1.3 空间向量及其运算的坐标表示 教学设计-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

宁波光华学校教案

备课时间

2025.09.

备课教师

刘雨萌

课时数

2

备课内容

1.3 空间向量及其运算的坐标表示

教材分析

“空间向量及其运算的坐标表示”主要包括空间直角坐标系和空间向量运算的坐标表示.其中，空间直角坐标系是空间向量运算坐标表示的基础.对于空间直角坐标系的编排，基于使用本章内容逻辑主线更加清晰的考虑，教科书选择了利用空间任意给定的一点和一个单位正交基底建立空间直角坐标系的方法，这与原教科书从立体几何知识出发建立空间直角坐标系相比有较大不同.由于空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示类似，因此，对于，空间向量运算的坐标表示的编排，教科书采用类比方法，引导学生经历由平面推广到空间的过程.

教学目标

1.了解空间直角坐标系，能写出所给定点、向量的坐标.

2.掌握空间向量运算的坐标表示.(重点)

3.会用空间向量的坐标解决一些简单的几何问题.(难点)

重难点

重点：掌握空间向量运算的坐标表示.

难点：会用空间向量的坐标解决一些简单的几何问题.

备

课

内

容

教

学

步

骤

 教学过程

个性化处理

导语

在平面向量中，我们以平面直角坐标系中与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i， j为基底，建立了向量的坐标与点的坐标的一一对应关系，从而把平面向量的运算化归为数的运算.类似地，为了把空间向量的运算化归为数的运算，能否利用空间向量基本定理和空间的单位正交基底，建立空间直角坐标系，进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标的一一对应呢？下面我们就来研究这个问题.

一、空间直角坐标系及点的坐标

问题1　利用单位正交基底的概念，我们如何理解平面直角坐标系呢？

提示　在平面内选定一点O和一个单位正交基底{i， j}，以O为原点，分别以i， j的方向为正方向、以它们的长度为单位长度建立两条数轴：x轴、y轴，那么我们就建立了一个平面直角坐标系.类似地，我们也可以建立一个空间直角坐标系.

知识梳理

1.空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i， j，k}，以点O为原点，分别以i， j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.

2.相关概念：O叫做原点，i， j，k都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分.

3.在空间直角坐标系Oxyz中，

i， j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使=xi+y j+zk.在单位正交基底{i， j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.

4.空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标的特点

二、空间向量的坐标及坐标运算

1.向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作=a，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a=xi+y j+zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，可简记作a=(x，y，z).

注意点：

(1)空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示相比，只是多出了竖坐标的运算，横纵坐标的运算规则一致.

(2)向量线性运算的结果仍是向量，可以用坐标表示；数量积的结果为数量.

例1　(课本例1)　如图，在长方体OABC-D'A'B'C'中，OA=3，OC=4，OD'=2，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.

(1)写出D'，C，A'，B'四点的坐标；

(2)写出向量的坐标.

解　(1)点D'在z轴上，且OD'=2，所以=0i+0j+2k.

所以点D'的坐标是(0，0，2).

同理，点C的坐标是(0，4，0).

点A'在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，O，D'，它们在坐标轴上的坐标分别为3，0，2，