第七章 数列（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》（《数学 拓展模块一下册》高教版2023修订版）（原卷版）

编写说明：本套【江西专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第七章数列的单元测试卷，主要考查等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式以及应用等。 第七章 数列 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、是非选择题：本大题共 10小题，每小题3分，共30分。对每小题的命题做出判断，对的选A，错的选B。 1．已知数列的通项公式为，则42是数列的第6项. (A B) 2．每个数列都有通项公式 (A B) 3．若成等差数列,则. (A B) 4．数列的通项公式为，则. (A B) 5．数列，，，，…的一个通项公式是. (A B) 6．在等比数列中，已知，，则. (A B) 7．在等差数列中，已知，那么前8项的和. (A B) 8．在与7之间插入3个数，使这5个数成等差数列，则. (A B) 9．等比数列1，，4，，…的前4项的和是. (A B) 10．在等差数列中，，那么的值是24. (A B) 二、单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5 分，共 40分。 11．已知等数比列，首项，公比，则前4项和等于（    ） A．80 B． C．26 D． 12．等比数列中，若，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 13．已知等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A．8 B．12 C．14 D．20 14．已知等比数列，其中，，则（    ） A． B． C．3 D．5 15．设等差数列的前n项和为，已知，，则数列的公差（    ） A．7 B．6 C．3 D．2 16．如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第行第列的数为，则的值为（   ） A． B． C． D． 17．将5，8，14三个数分别减去相同的常数m，所得的新数列成等比数列，则常数m的值为（   ） A． B． C．1 D．2 18．中国古代数学中有一个问题：从冬至之日起，冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的晷影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的晷影长之和是37.5尺，芒种的晷影长是4.5尺，则冬至的晷影长是（    ） A．9.5尺 B．10.5尺 C．12.5尺 D．15.5尺 三、填空题：本大题共6小题，每小题 5分，共30分。 19．一批设备价值万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低，则第年时这批设备的价值为 . 20．设等比数列的公比为，前项和为，若，，则 . 21．在等比数列中，已知，则 . 22．在等差数列中，，则 ． 23．为了参加学校运动会的长跑比赛，计算机专业的小明同学制定了一个为期15天的训练计划．已知后一天的跑步距离是在前一天的基础上增加相同的距离，若小明同学前三天共跑了3600米，最后三天共跑了10800米，则小明同学这15天共跑了 米． 24．某企业2010年的年产值为万元，以后每年的年产值在前一年的基础上增加百分之二十五，则自2010年起连续5年的年产值之和是 ． 四、解答题：本大题共 6 小题，25-28每题8分，29-30每题9分，共 50分。解答应写出过程步骤。 25．已知是一个等差数列，且． (1)求的通项； (2)求的前项和． 26．已知数列的首项为2，且．求： (1)和的值； (2)数列的通项公式． 27．在等比数列中，已知，，求： (1)数列的通项公式； (2)数列前10项的和． 28．已知数列满足，. (1)求该数列的通项公式； (2)判断251是否为该数列中的项.如果是，它是第几项? 29．某市投资甲、乙两个工厂，2011年两工厂的产量均为100万吨，在今后的若干年内，甲工厂的年产量每年比上一年增加10万吨，乙工厂第年比上一年增加万吨，记2011年为第一年，甲、乙两工厂第年的年产量分别为万吨和万吨． （Ⅰ）求数列，的通项公式； （Ⅱ）若某工厂年产量超过另一工厂年产量的2倍，则将另一工厂兼并，问到哪一年底，其中哪一个工厂被另一个工厂兼并．          30．大花园建设是浙江省委、省政府践行“绿水青山就是金山银山”理念的重大决策部署．某小区在花坛上种植了一片郁金香，根据设计要求，按如下方式种植：第排种植株郁金香，从第排起，每一排比它前一排多种植株，共种植了排．求： (1)第排种植了多少株； (2)该花坛共种植了多少株郁金香？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套【江西专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第七章数列的单元测试卷，主要考查等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式以及应用等。 第七章 数列 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、是非选择题：本大题共 10小题，每小题3分，共30分。对每小题的命题做出判断，对的选A，错的选B。 1．已知数列的通项公式为，则42是数列的第6项. (A B) 【答案】A 【分析】利用数列的通项公式，检验即可得解. 【详解】因为，所以， 故42是数列的第6项. 故答案为：A. 2．每个数列都有通项公式 (A B) 【答案】B 【分析】根据数列的知识，举例反证即可解得. 【详解】因为例如数列没有通项公式， 所以不是所有的数列都有通项公式. 故答案为：B 3．若成等差数列,则. (A B) 【答案】B 【分析】由等差中项公式即可得解. 【详解】因为成等差数列. 所以. 但当时，无意义. 故答案为：B. 4．数列的通项公式为，则. (A B) 【答案】A 【分析】代值入通项公式计算即可. 【详解】时，. 故答案为：A. 5．数列，，，，…的一个通项公式是. (A B) 【答案】A 【分析】根据数列的前项，判断数列的通项公式. 【详解】因为数列每项分母为偶数，分子比分母少， 所以. 故答案为：A. 6．在等比数列中，已知，，则. (A B) 【答案】B 【分析】由等比数列的通项公式即可求出的值. 【详解】解：因为，， 所以. 故答案为：B. 7．在等差数列中，已知，那么前8项的和. (A B) 【答案】A 【分析】根据等差数列的性质及求和公式求解并判断. 【详解】∵，∴. 故答案为：A. 8．在与7之间插入3个数，使这5个数成等差数列，则. (A B) 【答案】A 【分析】利用等差中项公式即可得解. 【详解】依题意，成等差数列， 所以，则， 所以. 故答案为：A. 9．等比数列1，，4，，…的前4项的和是. (A B) 【答案】B 【分析】由等比数列的前4项和公式即可求解. 【详解】前4项的和是 故答案为:B. 10．在等差数列中，，那么的值是24. (A B) 【答案】A 【分析】由等差数列的性质分析即可. 【详解】在等差数列中，， 所以， 所以. 故答案为:A. 二、单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5 分，共 40分。 11．已知等数比列，首项，公比，则前4项和等于（    ） A．80 B． C．26 D． 【答案】A 【分析】根据等比数列的前n项和公式求解即可. 【详解】根据题目，， 代入公式得到. 故选：A. 12．等比数列中，若，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【分析】根据等比数列的性质求解即可. 【详解】根据等比数列的性质，. 故选：D. 13．已知等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A．8 B．12 C．14 D．20 【答案】B 【分析】根据等差数列前项和性质求解. 【详解】根据等差数列的性质，得，，构成首项为2， 公差为2的等差数列，则， 即， 可得. 故选：B. 14．已知等比数列，其中，，则（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】根据题意，结合等比数列的性质，即可求解. 【详解】因为等比数列中，，， 所以， 又， 所以. 故选：B. 15．设等差数列的前n项和为，已知，，则数列的公差（    ） A．7 B．6 C．3 D．2 【答案】C 【分析】利用等差数列的通项公式进行化简求解. 【详解】由题意， ， 化简得， 解得. 故选：C 16．如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第行第列的数为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合等差数列及等比数列的通项公式即可得解. 【详解】第一列构成首项为，公差为的等差数列，所以， 又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等， 所以第5行构成首项为，公比为的等比数列， 所以， 故选：. 17．将5，8，14三个数分别减去相同的常数m，所得的新数列成等比数列，则常数m的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据等比数列的等比中项公式建立等式，即可求解参数. 【详解】因为将5，8，14三个数分别减去相同的常数m，所得的新数列成等比数列， 所以，可化为， 解得． 故选：D． 18．中国古代数学中有一个问题：从冬至之日起，冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的晷影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的晷影长之和是37.5尺，芒种的晷影长是4.5尺，则冬至的晷影长是（    ） A．9.5尺 B．10.5尺 C．12.5尺 D．15.5尺 【答案】D 【分析】根据题意即可求解出该数列的首项和公差，从而求得冬至的晷影长. 【详解】从冬至起，晷影长依次记为，，，， ，根据题意，有， 根据等差数列的性质，有，而，设数列的公差为d， 则有，解得，故冬至的晷影长为15.5尺，因此选项D正确． 故选：D. 三、填空题：本大题共6小题，每小题 5分，共30分。 19．一批设备价值万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低，则第年时这批设备的价值为 . 【答案】 【分析】利用等比数列在实际问题中的应用求解即可. 【详解】该批设备每年的价值构成以a为首项，为公比的等比数列， 则第n年时这批设备的价值为. 故答案为：. 20．设等比数列的公比为，前项和为，若，，则 . 【答案】4 【分析】根据等比数列前n项和的定义和等比数列的定义即可求解. 【详解】因为在等比数列中，，， 所以， 则公比. 故答案为：4. 21．在等比数列中，已知，则 . 【答案】/ 【分析】根据等比数列的性质，结合题意，即可求解. 【详解】因为等比数列中，， 所以. 故答案为：. 22．在等差数列中，，则 ． 【答案】60 【分析】根据等比数列的前n项和公式求解即可； 【详解】在等差数列中，， 则， 故答案为：60 23．为了参加学校运动会的长跑比赛，计算机专业的小明同学制定了一个为期15天的训练计划．已知后一天的跑步距离是在前一天的基础上增加相同的距离，若小明同学前三天共跑了3600米，最后三天共跑了10800米，则小明同学这15天共跑了 米． 【答案】36000 【分析】根据题意设出等差数列，结合等差数列的性质及求和公式即可得解. 【详解】根据题意可知，小李每天跑步的距离构成等差数列， 设小李每天跑步的距离构成等差数列为， 由题意得， 两式相加得， 则， 所以米． 则小明同学这15天共跑了米， 故答案为：. 24．某企业2010年的年产值为万元，以后每年的年产值在前一年的基础上增加百分之二十五，则自2010年起连续5年的年产值之和是 ． 【答案】 【分析】根据等比数列得前n项和公式求解即可. 【详解】由题意可知，自2010年起连续5年的年产值构成等比数列， 其中， 故． 故答案为：. 四、解答题：本大题共 6 小题，25-28每题8分，29-30每题9分，共 50分。解答应写出过程步骤。 25．已知是一个等差数列，且． (1)求的通项； (2)求的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的性质以及求得等差数列的公差及的值，即可求解. （2）根据（1）得到的的通项以及等差数列前n项和的定义，即可求解. 【详解】（1）因为是一个等差数列，且， 设数列的公差为d， 则， 所以， 所以的通项为. （2）因为， 所以. 26．已知数列的首项为2，且．求： (1)和的值； (2)数列的通项公式． 【答案】(1),． (2) 【分析】（1）根据已知的递推公式，将代入可求得，再将代入可求得。 （2）由可知该数列为等差数列，根据等差数列通项公式可求得最终答案。 【详解】（1）首项,且, ,, 故,. （2）由得, 数列是首项,公差的等差数列． 由得. 故数列的通项公式为. 27．在等比数列中，已知，，求： (1)数列的通项公式； (2)数列前10项的和． 【答案】(1) (2)682 【分析】（1）利用等比数列的概念，求出基本量，即可求解. （1）利用等比数列的前n项和公式，即可求解. 【详解】（1）因为，， 所以， 解得， 所以. （2）. 28．已知数列满足，. (1)求该数列的通项公式； (2)判断251是否为该数列中的项.如果是，它是第几项? 【答案】(1) (2)251是数列中的项，它是数列的第125项. 【分析】（1）由等差数列的概念证明为等差数列，即可求解通项公式. （2）令求解n的值即可. 【详解】（1）因为，所以，又因为， 所以数列是首项为3，公差为2的等差数列， 则该数列的通项公式为. （2）设251是数列的第n项， 将251代入数列的通项公式中，得，解得， 所以251是数列中的项，并且它是数列的第125项. 29．某市投资甲、乙两个工厂，2011年两工厂的产量均为100万吨，在今后的若干年内，甲工厂的年产量每年比上一年增加10万吨，乙工厂第年比上一年增加万吨，记2011年为第一年，甲、乙两工厂第年的年产量分别为万吨和万吨． （Ⅰ）求数列，的通项公式； （Ⅱ）若某工厂年产量超过另一工厂年产量的2倍，则将另一工厂兼并，问到哪一年底，其中哪一个工厂被另一个工厂兼并． 【答案】（Ⅰ）an=10n+90，bn=2n+98，  （Ⅱ） 2018年底甲工厂将被乙工厂兼并 【详解】本题考查等差数列与等比数列的综合，考查用数列解决实际问题，其步骤是建立数列模型，进行计算得出结果，再反馈到实际中去解决问题．由于比较两个工厂的产量时两个函数的形式较特殊，不易求解，故采取了列举法，数据列举时作表格比较简捷 解：（Ⅰ）由题意， ……………6分 （Ⅱ）根据数列的通项，计算出各年两个工厂的产量．可知2018年底甲工厂将被乙工厂兼并．        ……………12分 30．大花园建设是浙江省委、省政府践行“绿水青山就是金山银山”理念的重大决策部署．某小区在花坛上种植了一片郁金香，根据设计要求，按如下方式种植：第排种植株郁金香，从第排起，每一排比它前一排多种植株，共种植了排．求： (1)第排种植了多少株； (2)该花坛共种植了多少株郁金香？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，每排种植的郁金香株数成等差数列，利用等差数列的通项公式即可求得； （2）利用等差数列的前项和公式即可求得； 【详解】（1）依题意，每排种植的郁金香株数成等差数列，其中首项为，公差为，所以第排种植了株郁金香； （2）根据题意可知，第排种植了株郁金香，所以该花坛共种植了株郁金香． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $