第3讲 不等式-【艺考一本通】2026年高考数学一轮+二轮（通用版）

艺考一本通数学 第3讲 不等式 自主预习● 知识梳理 夯实基础 1.一元一次不等式a.x>b(a≠0)的解集 5.绝对值不等式的解法 (1)当a>0时，解集为z> (1)|f(x)|>|g(x)|台|f(x)|2>|g(x)|2. (2)|f(.x)|>g(x)台f(x)>g(x)或f(x)< (2)当a<0时，解集为x心名 -g(x). 2.（x-a)(x-b)>0或(x-a)(x-b)<0型不 (3)|f(x)<g(x)台-g(x)<f(x)<g(x). 等式的解集 6.不等式的基本性质 (1)对称性：a>b台→b<a. 解集 不等式 (2)传递性：a>b,b>c→a>c. a<b a=b a-b (3)可加性：a>b→a十c>b十c. (x-a)· xa<a xx<b {xx≠a》 (x-b)>0 或x>b} 或x>a} (4)可乘性：a>b,c>0→ac>bc;a>b,c<0→ ac<bc. (x-a)· xa<x<b 0 x b<x<a) (x-b)<0 (5)加法法则：a>b,c>d→a+c>b+d. (6)乘法法则：a>b>0,c>d>0→ac>bd. 口诀：大于取两边，小于取中间. (7)乘方法则：a>b>0→a">b"(n∈N,n≥ 3.辨明三个易误点 2). (1)对于不等式ax十bx十c>0,求解时不要忘 记讨论a=0时的情形， (8)开方法则：a>b>0→a>拓(n∈N,n≥ (2)当△<0时，ax2+bx十c>0(a≠0)的解集 2) 是R还是⑦，要注意区别. 7.不等式的倒数性质 (3)不同参数范围的解集不能取并集，应分类 (1)a>b,ab>0=1<1 表述 4.分式不等式的四种形式求解思路 (2)a<0<b1<1 (1)fD>0=f(x)g(x)>0: 8(x) (3)a>b>0,0<c<d>a>b (2)f巴<0=fx)g(x)<0; 【提醒)】不等式两边同乘数c时，要特别注意“乘数c g(x) 的符号” (3)f≥0台f(x)g()≥0且gx)≠09 g(x) 8.一元二次不等式及其解集 f(x)g(x)>0或f(x)=0; 对于一元二次方程ax2+bx十c=0(a>0)的两 根为0、2且x≤x2,设△=一4ac,它的解按 (4)f巴≤0台f()g(x)≤0且g(x)≠0曰 g(x) 照△>0，△=0，△<0可分三种情况，相应地，二 f(x)g(x)<0或f(x)=0. 次函数y=a.x2+bx十c(a>0)的图象与x轴的 ·10· 第一部分一轮单元复习第一单元 位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情9.基本不等式 况来讨论一元二次不等式a.x2+bx十c>0(a> 如果a,b∈R,那么a2+b≥2ab(当且仅当a 0)或ax2十bx十c<0(a>0)的解集. =b时取“=”) △=B-4ac 4>0 4=0 △<0 如果a>0,b>0,则a+b≥2√ab,(当且仅当 二次函数 a=b时取“=”). y=ax2+bx+c 常见结论： (a>0)的图象 0x=为 (1)如果a,b∈R,那么a2+b≥2ab(当且仅 有两相等实根 当a=b时取“=”) ax2+bx+c=0 有两相异实根 =x2 无实根 (a>0)的根 I,2(II< b 推论：ab≤，E(a,b∈R) 2 2a ax2+bx+c0 I x<x {xx≠- (2)如果a>0,b>0,则a+b≥2√ab,(当且 (a>0)的解集 或x>x2} 2a 个 仅当a=b时“=”). ax2+bx+c<0 0 0 (a>0)的解集 推论：b≤y(a>0b>0), 由二次函数图象与一元二次不等式的关系得 到的两个常用结论 ≥ (1)不等式a.x2+bx+c>0对任意实数x恒 (3) a=b=0, 成立式0 a>0, 或 a △<0. >0) (2)不等式a.x2十bx十c<0对任意实数x恒 a=b=0, a<0, 成立→ 或 c<0, △<0. 典例剖析 典例变式 变式训练 题型一一元二次不等式的解法（高频考点） =-1,x2= 分，则不等式2x2一x=3之0 一元二次不等式的解法是高考的常考内 容，题型多为选择题或填空题，难度为中档题. 的解条为女>号或<一1小 高考对一元二次不等式解法的考查主要从以下 (2)由-x2-3x十4>0得x2+3x-4<0,解 两个角度命题：①解一元二次不等式；②已知一 得一4<x<1,所以不等式一x2-3x+4>0 元二次不等式的解集求参数 的解集为（一4,1）. 考法一不含参数的一元二次不等式 【例1-1】(1)不等式2x2一x-3>0的解集为 【答案】1>或-1 (2)(-4,1) 考法二 含参数的一元二次不等式 (2)不等式一x2一3x十4>0的解集为 【例1-2】(1)（多选）已知关于x的不等式x2 (用区间表示) -(3a+3)x+2a+3a≤0的解集为A,则 【解析】(1)方程2x2一x一3=0的两根为 下列结论正确的是 () ·11 艺考一本通数学 A.A可能为空集 十方的取值范国为（停，+∞故速CD B.A中可能只有一个元素 【答案】(1)BCD (2)CD C.若a<一3，则A中的元素为负数 【规律方法】 D.若4∈A,则2<a≤4 化 :把不等式变形为三次项系数大于零的标准形式 (2)(多选)已知关于x的不等式ax2十2ba 判 计算对应方程的判别式 +4<0的解集为(m,),其中m<0,则会 求 求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式 说明方程有没有实根 十号的取值可以是 写→ 利明“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集！ 【注意】对于含参数的不等式要注意分类讨论 A.2 以昌 C.3 D.4 变式训练一 【解析】(1)对于A,由题意得△=(3a+3)2 1.解下列不等式（组）： -4(2a2+3a)=(a+3)2≥0，则A不可能为 (1)-3.x2-2x+8≥0；(2)0<x2-x-2≤4. 空集，A错误；对于B,由x2-(3a十3)x十 2a+3a≤0，得(x-a)(x-2a-3)≤0，当a =2a+3,即a=-3时，x2+6x十9≤0，得x 2.已知关于x的不等式a.x2十2x十c>0的解集 =一3，则A={一3}，B正确；对于C,当a> 2a十3，即a<-3时，A=[2a+3,a],C正 为(-}·，则不等式-c2+2x-a>0的 确.对于D,当a<2a十3，即a>一3时，A= 解集为 [a,2a十3]，因为4∈A,所以a≤4≤2a+3, 题型二 简单的分式不等式的解法 得2≤a≤4，D正确，故选BCD 【例2】 1解不等式0： (2)因为a.x2+2bx十4<0的解集为 (2)(2025·新课标Ⅱ卷)不等式二≥2的 (m,),所以a>0,且方程ar2+26x十4-0 解集是 () 的两根为m,清所以m十是=一沙m A.{x|-2≤x≤1}B.{x|x≤-2} m a m C.{x|-2≤x<1}D.{x|x>1} =4,所以a=1,因为m<0,m<4 ，所以m 【解析】(1)原不等式可化为0。 <一2，所以2b=-m十 4■ ≥2 (x-1)(3x+5)≤0， -m 所以 3x+5≠0， 、=4,即b≥2，当且仅当m 5 3≤≤l, 所以 =一2时取“-”，故6>2，而2+方-6计号 对勾函数y=x十1在(2，十∞)上单调递 故原不学式的解集为-号<≤1。 增，所以2+6>2+日-所以 (2)二≥2即为号≤0即 ·12 第一部分一轮单元复习 第一单元 (x+2)(x-1)≤ 选B. ,故{x|-2≤x<1}, x-1≠0 (2)因为a=20.6>2°=1，又log.1<log.3< 故解集为[-2,1)，故选C. logx,所以0<b<1,c=-log sin2F<1ogzl 【答案】(2)C 【规律方法】 =0,于是a>b>c.故选A 分式 移项通分，不等式右侧化为“0”，左侧为分式 (3)若y满足1<<6,2<y<3,则}< 不等 式的 转化为等价的整式不等式 解法 因式分解，解整式不等式（注意因式分解后， }名从日号<品若-1K十4,2 步骤 一次项前系数为正) <x-y<3,设3x+2y=m(x十y)+n(x 变式训练二 y)=(m十n)x+(m-n)y,所以 解下列不等式： m十n=3, (1)(2025·上海卷)不等式二}<0的解集为 m-n=2, 解得m=m=日，则有-< c-3 （x+0<101<(x-<号所以- 2-a <3+2<9 【答案1)B(2)A( 3)（一 【规律方法】利用不等式的性质判断正误及求代 数式的范围的方法 题型三不等式性质与应用 (1)利用不等式的范围判断正误时，常用两种方 【例3】(1)若a>b>0,c<d<0,则一定有 法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是 ( 利用特殊值法排除错误答案。 a号>9 <是 (2)比较大小常用的方法 c>身 ①作差（商）法：作差（商)→变形→判断； ②构造函数法：利用函数的单调性比较大小； （2若a=2,b=1og.3c=1log(sin）,则 ③中间量法：利用中间量法比较两式大小，一般 选取0或1作为中间量， ( (3)由a<f(x,y)<b,c<g(x,y)<d求F(x, A.ab>c B.b>a>c y)的取值范围，要利用待定系数法解决，即设F C.cab D.b>c>a (x,y)=mf(x,y)十ng(x,y),用恒等变形求得 (3)若实数x,y满足1<x<6,2<y<3,则 m,n,再利用不等式的性质求得F(x,y)的取值 的取值范围是 2 ;若实数x,y满足 范围 -1<x+y<4,2<x-y<3,则3x+2y的 变式训练三 取值范围是 1.若a<b0,则下列不等式一定成立的是(） 【解析】(ID由c<d<0得<<0，则- A68 B.a2<ab c☆告 D.a"b ·13· 艺考一本通数学 2.已知a,b∈R,下列命题正确的是 ( =2+4=6<,1 A.若a>b,则|a>|b 1 8=+-24=6 24 B若a>b:则<君 2 =42=2,故BD错误；对于C, Vab C.若|a>b,则a2>b D.若a>b1,则a>b 由基本不等式可得a十b≥2√ab>√ab,故C 3.根据条件：a,b,c满足c<b<a,且a十b十c= 正确. 0,有如下推理： ①ac(a-c)>0;②c(b-a)<0;③cb≤ab; (2②)国为是，所以5->0，则f)-4- ④ab>ac其中正确的是 ( 1 A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 2+4-5=-(5-4+。4+3≤-2+3 4.设e∈(0，)9c[0引，那么2a-号的取值 =1. 范围是 ( 当且仅当5一4红54即x=1时，等号成 A(o,) B(晋，) 立故fu)=红一2汁己的最大值为1 C.(0,π) D.(-若x 3固为<艺(ae,南 题型四基本不等式及应用 +y2-xy=1可变形为，(x十y)2-1=3xy≤3 利用基本不等式求最值是高考考查的重 点，很少单独命题，常与函数的最值、导数、解析 (),解得-2≤x十≤2，当且仅当x=y 几何等综合考查，命题的角度有：①通过配凑法 =一1时，x十y=一2，当且仅当x=y=1时，x 利用基本不等式求最值；②通过常数代换法利 十y=2,所以A错误，B正确；由x2十y-xy= 用基本不等式求最值；③通过消元法利用基本 不等式求最值 1可变形为2+)-1=0<产，解符 【例4-1】(1)(2025·北京卷)已知a>0,b> x2十y≤2，当且仅当x=y=士1时取等号，所 0,则 ( 以C正确；因为x2十y一xy=1变形可得 A.a2+62>2ab B.1+1>1 (一2)+星y=1设-多-0s.号 C.a+b-vab D.+ 2 a sin0,所以x=cos0叶2sin0,y= √3 2sin0,因 √ (2)已知x<号，则fx)=4x-2+的 1 比r+y=cos29+号sim0+20= 最大值为 (3)(2022·新课标Ⅱ卷)（多选）若x,y满足 x2+y一xy=1,则 ( A.x+y≤1 B.x+y≥-2 (20晋)[号，2]，所以2+≥1不成立 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1 所以D错误.故选BC. 【解析】(1)对于A,当a=b时，a2十=2ab,故 1错误：对于D.取a-26=此时】十月 【答案】(1)C(2)1(3)BC ·14· 第一部分一轮单元复习第一单元 【例4-2】已知正实数a,b,点M(1,4)在直线②条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值. 名+若=1上，则a+b的最小值为() (2)条件最值的求法：条件最值的求解通常有三 种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之 A.4 B.6 C.9 D.12 间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的 【解析】由题意得}十号-1，且a>0.6>0, 最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换 的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基 故a6-a+》·(日+若)=5++≥ 本不等式求解最值；三是对条件使用基本不等 ×-0，当且仅当即a 5+2Na 式，建立所求目标函数的不等式求解. ×b 【注意】①应用基本不等式解题一定要注意应用 3,b=6时，等号成立.故选C. 的前提：“一正”“二定”“三相等”所谓“一正”是 【答案C 指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时， 【例4-3】若≥0y≥0，且+2+ 和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的 条件；②尽量避免多次使用基本不等式，若必须 1,则3x十4y的最小值为 ( 多次使用，一定要保证等号成立的条件一致 A.2 B.3 C.4 D.8 变式训练四 【解析】因为x≥0，y≥0，则x+1≥1,2x+ 4y≥0，由题意可知2x十4y≠0，则2x十4y 1.已知正实数m,n满足1十4=4，则m十n的 mn >0,3x+4y=(3.x+4y+1)-1= 最小值是 () [u+10+(2+41(+2z5 1 A.4 B.2 C.9 D.是 =2+ x+1 2x+4y 2x+4y-1≥2+2 x+1 2(多速尼知.且01+y=2 十1×2十4y-1=3,当且仅当 则下列不等式中一定成立的是 () V2x+4y x+1 A.xy x+1_2x+4y 2x+4yx+1 B.1+1≥2 x=1 1 1 1时，即当 时，等号 x+12x+4y y=0 C.x2+y2>2x+2y-2 x≥0，y≥0 n.(+号}+y>￥ 成立，所以3x十4y的最小值是3.故选B. 3.(多选)已知a>0,b>0,且a十b=1,则下列 【答案B 说法中正确的有 () 【规律方法】 (1)利用基本不等式求最值的两种思路：利用基 A.ab Aa2+6≥号 本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值 C.2a+2≥2√2 D.a+ln b>0 或积为定值，主要有两种思路： ①对条件使用基本不等式，建立所求目标函数 4(2025·上海卷)设a,6>0,a+方-1，则6+ 的不等式求解.常用的方法有：拆项法、变系数 二的最小值为 法、凑因子法、换元法、整体代换法等； ·15· 艺考一本通数学 随堂检测 基础训练 明 温故知新 1.不等式一2x2十x<-3的解集为 )7.(多选)已知a>0,b>0,a十b=1,则() A女多 A.√a+b<√2 B.a+2b>1 B-1<< c6a≤ D日+清9 8.若不等式一x2+2x+m>0的解集是⑦，则实 C{zx<-多或>1 数m的取值范围为 () A.m-1 B.m≥-1 D.