专题8 函数的单调性与最值（讲义）- 甘肃省2026年中职升学考试一轮复习《数学知识点清单》

编写说明：2026版甘肃省中职升学考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》及历年甘肃中职升学考试真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含10个模块共41个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是2026版甘肃省中职升学考试一轮复习《数学知识点清单》的第8个专题：函数的单调性与最值。本专题涵盖函数的单调性的定义、函数单调区间的表示、函数的最大值与最小值等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 2026版甘肃省中职升学考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题08 函数的单调性与最值 （讲义） 1．函数的单调性 (1)增函数与减函数 一般地，设函数f (x)的定义域为I： ①如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f (x1)＜f (x2)，那么就说函数f (x)在区间D上是增函数． ②如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f (x1)＞f (x2)，那么就说函数f (x)在区间D上是减函数． (2)单调性与单调区间 如果函数y＝f (x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f (x)的单调区间． 2．函数的最值 (1)最大值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M．那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值． (2)最小值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥N； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝N．那么我们称N是函数y＝f(x)的最小值． 1. （2022甘肃真题）函数最小值是______． 【答案】-3 【详解】 根据正弦函数的值域可知， 则最小值取-2， 所以的最小值为-2-1=-3 故答案为：-3 2.（2018甘肃真题）下列函数中，既是偶函数，在区间内又是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的解析式判断奇偶性与单调性即可. 【详解】因为.所以函数不是偶函数，故A错误. 因为，函数是偶函数.图像开口向下，对称轴为y轴. 所以函数在内是减函数.故B正确. 3. （2017甘肃真题）下列函数中既是奇函数又是增函数的是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由一次函数，二次函数和反比例函数的性质判断奇偶性和单调性即可. 【详解】对A：为一次函数，，所以函数是奇函数且为增函数，故A正确， 对B：为反比例函数，，所以函数是奇函数， 在，上单调递减，故B错误， 对C：为二次函数，，所以函数为偶函数，且图像开口向上， 在上单调递减，上单调递增，故C错误， 对D：为一次函数，，所以函数是奇函数且为减函数，故D错误. 故选：A. 因为是指数函数，指数函数不是偶函数，故C错误. 因为函数的图像开口向上，对称轴为y轴，所以函数在内是增函数，故D错误. 故选：B 4.（2023甘肃真题）下列函数既是奇函数，又是增函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据函数的单调性与奇偶性逐个分析即可. 【详解】为非奇非偶函数，在为增函数，所以A错误. 为奇函数，在为增函数，所以B正确. 为奇函数，在上为减函数和在减函数，所以C错误. 为偶函数，所以D错误. 故选：B. 5.（2021甘肃真题）函数在区间上的最大值和最小值分别为（ ） A. 1， B. 1，0 C. 0， D. 不能确定 【答案】B 【分析】函数 在区间 [0, ] 上是单调递增的，因为在这个区间内，正弦函数从0增加到1。 当 x = 0 时， sin 0 = 0 ，这是区间 [0, ] 上的最小值。 当 x = 时， sin = 0 ，但这不是最大值。实际上，最大值出现在 x = 处，此时sin = 1 . 因此，函数在区间 [0, ] 上的最大值是 1，最小值是 0. 故选：B. 1.下列函数中，在单调递增的函数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A中，根据函数的图象与性质，可得函数在为单调递减函数，不符合题意； 对于B中，函数，根据函数的图象与性质，可得函数在为单调递减函数，不符合题意；对于C中，根据二次函数的图象与性质，可得函数在为单调递减函数，不符合题意； 对于D中，函数，当，可得为单调递增函数，符合题意. 故选：D. 2.函数的图象如图所示，则（ ） A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递减 C．函数在上单调递减 D．函数在上单调递增 【答案】A 【解析】由图像可知，图像在上从左到右是“上升”的， 则函数在上是单调递增的； 图像在上从左到右是“下降”的， 则函数在上是单调递减的. 故选：A. 3.函数的单调区间为（ ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在单调递增，在单调递减 D．在单调递减，在单调递增 【答案】D 【解析】的对称轴为，开口向上， 所以在在单调递减，在单调递增， 故选：D. 4.若函数在区间上的最大值是4，则实数的值为（ ） A．-1 B．1 C．3 D．1或3 【答案】B 【解析】当时，在区间上为增函数， 则当时，取得最大值，即，解得； 当时，在区间上为减函数， 则当时，取得最大值，即，解得舍去， 所以， 故选：B. 5.已知函数，则的最大值为（ ）． A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】因为在上单减，所以在上单减， 即在上单减， 所以f(x)的最大值为. 故选：D. 6.函数在区间上的最大值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【解析】因为函数在区间单调递减， 所以当x=0时取得最大值：， 故选：B. 7.若偶函数在区间上是增函数且最小值为﹣4，则在区间上是（ ） A．减函数且最小值为﹣4 B．增函数且最小值为﹣4 C．减函数且最大值为4 D．增函数且最大值为4 【答案】A 【解析】在区间，上是增函数，最小值是， ，又为偶函数， 在，上单调递减， （5）． 即在区间，上的最小值为， 综上，在，上单调递减，且最小值为， 故选：A． 8.如果奇函数在区间上单调递增且有最大值6，那么函数在区间上（ ） A．单调递增且最小值为﹣6 B．单调递增且最大值为﹣6 C．单调递减且最小值为﹣6 D．单调递减且最大值为﹣6 【答案】A 【解析】因为为奇函数，则在对称区间上单调性相同， 所以在上为单调递增函数， 根据的图像关于原点对称，且， 所以在上的最小值为， 故选：A. 9.已知函数是上的减函数，若则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于函数是在上的减函数，且， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 10.设函数是上的减函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，选项A、B、C都不正确； 因为，所以， 因为在上为减函数，所以，故D正确. 故选：D 11.已知函数在区间（-∞，1]是减函数，则实数a的取值范围是（ ） A．[1，+∞） B．（-∞，1] C．[-1，+∞） D．（-∞，-1] 【答案】A 【解析】对称轴为，开口向上， 要想在区间（-∞，1]是减函数，所以， 故选：A. 12.如果在区间上为减函数，则的取值（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，当时，可得，在上是单调递减，满足题意； 当时，显然不成立； 当时，要使在上为减函数， 则，解得：，∴； 综上： ， 故选：C． 13.设偶函数的定义域为R，当时，是减函数，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数为偶函数，则，， 当时，是减函数， 又，则， 则， 故选：C. 14.若偶函数在上是减函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】是偶函数，所以， 在上是减函数，所以在上是增函数， 所以，故， 故选：B. 15.下列函数中，在区间上是增函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，是过原点，经过一、三象限的一条直线，在上为增函数，所以A正确， 对于B，是一次函数，且，所以上为减函数，所以B错误， 对于C，是反比例函数，图像在一、三象限的双曲线，在上是减函数，所以C错误， 对于D，是二次函数，对称轴为轴，开口向下的抛物线，在上是减函数，所以D错误， 故选：A. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2026版甘肃省中职升学考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》及历年甘肃中职升学考试真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含10个模块共41个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是2026版甘肃省中职升学考试一轮复习《数学知识点清单》的第8个专题：函数的单调性与最值。本专题涵盖函数的单调性的定义、函数单调区间的表示、函数的最大值与最小值等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 2026版甘肃省中职升学考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题08 函数的单调性及最值（讲义） 1．函数的单调性 (1)增函数与减函数 一般地，设函数f (x)的定义域为I： ①如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f (x1)＜f (x2)，那么就说函数f (x)在区间D上是增函数． ②如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f (x1)＞f (x2)，那么就说函数f (x)在区间D上是减函数． (2)单调性与单调区间 如果函数y＝f (x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f (x)的单调区间． 2．函数的最值 (1)最大值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M．那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值． (2)最小值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥N； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝N．那么我们称N是函数y＝f(x)的最小值． 1.（2022甘肃真题）函数最小值是______________． 2.（2018甘肃真题）下列函数中，既是偶函数，在区间内又是减函数的是（ ） A. B. C. D. 3. （2017甘肃真题）下列函数中既是奇函数又是增函数的是（ ） A B. C. D. 4.（2023甘肃真题）下列函数既是奇函数，又是增函数是（ ） A. B. C. D. 5.（2021甘肃真题）函数在区间上的最大值和最小值分别为（ ） A. 1， B. 1，0 C. 0， D. 不能确定 1.下列函数中，在单调递增的函数是（ ） A． B． C． D． 2.函数的图象如图所示，则（ ） A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递减 C．函数在上单调递减 D．函数在上单调递增 3.函数的单调区间为（ ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在单调递增，在单调递减 D．在单调递减，在单调递增 4.若函数在区间上的最大值是4，则实数的值为（ ） A．-1 B．1 C．3 D．1或3 5.已知函数，则的最大值为（ ）． A． B． C．1 D．2 6.函数在区间上的最大值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．4 7.若偶函数在区间上是增函数且最小值为﹣4，则在区间上是（ ） A．减函数且最小值为﹣4 B．增函数且最小值为﹣4 C．减函数且最大值为4 D．增函数且最大值为4 8.如果奇函数在区间上单调递增且有最大值6，那么函数在区间上（ ） A．单调递增且最小值为﹣6 B．单调递增且最大值为﹣6 C．单调递减且最小值为﹣6 D．单调递减且最大值为﹣6 9.已知函数是上的减函数，若则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 10.设函数是上的减函数，则（ ） A． B． C． D． 11.已知函数在区间（-∞，1]是减函数，则实数a的取值范围是（ ） A．[1，+∞） B．（-∞，1] C．[-1，+∞） D．（-∞，-1] 12.如果在区间上为减函数，则的取值（ ） A． B． C． D． 13.设偶函数的定义域为R，当时，是减函数，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 14.若偶函数在上是减函数，则（ ） A． B． C． D． 15.下列函数中，在区间上是增函数的是（ ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $