山·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则整数m的值为 . 28．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知幂函数为偶函数,且在上是增函数． （1）求的解析式； （2）在区间上为增函数，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.6 函数28道压轴题型专训（7大题型） 题型一 复杂(根式型、分式型等)函数的值域 题型二 根据值域求参数的值或者范围 题型三 分段函数的性质及应用 题型四 根据函数的单调性求参数值 题型五 利用函数单调性求最值或值域 题型六 函数奇偶性的应用 题型七 幂函数奇偶性的应用 【经典例题一 复杂(根式型、分式型等)函数的值域】 1．（23-24高一上·浙江宁波·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知得，平方化简得，则，解不等式组可求得结果. 【详解】由，得或，则函数定义域为， 由，得， 所以，得， 显然，所以， 所以， 由，得， 所以，所以， ，解得或， 由，得，，解得， 由，得，，解得， 综上，或， 所以函数的值域为， 故选：D 2．（24-25高一上·重庆·周测）函数的最大值为（    ）． A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】先求解函数定义域，然后分析等式发现：，由此可通过换元法令来构造二次函数求解最大值，注意取等号条件. 【详解】因为，所以，即定义域为； 设且，又因为，所以， 所以，当且仅当时有最大值，当时，，所以满足； 故选B. 3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知，对于任意的实数，在区间上的最大值和最小值分别为和，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】题目等价于在区间上的取值范围，分类， ，三种情况，分别计算得到答案. 【详解】表示向左平移个单位，向上平移个单位. 不影响的取值范围，等价于在区间上的取值范围. 画出函数图像： 当时：； 当时：； 当时：. 综上所述： 故答案为 4．（23-24高一·全国·课后作业）已知函数的值域为，求实数的值． 【答案】 【分析】先令，将该函数整理成关于的方程，该方程有实数根，所以对应判别式，这样便可求出的范围，即原函数的值域，又已知函数值域是，所以让它对应端点相等求出，即可． 【详解】解：令，并将该函数变成：，则该关于的方程有实数根； ，即， ， 又函数的值域为， ，解得，； ，． 【经典例题二 根据值域求参数的值或者范围】 5．（2024·上海普陀·二模）定义域均为D的三个函数，，满足条件：对任意，点与点都关于点对称，则称是关于的“对称函数”.已知函数，，是关于的“对称函数“，记的定义域为D，若对任意，都存在，使得成立，则实数a的取值范围是（    ） A．. B．. C．. D．. 【答案】C 【分析】求得的解析式和导数，以及单调性和极值、最值，进而得到的值域；判断在，递增，可得其值域，再由题意可得的值域包含在的值域内，可得的不等式组，解不等式可得所求范围． 【详解】解：由函数，，是关于的“对称函数”， 可得，，，， 可得的解为， 由，（1），， 且在递增，，递减，可得的最小值为，最大值为1， 可得的值域为，， 而在，递增，可得的值域为，， 由题意可得，，， 即有，即为， 解得或， 则的范围是， 故选：． 6．(多选题)（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知函数，若函数的值域为，则下列的值满足条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】分和分别讨论和的值域，判断是否满足值域的并集为即可. 【详解】若，当时，，， 若函数的值域为，则时，的对称轴， 此时在单调递减，且，满足题意； 所以选项ACD符合题意， 若，当时，， 当时，的对称轴，此时， 不满足值域为，所以不符合题意； 故选：ACD 7．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）定义在上的函数满足，且当时，，，对，使得，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】求出在上的值域，利用得到在上的值域，再求出在上的值域，根据题意得到两值域的包含关系，从而求出a的取值范围. 【详解】当时，， 由于为对称轴为开口向下的二次函数， ，由对勾函数的性质可知，函数在上单调递增， 可得在上单调递减，在上单调递增，， 在上的值域为，在上的值域为， 在上的值域为， ， 故当， 在上的值域为， 当时，为增函数，在上的值域为， ，解得，故的范围是； 当时，为单调递减函数，在上的值域为， ，解得故的范围是， 综上可知故的范围是. 