专题01 空间向量与立体几何（期中真题汇编，山东专用）高二数学上学期

专题01 空间向量与立体几何 3大高频考点概览 考点01 空间几何体 考点02 空间向量 考点03 空间向量的应用 地 城 考点01 空间几何体 一、单选题 1．（24-25高二上·山东德州·期中）已知四棱锥的各侧棱与底面所成的角都相等，其各个顶点都在球O的球面上，满足，，，则球O的表面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（24-25高二上·山东菏泽·期中）用一个平面去截一个圆柱的侧面，可以得到以下哪些图形（    ） A．两条平行直线 B．两条相交直线 C．圆 D．椭圆 3．（24-25高二上·山东烟台·期中）正方体的棱长为，点是正方体表面上一个动点，则下列说法正确的有（   ） A．若是线段上的动点，则 B．若是线段上的动点，的最小值为 C．若是的中点，且，则点的轨迹围成图形的面积为 D．若分别是线段，的中点，当在底面上运动，且满足平面，则线段的最小值是 4．（24-25高二上·山东济宁·期中）在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则下列选项正确的是（    ） A． B．到平面的距离为 C．直线与所成角的正弦值为 D．存在实数使得 5．（24-25高二上·山东泰安·期中）在直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，且满足，若点P满足，其中，，则下列说法正确的是（    ） A．当时，三棱锥的体积为定值 B．当时，的面积S的最大值为 C．当时，有且仅有一个点P，使得 D．当时，有且仅有一个点P，使得平面 三、填空题 6．（24-25高二上·山东潍坊·期中）在四面体中，点，分别为，的重心，过作直线与棱，交于点，已知，，则 .若四面体的体积为3，则四棱锥的体积最大值为 . 7．（24-25高二上·山东·期中）已知，，是球上三点，球心的坐标为，是球上一动点，则三棱锥的体积的最大值为 . 四、解答题 8．（24-25高二上·山东烟台·期中）如图，在边长为2的正方体中，E，F分别是棱和的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 地 城 考点02 空间向量 一、单选题 1．（24-25高二上·山东临沂·期中）已知是直线的方向向量，为平面的法向量，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山东日照·期中）已知向量，，且，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 3．（24-25高二上·山东临沂·期中）空间三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为（    ） A． B． C．7 D． 4．（24-25高二上·山东烟台·期中）在三棱锥中，点M在线段上，且，N为中点，设，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知点沿着向量的方向移动到点Q，且，则点Q的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·山东潍坊·期中）已知，，若，则（   ） A． B． C．4 D． 7．（24-25高二上·山东德州·期中）在四面体中，点D为的中点，点E在上，且，用向量，，表示，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·山东烟台·期中）在空间直角坐标系中，点关于面对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·山东烟台·期中）下列命题正确的有（   ） A．若直线a的方向向量与平面的法向量垂直，则 B．若为空间的一个基底，则可构成空间的另一个基底 C．已知向量，，若，则为钝角 D．在四面体中，若Q为的重心，则 10．（24-25高二上·山东德州·期中）已知空间中四点，，，，则（    ） A． B． C．在上的投影数量为 D．为锐角 三、填空题 11．（24-25高二上·山东济宁·期中），则 . 12．（24-25高二上·山东临沂·期中）若点是点在坐标平面内的射影，则 . 地 城 考点03 空间向量的应用 一、单选题 1．（24-25高二上·山东德州·期中）已知菱形的边长为2，，现将沿折起，当时，二面角平面角的大小为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（24-25高二上·山东日照·期中）已知正方体的棱长为1，平面与对角线垂直，则（    ） A．正方体的每条棱所在直线与平面所成角均相等 B．平面截正方体所得截面面积的最大值为 C．当平面与正方体各面都有公共点时，其截面多边形的周长为定值 D．直线与平面内任一直线所成角的正弦值的取值范围为 三、填空题 3．（24-25高二上·山东德州·期中）在三棱锥中，已知，，点P到，的距离均为，那么点P到平面的距离为 . 4．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知在长方体中，，，则到平面的距离为 ． 四、解答题 5．（24-25高二上·山东烟台·期中）如图，在三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，，．    (1)证明：平面平面； (2)若为棱中点，求直线与平面所成角的余弦值． 6．（24-25高二上·山东潍坊·期中）在四棱台中，平面，平面平面. (1)证明：平面； (2)已知四边形为梯形，，，，二面角的大小为. ①求点到平面的距离； ②求平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 7．（24-25高二上·山东潍坊·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 8．（24-25高二上·山东淄博·期中）如图，在直三棱柱中，D，E分别是AB，的中点.    (1)证明：平面； (2)已知，，求CD与平面所成角的大小. 9．（24-25高二上·山东泰安·期中）如图，在三棱锥中，，，M在线段上，且，N为的中点.    (1)证明：； (2)求异面直线，所成角的余弦值. 10．（24-25高二上·山东泰安·期中）如图，在四面体中，平面，M，P分别是线段，的中点，点Q在线段上，且. (1)求证：平面； (2)当，时，求平面与平面夹角的余弦值； (3)在（2）的条件下，若为内的动点，平面，且与平面所成的角最大，试确定点G的位置. 11．（24-25高二上·山东日照·期中）如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，点为棱的中点. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点到平面的距离. 12．（24-25高二上·山东德州·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，. (1)求证：； (2)求平面与平面所成角的余弦值. 13．（24-25高二上·山东烟台·期中）如图，在三棱台中，上下底面分别为边长是2和4的等边三角形，平面，且四棱锥的体积为，M为的中点，N为线段上一点． (1)若N为的中点，证明：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)是否存在点N使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定N的位置；若不存在，说明理由． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量与立体几何 3大高频考点概览 考点01 空间几何体 考点02 空间向量 考点03 空间向量的应用 地 城 考点01 空间几何体 一、单选题 1．（24-25高二上·山东德州·期中）已知四棱锥的各侧棱与底面所成的角都相等，其各个顶点都在球O的球面上，满足，，，则球O的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据侧棱与底面所成角相等推出顶点在底面的射影是底面外接圆的圆心，然后利用底面四边形的条件求出底面外接圆的半径，再结合四棱锥的棱的长度求出该几何体外接球的半径，最后根据球的表面积公式求出表面积即可. 【详解】因为四棱锥的各侧棱与底面所成的角都相等， 所以顶点在底面的射影是底面四边形外接圆的圆心. 因为，所以△为等腰三角形. 因为，所以， 故△为等边三角形，则.设底面四边形外接圆半径为， 则根据正弦定理得，即，解得. 设线段的中点, 则， 那么由勾股定理可知，所以， 故是等边三角形的中心，则. 设球的半径为，根据题意可知球心在射线上， 当球心在线段上时，如图1所示， 则，即， 解得，此时，不符合题意舍去. 当球心在射线上且在平面的下方时，如图2所示，， 即，解得，此时符合题意， 故球的半径，所以根据球体的表面积公式知该四棱锥外接球的表面积为. 故选：B.    【点睛】求解几何体外接球问题的关键是通过找到球体球心的位置确定球体的半径. 二、多选题 2．（24-25高二上·山东菏泽·期中）用一个平面去截一个圆柱的侧面，可以得到以下哪些图形（    ） A．两条平行直线 B．两条相交直线 C．圆 D．椭圆 【答案】CD 【分析】分平面与底面平行和平面与底面的夹角为锐角两种情况，得到图形为圆和椭圆. 【详解】一个平面去截一个圆柱的侧面，若平面与底面平行，则得到的图形为圆， 若平面与底面的夹角为锐角时，可以得到的图形为椭圆. 故选：CD 3．（24-25高二上·山东烟台·期中）正方体的棱长为，点是正方体表面上一个动点，则下列说法正确的有（   ） A．若是线段上的动点，则 B．若是线段上的动点，的最小值为 C．若是的中点，且，则点的轨迹围成图形的面积为 D．若分别是线段，的中点，当在底面上运动，且满足平面，则线段的最小值是 【答案】AD 【分析】A：根据条件证明平面，由此可判断；B：将平面与展开成一个平面，然后根据三点共线来计算并判断；C：采用取中点的方法先确定轨迹形状，然后再计算围成的图形面积；D：采用向量法先确定出平面的一个法向量，然后根据垂直关系得到点坐标满足的关系式，表示出并结合二次函数性质求解出最小值. 【详解】对于A：连接，如下图所示， 因为平面，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 同理可证， 因为平面，所以平面， 又因为平面，所以，故A正确； 对于B：连接，将平面与展开成一个平面，如下图所示， 当三点共线时，取最小值，最小值即为长度， 因为， 所以， 所以， 所以，所以的最小值为，故B错误； 对于C： 分别取的中点，依次连接， 由三角形中位线性质线可得，，，， 且，所以六边形为平面正六边形， 连接，如下图， 因为平面，平面，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以； 同理可证，平面， 所以平面， 所以的轨迹围成的图形即为正六边形， 所以面积为，故C错误； 对于D：建立空间直角坐标系如图所示，设， 因为， 所以， 设平面的一个法向量为， 所以，所以， 取，则，所以， 因为，且平面，所以， 所以，所以， 所以， 当时，此时有最小值，最小值为，故D正确； 故选：AD. 【点睛】方法点睛：立体几何中的动点轨迹问题，一方面可以利用定点和动点的位置关系，从线面、面面的判定定理和性质定理出发，找出动点的轨迹并计算轨迹长度；另一方面还可以考虑使用坐标法，利用空间向量定量算出轨迹方程再完成相关计算. 4．（24-25高二上·山东济宁·期中）在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则下列选项正确的是（    ） A． B．到平面的距离为 C．直线与所成角的正弦值为 D．存在实数使得 【答案】BCD 【分析】建立空间直角坐标系，求出，对于A，计算的值即可判断；对于B，先计算得，接着计算，再由和平面且结合锥体体积公式即可计算求解；对于C，计算的值即可判断；对于D，由计算求出即可得解. 【详解】由题可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 对于A，，故与不垂直，故A错误； 对于B，由上，所以， 所以即，又， 所以， 因为，又由正方体性质可知平面即平面， 所以， 又, 由余弦定理可得：, 所以， 所以， 设到平面的距离为，则， 所以，故B正确； 对于C，， 所以直线与所成角的正弦值为，故C正确； 对于D，若存在实数使得， 则， 所以，所以，故D正确. 故选：BCD. 5．（24-25高二上·山东泰安·期中）在直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，且满足，若点P满足，其中，，则下列说法正确的是（    ） A．当时，三棱锥的体积为定值 B．当时，的面积S的最大值为 C．当时，有且仅有一个点P，使得 D．当时，有且仅有一个点P，使得平面 【答案】AC 【分析】确定点的位置，建立空间直角坐标系.等体积转化可得选项A正确；由线面垂直得，分析的最大值可得选项B错误；利用计算的值只有一个，可得选项C正确；利用可得选项D错误. 【详解】由题意得，. ∵，平面，平面，， ∴平面， ∵，∴平面. 由得点在四边形内（包含边界）. 以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，， ∴， ∴，由得，. A. 当时，，此时点到距离为， 故，为定值，选项A正确. B. 当时，，，当时，， 由平面，平面，得， ∴，最大值为，选项B错误. C. 当时，， 由得，，故有且仅有一个点P，使得，选项C正确. D. 当时，， 由题意得，四边形为正方形，故， 要使平面，需， ∵，∴不成立，选项D错误. 故选：AC. 【点睛】思路点睛：本题考查空间向量综合问题，具体思路如下： （1）当时，分析条件可知点到距离为，利用等体积转化可得，计算结果为定值. （2）当时，由平面得，，分析的最大值即可得到结果. （3）当时，计算的坐标，利用只能得到一个得，，故有且仅有一个点P，使得. （4）分析条件可得，要使平面，需，而，故不存在点P，使得平面. 三、填空题 6．（24-25高二上·山东潍坊·期中）在四面体中，点，分别为，的重心，过作直线与棱，交于点，已知，，则 .若四面体的体积为3，则四棱锥的体积最大值为 . 【答案】 【分析】根据三点共线列方程，由此求得.先求得四棱锥的体积的表达式，然后利用基本不等式求得体积的最大值. 【详解】设是的中点，所以三点共线，三点共线， ，， 所以，由于三点共线， 所以. 依题意，. . 由于，所以到平面的距离是到平面的距离的三分之一， 所以 ，当且仅当时等号成立. 所以四棱锥的体积最大值为. 故答案为：； 【点睛】思路点睛： 通过重心与中点确定共线关系：首先通过重心的性质确定共线关系，这是解题的基础步骤. 利用体积表达式结合不等式求解最大值：通过建立四棱锥的体积表达式，结合基本不等式，确定体积的最大值，这种方法有效地将空间几何问题转化为代数问题. 7．（24-25高二上·山东·期中）已知，，是球上三点，球心的坐标为，是球上一动点，则三棱锥的体积的最大值为 . 【答案】 【分析】利用空间向量的坐标运算求出的相关量，并求出其面积，再利用空间求出球心到平面的距离即可求解. 【详解】依题意，，则， 则，的面积为，，则球的半径, 设平面ABC的法向量为，则，令，得， 则点到平面ABC的距离，球面上的点到平面距离最大值为， 所以三棱锥的体积的最大值为. 故答案为： 四、解答题 8．（24-25高二上·山东烟台·期中）如图，在边长为2的正方体中，E，F分别是棱和的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立如图空间直角坐标系，利用空间向量证明即可 （2）利用空间向量的点到平面的距离，然后代入棱锥的体积公式即可求出 【详解】（1）以D为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图空间直角坐标系， 则，，，，． 所以，，， 设平面的法向量为， 所以，令得，， 所以，又平面， 所以平面； （2），点F到平面的距离， 由题意可知，，， ，， 所以， 所以，三棱锥的体积. 地 城 考点02 空间向量 一、单选题 1．（24-25高二上·山东临沂·期中）已知是直线的方向向量，为平面的法向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如果直线垂直于平面，那么直线的方向向量与平面的法向量平行.两个向量平行，则它们对应坐标成比例，我们可以根据这个性质来求解的值. 【详解】因为，所以与平行. 对于两个平行向量和，根据向量平行的性质， 它们对应坐标成比例，即. 由，交叉相乘可得，解得. 故选：A. 2．（24-25高二上·山东日照·期中）已知向量，，且，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量垂直的坐标表示可得答案. 【详解】因为向量，，且， 所以，即， 解得. 故选：C. 3．（24-25高二上·山东临沂·期中）空间三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为（    ） A． B． C．7 D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的数量积求出的值，然后利用三角形的面积公式可求得平行四边形的面积. 【详解】因为，，， 所以，， 所以， ，， 所以， 因为，所以， 所以，以，为邻边的平行四边形的面积为. 故选：D 4．（24-25高二上·山东烟台·期中）在三棱锥中，点M在线段上，且，N为中点，设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的线性运算求解. 【详解】解：因为点M在线段上，且，N为中点， 所以, 故选：D 5．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知点沿着向量的方向移动到点Q，且，则点Q的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意设,，利用求出，得到的坐标，即可求出点的坐标. 【详解】设,，则， 由得，解得或（舍）， ∴， ∴， ∴，即. 故选：C. 6．（24-25高二上·山东潍坊·期中）已知，，若，则（   ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的坐标表示，列式计算即得. 【详解】向量，，由，得，所以. 故选：B 7．（24-25高二上·山东德州·期中）在四面体中，点D为的中点，点E在上，且，用向量，，表示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的线性运算即可得到结果. 【详解】 如图，由题意得， . 故选：D. 8．（24-25高二上·山东烟台·期中）在空间直角坐标系中，点关于面对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据关于面对称的点的特征求解即可. 【详解】点关于面对称的点的坐标为. 故选：A. 二、多选题 9．（24-25高二上·山东烟台·期中）下列命题正确的有（   ） A．若直线a的方向向量与平面的法向量垂直，则 B．若为空间的一个基底，则可构成空间的另一个基底 C．已知向量，，若，则为钝角 D．在四面体中，若Q为的重心，则 【答案】BD 【分析】根据空间向量中直线与平面的位置关系判断A；利用共面向量的充要条件判断是否共线，从而判断B；根据空间向量数量积的坐标运算与向量共线的坐标关系，确定向量的夹角，从而判断C；利用空间向量的线性运算即可得的关系，从而判断D. 【详解】若直线a的方向向量与平面的法向量垂直，则或，故A不正确； 若为空间的一个基底，则不共面，假设共面， 则，则共面，矛盾， 故不共面，所以可构成空间的另一个基底，故B正确； 已知向量，，则， 若，则，但当时，，故为钝角或平角，故C不正确； 在四面体中，若Q为的重心， 设为的中点，则， 所以， 所以，故D正确. 故选：BD. 10．（24-25高二上·山东德州·期中）已知空间中四点，，，，则（    ） A． B． C．在上的投影数量为 D．为锐角 【答案】BCD 【分析】A：表示出的坐标，利用模长公式计算；B：表示出的坐标，然后根据数量积判断是否垂直；C：计算出，根据可计算出投影数量；D：根据的正负并结合是否共线作判断. 【详解】A：因为，所以，故错误； B：因为，所以，所以，故正确； C：因为，所以，， 所以在上的投影数量为，故正确； D：因为，所以， 由坐标可知不共线，所以为锐角，故正确； 故选：BCD. 三、填空题 11．（24-25高二上·山东济宁·期中），则 . 【答案】 【分析】根据条件，利用空间向量共线的条件，得，再利用模长公式，即可求解. 【详解】因为，所以，得到， 所以，得到， 故答案为：. 12．（24-25高二上·山东临沂·期中）若点是点在坐标平面内的射影，则 . 【答案】 【分析】由题意可得，结合空间向量模的坐标表示即可求解. 【详解】因为点是点在坐标平面内的射影， 所以，得， 所以. 故答案为： 地 城 考点03 空间向量的应用 一、单选题 1．（24-25高二上·山东德州·期中）已知菱形的边长为2，，现将沿折起，当时，二面角平面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，由菱形的性质得出就是二面角的平面角，求出的边长可得答案. 【详解】设，菱形满足，， 则和都为等边三角形，所以，， 又，则，所以就是二面角的平面角， 由于，所以，所以是等边三角形， 所以，即二面角平面角的大小为. 故选：B. 二、多选题 2．（24-25高二上·山东日照·期中）已知正方体的棱长为1，平面与对角线垂直，则（    ） A．正方体的每条棱所在直线与平面所成角均相等 B．平面截正方体所得截面面积的最大值为 C．当平面与正方体各面都有公共点时，其截面多边形的周长为定值 D．直线与平面内任一直线所成角的正弦值的取值范围为 【答案】ACD 【分析】A选项，建立空间直角坐标系，求出，计算出分别与所成角相等，所以与所成角也相等，A正确；B选项，作出辅助线，求出最大面积为；C选项，当与正方体各面都有公共点时，截图为六边形，由边长性质得到六边形周长为定值；D选项，与内任一直线所成角的正弦值的最小值即为直线与平面所成角的正弦值，利用空间向量公式求出最小值，再由线面垂直得到夹角为的情况，得到夹角正弦值的取值范围. 【详解】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系. 对于A：因平面与对角线垂直，所以平面的一个法向量为， ，，， ，同理, 所以直线分别与直线所成角相等， 所以直线与平面所成角也相等， 根据正方体性质可知，正方体的每条棱所在直线与平面所成角均相等，故A正确； 对于B：如图，点分别为棱的中点，    则正六边形为平面过正方体中心时截正方体所成图形， 由正方体性质可知，当平面由此位置向或趋近时，截面面积变小， 故截面面积最大即为正六边形的面积， 其中，所以正六边形的面积为， 故B错误； 对于C，当平面与正方体各面都有公共点时，截图为六边形，如图阴影部分，   ， 同理可得，故六边形周长为定值，所以C正确； 对于D，直线与平面内任一直线所成角的正弦值的最小值 即为直线与平面所成角的正弦值， 设直线与平面所成角为， 则， 设平面与平面的交线为， 因为⊥平面，平面，故⊥， 故直线与的夹角为， 故直线与平面内任一直线所成角的正弦值的最大值为1， 所成角的正弦值取值范围为，D正确. 故选：ACD 【点睛】思路点睛：平面位置变化时，平面始终与对角线垂直,截面从等边三角形到六边形，再到三角形，熟知截图的变化，找到其中不变的量如：平面与平面的交线始终平行与直线，从变化中的定量即规律，可解决本题. 三、填空题 3．（24-25高二上·山东德州·期中）在三棱锥中，已知，，点P到，的距离均为，那么点P到平面的距离为 . 【答案】 【分析】如图，取BC中点为D，连接PD，AD，过P作AD垂线，垂足为G，可证PG与平面垂直及D和G重合，即可得答案. 【详解】过P作AC，AB垂线，垂足为E，F，由题，则. 又，则， 又，，则. 则，又由勾股定理，可得. 取BC中点为D，连接PD，AD.由以上分析可知. 因平面PAD，则平面PAD. 过P作AD垂线，垂足为G，则，又平面PAD，则. 因平面ABC，则平面ABC， 即PG为P到平面的距离. 在中，因，，则. 又在中，，则； 又，则为以D为直角顶点的直角三角形，则 即D和G重合，则. 故答案为： 4．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知在长方体中，，，则到平面的距离为 ． 【答案】1 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间距离的向量求法计算可得结果. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则， 可得， 设平面的一个法向量为， 可得，令，则， 即， 又， 所以到平面的距离为. 故答案为：1 四、解答题 5．（24-25高二上·山东烟台·期中）如图，在三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，，．    (1)证明：平面平面； (2)若为棱中点，求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）取中点，连结，，，根据平面与平面垂直的定义证明； （2）以为原点建立空间直角坐标系，利用向量求线面角. 【详解】（1）取中点，连结，，， 由题意，在中，，， 所以为等边三角形，所以， 因为底面是以为斜边的等腰直角三角形，所以， 所以，为二面角的平面角， 在中，，，， 所以， 可得，所以， 所以，平面平面． （2）以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图空间直角坐标系， 则，，，，． 所以，， 由于为棱中点，故， 所以，， 设平面的法向量为， 所以，令，， 设直线与平面所成角为，则 ， 所以， 所以，直线与平面所成角的余弦值为．    6．（24-25高二上·山东潍坊·期中）在四棱台中，平面，平面平面. (1)证明：平面； (2)已知四边形为梯形，，，，二面角的大小为. ①求点到平面的距离； ②求平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2)①；②． 【分析】（1）作，垂足为，作，垂足为，证明平面，平面，从而得重合为，即证题设线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，设，，求出平面和平面的法向量，由法向量夹角得二面角，从而得， ①由在平面的法向量方向上的投影的绝对值得线面距； ②再求得平面的法向量，由两个平面的法向量的夹角余弦值得二面角的余弦值． 【详解】（1）作，垂足为，作，垂足为， ∵平面，平面，所以， 又∵，平面，所以平面， ∵平面平面，平面平面，，平面， ∴平面， ∴与重合，即为平面与平面的交线， ∴平面; （2）由题意，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图， 由（1）平面，平面，∴， 在直角梯形中，， ， 所以， ∴， 是棱台，则， 因此 则，，，设，， 则，， ， 设平面的一个法向量是， 则， 取，可得，， 则为平面的一个法向量， 平面的一个法向量是， 二面角的大小为， 则， 解得（负值舍去）， ①∴，，，又， 点到平面的距离为， ②， 设平面的一个法向量是， 则， 取，则，， 则为平面的一个法向量， ， ∴平面与平面所成的锐二面角的余弦值为． 7．（24-25高二上·山东潍坊·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过证明来证得平面. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）由于为棱的中点，所以，所以四边形是平行四边形， 所以，由于平面，平面， 所以平面. （2）依题意可知平面，而平面，所以， ，所以.而， 由此可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， ， ， 设平面的法向量为， 则，故可设， 设直线与平面所成角为， 所以. 8．（24-25高二上·山东淄博·期中）如图，在直三棱柱中，D，E分别是AB，的中点.    (1)证明：平面； (2)已知，，求CD与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的判断定理，转化为证明线线平行，根据几何关系构造辅助线，即可证明； （2）根据垂直关系，建立空间直角坐标系，求平面的法向量，再代入线面角的向量公式即可求解. 【详解】（1）连结，交于点，连结， 因为点分别是的中点，所以 , 平面，平面， 所以平面；    （2）因为，， 所以，所以， 如图，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系，   ，，，， ，，， 设平面的法向量为， 所以，令，则，， 所以平面的法向量为， 设与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的大小为. 9．（24-25高二上·山东泰安·期中）如图，在三棱锥中，，，M在线段上，且，N为的中点.    (1)证明：； (2)求异面直线，所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）易知平面，进而可求证； （2）取取的靠近点的三等分点，得到异面直线，所成的角为或其补角，再由余弦定理即可求解. 【详解】（1）证明：连接，如图，   ，N为的中点. ，， 又平面，，平面， 由平面，所以； （2）取的靠近点的三等分点，连接，如图，    则，异面直线，所成的角为或其补角， 由题意，，， ， 所以， 又，, 所以， 则在中，， 即异面直线，所成角的余弦值为. 10．（24-25高二上·山东泰安·期中）如图，在四面体中，平面，M，P分别是线段，的中点，点Q在线段上，且. (1)求证：平面； (2)当，时，求平面与平面夹角的余弦值； (3)在（2）的条件下，若为内的动点，平面，且与平面所成的角最大，试确定点G的位置. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)点位于中位线靠近的八等分点的第3个点处 【分析】（1）利用中位线定与与平行线的传递性，结合线面平行的判定定理即可得证； （2）利用勾股定理与线面垂直的性质定理建立空间直角坐标系，再分别求得平面与平面的法向量，利用空间向量法求面面角的方法即可得解； （3）先利用线面平行的性质定理分析得在上，假设，再利用线面角的空间向量法分析得与平面所成的角时的值，从而得解. 【详解】（1）取BD中点，连接PO， 是BM的中点，，且， 在线段CD上取点，使，连接OF，QF， ，，且， ，四边形POFQ为平行四边形，， 又平面平面，平面. （2），则，， 取BD中点，则，又平面，平面BCD， 以为原点，OB，OC，OP所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，故， 则，，， ，所以， 故， 易知平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则，， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. （3）由（2）知为BD中点，为AD中点，连接OM， ， 点为内动点且平面QGM， 又平面ABD，平面平面， ，故点在OM上， 设，又，，， 则， ， 易知平面的一个法向量为， 设QG与平面所成角为，则最大时，最大， ， 所以当时，最大，此时最大， 即当点位于中位线靠近的八等分点的第3个点处时，QG与平面所成角最大. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法： （1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果. 11．（24-25高二上·山东日照·期中）如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，点为棱的中点. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可求得结果； （2）根据点到面的距离的向量求法直接求解即可. 【详解】（1）以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，， ， 即直线与平面所成角的正弦值为. （2）由（1）知：，， ，，， 设平面的法向量， 则，令，则，，， 点到平面的距离. 12．（24-25高二上·山东德州·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，. (1)求证：； (2)求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见详解； (2) 【分析】（1）通过线面垂直的判定定理证明平面即可证得； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】（1）在中，由余弦定理得，解得， 所以，故， 又平面， 所以平面，又平面， 所以； （2）以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，所以， 故， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 13．（24-25高二上·山东烟台·期中）如图，在三棱台中，上下底面分别为边长是2和4的等边三角形，平面，且四棱锥的体积为，M为的中点，N为线段上一点． (1)若N为的中点，证明：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)是否存在点N使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定N的位置；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)； (3)存在，点N为线段的三等分点 【分析】（1）借助结合题目条件计算可得，再由勾股定理的逆定理可得，再结合线面垂直的性质定理与判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量后结合空间向量夹角公式计算即可得； （3）表示出平面的法向量及的方向向量后，借助空间向量夹角公式计算即可得. 【详解】（1）设，可知的面积，的面积， 三棱台的体积， 即，所以． 连接，可得，， 所以，即， 因为M，N分别为，的中点，所以，所以， 因为平面，平面，所以， 由M为的中点，所以，又，、平面， 所以平面，又平面，所以， 又，、平面，所以平面； （2）以M为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴， 建立如图空间直角坐标系， 则，，，． 所以，， 设平面的法向量为， 所以 令，， 易知平面的法向量， 设二面角所成角为， 则， 所以二面角所成角的余弦值为； （3）设，， 所以，， 设平面的法向量为， 所以，令，则， 因为，设直线与平面所成角为， 则， 整理得，即或， 所以，当点N为线段的三等分点时， 直线与平面所成角的正弦值为． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $