1.4.1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4 空间向量的应用 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示 学习目标 1.会用向量语言描述直线和平面. 2.理解直线的方向向量和平面的法向量. 3.会求直线的方向向量和平面的法向量.(重点) 刘雨萌 导语 我们知道，点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素.因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线和平面.本节我们就来研究如何用空间向量表示空间中的点、直线和平面. 刘雨萌 新知探究 问题1 在空间中，如何用向量表示空间中的一个点？ 提示　在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示，我们把向量称为点P的位置向量. 问题2 空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l.如何用向量表示直线l？ 提示　如图1，a是直线l的方向向量，在直线l上取=a，设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得=ta，即=t.如图2，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使=+ta， ① 将=a代入①式，得=+t. ② 1.用向量表示点 2.用向量表示直线 刘雨萌 知识梳理 1.设A是直线l上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取=a，设P是直线l上任意一点， (1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得= ，即= . (2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使=+ ，即=+ . 2.空间任意直线都可以由直线上一点及直线的 唯一确定. ta ta t t 方向向量 注：(1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合. (2)与直线l平行或重合的任意非零向量a都是直线l的方向向量，且直线l的方向向量有无数个. 刘雨萌 例1 (1)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD-A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为　　　 　，直线BC1的一个方向向量为　　 　　. 典例分析 (0，0，1) (0，1，1)(答案不唯一) (2)已知直线l的一个方向向量m=(2，-1，3)，且直线 l 过 A(0，y，3)和 B(-1，2，z)两点，则y-z等于 A.0 B.1 C. D.3 √ 刘雨萌 跟踪训练 跟踪训练1 　(1)(多选)若M(1，0，-1)，N(2，1，2)在直线l上，则下列可作为直线l方向向量的是 A.(2，2，6) B.(1，1，3) C.(3，1，1) D.(-3，0，1) √ √ (2)已知向量a=(2，-1，3)，b=(-4，2x2，6x)都是直线l的方向向量，则x的值是 A.-1 B.1或-1 C.-3 D.1 √ 刘雨萌 知识梳理 3.用向量表示平面 1.如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，两条直线确定的平面为α，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得= . xa+yb 2.如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使=+ + .我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式. x y 刘雨萌 知识梳理 3.空间中任意平面由空间一点及两个 向量唯一确定.如图，直线l⊥ α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的 .给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·=0}. 不共线 法向量 4.法向量 注： (1)平面α的法向量垂直于平面α内的所有向量. (2)一个平面的法向量有无限多个，它们都是平行向量. 刘雨萌 典例分析 例2 　(课本例1)　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，M是AB的中点.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求平面BCC1B1的法向量； (2)求平面MCA1的法向量. （1）因为y轴垂直于平面BCC1B1， 所以n1=(0，1，0)是平面BCC1B1的一个法向量. (2）n2=(2，3，3)是平面MCA1的一个法向量. 刘雨萌 反思感悟 求平面法向量的步骤 (1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两个不共线向量，如. (2)设平面的法向量为n=(x，y，z). (3)联立方程组并求解. (4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量. 刘雨萌 变式训练 学习笔记例2 已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1.在如图所示的空间直角坐标系中，分别求平面SCD和平面SAB的一个法向量. ∵D(1，0，0)，C(2，2，0)，S(0，0，2)， ∴=(1，2，0)=(-1，0，2)， 设平面SCD的法向量为n=(x，y，z)， 则 令x=1，则y=-z=∴n= 即平面SCD的一个法向量为n= ∵x轴⊥平面SAB，∴m=(1，0，0)即为平面SAB的一个法向量. 刘雨萌 跟踪训练 跟踪训练2 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1， A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求： (1)平面BDD1B1的一个法向量； (2)平面BDEF的一个法向量. （1）平面BDD1B1的一个法向量为n=(1，-1，0).(答案不唯一) （2）平面BDEF的一个法向量为m=(2，-2，-1).(答案不唯一) 刘雨萌 课堂小结 刘雨萌 随堂演练 1.(多选)下列各式中，k为实数，可以判定点P在直线AB上的是 A.=+k B.=+k C.=+k D.=+k √ √ 2.在空间直角坐标系中，直线l过点A(1，0，-1)且以μ=(3，2，4)为方向向量，M(x，y，z)为直线l上的任意一点，则点M的坐标满足的关系式是 A.== B.== C.== D.== √ 刘雨萌 随堂演练 3.若n=(2，-3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的一个法向量的是 A.(0，-3，1) B.(2，0，1) C.(-2，-3，1) D.(-2，3，-1) √ 4.已知平面α经过点O(0，0，0)，且e=(1，2，-3)是α的一个法向量， M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是　　　　　. x+2y-3z=0 刘雨萌 课后作业 步步高练透131页 作业7 1-10（必写） 11-14（学有余力的写） 15-16（对数学有追求的写） 刘雨萌 本节内容结束 $