8．（23-24高一上·上海松江·期中）设函数，函数，，其中为常数，且，令函数为函数和的积函数. （1）求函数的表达式，并求其定义域； （2）当时，求函数的值域 （3）是否存在自然数，使得函数的值域恰好为？若存在，试写出所有满足条件的自然数所构成的集合；若不存在，试说明理由. 【答案】（1）定义域为；（2）；（3）存在， 【分析】（1）根据题意得的，再计算定义域得到答案. （2）设，化简得到，根据函数单调性得到值域. （3）计算当时，且时，根据单调性得到不等式，计算得到答案. 【详解】（1），定义域为 （2），设 根据双勾函数性质知函数在单调递增，故，故值域为 （3）存在；根据（2）知，， 根据双勾函数性质知函数在单调递增，上单调递减. 当时，且时，函数的值域恰好为 故，构成的集合为 【经典例题三 分段函数的性质及应用】 9．（23-24高三下·河北石家庄·阶段练习）设符号表示中的最小者，已知函数则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别画出的图象，分别判断四个选项，结合图象即可选出正确选项. 【详解】解:如图所示:由题意可得中，. 中，当时，，. 当时，，. 当时，，. 当，恒有，所以不正确，也不正确； 中，从图象上看，.令，则 所以，即，故正确，不正确. 故选:C.    10．（多选题）（2025高二下·全国·专题练习）设函数，，用表示，的最大者，记为，则（ ） A． B． C．的值域为 D．不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】对于A：将代入即可；对于B：画出函数图象，数形结合可得B正确；对于C：观察图象即可得到值域，对于D：在B基础上，分，，和四种情况，求解不等式即可求得结果. 【详解】对于A：将分别代入函数，，得到，故，故A错误； 对于B：令，故，解得或， 同一坐标系内画出两函数图象，如下： 观察图像可知当时，， 当时，， 当时，， 所以故B正确； 对于C：观察图象得到值域为，故C正确； 对于D：当时，， 通过观察图象可知函数单调递减，定有；故， 当时，，此时， 因为，所以， 解得或（舍），故； 当时，，此时， ，即，无解； 当时，，由于， 故，无解， 综上：不等式的解集为，故D正确； 故选：BCD. 11．（2024·山东聊城·二模）已知，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由已知分段函数的图像和性质以及，可计算，进而分别构造，，再由双勾函数性质求最值即可. 【详解】解：已知分段函数在两端区间内都是单调函数，若，则必然分属两段内， 不妨设，则，即 当时，令，由双勾函数性质可知在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，此时不符合题意）， 当时，令，由双勾函数性质可知在区间上单调递减， 所以，此时. 故的最小值为. 故答案为： 12．（23-24高一上·浙江·期中）已知函数在区间上是单调函数． （1）求实数的所有取值组成的集合； （2）试写出在区间上的最大值； （3）设，令，若对任意，总有，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）因为为开口向上的二次函数，故其在对称轴左边单调递减，对称轴右边单调递增. 函数在区间上是单调函数，等价于区间在对称轴的左边或者右边.列出不等式解出即可. （2）讨论在上的单调性，分别求出其最大值,再写成分段函数的形式即可. （3）根据题意写出,对任意，总有等价于且，则分别讨论与 的大小关系，找到其对应的与，代入即可解出答案. 【详解】解：（1）对称轴. 所以或. （2）①当 ，即时. 函数在上单调递增. 所以. ②当，即时. 函数在上单调递减. 所以. 综上所述：. （3）. 由题意得，， 画出函数的图像： ①当时，在单调递减. 所以，. 代入，解得，舍. ②当时，在单调递减，在上单调递增. ，. 代入，解得，所以， ③当时，在单调递减，在上单调递增. ， . 代入，化简得,解得或， 所以. ④当时，在单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. ，. 代入，解得，所以， ⑤当时，在单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. ，. 代入，解得， 综上所述：.即 . 【经典例题四 根据函数的单调性求参数值】 13．（23-24高一上·河北·期中）已知是定义在上的函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由， 得，构造函数，则是上的减函数，对实数分类讨论即可. 【详解】因为对任意，，所以，即， 构造函数，则， 所以函数是上的减函数. 