2.6—2.8 直角三角形 探索勾股定理 直角三角形全等的判定-2025-2026学年浙教版八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练

2.6—2.8 直角三角形 探索勾股定理 直角三角形全等的判定 一、直角三角形基础性质 （1）定义：有一个角为90°的三角形称为直角三角形。 角的关系：两锐角互余，即两锐角之和为90°。 边的关系： 斜边上的中线等于斜边的一半。 30°角所对的直角边等于斜边的一半。 若一条直角边是斜边的一半，则该边所对的角为30°。 等腰直角三角形的锐角均为45°。 （2）判定方法： 定义法：存在一个角为90°。 互余法：两锐角之和为90°。 勾股定理逆定理：三边满足a²+b²=c²（c为最长边）。 中线判定：斜边上的中线等于斜边一半。 二、勾股定理及其逆定理 （1）勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²。 适用于直角三角形，需明确直角边与斜边。 证明方法：面积法（如赵爽弦图、刘徽出入相补图）、拼图法（如加菲尔德总统拼图）。 （2）勾股定理逆定理： 若三角形三边满足a²+b²=c²，则该三角形为直角三角形，且c为斜边。 判定三角形形状时需分类讨论边长关系。 （3）实际应用： 求解几何问题中的边长。 解决实际问题中的距离计算（如方向角问题、坡度问题）。 三、直角三角形全等的判定 （1）判定定理（HL）： 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 需突出直角三角形条件，且必须为斜边与直角边对应相等。 （2）辅助判定方法： 结合勾股定理：已知两边可求第三边，再通过SSS判定全等。 隐含条件利用：公共边、公共角、对顶角等。 （3）证明技巧： 构造全等三角形：通过截长补短、倍长中线等方法。 角平分线性质：角平分线上的点到角两边距离相等，逆定理亦成立。 巩固课内例1:斜中定理 1．如图在中，点是的中点，，（   ） A．8 B．5 C．4 D．3 2．在直角三角形中，斜边及其中线之和等于，那么斜边长是 ． 3．如图，在四边形中，，分别是对角线的中点． (1)求证：； (2)若，请判断与的数量关系，并说明理由． 巩固课内例2:直角三角形的判定——两角互余 1．满足下列条件的不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，点P在直线m外，在直线m上任取两点A，B，分别以A和B为圆心，，长为半径作弧，两弧交于点C，作直线，连接．则 ． 3．如图，在中，是上一点，延长至点，使得，连接． (1)求证：； (2)若，求的面积． 巩固课内例3:勾股定理求边长 1．已知一个直角三角形的两条边长分别为3和4，则第三边长为（　　） A．或 B．或2 C．或5 D．或5 2．如图，在中，，D为中点，，，则 ． 3．如图，方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上， (1)的长为_____，的长为_____ (2)求证： 巩固课内例4:勾股定理的证明 1．我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，是一种用面积证明勾股定理的方法．下面四幅图中，不能用面积证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，则4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积， 即 + = ，化简得： ． 3．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得出结论．这里用两种求法表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜．某数学爱好者构造发现了以下证法：把两个全等的直角三角形和直角三角形按如图2所示放置，其三边长分别为，，显然． ①请用分别表示出梯形的面积________，的面积________；并求出四边形的面积（用含c的式子表示，要写过程） ②请利用①中这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理； 【方法迁移】 （1）如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得到，则边上的高为________； （2）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求x的值． 巩固课内例5:已知三边判断是否是直角三角形 1．以下列各组三条线段长为边，能构成直角三角形的是（   ） A．2，2，3 B．5，12，13 C．8， 12， 16 D．7，20，25 2．已知是的三边长，若，则的形状是 ． 3．如图，在中，分别为边上的点，垂直平分，垂足为，连接． (1)是直角三角形吗？请说明理由； (2)求的长． 巩固课内例6:勾股定理的逆定理 1．一块木板如图所示，已知，，，，，则木板的面积为（   ） A．60 B．20 C．96 D．48 2．已知三角形的三边分别为，则最长边上的高等于 ． 3．如图，在中，是上的点，连接，，，，，求的长． 巩固课内例7:直角三角形的判定(HL) 1．如图，已知，垂足分别为，．要根据“”判定，需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 2．如图，点是的中点，若，，，可以判定与全等，则这两个三角形全等的判定依据是 （填字母）． 3．如图，在△中，平分，于点，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 巩固课内例8:角平分线的判定定理 1．三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 2．如图，的外角和的平分线相交于点F，连接．若，则 ． 3．如图：在中，，于，于，、相交于．求证：平分． 类型一、在数轴上表示无理数 1．如图，，则数轴上点C所表示的数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知点的坐标为，以原点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点所表示的数是 ． 3．如图，在数轴上找出表示的点．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 类型二、30°对应的直角边 1．如图，，，若，则的长度为 （      ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．如图，在中，，F是高和的交点，，， 则线段的长度是 ． 3．如图，中，是边上一点，过点作，垂足为，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 类型三、勾股数 1．下列四个选项中，是勾股数的是（   ） A．2，3，5 B．3，4，5 C．0.5，1.2，1.3 D．3，4，7 2．若一组勾股数的其中两个为5和12，则第三个勾股数是 ． 3．能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，我们称为勾股数．观察下面表格中左栏给出的三个正整数． 3，4，5 5，12，13 7，24，25 9，40，41 ．．． ．．． 15，， ．．． ．．． (1)写出它们的共同点．（写出两条即可） (2)当时，求的值． 类型一、勾股定理的应用——航行问题 1．如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，两船相距（　　） A．20海里 B．40海里 C．35海里 D．30海里 2．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时从港口P出发，“远航”号以每小时24海里的速度沿北偏东方向航行，“海天”号以每小时7海里的速度沿北偏西方向航行，一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于Q，R处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为 海里． 3．一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的距离是． (1)若轮船速度为，求轮船从C岛沿返回A港所需的时间； (2)C岛在A港的什么方向？ 类型二、勾股定理的应用——芦苇问题 1．我国古代经典数学著作《九章算术》有一“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一正方形池塘，边长为一丈，有棵芦苇长在它的正中央，高出水面部分有一尺长，把芦苇拉向岸边的中点，恰好碰到岸沿，问水深和芦苇长各是多少？（小知识：1丈=10尺）若设水深为尺，则符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 2．有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水的深度是 尺，芦苇的长度是 尺． 3．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的大意是：有个水池，水平面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问：这个水池水的深度和这根芦苇的长度各是多少尺？    (1)将生活问题构建为数学模型，请在图中标上必要的字母，并写出已知与求； 解：已知：______；求：______． (2)写出解答过程． 类型三、勾股定理逆定理的应用 1．体育公园边有一块如图所示的地，其中，，则这块地的面积为（    ）． A．216 B．270 C．432 D．540 2．如图，李伯伯家有一块四边形田地，其中，则这块地的面积为 平方米． 3．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通， 该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 类型一、勾股定理与网格问题 1．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．的面积为10 D．点A到直线的距离是2 2．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点到线段的距离为 3．小明遇到这样一个问题：已知，在中，三边的长分别为，，，求的面积. 下面是他解决问题的思路： 在图①中，先画一个的正方形网格（每个小正方形的边长均为）．再在网格中画一个格点（即的三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格计算出了的面积，他把这种方法称为构图法． 请用小明的构图法，解决下列问题： (1)如图②是一个的正方形网格，请画出三边长分别为、、5的格点； (2)求的面积． 类型二、勾股定理与折叠问题 1．如图，中，，将折叠，使点A与的中点D重合，折痕为，那么的长为（　　） A．3 B． C．4 D． 2．如图，在中，，点D，E分别在边上，连接，将沿折叠，点B的对应点为F，点F刚好落在边上．若，，则的长为 ． 3．如图，把一张长方形纸片折叠起来，为折痕，使其对角顶点A与点重合，点与点重合．若长方形的长为8，宽为4． (1)求的长； (2)求的值； (3)求阴影部分的面积． 类型三、最值问题 1．如图，在中，，，，，是的平分线，若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（　　） A．5.6 B．4.8 C．6.4 D．3.9 2．如图，在中，，P是线段边上的动点（不与点A，B重合）．将沿所在直线翻折，得到，连接，当取最小值时，则的值为 ． 3．（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”：小鄞同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出下图， 将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是_____． （2）类比迁移：已知，均为正数，且．求的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.6—2.8 直角三角形 探索勾股定理 直角三角形全等的判定 一、直角三角形基础性质 （1）定义：有一个角为90°的三角形称为直角三角形。 角的关系：两锐角互余，即两锐角之和为90°。 边的关系： 斜边上的中线等于斜边的一半。 30°角所对的直角边等于斜边的一半。 若一条直角边是斜边的一半，则该边所对的角为30°。 等腰直角三角形的锐角均为45°。 （2）判定方法： 定义法：存在一个角为90°。 互余法：两锐角之和为90°。 勾股定理逆定理：三边满足a²+b²=c²（c为最长边）。 中线判定：斜边上的中线等于斜边一半。 二、勾股定理及其逆定理 （1）勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²。 适用于直角三角形，需明确直角边与斜边。 证明方法：面积法（如赵爽弦图、刘徽出入相补图）、拼图法（如加菲尔德总统拼图）。 （2）勾股定理逆定理： 若三角形三边满足a²+b²=c²，则该三角形为直角三角形，且c为斜边。 判定三角形形状时需分类讨论边长关系。 （3）实际应用： 求解几何问题中的边长。 解决实际问题中的距离计算（如方向角问题、坡度问题）。 三、直角三角形全等的判定 （1）判定定理（HL）： 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 需突出直角三角形条件，且必须为斜边与直角边对应相等。 （2）辅助判定方法： 结合勾股定理：已知两边可求第三边，再通过SSS判定全等。 隐含条件利用：公共边、公共角、对顶角等。 （3）证明技巧： 构造全等三角形：通过截长补短、倍长中线等方法。 角平分线性质：角平分线上的点到角两边距离相等，逆定理亦成立。 巩固课内例1:斜中定理 1．如图在中，点是的中点，，（   ） A．8 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质来求解．本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵在中，，点是的中点， ∴是斜边上的中线， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 2．在直角三角形中，斜边及其中线之和等于，那么斜边长是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了直角三角形的性质，设斜边的长为，则斜边上的中线长度为，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解，熟练掌握直角三角形斜边上的中线为斜边的一半是解此题的关键． 【详解】解：设斜边的长为，则斜边上的中线长度为， ∵斜边及其中线之和等于， ∴， ∴， 即斜边长是， 故答案为：． 3．如图，在四边形中，，分别是对角线的中点． (1)求证：； (2)若，请判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】（）连接，由直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半可得，，即得，再根据等腰三角形的性质即可求证； （）连接，由可得，即得，同理可得，即得到，再根据直角三角形的性质即可得到结论； 本题考查了直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，连接， ，点是的中点， ， 同理可得，， ， 又∵点是的中点， ； （2）解：，理由如下： 如图，连接， ，点是的中点， ， ， 同理可得，， ∴， ， ， ∵点是的中点， ． 巩固课内例2:直角三角形的判定——两角互余 1．满足下列条件的不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的识别，根据三角形内角和定理以及直角三角形的判定逐项判断，即可得到结论． 【详解】解：A，，是直角三角形，不合题意； B，时，最大的角，不是直角三角形，符合题意； C，，则，是直角三角形，不合题意； D，，则，是直角三角形，不合题意； 故选B． 2．如图，点P在直线m外，在直线m上任取两点A，B，分别以A和B为圆心，，长为半径作弧，两弧交于点C，作直线，连接．则 ． 【答案】90 【分析】本题考查了垂直平分线的性质与判定，根据题意可得，，则垂直平分，进而可得，即可求解． 【详解】解：根据作图可得，， ∴垂直平分， ∴， 故答案为：． 3．如图，在中，是上一点，延长至点，使得，连接． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）延长交于点，证明，得，由，，得，进而，即可得证； （2）根据，，得，从而，，进而利用面积公式即可得解． 【详解】（1）解：如图，延长交于点， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了邻补角的性质，全等三角形的判定及性质，垂线定义，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 巩固课内例3:勾股定理求边长 1．已知一个直角三角形的两条边长分别为3和4，则第三边长为（　　） A．或 B．或2 C．或5 D．或5 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．先直接根据勾股定理即可求得斜边的长，注意题中没有指明已知的两边是直角边还是斜边故应该分情况进行讨论． 【详解】解：①当3和4均为直角边时，第三条边， ②当3为直角边，4为斜边时，第三条边， 故选：C． 2．如图，在中，，D为中点，，，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理，三角形内角和定理等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．延长至G，使，连接，证，得，，再由线段垂直平分线的性质得，然后证，根据勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图，延长至G，使，连接， ∵D为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，. ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴. 故答案为：4． 3．如图，方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上， (1)的长为_____，的长为_____ (2)求证： 【答案】(1)，． (2)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理，根据格点坐标确定直角边长度，进而求出和的长． （2）通过勾股定理求出的长，再验证是否等于，若成立则． 【详解】（1）解： 由勾股定理得，． 故答案为：，． （2）解：由勾股定理得． ∵ ， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． ∴ ． ∴ ． 巩固课内例4:勾股定理的证明 1．我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，是一种用面积证明勾股定理的方法．下面四幅图中，不能用面积证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，大正方形的边长为，则大正方形面积等于，大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则，据此可判断A；小正方形的边长为，则小正方形的面积等于，小正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形的面积，则，据此可判断B；中间等腰直角三角形的面积为，中间等腰直角三角形的面积又等于梯形面积减去2个直角三角形面积，则，据此可判断C；D选项中的图形不能证明勾股定理． 【详解】解：A、大正方形的边长为，则大正方形面积等于，大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则大正方形的面积等于， ∴， ∴， ∴，故A能证明勾股定理，不符合题意； B、小正方形的边长为，则小正方形的面积等于，小正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形的面积，则小正方形的面积等于， ∴， ∴， ∴，故B能证明勾股定理，不符合题意； C、中间等腰直角三角形的面积为，中间等腰直角三角形的面积又等于梯形面积减去2个直角三角形面积，则中间等腰直角三角形的面积为， ∴， ∴， ∴，故C能证明勾股定理，不符合题意； D选项中的图形不能证明勾股定理，符合题意； 故选：D． 2．如图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，则4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积， 即 + = ，化简得： ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，先求出小正方形的边长，再根据4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积解答即可． 【详解】解：由图可知，小正方形的边长为， ∵4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积， ∴， ∴． 故答案为：，，． 3．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得出结论．这里用两种求法表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜．某数学爱好者构造发现了以下证法：把两个全等的直角三角形和直角三角形按如图2所示放置，其三边长分别为，，显然． ①请用分别表示出梯形的面积________，的面积________；并求出四边形的面积（用含c的式子表示，要写过程） ②请利用①中这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理； 【方法迁移】 （1）如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得到，则边上的高为________； （2）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求x的值． 【答案】方法应用：①；；；②见解析；方法迁移：（1）；（2） 【分析】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形是解本题的难点． 方法应用：①根据题意表示出三个图形的面即可；②根据可证； 方法迁移： （1）计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高； （2）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可； 【详解】解：【方法运用】： ①由题意得，，，； 故答案为：①；；； ②∵， ∴， ∴， ∴； 【方法迁移】： （1）设边上的高为h， ， ， ， ∴， 即边上的高是； 故答案为：； （2）在中，由勾股定理得 ， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ， ∴， ∴． 巩固课内例5:已知三边判断是否是直角三角形 1．以下列各组三条线段长为边，能构成直角三角形的是（   ） A．2，2，3 B．5，12，13 C．8， 12， 16 D．7，20，25 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键；因此此题可根据勾股定理逆定理进行判定即可． 【详解】解：A、，所以不能构成直角三角形，故不符合题意； B、，能构成直角三角形，故符合题意； C、，所以不能构成直角三角形，故不符合题意； D、，所以不能构成直角三角形，故不符合题意； 故选：B． 2．已知是的三边长，若，则的形状是 ． 【答案】直角三角形 【分析】本题可根据绝对值、平方数和算术平方根的非负性求出三角形三边的长度，再根据三边长度关系，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．本题主要考查了绝对值、平方数和算术平方根的非负性以及勾股定理的逆定理．熟练掌握绝对值、平方数和算术平方根的非负性质（若干个非负数的和为，则每个非负数都为），以及勾股定理的逆定理（若三角形的三边、、满足，则这个三角形是直角三角形）是解题的关键． 【详解】解：∵，，，且， ∴ 解得 ∵，， ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 3．如图，在中，分别为边上的点，垂直平分，垂足为，连接． (1)是直角三角形吗？请说明理由； (2)求的长． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析； (2)的长为5． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质． （1）运用勾股定理逆定理得到是直角三角形，且，再证明，由此即可解答； （2）根据题意得到，，，在中，由勾股定理得，由此列式求解即可． 【详解】（1）解：是直角三角形， 理由：，，， ， 是直角三角形，且， 垂直平分， ，， 在和中， ， ， ， 是直角三角形； （2）解：由（1）知，，， ，，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 的长为5． 巩固课内例6:勾股定理的逆定理 1．一块木板如图所示，已知，，，，，则木板的面积为（   ） A．60 B．20 C．96 D．48 【答案】C 【分析】本题考查正确运用勾股定理，及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．连接，利用勾股定理解出直角三角形的斜边，通过三角形的三边关系可确定它为直角三角形，木板面积为这两三角形面积之差． 【详解】解：如图所示，连接， ，，， ， ，， ， 是直角三角形， ． 故选：C． 2．已知三角形的三边分别为，则最长边上的高等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形等面积公式的运用，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据题干条件和勾股定理逆定理可知三角形为直角三角形，再利用等面积公式即可求出答案； 【详解】解：设三角形的最长边上的高的长度是h， 三角形的三边分别为， ∴， ∴三角形是直角三角形（斜边长是）， ∵， ∴解得， ∴最长边上的高等于； 故答案为：； 3．如图，在中，是上的点，连接，，，，，求的长． 【答案】的长为 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理． 根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，从而可得，用勾股定理解三角形，可得的长度，与相加，即可得的长． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 答：的长为． 巩固课内例7:直角三角形的判定(HL) 1．如图，已知，垂足分别为，．要根据“”判定，需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的判定方法“”，根据直角三角形中一组直角边相等，只需要添加斜边相等即可，掌握判定方法“”是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴要根据“”判定，则需要添加斜边， 故选：． 2．如图，点是的中点，若，，，可以判定与全等，则这两个三角形全等的判定依据是 （填字母）． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定方法，根据全等三角形的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴； 故答案为：． 3．如图，在△中，平分，于点，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为7 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． （1）由角平分线的性质得，而，即可根据“”证明，得； （2）由，，根据“”证明，得，而，，由，得，求得． 【详解】（1）证明：平分，于点，交的延长线于点， ，， 在和中， ， ， ． （2）解：在和中 ， ， ， ，且，， ， ， ， 的长为7． 巩固课内例8:角平分线的判定定理 1．三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线判定定理的应用．根据“到角两边的距离相等的点在角的平分线上”，即可获得答案．理解到角两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点． 故选：C． 2．如图，的外角和的平分线相交于点F，连接．若，则 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质定理以及判定定理． 过F作于M，于N，于K，由角平分线的性质定理推出，，得到，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，求出． 【详解】解：过F作于M，于N，于K， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵于M，于N， ∴平分， ∴． 故答案为：． 3．如图：在中，，于，于，、相交于．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，角平分线判定定理，掌握全等三角形的判定及性质是解答本题的关键．根据于，于，可得，结合对顶角，，证得，可得，即证结论． 【详解】证明：于，于， ， 在与中， ， ， ， ，， 平分． 类型一、在数轴上表示无理数 1．如图，，则数轴上点C所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴，利用勾股定理求出AB的值为解决本题的关键．可利用勾股定理求出AB的值，即可得到答案． 【详解】解：由勾股定理可知：， 即， ∵A为数轴上的， ∴数轴上点C表示的数为． 故选：B． 2．如图，已知点的坐标为，以原点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点所表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴上的点表示无理数，涉及勾股定理、图形与坐标等知识，理解题意，数形结合是解决问题的关键．由题意得到，在中，，由勾股定理求出长，再由以原点为圆心，为半径画弧交数轴于点，确定，从而得到点所表示的数． 【详解】解：如图所示： 的坐标为， 在中，，则由勾股定理可得， 以原点为圆心，为半径画弧交数轴于点， ， 则点所表示的数是， 故答案为：． 3．如图，在数轴上找出表示的点．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查勾股定理及实数与数轴的知识，要求能够正确运用数轴上的点来表示一个无理数，解题关键是构造直角三角形，并灵活运用勾股定理． 根据勾股定理，作出以1和3为直角边的直角三角形，则其斜边的长即是；再以原点为圆心，以为半径画弧与数轴的正半轴的交点即为所求． 【详解】解：如图，在数轴上点O、A、E、B表示的数分别为0、1、3、5， ①分别以点A和点B为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点C和点D，连接， ②以点E为圆心，1长为半径画弧，交于点F， ③连接，以点O为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点G，点G即为所求； ∵，， ∴． 类型二、30°对应的直角边 1．如图，，，若，则的长度为 （      ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键在于利用角平分线定理作出辅助线． 过点作，由题意得出，即可得出，再证明为角平分线，则． 【详解】解：过点作， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ， ∴，即为的角平分线， ， ∴， 故选：B 2．如图，在中，，F是高和的交点，，， 则线段的长度是 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质、全等三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握含30度直角三角形的性质、全等三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴； 故答案为12． 3．如图，中，是边上一点，过点作，垂足为，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查等腰三角形的性质与判定以及用含直角三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质和角度关系进行推理计算。 （1）利用得到，结合直角三角形两锐角互余，通过角的等量代换证明角相等，进而得出线段相等； （2）根据已知，求出，再利用含直角三角形的性质求出线段长度，从而得出的长. 【详解】（1）证明：∵， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：∵， ， ， ， ， ， ， . 类型三、勾股数 1．下列四个选项中，是勾股数的是（   ） A．2，3，5 B．3，4，5 C．0.5，1.2，1.3 D．3，4，7 【答案】B 【分析】利用勾股数的定义进行分析即可．此题主要考查了勾股数，关键是掌握满足的三个正整数，称为勾股数． 【详解】解：A、，不能构成三角形，不符合题意； B、，是勾股数，符合题意； C、0.5，1.2，1.3不是整数，不是勾股数，不符合题意； D、，不能构成三角形，不符合题意； 故选：B． 2．若一组勾股数的其中两个为5和12，则第三个勾股数是 ． 【答案】13 【分析】本题考查了勾股数，熟记勾股数的定义是解题的关键． 设第三个数为，分两种情况，分别根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：设第三个数为， 分两种情况： ①为最大数时，， 解得：（不是整数，舍去）； ②为最大数时，， 解得：（负值已舍去）； 综上所述，第三个勾股数是． 故答案为： ． 3．能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，我们称为勾股数．观察下面表格中左栏给出的三个正整数． 3，4，5 5，12，13 7，24，25 9，40，41 ．．． ．．． 15，， ．．． ．．． (1)写出它们的共同点．（写出两条即可） (2)当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了勾股定理的应用和数字规律的探寻，理解题意是解题关键． （1）根据表格找出规律即可； （2）利用（1）中得出的规律，把已知数据代入即可． 【详解】（1）解：①以上各组数均满足； ②最小的数是奇数，其余的两个数是连续的正整数； ③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和． （写两条即可，合理即可） （2）设，则． 有，解得， ，． 类型一、勾股定理的应用——航行问题 1．如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，两船相距（　　） A．20海里 B．40海里 C．35海里 D．30海里 【答案】B 【分析】此题考查勾股定理的应用，方向角，解题关键在于画出图形利用勾股定理进行计算． 根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别行驶的距离．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【详解】∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴， 两小时后，两艘船分别行驶了海里，海里， 根据勾股定理得：(海里)． 故选：B． 2．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时从港口P出发，“远航”号以每小时24海里的速度沿北偏东方向航行，“海天”号以每小时7海里的速度沿北偏西方向航行，一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于Q，R处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为 海里． 【答案】25 【分析】本题考查勾股定理的应用，先判断为直角三角形，再利用勾股定理求斜边的长度． 【详解】解：由题意知，， 为直角三角形， （海里），（海里）， （海里）， 即“远航”号与“海天”号的距离为25海里， 故答案为：25． 3．一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的距离是． (1)若轮船速度为，求轮船从C岛沿返回A港所需的时间； (2)C岛在A港的什么方向？ 【答案】(1) (2)北偏西 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理的应用； （1）先求解，结合，可得，再进一步的利用勾股定理计算即可； （2）先证明，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知． 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，而， ∴轮船从岛沿返回港所需的时间为． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴岛在港的北偏西方向上． 类型二、勾股定理的应用——芦苇问题 1．我国古代经典数学著作《九章算术》有一“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一正方形池塘，边长为一丈，有棵芦苇长在它的正中央，高出水面部分有一尺长，把芦苇拉向岸边的中点，恰好碰到岸沿，问水深和芦苇长各是多少？（小知识：1丈=10尺）若设水深为尺，则符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先设水池的深度为x尺，则这根芦苇的长度为尺，根据勾股定理可得方程即可． 此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 【详解】解：设水池的深度为x尺，由题意得：， 故选：A． 2．有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水的深度是 尺，芦苇的长度是 尺． 【答案】 12 13 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意，可知尺，设出尺，表示出水深，根据勾股定理建立方程即可． 【详解】解：依题意画出图形，    设芦苇长尺，则水深尺， 由题意尺， 在中，∵， ∴， 解得：， ∴尺． ∴水的深度是12尺，芦苇的长度是13尺． 故答案为：12；13． 3．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的大意是：有个水池，水平面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问：这个水池水的深度和这根芦苇的长度各是多少尺？    (1)将生活问题构建为数学模型，请在图中标上必要的字母，并写出已知与求； 解：已知：______；求：______． (2)写出解答过程． 【答案】(1)图见解析；尺，尺，；与的长度 (2)水深尺，芦苇长尺 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 根据题意画出图形，解答即可； 先设水池的深度为尺，则这根芦苇的长度为尺，根据勾股定理可得方程，再解即可． 【详解】（1）解：如图，已知：尺，尺，，    求：与的长度； 故答案为：尺，尺，，与的长度； （2）设水池的深度为尺，则尺， 由题意得：， 即：， 解得：， ， 答：水深尺，这根芦苇的长度各是尺． 类型三、勾股定理逆定理的应用 1．体育公园边有一块如图所示的地，其中，，则这块地的面积为（    ）． A．216 B．270 C．432 D．540 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，先利用勾股定理求出，再证明，，据此根据这块地的面积列式求解即可． 【详解】解；如图所示，连接， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴这块地的面积， 故选：A． 2．如图，李伯伯家有一块四边形田地，其中，则这块地的面积为 平方米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理和三角形的面积，勾股定理的逆定理，连接，运用勾股定理逆定理可证为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积和． 【详解】解：如图，连接， 在中，，，， 由勾股定理得：， ∴（负值已舍去）， 在中，，， ∴， ∴， ∴则这块地的面积为： ． 故答案为： 3．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通， 该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1)是从村庄C到河边的最近路，理由见解析 (2)2.5千米 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，垂线段的性质，证明是直角三角形是解题的关键． （1）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，可得，由垂线段最短，可知是从村庄C到河边的最近路； （2）利用勾股定理解即可． 【详解】（1）解：是从村庄C到河边的最近路，理由如下： ，，，， ， 是直角三角形，其中， ， 是从村庄C到河边的最近路 （2）解：设 ，则， 在中，， ， 解得， 即原来的路线的长为2.5千米． 类型一、勾股定理与网格问题 1．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．的面积为10 D．点A到直线的距离是2 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、利用网格求三角形的面积，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．根据勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形的面积公式计算，判断即可． 【详解】解：A、由勾股定理得：，A选项正确，不符合题意； B、， ， ，B选项正确，不符合题意； C、，C选项错误，符合题意； D、设点A到直线的距离为h， 则，即， ，D选项正确，不符合题意， 故选：C． 2．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点到线段的距离为 【答案】 【详解】解：由题意得 ， ， 设到线段的距离为， ， ， 解得：； 故答案为：． 3．小明遇到这样一个问题：已知，在中，三边的长分别为，，，求的面积. 下面是他解决问题的思路： 在图①中，先画一个的正方形网格（每个小正方形的边长均为）．再在网格中画一个格点（即的三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格计算出了的面积，他把这种方法称为构图法． 请用小明的构图法，解决下列问题： (1)如图②是一个的正方形网格，请画出三边长分别为、、5的格点； (2)求的面积． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题考查勾股定理，利用网格计算三角形的面积，利用勾股定理及格点确定三个顶点的位置是解题的关键． （1）根据，，，利用格点作图即可； （2）利用割补法计算面积． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：． 类型二、勾股定理与折叠问题 1．如图，中，，将折叠，使点A与的中点D重合，折痕为，那么的长为（　　） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了翻折变换，勾股定理等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键． 由折叠知，设，则，在中，利用勾股定理列方程解答即可． 【详解】解：由折叠知，， ∵D是的中点，， ∴， 设， ∵， 则， 在中，， 由勾股定理，得， 解得， ∴． 故选：B． 2．如图，在中，，点D，E分别在边上，连接，将沿折叠，点B的对应点为F，点F刚好落在边上．若，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的不变性是解题的关键．设，则，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：由折叠的性质知， 设，则， ∵，， ∴，即， 解得， 故答案为：3． 3．如图，把一张长方形纸片折叠起来，为折痕，使其对角顶点A与点重合，点与点重合．若长方形的长为8，宽为4． (1)求的长； (2)求的值； (3)求阴影部分的面积． 【答案】(1)3 (2)20 (3) 【分析】（1）由折叠可知，设，则，在中，根据，求出的长即可； （2）过点作于点，在 中，由勾股定理求出的长，即可得的长，在中，由勾股定理即可得出答案； （3）过点作于点，根据三角形面积不变性，，求出的长，根据三角形面积求出结果即可． 本题主要考查了折叠的性质、勾股定理以及三角形面积不变性，灵活运用折叠的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理是解题的关键． 【详解】（1）解：由折叠可知 ，． 设，则，． 在中，， ∴， 解得， ∴． （2）解：如图，过点作于点，则． 在中， ∵， ∴由勾股定理，得， 即， ∴． ∵， ∴， ∴． （3）解：如图，过点作于点． 在中，，，． 由， 得， ∴． 类型三、最值问题 1．如图，在中，，，，，是的平分线，若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（　　） A．5.6 B．4.8 C．6.4 D．3.9 【答案】B 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题、角平分线的性质，作点Q关于的对称点，连接，过点C作于点H．结合角平分线的性质以及轴对称的性质可得点在上，，根据题意可得，进而可得答案． 【详解】解：如图，作点Q关于的对称点，连接，过点C作于点H． ∵是的角平分线，与关于对称， ∴点在上，． ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为4.8． 故选：B． 2．如图，在中，，P是线段边上的动点（不与点A，B重合）．将沿所在直线翻折，得到，连接，当取最小值时，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】此题重点考查勾股定理、轴对称的性质、两点之间线段最短、角平分线的性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．根据折叠的性质，得，故，，当点落在上时，，此时的值最小，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴， 如图1，由翻折得， ∵， ∴， ∴， ∴当点落在上时，，此时的值最小， 如图2，当点落在上时，则， 作于点F，于点E，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”：小鄞同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出下图， 将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是_____． （2）类比迁移：已知，均为正数，且．求的最大值． 【答案】（1）13；（2） 【分析】本题考查了最短路线问题，解答时涉及列代数式，勾股定理，矩形的判定与性质，两点之间线段最短，准确构造出符合题意的图形是解决本题的关键． （1）利用给出的图形，标上必要的字母，可以推出，，根据两点之间线段最短，可得的最小值为的长，再利用勾股定理求出的长即可； （2）构造矩形，取的中点C，作于点C，，可推出的值最大，需的值最大，即当A，D，B三点共线时，的值最大，最大值为，由点C是的中点，，可得出D是的中点，即，再运用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）如图， 在中， 由勾股定理，可得， 在中， 由勾股定理，可得， ∵， ∴的最小值为的长， 在中， 由勾股定理，可得， ∴的最小值是13； 故答案为：13； （2）构造图形如下，矩形，点C是的中点，于点C，， 在中， 由勾股定理，可得， 在中， 由勾股定理，可得， ∴， 要使的值最大，需的值最大， ∴当A，D，B三点共线时，的值最大，最大值为， ∵点C是的中点，， ∴D是的中点， ∴，， 即， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $