1.4.2 第1课时 距离问题课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量在距离与夹角问题中的应用，从点到直线、点到平面的距离公式推导入手，层层递进地构建起向量法解决几何问题的知识体系。通过问题1引导学生从向量投影出发，结合勾股定理自然得出点到直线距离公式，再类比迁移至点到平面距离的求解，形成清晰的学习支架，有效衔接旧知与新知。 其亮点在于紧扣数学核心素养，突出“几何直观”“逻辑推理”和“数学建模”三大能力培养。例如典例中用两种方法求解O₁到直线AC的距离，既体现向量法的简洁性，又强化数形结合意识，还渗透转化思想。延伸探究进一步拓展至线面、面面距离问题，帮助学生建立空间观念与模型意识。教师可借此提升教学效率，学生则能在真实情境中感悟数学本质，发展理性思维与创新意识。

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时 距离问题 学习目标 1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面间的距离问题.(重点) 2.通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问题中的作用. 刘雨萌 导语 立交桥是伴随着高速公路应运而生的.城市的立交桥不仅大大方便了交通，而且成为城市建设的美丽风景.在设计过程中，工程师需要计算出上、下纵横高速公路之间的距离、立交桥上的高速公路与地面之间的距离，工程师是如何计算出来的？ 刘雨萌 新知探究 一、点到直线的距离 问题1 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点.请找出向量在直线l上的投影向量其模为多少？如何利用这些条件求点P到直线l的距离？ 提示　如图，设=a，则向量在直线l上的投影向量=(a·u)u. ||=|(a·u)u|=|a·u|，在Rt△APQ中，由勾股定理，得点P到直线l的距离为 PQ==. 刘雨萌 知识梳理 点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设=a，则向量在直线l上的投影向量=(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ==. 刘雨萌 典例分析 典例 在长方体OABC-O1A1B1C1中，OA=2，AB=3，AA1=2，求O1到直线AC的距离. 方法一　连接AO1，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2，0，0)，O1(0，0，2)，C(0，3，0)， ∴=(-2，0，2)=(-2，3，0)， ∴·=(-2，0，2)·(-2，3，0)=4， 取a==(-2，0，2)，u== ∴a·u=∴O1到直线AC的距离d==. 刘雨萌 方法二　建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，O1(0，0，2)，C(0，3，0)，过O1作O1D⊥AC于点D， 设D(x，y，0)，则=(x，y，-2)=(x-2，y，0). ∵=(-2，3，0)⊥∥ ∴ ∴D∴||==. 即O1到直线AC的距离为. 解 刘雨萌 延伸探究 延伸探究1 在典例的条件下，M，N分别是O1A1，O1C1的中点，证明：MN∥AC，并求直线MN与AC的距离. 建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2，0，0)，C(0，3，0)，M(1，0，2)，N ∴=(-2，3，0)== ∴∥ 又MN与AC不重合， ∴MN∥AC，故点M到直线AC的距离即所求距离. 刘雨萌 直线AC的单位方向向量u===(1，0，-2)， ∴点M到直线AC的距离 d=== 所以直线MN与AC的距离为. 解 刘雨萌 反思与感悟 (1)用向量法求点到直线的距离的一般步骤 ①求直线的单位方向向量u. ②计算所求点与直线上某一点所构成的向量a. ③利用公式d=. (2)如果求空间中两条平行直线l，m间的距离，可在其中一条直线(如l)上任取一点P，将两条平行直线的距离转化为点P到另一条直线m的距离求解. 刘雨萌 新知探究 二、点、直线、平面到平面的距离 问题2 已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.如何利用向量与n求点P到平面α的距离？ 提示　过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，向量在向量n上的投影向量为借助数量积运算可知||=向量的长度与P到平面α的距离相等，故点P到平面α的距离为PQ=. 刘雨萌 知识梳理 点到平面的距离 已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则点P到平面α的距离PQ=. 实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度. 刘雨萌 延伸探究 延伸探究　(课本例6)　如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点. (1)求点B到直线AC1的距离； (2)求直线FC到平面AEC1的距离. 刘雨萌 (1)以D1为原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，1)，B(1，1，1)，C(0，1，1)，C1(0，1，0)，EF 所以=(0，1，0)=(-1，1，-1)，= ===. 取a==(0，1，0)，u==(-1，1，-1)，则a2=1，a·u=. 所以，点B到直线AC1的距离为==. 刘雨萌 (2)因为==所以FC∥EC1，所以FC∥平面AEC1. 所以点F到平面AEC1的距离即为直线FC到平面AEC1的距离. 设平面AEC1的法向量为n=(x，y，z)， 则 所以 取z=1，则x=1，y=2. 解 刘雨萌 所以，n=(1，2，1)是平面AEC1的一个法向量. 又因为= 所以点F到平面AEC1的距离为 ==. 即直线FC到平面AEC1的距离为. 解 刘雨萌 延伸探究 延伸探究 在典例的条件下，E，F分别为AB，BC的中点.求点O到平面O1EF的距离. 建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0，0，0)，O1(0，0，2)， EF(1，3，0)， ∴== 设平面O1EF的法向量为n=(x，y，z)， 则 取y=2，则x=3，z=∴n=又=(0，0，2)， ∴点O到平面O1EF的距离为==. 刘雨萌 延伸探究 延伸探究 在典例及延伸探究1，2的条件下，证明平面BMN∥平面O1EF，并求两平面的距离. 建立如图所示的空间直角坐标系，则M(1，0，2)，NB(2，3，0)， ∴==(-1，-3，2)， 设平面BMN的法向量为m=(a，b，c)，则 取b=2，则a=3，c= ∴m==n， ∴平面BMN∥平面O1EF， ∴点M到平面O1EF的距离与两平面的距离相等， 由延伸探究3知，所求距离为. 刘雨萌 反思与感悟 (1)用向量法求点面距离的步骤 ①建系：建立恰当的空间直角坐标系. ②求点坐标：写出(求出)相关点的坐标. ③求向量：求出相关向量的坐标(α内两不共线向量，平面α的法向量n). ④求距离d=. (2)如果直线l∥平面α，求直线l到平面α的距离，可在直线l上任取一点P，则点P到平面α的距离等于直线l到平面α的距离. (3)如果两个平面α，β互相平行，求这两个平行平面的距离，可在其中一个平面α内任取一点P，则点P到平面β的距离等于这两个平行平面的距离. 刘雨萌 课堂小结 刘雨萌 随堂演练 1.已知A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，则点A到直线BC的距离为 A. B.1 C. D.2 √ 2.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA=PB=PC=1，则点P到平面ABC的距离是 A. B. C. D. √ 3.已知棱长为1的正方体 ABCD-A1B1C1D1，则平面 AB1C 与平面 A1C1D 之间的距离为 A. B. C. D. √ 4.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线A1C1到平面ACD1的距离 为　　　. 刘雨萌 课后作业 步步高练透137页 作业10 1-10（必写） 11-14（学有余力的写） 15-16（对数学有追求的写） 刘雨萌 本节内容结束 $