{-1或> C.m≤1 D.m≥1 2不等式 9.(多选)已知正数a,b满足ab=a十b十3，则 上<0的解集是 () A.{xx<4} A.ab的最小值为3 B.{x|3<x<4 B.a+b的最小值为6 C{<或>4 C+方的最小值为号 D是<<4 D.2+4的最小值为16√2 10.如果a<b<0,那么下列不等式成立的是 3.关于x的不等式-x+mx十m>0的解集为 A.a2<ab B.-ab<-b2 {x-1<x<2},则m十n的值为 A-日 B—含 CZ 0多 c日i n 4.若集合A={x|-1≤2x+1≤3}，B= 1.已知a>0,6>0a+b-2,则)=十号的最 a {x2≤0，则AnB 小值是 () A.{x|-1≤x<0} B.{x0<x≤1} A日 B.4 C.{x|0≤x≤2} D.{x0≤x≤1} 5.若不等式f(x)=ax2一x一c>0的解集为 c号 D.5 (一2,1)，则函数y=f(x)的图象为 ( )12.关于x的不等式x2+a.x-2<0在区间[1， 4幻上有解，则实数a的取值范围为() A.(-∞，1) B.(-o∞，1] C.(1,+∞) D.「1，+∞) 13.“0<a<1”是“ax2+2ax+1>0的解集是实 数集R”的 () A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 6.已知关于x的不等式ax+b>0的解集是(1， D.既不充分也不必要条件 十∞)，则关于工的不等式41二)>0的解集 14.若a>1,且不等式x-a(x-<0的解 x-2 是 ( 集中有且仅有一个整数，则a的取值范围是 A.{xx<-1或x>2}B.{x|-1<x<2} C.{x|1<x<2} D.{x|x>2} ·16·【基础训练】 1.B【解析】因为1=m十2i,2=3一4i,所以1·2=(m十 2i)(3-4i)=3m十8+(6-4m)i,因为·2为实数，所以6 一4m=0,则m=号.故选B 2B【解标】由题走释=吕=得牛书=生兰- 2十i,所以之的虚部为1.故选B. 3.C【解析】因为十i十2=0，所以-之十i+2=0,即= 1十i,所以=厄.故选C 2 .A【解桥】由题意正x一)=1一i,解得x y=1.故x-y=1. 221-D=2-2=1-i, 5.A【解析】由题意得x=千一1十D(1一D2 所以之的虚部为一1，故选A. 6.A【解析】由之=2十刘=2+i+1一2i=3-i,则=3+i对 应的点为(3,1)位于第一象限，所以A正确，故选A 7,A【锦桥1-得30翠=1- 8.BCD【解析】设=a+bi,2=c+di(a,b,c,d∈R),对于 A,若2一=c十di一a一bi>1,则ca>1,d=b,2=c十 di,1十1=1一a一bi因为虚数不能比较大小，故A错误：对 于B,若2=1，即c十di=a一bi,可得a=c,d=一b,则名一 2=a十bi-c一i=一2di为纯虚数，故B正确；对于C,若号 十号=0，则好=一号=号护，可得=2i,或1=一21，即 兰=i,或三=一i,故C正确：对于D,若=6十8i,则 Z? (a十bi)2=a2-b2+2abi=6+8i,即a2-=6,2ab=8,解 得a=2,成a=-2 ,可得1=2√2+√2i,或1=-2 b=2 b=一√2 √2-2i,所以≈|=0，故D正确.故选BCD. 9.5巨【解析】由产=2i+3,得x=(2i计3)1-)=5-i, 则+4i=5+5i,故z+4i=5√2. 10.AD【解折1由i=2-i可得=2-2出=-1-2i, 1 |z=√5，故A正确；之=一1十2i,故B错误；之在复平面内 对应的点（一1，一2）位于第三象限，故C错误；2十22十5 一4十4i一2一4i十5=0，故D正确.故选AD. 11.A【解析】由条件等式知之=5+i3-2=8 2+i 2+i (8-iD(2-D=3-2i,所以=3+2i.故选A 12.A【解析】k=1+2)2=一3+4)(2+D=-10+5i -i十2 (2-i)(2+i) 5 一2十i,其虚部为1，故选A 13.C【解折1：(1-)=2.所以=产= 2i(1+i) 一2十2=一1十i,之的虚部为1，选项A错；之是虚数，选项 2 B错；z=√/(-1)2十1严=√2，选项C正确；之十=(-1十 i)十（一1-i)=一2，选项D错.故选C. 1D【解折1由=供=产。=受+受得1= √学P+(受严-号m=厄.所以m=士2故选D 15.C【解析】时于A中，例知：复数=2+.可得： 1,所以A不正确；对于B中，由复数的几何意义，可得1 参考答案·数学 之≤≤√2是以半径为1和半径为√2的圆构成的圆环，其中 圆环的面积为S=πX(/2)一πX12=π，所以B正确：对于 C中，由虚数的运算性质：in十+1十i+2十+3=0，可得i +￥+的+…十2025=506X0十2025=06×4+1=i,所以C正 确；对于D中，由复数一1十i是实系数方程x十px十q=0 的一个根，可得复数一1一i是实系数方程x2十px十q=0 的另一个根，则一=一1+i+(-1一i)=一2且q=(一1+ i)(一1一i)=2,即p=2,q=2,所以p十q=4,所以D不正 确.故选BC 第3讲不等式 【典例变式】 变式训练一 1.(1)【解析】(1)原不等式可化为3x2+2x一80，即(3x一4) x十2)≤0.解得-2<x<导，所以原不等式的解集 为a-2<≤号} 8)【解析】2)原不等天华价子任 |x2-x-2>0, 1(x-2)(x+1)>0, 1x2-x-6≤0， 台 1(x-3)(x+2)≤0 |x>2或x一-1，借助于数轴，如图所示， 1-2x3. -2-10123x 所以原不等式组的解集为{x一2≤x<-1或2<x≤3} 2.(-2,3) 【解析】依题意知， a 所以解得a=一12，c=2,所以不等式一cx2+2x一a>0, 即为-2x2+2x+12>0,即x2-x-6<0,解得-2<x<3. 所以不等式的解集为（一2,3）. 变式训练二 1.(1)(1,3)【解析】原不等式转化为(x一1)(x一3)0，解得 1<x3,则其解集为(1,3).故答案为(1,3). (2){x-1<x<1} 【解标】（②）不等式吉<3可以化为 5士-3<0，即2卫<0，故原不等式的解集 x+1 x+1 为{x-1<1}. 变式训练三 1.C【解析】（特殊值法）取a=一2，b=一1，逐个检验，可知 A.B,D项均不正确：C项，合<怡号=6a十1 |a(bl+1)台al|bl+|b|<|al|bl+|a台|bl<al, 因为a<b0,所以b<a成立. 2.D【解析】当a=1,b=-2时，A不正确；当a=1,b=-2 时，B不正确；当a=1,b=-2时，C不正确；对于D,a>b ≥0，则a2>b,故选D. 3.B【解析】由c<ba→3c<a+b+c<3a,因为a十b+c 0,所以{0，对于6的值可正可负也可为0，所以①错误 因为ac<0,而a一c>0,所以ac(a一c)<0;②错误，因为 c<0,b-a<0,从而c(b-a)>0;③正确，因为形≥0，当b= 0时，c?=ab=0,当b>0时，由c<a→cb<a;④正确， 因为a>0,b>c→ab>ac;综上可知，选B. 4D【解析】由a∈(0，受)得0<2a<x,由8∈[0，受]得 吾<-号<0，所以-吾<2a一号<，故选D 3 艺考一本通数学 变式训练四 1.D【解析】由题意知m十n=冬（份十片）m十) （6++0)≥(+2√只·把)=号含且当 m=圣m=号时取等号），所以m十n的最小值为是，故 选D. 2比【解折]因为>}>0，所以0<<A错：因为0< x<y,x+y=2, 所以+=（侵+）=+六+1>2 V号十六+1=2所以上十}>2成立，即B正确：周为x -2x+1=(x-1)2≥0，得x2≥2x-1,当且仅当x=1时取 等号，同理，y2≥2y-1,当且仅当y=1时取等号，又因为0 <x<y,即x,y不同时等于1，所以x2+y2>2x十2y-2,C 正确：当x=子y=号时(+)广+y=1+是-兴，D 错.故选BC. 3.A【解析】由题意a(生)=子，当且仅当a=6=方 1 时等号成立，A正确：02十6≥a》=分，当且仅当a=6 2 =号时等号成立，B正确：2+2>≥2√2·7=2√2=2厄， 当且仅当a=b=方时等号成立，C正确；a=1-,b=日 时，a+l6=1-是-1=一合<0，D错误.故选AC e 4.4【解标】号知b计2=(b计已)(a+名)=a计6+222 Vah~品+2=4，当且仅当b=1,即a=弓，6=2时取得最 小值.故答案为4. 【基础训练】 1.D【解析】-2x2+x<-3,即为2x2-x-3>0,△=25> 0,方程22-x-3=0的两实根为m=-1,m=号，所以 2x-一3>0的解集为z<-1或>号}，故选D 2.C【獬析】不等式营<0等价于一号x一4)>0，所 以不等式的解集是{l号或>4} 3.D【解析】-子2+mr+心0，即为2-2mr-2<0 由题意知，x2-21x一21<0的解集为{x|-1<x<2}. 所以二1收名22所以=子=1所以a叶=号故 选D. 4.B【解析】因为A={x-1≤x≤1}，B={x0<x≤2}，所 以A∩B={x|0x≤1}. 5.B【解析】因为不等式的解集为（一2,1），所以a<0,排除 C、D;又与坐标轴交，点的横坐标为一2,1，故选B. 6.A【解折】依题意a>0且-合=1.含>0白(ax-60) ·(x-2)>0=(x-b)(x-2)>0, 即(x+1)(x-2)>0→x>2或x<-1. 7.BCD【解析】由a>0,b>0,a十b=1,得a=1-b>0,所以 0<a<1,0<b<1.对于A:因为b=√1-a,所以Wa+b=√a +√-a≤2W a)+(-a)-2,当且仅当a- 2 一a即a=号时，等号成立，所以，后十bCE,故A错误： 对于B:因为a=1一b2,所以a十2b=1-6+2b=-(b-1)2 十2，又0<b<1,所以1<-(b-1)2+2<2,即1<a+2b 2,故B正确；对于C:因为b=√一a,所以ba=√一a· a<1g=,当且仅当a=a即a=号时，等号 成立，所以b石≤合，故C正骑：对于D日+青=（日+ 合)a+6)=5计会+将≥5+2√医·号=9，当且仅当 1 a3 时，等号成立，所以日十是≥9，故D正 确.故选BCD. 8.A【解析】-x2+2x十m>0,即为x2-2x-m0. 由题意得△=(-2)2一4×1×(-m)≤0，即4+4m≤0，所以 m≤一1.故选A. 9.BC【解析】对于选项A,因为ab=a十b十3，且a>0,b>0, 所以ab-3=a十b≥2√ab,当且仅当a=b=3时取等号，令 √ab=t>0,得到t2-21-3≥0，解得≥3或1≤-1（舍），所 以ab≥9，故选项A错误；对于选项B,ab=a十b十3，且a 0,>0,所以a+b+3=a≤（生）当且仅当a=6=3时 取等号，所以子(a+b)2-(a+b)-3≥0，解得a十b>6或 a十-2合)，所以选项B正病：对于选项C国为日十方 =a+地=ab3=1-3； ab ab 品，由选项A知a山≥9，所以号<1 品<1，得到号<十片<1，批选项C正确：对于选项D, 因为2+4=2+2b≥2√/2·2西=2√2+历，当且仅当a =2b取等号，由ab=a+b什3，且a>0,b>0,得到b=+3 a-1 ≥0.所以a+2h=a+2(1+。)=a-1+28十3，又a 10,则a+26=a-1十28十3≥28+3=42+3，当且 仅当a=2√2+1，b=√2+1时，取等号，又a=22+1≠2 (W2+1)=2b,所以2+4>2√2+=22+号，又2√/2+ 号>号，所以选项D错误，故选C 9 10.B【解析】对于选择题，可举例说明命题是错误的，如当a =一2，b=一1，满足a<b<0,但此时A,C,D选项均不正 确.由排除法只能选B事实上由a<0→b> 1b0 一ab<-b,B正确. 1.C【解折】向a>0.b>0a十6=2知2+音=号a+60i 即6=2a=号时等号成立，故选C 12.A【解析】要满足题意高a<号-x在区间1,4]有解，设 )=是-，求a<x)的最大值，因为x)在区间 [1,4]为减函数，所以f(x)的最大值为1，所以a<1. 13.A【解析】当a=0时，1>0，显然成立；当a≠0时， {△=4a2-4a<0,故ax+2ax十1>0的解集是实数集K 1a>0, 等价于0≤a≤1.因此，“0<a<1”是“ax2+2ax十1>0的解 集是实数集R”的充分而不必要条件. 14.[专，2)U(2,3]【解析】不等式(x-a)(x-4)<0,当 1a<2时，a<是，不等式的解集为(a,告），若不等式解 集中有且仅有一个整数，则这四个整数为2，则2<<3， 2<0,解得5<a<2即uE[告2.当a=2时，a 4,不等式的解集为②，不符合题意：当a>2时，a>2> 兰不等式的解条为（任），若不等式解条中有且仅有一 (2a3 个整数，则这整数可为2，则1<4<2解得，2<a≤3，即a ∈(2,3]，踪上可知，实数a的取值花国是[号，2)U (231.故答案为[号2)U2,3]. 第二单元平面向量 第4讲平面向量的线性运算及 基本定理与投影向量 【典例变式】 变式训练一 1.A【解析】因为心=3C市，所以C市=号武，所以d=心 +C市=A心+号BC=C+号(A心-AB)=-3AB+号 AC.故选A. 2.D【解析】因为C市=3CE-2CA,边BC的中点为D,所以 2C市=3（成-武）+2花.因为C市=3成-3武+2 AC,所以号BC=3配+2AC,所以号C=号 (AC-AB)=3Bi+2AC,所以5AC-5AB=6BE+4 AC,即5AB+6BE=AC,因为AC=xAB+yBE,所以x= 5,y=6,故x+y=11.故选D. 3.D【解析】如图，E克+B武=E亦， 即号A市+庇=G式，故A市=G式 2B武=b-2a.故选D. 变式训练二 1.C【解析】O-Oi+=Oi+号 迹=-i+号o成-=-i+号诚 2.子+受【解析】因为A、B、P是直线1上三个相异的点，且 参考答案·数学 4O=2xO+yO市，即O市=0i+￥O市，且xy为正实 数，所以受十￥=1，所以子十} (+)受+)-号++家≥+2会·家 是十号，当且仅当若=云即1=4一2y=4万-4时： 取等号，所以+的最小值为是十竖故答案为+号 3.AB【解析】选项A:若Ad=武，则AD∥BC,AD=BC,则 四边形ABCD为平行四边形.判断A正确；选项B:若AD= 号B武，则AD/BC,AD≠BC,则四边形ABCD为梯形.判断 B正确；选项C:若|A市+Ad1=|AB-AD1,则 |AB+AD12-|AB-AD1?=4AB·AD=0,则AB⊥AD, 即∠BAD=90°.仅由∠BAD=90°不能判定四边形ABCD 为菱形.判断C错误；选项D:若AB=D心，则AB∥DC,AB =DC,则四边形ABCD为平行四边形，又由AC⊥Bd,可得 对角线AC⊥BD,则平行四边形ABCD为菱形.判断D错 误.故选AB. 【基础训练】 1.A【解析】对于A,若a=b,则a=b,故A正确；对于 B,若b=0,则a∥c不一定成立，故B错误；对于C,若a,b是 共线的单位向量，则a=b或a=一b,故C错误；对于D,若a =b,则a,b是共线向量，故D错误.故选A 2D【解析】由题意知A0=号恋+子A心=号mA访+子n N,又MN,0三点共线，故号m+子1=1，所以2m十n 3.故选D. 3.C【解析】△ABC中，=号BC, 市=号花，如图所示，肺-Bi十 本=一市+号A花=一成+号 B (迹+成)=-市+号（市+号武）=一站+号 [A市+号(A心-A市)]=子A+号AC故选C 4.A【解析】因为O心=Oi+B武-O市+2AC=Oi+2(元 OA),所以OC=2OA-OB. 5.A 【解析】由题设，3PA=C克+ BP=C,故C,P,A共线且CP= 3PA,如右图示：所以S△B即： S△=1：4.故选A 6B【解析】由已知得，A心=了A恋， 故CD=C+办-CA+号A市=+号C市-CA=号C耐 +成故=子 7.B【解析】因为B,G,F三点共线，所以AG=入AB十(1-) A市=2λAE+(1-λ)AF;同理由C,G,E三点共线得AG=H 花+0=+2-pt,所以2- 1 入=3 解得 5