第20讲 空间几何体-【艺考一本通】2026年高考数学小题量检测

第一部分 一轮单元检测 第七单元立体几何 第20讲空间几何体 ©限时：60分钟⊙总分：84分 1.（多选)下列说法正确的是 ( )5.(多选)a,b是两条不同的直线，&，3是空间两 A.如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四 个不同的平面，如下有四个命题，其中正确的 棱锥的四条侧棱都相等 命题是 B.五棱锥只有五条棱 A.a⊥a,b∥3，a∥B→a⊥b C.一个棱柱至少有五个面 B.a⊥b,a⊥a,a∥B→b∥g D.棱台的各侧棱延长后交于一点 C.a⊥b,a∥a,a∥B→b⊥B 2.如图，圆柱的高为2，四边形ABCD是该圆柱 D.a⊥a,a∥b,a∥B→b⊥3 的轴截面.已知从点B出发沿着圆柱的侧面 6.如图，直四棱柱ABCD-A1BCD的底面是 到达点D的路径中，最短路径的长为2√5， 菱形，AA1=AB=2,∠BAD=60°，M是BB1 则该圆柱的体积是 的中点，则异面直线AM与B,C所成角的 余弦值为 D A.3 B.4 C.32π D32 π 3.将一个圆台的侧面展开，得到的扇环的内弧 长为4π，外弧长为8π，外弧半径与内弧半径 A.-10 B- 之差为m,若该圆台的体积为28y5,则m= 3 c D.v10 5 7.(多选)已知正方体ABCD一A1B1CD1,动点 A.4 B.3 C.2 D.1 P在线段BD上，则下述正确的是() 4.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上， A.PC∥AD 则该球的表面积为 ( ) B.PC⊥AC A.12π 4器 C.PC1⊥平面ABD C.8π D.4π D.PC∥平面ABD ·37· 艺考一本通 数学 8.已知球O与圆台O1O2的上、下底面及母线均 点，则下列结论正确的是 相切，且圆台OO2的上、下底面半径之比为1 A.三棱锥B1一CDP的体积为定值 :2,记球O与圆台O1O2的表面积分别为 B.存在点P,使得D1P⊥平面ABC S1,S2,则 C.若D1P⊥BD,则点P的轨迹长度为 A.S-7Se B.S:-7Sz 2√2 D.若点P是AB的中点，点Q是BC的中 C.Si-S D.Si-S: 点，则经过D,P,Q三点的平面截正方 9.如图，圆锥的母线长为4， 体所得截面的周长为2√5+3√2 点M为母线AB的中点， 13.(多选)已知圆锥S0的底面半径r=多， ，母 从点M处拉一条绳子，绕 圆锥的侧面转一周达到B 线长l=2,SA,SB是两条母线，P是SB的 中点，则 ( 点，这条绳子的长度最短值为2√5，则此圆锥 的表面积为 A网准S0的体积为 A.4π B.5π B圆锥S0的侧面展开图的圆，心角为7 C.6π D.8π C.当△SAB为轴截面时，圆锥表面上点A 10.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,AB ⊥BC,PA=AB=2,BC=2√2，则三棱锥 到点P的最短距离为√5+2√2 P-ABC外接球的表面积为 D.△SAB面积的最大值为2 14.如图，在三棱锥P-ABC A.8π B.12π C.16π D.32π 中，PA⊥平面ABC,ABI 11.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧 BC,PA=AB=2,若三棱 棱与底面垂直的四棱锥称为阳马；将四个面 锥的外接球体积为4√π， 都为直角三角形的三棱锥称为鳖嚅.若三棱 则△ABC的面积为 锥P-ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC,PA= 15.在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD,AB=2, AB=2,AC=4,三棱锥P一ABC的四个顶 AD=2√，BC=CD=2√2，当三棱锥 点都在球O的球面上，则球O的表面积为 A-BCD的体积最大时，三棱锥A-BCD外 接球的体积与三棱锥A-BCD的体积之比 A.8π B.12r 为 C.20π D.24π 16.正三棱锥P-ABC的侧棱长为√7，底面棱 12.（多选)已知正方体ABCD一A1B1C1D的棱 长为2√3，则三棱锥P-ABC内切球的表 长为2，P为底面ABCD内（包括边界）的动 面积是 ·38·=C9·C8.56 7 C。 120二·所以Z的分布列为 Z 1 2 3 7 P 15 1515 所以Z)=1×+2×+3×-号 12 (2)因为X~N(80.2)且P(X60)=0.02,所以P(X≥ 100)=0.02.所以这批产品的次品率为0.04.设该工厂生产 的这批产品有n(n∈N”)件，记Y为这批产品的次品数量， 则Y~B(n,0.04),E(Y)=0.04n.若这批产品不检测，设该 工厂的利润的期望为y,则y=n×(40一20)一0.041×50 =181.若选择方案一，设该工厂的利润的期望为y2,则= 0.96n×(40-20)-x-0.04nX20=18.4n-.x,令y2> y1,得0<x<0.4.若选择方案二，假设抽样检测m(m∈N“, <)件，则检测出的次品的期望为0.041，不检测的产品 有(n一m)件，设该工厂的利润的期望为yg,则yg=18.4m mx十18(n一m)=(0.4-x)m+18n.令>y,得0<x≤0. 4.则y一y2=(n一m)(x一0.4)，因为0x<0.4,且n, 所以y3<y2.所以x的取值范围是(0,0.4)，并从工厂盈利 的角度应选择方案一 4.【解析(1)设使用甲厂生产的配件M的比例为Q,则使用乙 厂生产的配件M的比例为0.8-a,由已知可得600a十(0.8 一a)800十500×0.2=640，解得a=0.5.所以需要从甲厂订 购配件M的数量为10X0.5=5万个；从乙厂订购配件M 的数量为10×(0.8-0.5)=3万个. (2)由(1)知甲厂、乙厂和本厂自主生产的配件M的比例分 别为0.5,0.3,0.2，所以该汽车厂使用的配件M的次品率的 估计值为0.5×0.04+0.3×0.02+0.2×0.01=0.028，所 以该厂生产的一辆轿车使用的配件M是次品的概率为 0.028. (3)设A=“该轿车使用了次品配件M”,B1=“配件M来自 甲厂”，B2=“配件M来自乙厂”，B=“配件M来自本厂” 由(2)可知P(A)=0.028.该次品配件M来自甲厂的概率 为：P(B,A)=PAB)=PCB)PABD=0.5X0.04 P(A) P(A) 0.028 号，该次品配件M来自乙厂的概率为P(B,A)=PAB P(A) =P(B2)P(AB)=0.3×0.02_3 P(A) 0.028 ,该次品配件M来自本 厂的概率为P(BA)=PAB2=P(B,)PAB2 P(A) P(A) 0.028 =,所以甲厂应承担的费用为14000×号 0.2×0.011 100元，乙厂应承担的货月为1400×是=3000元，本厂 应承担的费月为1400X品-1000元. 第20讲空间几何体 1.CD【解析】四棱锥的底面是正方形，它的侧棱可以相等，也 可以不相等，A错误；五棱锥除了五条侧棱外，底面上还有五 条棱，故共10条棱，B错误；一个棱柱最少有三个侧面，两个 底面，故至少有五个面，C正确；棱台是由平行于棱锥底面的 截面截得，故棱台的各侧棱延长后交于一点，D正确.故 选CD. 2.D【解析】设圆柱的底面半径为r,则依题意得（πr)2十22= ⑤)，所以()2=16，即r三4，所以该圆柱的体积 2m2=2x×19=32,故选D. 3.B【解析】因为一个圆台的侧面展开，得到的扇环的内孤长 为4π，外孤长为8π，外孤半径与内孤半径之差为，所以圆 台的上底面半径r=2,下底面半径R=4,母线长为m.设圆 台的高为h,根据题意可知该圆台的体积V=3πh +R+R)=了动(2+2X4+4)=28,解得h 3 √5，则m=√(R-r)+=√/2+(5)=3.故选B 4.A【解析】由正方体的体积为8可知，正方体的棱长a=2. 参考答案·数学 又正方体的体对角线是其外接球的一条直径，即2R=√/3α (R为正方体外接球的半径)，所以R=√3，故所求球的表面 积S=4πR2=12元. 5.AD【解析】对于A:由a⊥a、a∥B,可得a⊥B,又b∥B, 所以a⊥b,故A正确：对于B:由aa、a∥B,可得a⊥3，又a Lb,则b∥3或b二B,故B错误；对于C:由a∥a,a∥B,则a∥ B或aCB,又a⊥b,则b∥B或bC3或b与B相交（不垂直）或 b⊥B,故C错误；对于D:由a⊥aa∥B,可得a⊥B,又a∥b, 所以b⊥B,故D正确；故选AD. 6.D【解析】由题意可得A应=A成+B应=A访-之BB, AM=A B+BM=5,B C=BC-BB, 1BC1=√/TC+BB7=2√2，cos<A1M,BC>= AM.B C (AB-- BB)·(B武-BB) AMIB CI 2W/10 AB.武+号BB 2X2Xc0s60°+7×4 /10 .故 2√/10 2/10 选D. 7.BD【解析】对A,如图，根据正方体 股铁9 AD,故当且仅当P在B点时才有 PC1∥AD,故A错误：对B,如图，由 正方体的性质可得B1C⊥BC,A1B ⊥平面BBCC,故AB⊥BC,又 BC∩AB1=B,B1C,AB1C平面 AB1CD,故BC」平面A,BCD,故BCAC,同理DC A1C,故AC平面BCD,故PC1A1C,故B正确：对C, 当P在B时，∠CBA1=60°，故PC1⊥平面A1BD不成立， 故C错误；对D,同B有AC⊥平面ABD1,故平面BCD∥ 平面ABD,故PC∥平面ABD成立，故D正确；故 选BD. 8.B【解析】作出圆台OO2与球O的轴截 面如图所示，连接O1O2,则O为O1O2的 中点，设球O的半径为R,圆台OO的 上、下底面半径分别为r,2r,则圆台的母 ◆O 线长为3r,高为2√2r,所以R=√2r,则 R2=2r,则S=4xR2=8π2，S=πr2+ 8π2 .4 4+92=14r2,故S14r户一7” S 即S=号S,故选B 9.B【解析】设底面圆半径为r,由 B' 母线长为4，所以侧面展开扇形的 圆心角为a=2=可；将圆锥侧 面展开成一个扇形，从点M拉一 绳子围绕圆锥侧面转到点B,最短 距离为BM,如图所示：在△ABM M 中，由余弦定理得，BM的长度为： BM 元 B √4+22-2×4×2×cos艺 20-160s罗=25，解得0s号=0，所以r=1,所以国 锥的表面积为S=x×12+x×1×4=5π. 10.C【解析】因为三棱锥P-ABC中， PA⊥平面ABC,AB⊥BC,不妨将三 棱锥放入一个长方体中，则长方体的 外接球即为三棱锥的外接球，长方体 的体对角线即为其外接球的直径，因 A 为PA=AB=2,BC=2W/2,则长方体 的长、宽、高分别为2,2,22，所以三 棱锥P-ABC外接球的半径R=号√22+2+(2②)= 2,故三棱锥P-ABC外接球的表面积S=4πR2=16π. 11.C【解析】如图所示，因为四个面都是直角三角形，所以 PC的中点到每一个顶点的距离都相等，即PC的中点为球 77 小题量检测数学 心0，易得R=PC=√20，所以R=2@,球0的表面积 2 为4πR2=20π，故选C. 12.AC【解析】对于A,由等体积法得VB1-CDP=Vp-B1GD, 三棱锥P-BCD,的高为BB=2,S△B,Sn=2X2X2= 2,阶以V%5BP=Vp-BS4=弓×2X2=青，所以三校 锥B1一CD1P的体积为定值，故A正确.对于B,以D为 坐标原，点，DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,之轴，建立如 图①所示的空间直角坐标系，设P(x,y,0),0≤x≤2,0≤y 2,由题得C(0,2,2),D1(0,0,2),D(0,0,0),A1(2,0, 2),B(2,2,0),B(2,2,2),所以DP=(x,y,-2),AB= (0,2,一2)，A1C=（一2,2,0)，假设存在点P,使得DP 平面A1BC1,则D1P⊥AB,D1P⊥AC1,即D1P·AB= 2y十4=0，DD·A1C=-2x十2y=0,解得x=y=一2， 不满足0s≤2,0≤≤2，假设不成立，故B错误.对于C 由上知B1D=(-2,-2,-2),若D1P⊥B1D,则DP·BD =一2x一2y十4=0，即x十y=2,所以，点P的轨迹是线段 AC,AC=/22+2严=2√2，故C正确.对于D,连接PQ并 延长，交DC的延长线于N,连接DN交CC1于F,连接 QF,延长QP交DA的延长线于M,连接D1M交AA1于 E,连接PE,则五边形D EPQF即为经过D1,P,Q三点的 平面截正方体所得的截面，如图②，正方体ABCD一A1B1 CD1的棱长为2，则AP=1,∠APM=∠BPQ=45°，则 △AMP为等腰直角三角形，则AM=1,易知△AMEc∽ △MDE得==则AE=专AE=是，则 AM DE=√2+（告）=厘，PE=√+()- 3 正.同理可得DF=2厘QF=正，而PQ=反，所 3 3 以五边形D,EPQF的周长为2×(2厘+）+E=2 13+√2，故D错误.故选AC 13.BCD【解析】对于A:因为r= 2, =2,所以圆锥的高h=√一产 3X9 ?,所以圆锥的体积V二己 4 ×夏-37匹，故A错误；对于B:设 8 圆锥SO的侧面展开图的圆心角 为a,则2a=2r,即2a=2x×号 解得a-受，即围维S0的侧面展 开图的圆心角为，故B正确；对 于C:当△SAB为轴截面时，将圆 锥侧面展开可知，点A到点P的 最小距离为PA,如图，在△SAP中，SP=1,SA=2,∠ASP 78 =经，由余弦定理得PA=√SN+SP-2SA·SPm 4 =√5十2√2，故C正确：对于D:当△SAB为轴截面时，在 △SAB中，SA=SB=2,AB=3,因为SA2+SB2<AB,所 以此时∠ASB为钝角，又S△sB=2SA·SBsin.∠ASB= 2sin∠ASB<2,当∠ASB=90时，△SAB的面积最大，且 最大值为2，故D正确；故选BCD. 14.2【解析】如图，因为PA⊥平面 ABC,所以PA⊥BC,又AB⊥BC, PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB 可得BC⊥PB,取PC的中点O,连接 OA,OB,则OA=OB=OP=OC,可 得O为三棱锥的外接球的球心，由三 棱锥的外接球体积为4V5π，得号xX B OP=45π，解得OP=√5，则PC=25,所以AC= √/(23)2-2=2√2，在Rt△ABC中，又AB=2,所以BC =2,可得S△r=号X2X2=2. 15.8π：√3【解析】如图所示，当平面 BCD⊥平面ABD时，三棱锥A BCD的体积最大.取BD的中点 O,连接OA,OC,因为AB⊥AD,AB D =2,AD=2√3，所以BD=4,则 OB=OD=OA=2.又BC=CD=2 2,所以BC+CD=BD,所以 BC⊥CD,所以OC=2,所以三棱锥 A-BCD的外接球丰径R=2.V=专R= 3 V:m=号X号×2X2厅X2=45,所以三梭维A -BCD外接球的体积与三棱锥A-BCD的体积之比为8π :√3. 16.弩【解析】如图所示，设项点P在底面ABC内的射影为 0,连接A0,P0,在正三角形ABC中，A0=号×号×2万 =2,则在直角三角形AP0中，OP=√(W7)2-2=√5，三 角形ABC的面积为S=5×(23)2=33,取AB的中点 M,连接PM,则PM⊥AB,则在直角 三角形PAM中，PM=√PA-A证 =√(7)2-()2=2，所以三角形 PAB的面积为S'=号X2BX2=2 A √，设正三棱锥P一ABC的内切球半 M 径为R,则由等体积法可得：XOP XS=3×号×RXS+号×RXS,即BX35=3R×25 +RX3厅，解得R-号，所以内切球的表面积为4R=4红 第21讲空间几何体的平行与垂直 1.D【解析】两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平 面内，A正确，排除A:过直线外一点有且只有一个平面与已 知直线垂直，B正确，排除B:如果共点的三条直线两两垂 直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直，C正确， 排除C:如果两条直线和一个平面所成的角相等，那么这两 条直线不一定平行，D错误，选D. 2.B【解析】连接AB,交AB于点E,连接DE.因为BC∥ 平面ABD,平面ABC∩平面AB1D1=DE,所以BC∥ DE.由题意知E为A1B的中点，所以D为AC的中点，则 AD=1.故选B. D