当时，函数是上的减函数，符合题意； 当时，函数图象的对称轴为直线， 当时，函数是上的减函数，符合题意； 当时，要使得函数是上的减函数，只需，解得. 综上所述，实数的取值范围足， 故选：C. 14．（多选题）（2024高三·全国·专题练习）定义在上的单调函数满足：（为常数）.若，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】ABD 【分析】对A：借助赋值法，令，代入计算后即可得；对B：借助赋值法，分别令、，结合函数单调性计算即可得解；对C：借助赋值法，令，可得，结合函数单调性计算可得；对D：结合函数单调性及即可得. 【详解】选项A：对于， 令，则， 因为，所以，所以A正确； 选项B：令，则， 即； 令，则， 即， 所以， 因为函数在上单调，所以， 所以 ，所以B正确； 选项C：令，则， 即，所以， 所以， 若，则，因为函数在上单调，且， 所以；若，则，因为函数在上单调， 且，所以； 若，则，所以， 所以，所以C错误. 选项D：因为函数在上单调，且， 所以当时，， 故由，得，所以D正确. 故选：ABD. 15．（22-23高一上·江苏常州·期中）已知函数在上单调递减，则实数a 的范围为 ． 【答案】或 【分析】由题可只考虑在上的单调性，分三种情况讨论即可. 【详解】由题仅考虑在上的单调性. ①当时，，其在上单调递增，不合题意； ②当时，. 任取，， 则， 因，则时，， 得在上单调递减.则； ③当时，令， 得或（舍去）. 则， 因函数，均在上单调递增，则在上单调递减，则 i当时，，则满足题意； ii当时，有. 则当时，. 综上a 的范围是或. 故答案为：或 16．（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知函数. （1）若，求函数的零点； （2）设函数，若对任意，，，满足，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）函数的零点即方程的根，将代入方程求解即可； （2）由题意有在单调递增，再分别讨论二次函数的开口方向，对称轴与区间的位置关系，结合函数的单调性及最值运算即可得解. 【详解】解：（1）当时， 令得, 则函数的零点是. （2）由对任意，，，满足，可得在单调递增， ①当时，，对称轴为 又因为且在单调递减，且， 所以在单调递增, ②当时，，在单调递减，且， 所以在单调递增, ③当时，，对称轴为， 所以在单调递减，要使在单调递增. 不符合，舍去； ④当时，，对称轴为，可知在不单调增, ⑤当时，，对称轴为 所以在单调递增， 则在单调递增，故满足题意； 综上所述，a的取值范围为. 【经典例题五 利用函数单调性求最值或值域】 17．（23-24高三上·浙江·期中）已知函数的定义域为，对于任意的，，都有，当时，都有，且，当时，则的最大值是（    ） A．5 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【分析】找到函数值特殊的点，得到部分特殊函数值，利用给定的抽象函数定义求出端点值后，判断函数单调性即可求出最大值即可. 【详解】令，则，且 故，，故 且令，，可得 设，则， 则，故在上单调递增 的最大值是 故选：A 18．（多选题）（23-24高一上·山东枣庄·阶段练习）定义为中的最大值，设，则的函数值可以取（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】BCD 【分析】考虑，，三种情况，分别计算函数值域得到答案. 【详解】取，解得或， 当时，，且，，； 当时，，，，； 当时，，，，. 综上所述：. 故选：BCD. 19．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数在区间是增函数，且，若，则的最大值为 . 【答案】 【分析】通过，和两种情况讨论，结合裂项放缩即可求解. 【详解】由题意可知 若； 若， 等号成立当且仅当 若，则，矛盾 若，则 等号成立当且仅当，， 故答案为： 【点睛】关键点点睛： 通过，讨论和求解. 20．（23-24高一上·河北邯郸·期中）已知函数. (1)若a=0，求函数的值域； (2)求函数的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】(1) 先求定义域，再令，则，结合定义域可求的值域； (2)先由题意求出函数定义域，结合(1)将原函数化为，分别讨论，，三种情况，根据二次函数的单调性，即可求出结果. 【详解】（1）当a=0时，由题意可得：，解得，即定义域为； 令，则，因为，所以， 因此，即的值域为. （2）由题意可得：，解得，即定义域为； 由(1)可知函数可转化为函数， 当时，，函数开口向上，所以在上单调递增，设最大值为，因此； 当时，在上单调递增，此时； 当时，，函数开口向下，若，即时，函数在上单调递减，因此； 若，即时，在上单调递增，在上单调递减，因此； 若，即时，在上单调递增，因此； 综上所述， 故答案为：. 【经典例题六 函数奇偶性的应用】 21．（23-24高二下·云南曲靖·阶段练习）设函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由奇偶函数的定义可得、，合理巧妙赋值即可求解. 【详解】由为奇函数，得①， 由为偶函数，得②， 由①，令，得，解得； 由①②，令，得，； 由①②，令，得，所以； 故选：B 22．（多选题）（24-25高一上·江苏·阶段练习）已知函数的定义域均为，若函数单调递增，函数单调递减且为奇函数，则（    ） A． B． C．可能存在单调递减区间 D． 【答案】ABD 【分析】赋值计算判断A选项，通过单调性组合增函数-减函数=增函数可以得出B和C选项，通过单调性与奇函数性质组合可以得出D选项. 【详解】A选项，令，则，所以，故A选项正确； C选项，是增函数，故是增函数，不可能存在单调递减区间，故C选项错误； B选项，由是增函数，故，故B选项正确； D选项，单调递增，得，即 ①. 由为奇函数，可得，即， 整理得， 将代入①，可得， 化简可得，故D选项正确. 故选：ABD. 23．（24-25高一上·福建福州·期中）若关于的函数的最大值为，最小值为，且，则实数的值为 ． 【答案】/ 【分析】化简得，令，则可得为奇函数，从而得，代入求解即可． 【详解】， 令，， 因为， 所以为奇函数，所以， 所以，， 又因为，所以， 所以． 故答案为：． 24．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）设函数与的定义域都是且,是偶函数, 是奇函数,且. （1）求和的解析式 ； （2）求的值. 【答案】（1），；（2）0 【分析】（1）由，则, 联立方程组，即可求解函数的解析式； （2）由，得到，即可求得相应的值. 【详解】（1）由题意，因为，则, 因为是偶函数，是奇函数，所以， 联立方程组，求得，. （2）因为  所以,所以 ,    所以 . 【经典例题七 幂函数奇偶性的应用】 25．（22-23高一上·广东珠海·期中）已知常数在上有最大值，若的最小值为，则（    ） A．0 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】令，根据奇偶性定义可得为奇函数，再由在上有最大值可得在上有最小值，从而得到在上有最小值，可求出. 【详解】令，， 所以，所以为奇函数， 因为在上有最大值，所以在上有最大值， 所以在上有最小值，即在上有最小值， 所以在上有最小值，即，则. 故选：C. 26．（多选题）（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知幂函数的图象经过点，则下列命题正确的有（    ） A．该函数在定义域上是偶函数 B．对定义域上任意实数，，且，都有 C．对定义域上任意实数，，且，都有 D．对定义域上任意实数，，都有 【答案】BC 【分析】求出函数，可求得定义域不关于原点对称，从而可判断选项A；由函数为增函数，即可判断选项B；作差判断符合，即可判断选项C；计算与，即可判断选项D． 【详解】解：因为幂函数的图象经过点，所以，所以， 所以，定义域为,，为非奇非偶函数，故A错误； 由幂函数的性质可知在,上为增函数，所以对任意实数，,，不妨设，则，所以，，所以，故B正确； 任意实数，,，不妨设，则，又，所以，即，所以，故C正确． ，，所以与不一定相等，故D错误． 故选：BC． 27．（24-25高一上·广东佛山·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则整数m的值为 . 【答案】2 【分析】根据幂函数的奇偶性及单调性求出即可. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以，解得， 所以可取， 当时，为奇函数，图象关于原点对称， 当时，为偶函数，图象关于轴对称， 当时，为奇函数，图象关于原点对称， 故. 故答案为：2. 28．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知幂函数为偶函数,且在上是增函数． （1）求的解析式； （2）在区间上为增函数，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）因为在增,根据幂函数性质可知,解得: ,结合为偶函数且,即可求得; （2） 因为,代入,可得.由和复合而成,根据复合函数单调性同增异减,对进行讨论,即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）,在上是增函数 根据幂函数性质可知: ， . 又,或,而为偶函数    （2）在上为增函数， 由和复合而成， 当时,减函数, 在为增函数,复合函数为减函数,故不满足题意 当时. ，解得:. 实数的取值范围: . 学科网（北京）股份有限公司 $