精品解析：2023年浙江省衢州市开化县七年级下学期数学竞赛试卷

2023年七年级数学学习能力测试卷 一、选择题（本题共有6小题，每小题3分，共18分） 1. 定义，则方程的解为（ ） A. B. 2 C. D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据题意整理出方程，并掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 由题意整理可得，解方程即可求解． 【详解】解： ， 则， ， 故选：D． 2. 下列四个数，不能表示为两个整数的平方差的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平方差公式．关键思路：判断一个数能否表示为两个整数的平方差，奇数必可表示为平方差，而形如的偶数无法表示为平方差，利用平方差公式将问题转化为判断每个数能否分解为两个同奇或同偶因数的乘积，再逐项分析各选项是否满足条件． 【详解】解：A、奇数，可表示为平方差；，故不符合题意； B、偶数，且，属于型，无法表示为平方差，故符合题意； C、奇数，可分解为：，故不符合题意； D、2024偶数且，可表示为： ，故不符合题意； 故选：B． 3. 已知，，，则代数式的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查代数式的化简求值．本题可先根据已知条件求出的值，再将代数式进行变形，最后代入求值． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴原式； 故选：A． 4. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点，连结，平分．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题可根据平行四边形的性质以及角平分线的定义，结合三角形内角和定理来求解的度数．先利用平行四边形对边平行的性质，得到，推出内错角相等、同旁内角互补；再依据角平分线定义，确定相关角的等量关系；最后在三角形中，结合内角和定理与平行四边形 角的关系设未知数、列方程，求出的度数． 【详解】解：∵已知四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， 又∵， ∴ ，则AD=DE， ∵平分， ∴， 设，则， ∴ ，那么， ∵， ∴， 在中，可得， ∵， ∴ ， 即， 解得：， ∴． 故选：C． 5. 已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查指数变形的思维，根据已知条件进行变形，构造相同的底数关系建立方程，即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴,即, ,即 ∴, 即 ∴． 故选：C． 6. 对于，3，，k，正整数n除以i所得的余数为．若n的最小值满足．则正整数k的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 11 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是整除的含义，最小公倍数的应用，由题意可得是，3，，k的倍数，可得的最小值是，3，，k的最小公倍数，进一步分析即可． 【详解】解：∵正整数n除以i所得的余数为， ∴是，3，，k的倍数， ∴是，3，，k的倍数， ∴的最小值是，3，，k的最小公倍数， ∵，3，，8的最小公倍数为， ，3，，9的最小公倍数为， ，3，，10的最小公倍数为， ，3，，11的最小公倍数为， ∵， ∴正整数k的最小值为． 故选：B 二、填空题（本题共有6小题，每小题5分，共30分） 7. 若，则__． 【答案】20 【解析】 【分析】先将变形，得出，再讲要求的式子变形并分别提取公因式，然后将整体代入计算． 【详解】∵， ∴， ∴ ． 故答案为20 【点睛】本题考查了代数式的变形和整体代入，将需要计算的式子变形然后将已知式子整体代入求解，根据所求代数式的特征将已知式子恰当变形是解题的关键． 8. 若a，b，c满足，，，则____． 【答案】29 【解析】 【分析】此题考查了利用完全平方公式分解因式．首先把，，，两边相加整理成，利用非负数的性质得出、、的数值，代入求得答案即可． 【详解】解：∵，，， ， ， ，，， ∴． 故答案为：． 9. 分解因式：____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解方法是解题的关键； 先将式子整理为，然后再根据完全平方公式，以及平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 10. 如图，直线，平分，平分，点，，在同一直线上，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，正确作出辅助线是解题的关键．作，，根据平行公理的推论，平行线的性质，对顶角的性质和角平分线的性质表示出和，再结合即可求出． 【详解】如图，作，， 则， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， 设， ∵， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 11. 已知存在99个连续正整数，它们的和等于4个质数（可以相同）的乘积，则这4个质数的和的最小值为_____． 【答案】70 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，解题的关键在于计算得到99个连续正整数的和． 设这99个连续正整数的第一个数为n，结合自然数求和公式推出这99个连续正整数的和为，再结合它们的和等于4个质数（可以相同）的乘积，推出为质数，最后根据这4个质数的和的最小值讨论求解，即可解题． 【详解】解：设这99个连续正整数的第一个数为n， 则99个连续正整数的和为： ， 又它们的和等于4个质数（可以相同）的乘积， 则为质数， n为正整数， 当时，，不是质数； 当时，，不是质数； 当时，，不是质数； 当时，，是质数； 即最小为， 则这4个质数的和的最小值为， 故答案为：． 12. 为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫．初步预算，这三座山各需两种树木数量和之比为，需香樟数量之比为，并且甲、乙两山需红枫数量之比为．在实际购买时，香樟的价格比预算低，红枫的价格比预算高，香樟购买数量减少了，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为_________． 【答案】 【解析】 【分析】适当引进未知数，合理转化条件，构造等式求解即可． 【详解】设三座山各需香樟数量分别为4x、3x、9x．甲、乙两山需红枫数量、． ∴， ∴， 故丙山的红枫数量为， 设香樟和红枫价格分别为、． ∴， ∴， ∴实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了未知数的合理引用，熟练掌握未知数的科学设置，灵活构造等式计算求解是解题的关键． 三、解答题（本题共4小题，共52分） 13. 解方程或方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查的是绝对值方程与分式方程组的解法． （1）设，，则方程组可化为，求解，，可得，再进一步求解即可． （2）分当时，当时，当时，再化为一元一次方程求解即可． 【小问1详解】 解：， 设，， 则方程组可化为， 得：， 把代入①得：， ∴，， ∴， 解得． 经检验是原方程组的解． 【小问2详解】 解：， 当时， ∴， ∴， 解得， 当时， ∴， ∴， 解得， 当时， ∴， ∴（舍去）， 综上，方程的解为：或． 14. 合肥市某中学学生张强到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行月总收入＝基本工资计件奖金的方法（即营业员月总收入由基本工资和计件金两部分构成），并获得如下信息： 营业员：月销售件数件，月总收入元； 营业员：月销售件数件，月总收入元． 假设营业员的月基本工资为元，销售每件服装奖励元． （1）求、的值； （2）商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲服装件，乙服装件，丙服装件共需元；如果购买甲服装件，乙服装件，丙服装件共需元．某顾客想购买甲、乙、丙服装各一件，共需多少元？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（1）设营业员的月基本工资为元，销售每件服装奖励元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设购买一件甲服装需要元，购买一件乙服装需要元，购买一件丙服装需要元，根据题意列出三元一次方程组，得出，即可求解． 【小问1详解】 解：设营业员的月基本工资为元，销售每件服装奖励元， 根据题意得：， ， 【小问2详解】 解：设购买一件甲服装需要元，购买一件乙服装需要元，购买一件丙服装需要元， 根据题意得：， ，得：． 答：购买甲、乙、丙服装各一件共需元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，三元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 15. 已知同一平面内有条直线，共有个不同的交点，画出它们可能的位置关系（要求画出三种图形，每一种图形给出简要的说明）． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行线与相交线的综合运用．没有明确平面上条不重合直线的位置关系，需要运用分类讨论思想．从平行线的角度考虑，通过合理设置平行直线组与相交直线来实现，作出草图即可看出． 【详解】解:①条平行线条相交且不平行于前一组的直线 ②条平行线条平行线条相交且不平行于前两组的直线 ③条平行线条平行线条相交且不平行于前两组的直线 16. 若一个四位数的个位数字与十位数字的平方和恰好是去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数为“勾股和数”． 例如：，∵，∴2543是“勾股和数”； 又如：，∵，，∴4325不是“勾股和数”． （1）判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由； （2）一个“勾股和数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，．当，均是整数时，求出所有满足条件的． 【答案】（1） 解：2022不是“勾股和数”，5055是“勾股和数”； 理由：∵，， ∴1022不是“勾股和数”； ∵， ∴5055是“勾股和数”； （2）8109或8190或4536或4563． 【解析】 【分析】（1）根据“勾股和数”的定义进行验证即可； （2）由“勾股和数”的定义可得，根据，均是整数可得，为3的倍数，据此得出符合条件的c，d的值，然后即可确定出M． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵为“勾股和数”， ∴， ∴， ∵为整数， ∴， ∵为整数， ∴为3的倍数， ∴①，或，，此时或8190； ②，或，，此时或4563， 综上，M的值为8109或8190或4536或4563． 【点睛】本题以新定义为背景考查了整式混合运算的应用以及学生应用知识的能力，解题关键是要理解新定义，能根据条件找出合适的“勾股和数”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年七年级数学学习能力测试卷 一、选择题（本题共有6小题，每小题3分，共18分） 1. 定义，则方程的解为（ ） A. B. 2 C. D. 10 2. 下列四个数，不能表示为两个整数的平方差的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，则代数式的值是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点，连结，平分．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 对于，3，，k，正整数n除以i所得的余数为．若n的最小值满足．则正整数k的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 11 D. 12 二、填空题（本题共有6小题，每小题5分，共30分） 7. 若，则__． 8. 若a，b，c满足，，，则____． 9. 分解因式：____． 10. 如图，直线，平分，平分，点，，在同一直线上，若，则_____． 11. 已知存在99个连续正整数，它们的和等于4个质数（可以相同）的乘积，则这4个质数的和的最小值为_____． 12. 为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫．初步预算，这三座山各需两种树木数量和之比为，需香樟数量之比为，并且甲、乙两山需红枫数量之比为．在实际购买时，香樟的价格比预算低，红枫的价格比预算高，香樟购买数量减少了，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为_________． 三、解答题（本题共4小题，共52分） 13. 解方程或方程组： （1） （2） 14. 合肥市某中学学生张强到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行月总收入＝基本工资计件奖金的方法（即营业员月总收入由基本工资和计件金两部分构成），并获得如下信息： 营业员：月销售件数件，月总收入元； 营业员：月销售件数件，月总收入元． 假设营业员的月基本工资为元，销售每件服装奖励元． （1）求、的值； （2）商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲服装件，乙服装件，丙服装件共需元；如果购买甲服装件，乙服装件，丙服装件共需元．某顾客想购买甲、乙、丙服装各一件，共需多少元？ 15. 已知同一平面内有条直线，共有个不同的交点，画出它们可能的位置关系（要求画出三种图形，每一种图形给出简要的说明）． 16. 若一个四位数的个位数字与十位数字的平方和恰好是去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数为“勾股和数”． 例如：，∵，∴2543是“勾股和数”； 又如：，∵，，∴4325不是“勾股和数”． （1）判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由； （2）一个“勾股和数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，．当，均是整数时，求出所有满足条件的． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $