1.3 空间向量及其运算的坐标表示 教学设计-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

宁波光华学校教案 备课时间 2025.09. 备课教师 刘雨萌 课时数 2 备课内容 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 教材分析 “空间向量及其运算的坐标表示”主要包括空间直角坐标系和空间向量运算的坐标表示.其中，空间直角坐标系是空间向量运算坐标表示的基础.对于空间直角坐标系的编排，基于使用本章内容逻辑主线更加清晰的考虑，教科书选择了利用空间任意给定的一点和一个单位正交基底建立空间直角坐标系的方法，这与原教科书从立体几何知识出发建立空间直角坐标系相比有较大不同.由于空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示类似，因此，对于，空间向量运算的坐标表示的编排，教科书采用类比方法，引导学生经历由平面推广到空间的过程. 教学目标 1.了解空间直角坐标系，能写出所给定点、向量的坐标. 2.掌握空间向量运算的坐标表示.(重点) 3.会用空间向量的坐标解决一些简单的几何问题.(难点) 重难点 重点：掌握空间向量运算的坐标表示. 难点：会用空间向量的坐标解决一些简单的几何问题. 备 课 内 容 教 学 步 骤 教学过程 个性化处理 导语 在平面向量中，我们以平面直角坐标系中与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i， j为基底，建立了向量的坐标与点的坐标的一一对应关系，从而把平面向量的运算化归为数的运算.类似地，为了把空间向量的运算化归为数的运算，能否利用空间向量基本定理和空间的单位正交基底，建立空间直角坐标系，进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标的一一对应呢？下面我们就来研究这个问题. 一、空间直角坐标系及点的坐标 问题1　利用单位正交基底的概念，我们如何理解平面直角坐标系呢？ 提示　在平面内选定一点O和一个单位正交基底{i， j}，以O为原点，分别以i， j的方向为正方向、以它们的长度为单位长度建立两条数轴：x轴、y轴，那么我们就建立了一个平面直角坐标系.类似地，我们也可以建立一个空间直角坐标系. 知识梳理 1.空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i， j，k}，以点O为原点，分别以i， j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. 2.相关概念：O叫做原点，i， j，k都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分. 3.在空间直角坐标系Oxyz中， i， j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使=xi+y j+zk.在单位正交基底{i， j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标. 4.空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标的特点 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 坐标的形式 (x，0，0) (0，y，0) (0，0，z) 点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内 坐标的形式 (x，y，0) (0，y，z) (x，0，z) 二、空间向量的坐标及坐标运算 1.向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作=a，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a=xi+y j+zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，可简记作a=(x，y，z). 注意点： (1)空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示相比，只是多出了竖坐标的运算，横纵坐标的运算规则一致. (2)向量线性运算的结果仍是向量，可以用坐标表示；数量积的结果为数量. 例1　(课本例1)　如图，在长方体OABC-D'A'B'C'中，OA=3，OC=4，OD'=2，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. (1)写出D'，C，A'，B'四点的坐标； (2)写出向量的坐标. 解　(1)点D'在z轴上，且OD'=2，所以=0i+0j+2k. 所以点D'的坐标是(0，0，2). 同理，点C的坐标是(0，4，0). 点A'在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，O，D'，它们在坐标轴上的坐标分别为3，0，2， 所以点A'的坐标是(3，0，2). 点B'在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，C，D'，它们在坐标轴上的坐标分别为3，4，2， 所以点B'的坐标是(3，4，2). (2)==0i+4j+0k=(0，4，0)； =-=0i+0j-2k=(0，0，-2)； =+=-3i+4j+0k=(-3，4，0)； =++=-3i+4j+2k=(-3，4，2). 注意点： (1)基向量：|i|=| j|=|k|=1，i· j=i·k= j·k=0. (2)画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy=135°(或45°)，∠yOz=90°. (3)让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系，建立的坐标系一般为右手直角坐标系. 问题2（教材18页练习第1题） 问题3（教材18页练习第2题） 问题4（教材22页习题1.3 第2题） 问题5（教材22页练习第3题） 步步高13页例1　已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标. 解　∵正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10， ∴正四棱锥的高为2. 以正四棱锥的底面中心为原点，平行于BC，AB所在的直线分别为x轴、y轴，垂直于平面ABCD的直线为z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则正四棱锥各顶点的坐标分别为A(2，-2，0)，B(2，2，0)，C(-2，2，0)，D(-2，-2，0)，P(0，0，2). 答案不唯一. 延伸探究　试写出例1中点A分别关于Ozx平面、y轴、坐标原点的对称点. 解　建立同例1的空间直角坐标系(图略). 点A关于Ozx平面的对称点为(2，2，0)， 点A关于y轴的对称点为(-2，-2，0)， 点A关于坐标原点的对称点为(-2，2，0). 答案不唯一. 反思感悟　(1)建立空间直角坐标系的原则 ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内. ②充分利用几何图形的对称性. ③一般用右手直角坐标系. (2)求某点M的坐标的方法 作MM'垂直于平面Oxy，垂足为M'，求M'的横坐标x，纵坐标y，即为点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为点M的竖坐标z，于是得到点M的坐标(x，y，z). (3)空间坐标系中求已知点的对称点，一般遵循“谁不存在谁变号”原则. 跟踪训练1　已知在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，所有的棱长都是1，试建立适当的空间直角坐标系，并写出各顶点的坐标. 解　如图所示，取AC的中点O和A1C1的中点O1，可得BO⊥AC，OO1⊥AC，分别以OB，OC，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. ∵三棱柱各棱长均为1， ∴OA=OC=O1A1=O1C1=OB=. ∵A，B，C均在坐标轴上， ∴ABC. ∵点A1与C1在Oyz平面内， ∴A1C1. ∵点B1在Oxy平面内的射影为B，且BB1=1， ∴B1即该三棱锥各顶点的坐标为 ABC A1B1C1. 答案不唯一. 问题6（教材19页探究）有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？ 2.设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，λ∈R，那么 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a+b (a1+b1，a2+b2，a3+b3) 减法 a-b (a1-b1，a2-b2，a3-b3) 数乘 λa (λa1，λa2，λa3) 数量积 a·b a1b1+a2b2+a3b3 3.设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则=(x2-x1，y2-y1，z2-z1).即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标. 注意点： (1)空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示相比，只是多出了竖坐标的运算，横纵坐标的运算规则一致. (2)向量线性运算的结果仍是向量，可以用坐标表示；数量积的结果为数量. （步步高14页例2）例2　在△ABC中，A(2，-5，3)=(4，1，2)=(3，-2，5). (1)求顶点B，C的坐标； (2)求·； (3)若点P在AC上，且=求点P的坐标. 跟踪训练2　(1)如图所示，以长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为(4，3，2)，则C1的坐标是(　　) A.(0，3，2) B.(0，4，2) C.(4，0，2) D.(2，3，4) 答案　A (2)已知a+b=(22)，a-b=(00)，则a=　　　　　，b=　　　　　，a·b=　　　　. 答案　(1)　 (1，0)　4 三、空间向量平行、垂直的坐标表示及应用 设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，则有 (1)平行关系：当b≠0时，a∥b⇔a=λb⇔a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3(λ∈R)； (2)垂直关系：当a≠0，b≠0时，a⊥b⇔a·b=0⇔a1b1+a2b2+a3b3=0. 注意点： (1)要证明a⊥b，就是证明a·b=0；要证明a∥b，就是证明a=λb(b≠0). (2)若a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，当b1b2b3≠0时，a与b平行的条件还可以表示为a∥b⇔==. 例3　(课本例2)　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点.求证EF⊥DA1. 证明　不妨设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则EF 所以=. 又A1(1，0，1)，D(0，0，0)， 所以=(1，0，1). 所以·=·(1，0，1)=0. 所以⊥即EF⊥DA1. 学习笔记15页 例3　已知空间三点A(-2，0，2)，B(-1，1，2)，C(-3，0，4)，设=a=b. (1)设向量c=试判断2a-b与c是否平行？ (2)若ka+b与ka-2b互相垂直，求k的值. 反思感悟　(1)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解. (2)利用向量证明直线、平面平行或垂直，要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明. 跟踪训练3　已知a=(x，1，-1)，b=(-2，y，1)，c=(2，-3，z)，若a∥b，b⊥c，求a，b，c. 夹角和距离的计算 问题7（教材20页探究）　你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗？ 提示　如图，建立空间直角坐标系Oxyz， 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则=-=(x2-x1，y2-y1，z2-z1)， 于是||= =. 所以P1P2=|| = 这就是空间两点间的距离公式. 知识梳理 1.空间两点间的距离公式： (1)设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，P1P2=||=. (2)若O(0，0，0)，P(x，y，z)，则||=. 2.空间向量的夹角公式： 设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，则cos〈a，b〉==. 例4　(课本例3)　如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为BC1的中点，E1，F1分别在棱A1B1，C1D1上，B1E1=A1B1，D1F1=C1D1. (1)求AM的长； (2)求BE1与DF1所成角的余弦值. 解　(1)建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则点A的坐标为(1，0，0)，点M的坐标为.于是AM==. (2)由已知，得B(1，1，0)，E1D(0，0，0)，F1 所以=-(1，1，0)= =-(0，0，0)= ||=||=. 所以·=0×0++1×1=. 所以cos〈〉= ==. 所以，BE1与DF1所成角的余弦值是. 例4　如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M，N分别是AA1，CB1的中点. (1)求BM，BN的长； (2)求△BMN的面积. 反思感悟　利用空间向量的坐标运算求夹角和距离的一般步骤 (1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系. (2)求坐标：①求出相关点的坐标； ②写出向量的坐标. (3)代入公式进行计算. (4)写出答案. 跟踪训练4　如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG=CD，H为C1G的中点. (1)求证：EF⊥B1C； (2)求FH的长； (3)求异面直线EF与C1G所成角的余弦值. 课堂小结 1. 空间直角坐标系 2. 空间向量的坐标运算 3. 用空间向量的坐标运算解决相关的几何问题 当堂检测 学习笔记16页随堂演练1-4 教材22页练习1-5 课后作业 第一课时：步步高练透127页 作业5 1-10（必写）11-14（学有余力的写）15-16（对数学有追求的写） 第二课时：步步高练透129页 再练一课（范围1.1-1.3） 6个单选，3个多选，3个填空，3个解答. 反思 1 学科网（北京）股份有限公司 $