专题6 基本不等式（讲义）- 甘肃省2026年中职升学考试一轮复习《数学知识点清单》

编写说明：2026版甘肃省中职升学考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》及历年甘肃中职升学考试真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含10个模块共41个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是2026版甘肃省中职升学考试一轮复习《数学知识点清单》的第6个专题：基本不等式。本专题涵盖重要不等式、基本不等式、二元一次不等式、线性规划等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 2026版甘肃省中职升学考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题06 基本不等式（讲义） 知识点1 重要不等式及基本不等式 (1)如果a＞0，b＞0，那么 叫做这两个正数的算术平均数． (2)如果a＞0，b＞0，那么 叫做这两个正数的几何平均数． (3)重要不等式：a，b∈R，则a2＋b2≥ 2ab (当且仅当a＝b时取等号)． (4)基本不等式：a＞0，b＞0，则 ≥，当且仅当a＝b时等号成立，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． (5)求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有最小值，即a＋b≥2，a2＋b2≥2ab.简记为：积定和最小． (6)求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即ab≤()2，亦即ab≤(a＋b)2；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即ab≤.简记为：和定积最大． 知识点2．二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 (1)二元一次不等式表示的平面区域 一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线． 由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)(如原点)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C＞0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域． (2)线性规划 ①不等式组是一组对变量x，y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件．Z＝Ax＋By是要求最大值或最小值的函数，我们把它称为目标函数．由于Z＝Ax＋By是关于x，y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数． 另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示． ②一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ③满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域．其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解都叫做这个问题的最优解． 线性目标函数的最值常在可行域的边界上，且通常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解首先要看它是否在可行域内． ④用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤： 首先，要根据线性约束条件画出可行域(即画出不等式组所表示的公共区域)； 设z＝0，画出直线l0； 观察、分析、平移直线l0，从而找到最优解； 最后求得目标函数的最大值或最小值． ⑤利用线性规划研究实际问题的解题思路： 首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数． 然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解． 1.（2018甘肃真题）不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式求解即可. 【详解】因为不等式. 所以.解得. 所以原不等式的解集为. 故选：A. 2.（2015甘肃真题）解不等式，并用区间表示解集． 【答案】. 【解析】 【分析】解一元二次不等式即可得解. 【详解】. 解得或. 写成区间的形式为:. 3.（2016甘肃真题）求函数的定义域（用区间表示）. 【答案】 【解析】 【分析】根据要使函数有意义，则即可求解. 【详解】要使函数有意义，则，解得. 所以函数的定义域为：. 4.求函数的定义域. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的解析式求解定义域即可. 【详解】因为函数. 所以，解得或. 所以函数的定义域为. 1. 若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为（ ） A. B.2 C．2 D.4 【答案】B 【解析】由xy＝1得x2＋2y2＝x2＋ ≥2， 当且仅当x＝±时等号成立． 故选：B 2.若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是（ ） A. B. C．2 D. 【答案】C 【解析】∵x＞0，y＞0， ∴4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)， ∴12xy＋3xy≤30，∴xy≤2， ∴xy的最大值为2. 故选：C. 3.已知t＞0，则函数f(t)＝的最小值是（ ） A.-2 B.2 C．1 D.-1 【答案】A 【解析】∵t＞0， ∴f(t)＝＝t＋－4≥－2，当且仅当t＝1时，f(t)min＝－2. 故选：A. 4.函数y＝(x＞－1)的值域是（ ） A.(0，＋∞) B.(9，＋∞) C．[9，＋∞) D.[0，＋∞) 【答案】C 【解析】∵x＞－1，∴x＋1＞0，令m＝x＋1，则m＞0， 且y＝＝m＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当m＝2时取等号，故ymin＝9. 又当m→＋∞或m→0时，y→＋∞，所以原函数的值域是：[9，＋∞)． 故选：C. 5.若a＞1，则a＋的最小值是（ ） A．2 B．a C．3 D. 【答案】C 【解析】∵a＞1， ∴a＋＝＋＋1≥2＋1＝2＋1＝3，当且仅当a＝2时等号成立． 故选：C. 6.已知向量m＝(2，1)，n＝(2－b，a)(a＞0，b＞0)．若m∥n，则ab的最大值为（ ） A. B．1 C．2 D．4 【答案】A 【解析】依题意得2a＝2－b，即2a＋b＝2(a＞0，b＞0)， ∴2＝2a＋b≥2，∴ab≤，当且仅当2a＝b＝1时取等号， ∴ab的最大值是. 故选：A. 7．若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是（ ） A．6＋2 B．7＋2 C．6＋4 D．7＋4 【答案】D 【解析】因为log4(3a＋4b)＝log2，所以log4(3a＋4b)＝log4(ab)， 即3a＋4b＝ab，且 即a＞0，b＞0， 所以＋＝1(a＞0，b＞0)，a＋b＝(a＋b)＝7＋＋≥7＋2＝7＋4， 当且仅当＝时取等号． 故选：D. 8．不等式x－2y＋6＞0表示的区域在直线x－2y＋6＝0的（ ） A．左下方 B．左上方 C．右下方 D．右上方 【答案】C 【解析】画出直线并取原点代入知C正确． 故选：C. 9.若变量x，y满足约束条件,则的最小值为（ ） A．－7 B．－1 C．1 D．2 【答案】A 【解析】作出不等式组 表示的可行域如图中阴影部分所示，当平行直线系过点时取最小值，即. 故选：A. 10.若变量x，y 满足约束条件则z＝2x－y 的最小值等于（ ） A．－ B．－2 C．－ D．2 【答案】A 【解析】可行域如图中阴影部分，当直线过点，有最小值－. 故选：A. 11.不等式组所表示的平面区域的面积为（ ） A．1 B. C. D. 【答案】D 【解析】解：作出不等式组对应的区域为如图△BCD，由题意知，.由得，所以. 故选：D. 12.若变量x，y满足约束条件 则z＝3x＋2y的最小值为（ ） A. B．6 C. D．4 【答案】C 【解析】作出如图所示的可行域，当直线y＝－x＋经过A时z取得最小值．联立 解得 此时，z＝3×1＋2×＝. 故选：C. 13.设变量x，y满足约束条件 则目标函数z＝x＋2y的最小值为(（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】画出约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示，目标函数可化为y＝－x＋z，由图可知，当直线y＝－x＋z经过点(1，1)时，z取得最小值3. 故选：B. 14.设或，，若，则实数a应满足（ ） A．或 B． C． D．或 【答案】C 【分析】如图，由数轴可得，解得，故选：C. 15.设集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解不等式得：，即有， 而，所以，故选：C. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2026版甘肃省中职升学考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》及历年甘肃中职升学考试真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含10个模块共41个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是2026版甘肃省中职升学考试一轮复习《数学知识点清单》的第6个专题：基本不等式。本专题涵盖重要不等式、基本不等式、二元一次不等式、线性规划等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 2026版甘肃省中职升学考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题06 基本不等式（讲义） 知识点1 重要不等式及基本不等式 (1)如果a＞0，b＞0，那么 叫做这两个正数的算术平均数． (2)如果a＞0，b＞0，那么 叫做这两个正数的几何平均数． (3)重要不等式：a，b∈R，则a2＋b2≥ 2ab (当且仅当a＝b时取等号)． (4)基本不等式：a＞0，b＞0，则 ≥，当且仅当a＝b时等号成立，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． (5)求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有最小值，即a＋b≥2，a2＋b2≥2ab.简记为：积定和最小． (6)求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即ab≤()2，亦即ab≤(a＋b)2；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即ab≤.简记为：和定积最大． 知识点2．二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 (1)二元一次不等式表示的平面区域 一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线． 由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)(如原点)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C＞0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域． (2)线性规划 ①不等式组是一组对变量x，y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件．Z＝Ax＋By是要求最大值或最小值的函数，我们把它称为目标函数．由于Z＝Ax＋By是关于x，y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数． 另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示． ②一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ③满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域．其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解都叫做这个问题的最优解． 线性目标函数的最值常在可行域的边界上，且通常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解首先要看它是否在可行域内． ④用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤： 首先，要根据线性约束条件画出可行域(即画出不等式组所表示的公共区域)； 设z＝0，画出直线l0； 观察、分析、平移直线l0，从而找到最优解； 最后求得目标函数的最大值或最小值． ⑤利用线性规划研究实际问题的解题思路： 首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数． 然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解． 1.（2018甘肃真题）不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 2.（2015甘肃真题）解不等式，并用区间表示解集． 3. （2016甘肃真题）求函数的定义域（用区间表示）. 4. 求函数的定义域. 1. 若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为（ ） A. B.2 C．2 D.4 2.若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是（ ） A. B. C．2 D. 3.已知t＞0，则函数f(t)＝的最小值是（ ） A.-2 B.2 C．1 D.-1 4.函数y＝(x＞－1)的值域是（ ） A.(0，＋∞) B.(9，＋∞) C．[9，＋∞) D.[0，＋∞) 5.若a＞1，则a＋的最小值是（ ） A．2 B．a C．3 D. 6.已知向量m＝(2，1)，n＝(2－b，a)(a＞0，b＞0)．若m∥n，则ab的最大值为（ ） A. B．1 C．2 D．4 7．若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是（ ） A．6＋2 B．7＋2 C．6＋4 D．7＋4 8．不等式x－2y＋6＞0表示的区域在直线x－2y＋6＝0的（ ） A．左下方 B．左上方 C．右下方 D．右上方 9.若变量x，y满足约束条件,则的最小值为（ ） A．－7 B．－1 C．1 D．2 10.若变量x，y 满足约束条件则z＝2x－y 的最小值等于（ ） A．－ B．－2 C．－ D．2 11.不等式组所表示的平面区域的面积为（ ） A．1 B. C. D. 12.若变量x，y满足约束条件 则z＝3x＋2y的最小值为（ ） A. B．6 C. D．4 13.设变量x，y满足约束条件 则目标函数z＝x＋2y的最小值为(（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 14.设或，，若，则实数a应满足（ ） A．或 B． C． D．或 15.设集合，，则（ ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $