专题1 复数的概念和意义（讲义） - 河南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块41个专题，每个专题均配备配套课件、讲义及练习题。 本专题是河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》模块12复数中的第1个专题复数的概念和意义。本专题涵盖虚数单位、复数的实部、虚部、相等复数、复数的模、共轭复数等知识点，知识点后配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河南省2026年对口招生考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题1 复数的概念和意义（讲义） 知识点1 复数的概念 1．复数的有关概念 (1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，实部是，虚部是. (2)虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1，我们把i叫作虚数单位． (3)表示方法：复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)． (4)复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示． 注意：复数概念说明： (1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i. (2)复数的实部是a，虚部是实数b而非bi. (3)复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式． 2．复数的分类 对于复数a＋bi， (1)当且仅当b＝0时，它是实数； (2)当且仅当a＝b＝0时，它是实数0； (3)当b≠0时，叫做虚数； (4)当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数． 这样，复数z＝a＋bi可以分类如下：. 注意：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 3．复数相等 在复数集C＝中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)， 我们规定：两个复数相等的充要条件是实部与虚部分别相等。 知识点2 复数的几何意义 1．复平面 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面 ①轴——实轴 ②轴——虚轴 ③实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 2．复数的几何意义——与点对应 复数的几何意义1：复数复平面内的点 3．复数的几何意义——与向量对应 复数的几何意义2：复数 平面向量 4．复数的模 向量的模叫做复数)的模，记为或 公式：，其中 复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离； 特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值). 5．共轭复数 ①定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数. ②表示方法 复数的共轭复数用表示，即如果，则. 【考试题型1】求复数的模长 【例1】（2025年·河南对口升学高考）若复数，则_________. 【答案】 【分析】根据题意，结合复数的乘法运算，及复数的模的概念，即可求解. 【解析】因为复数， 所以. 故答案为： 【考试题型2】考查纯虚数的概念 【例2】（24-25高三下·河南·模拟预测）下列复数为纯虚数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由复数运算性质，逐个计算，再根据纯虚数的定义求解即可. 【解析】选项A，，该选项错误； 选项B，，该选项错误； 选项C，，该选项错误； 选项D，，故为纯虚数，该选项正确， 故选：D. 【考试题型3】求复数的模长 【例3】（24-25高三上·河南·模拟预测）已知，则（   ） A．4 B．9 C．13 D． 【答案】D 【分析】当时，模长公式为，本题带入即可. 【解析】代入模长公式得， 故选:D. 【考试题型4】利用共轭复数的概念求参数 【例4】（23-24高三下·河南·模拟预测）已知与是共轭复数，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用共轭复数的定义列出等式可求. 【解析】由与是共轭复数， 有，解得； 故选：B. 【考试题型5】考查复数的几何意义 【例5】（23-24高三上·河南·模拟预测）设复数在复平面内对应的点为，若，则点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】根据复数模的计算列出等式即可解得. 【解析】设，，则， 由可得，即， 所以点的轨迹方程为， 故答案为：. 题型考点一 复数的概念 1．复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】复数的虚部是-1， 故选: A. 2．下列各式正确的是（ ） A．纯虚数的共轭复数是它本身 B．纯虚数在复平面内对应的点在第一象限 C．如果两个复数互为共轭复数，则它们的模相等 D．如果两个复数的模相等，则它们互为共轭复数 【答案】C 【分析】由复数定义,共轭复数定义,复数的模的公式即可得解. 【解析】选项,纯虚数的共轭复数为,故错误. 选项,纯虚数在复平面中,对应虚轴上的点.故错误. 选项,共轭复数的模相等,故正确. 选项,如果两个复数的模相等,则不一定互为共轭复数,如复数与的模均为,但二者不互为共轭复数. 故选:. 3．复数的实部是（    ） A．2 B． C． D．0 【答案】A 【解析】由题意，可得复数的实部是， 故选：A. 4．若，则（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由共轭复数的定义即可得解. 【解析】因为，则共轭复数， 故选：. 5．若复数的实部与虚部之和为0，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【解析】由复数的实部与虚部之和为0，得，即， 故选：A. 6．若复数的实部是,且,则复数的虚部是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由复数的模公式即可得解. 【解析】设复数的虚部为. 则. 因为. 所以. 解得. 故选:. 7．若复数 与与复数相等，则 m，n 的值分别为 （ ） A．3， B．3， 1 C．1， D．1， 3 【答案】A 【分析】由已知结合复数相等的条件，即可求解. 【解析】由题意可知，， 故选：A 8．若（为虚数单位），则= ． 【答案】 【分析】根据共轭复数的概念及模的计算公式求解. 【解析】∵，∴，∴. 故答案为：. 9．计算： ． 【答案】 【分析】根据虚数单位的性质即可得解. 【解析】由可知，， 所以， 所以， 故答案为：. 10．的平方根   【答案】/或 【分析】由平方根的定义及复数的运算即可得解. 【解析】设的平方根为. 由. 所以 解得或 所以的平方根为. 故答案为:. 题型考点二 复数的几何意义 1．复数在复平面内的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复数的坐标表示即可选出正确答案. 【解析】复数在复平面内的坐标为. 故选：C. 2．已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】在复平面所对应的点为，位于第二象限， 故选：B. 3．已知复数（其中为虚数单位）在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为在复平面内对应的点在第四象限， 所以，解得， 故选：D. 4．复数（表示虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的除法运算,化简,从而得到其共轭复数,根据复数的几何意义可得答案． 【解析】因为, 所以, 所以共轭复数在复平面内对应的点为, 故选:B 5．复数对应的点在第三象限内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．无解 【答案】C 【解析】化简可得：复数， 因为其对应的点在第三象限内，所以，解得， 故选：C. 6．若复数满足，则下列说法正确的是（    ） A．的虚部为 B．的共轭复数为 C．在复平面内对应的点在第三象限 D． 【答案】D 【解析】因为则，故D对，B错， 的虚部是1，对应的点为，在第二象限，故A,C错误， 故选：D. 7．已知复数，为虚数单位，． （1）若为纯虚数，求的值； （2）若在复平面上表示复数的点位于第二象限，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】解：（1）因为复数z为纯虚数， 所以，解得m=5. （2）因为在复平面上表示的点位于第二象限， 所以，解得3<m<5， 所以. 题型考点三 复数的模及共轭复数 1．复数（为虚数单位），则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知， 故选：D． 2．若与是共轭复数，则是（    ） A．实数 B．虚数 C．纯虚数 D．无法判断 【答案】A 【分析】设，则，再求出即可. 【解析】设复数，则其共轭复数， 所以， 所以是实数. 故选：A. 3．已知（虚数单位）， 则的共轭复数的虚部为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【解析】由题设，故其虚部为3， 故选：C. 4．已知为虚数单位，若复数，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 故选：B. 5．已知复数则，则正确的是（    ） A． B．的实部为 C．的虚部为 D．的共轭复数为 【答案】D 【解析】，，A选项错误. 的实部为，虚部为，BC选项错误. 的共轭复数为，D选项正确， 故选：D. 6．已知复数z为纯虚数，若（其中i为虚数单位），则实数a的值为______． 【答案】 【解析】因为复数z为纯虚数，所以设，由， 故答案为： 7．已知复数（为虚数单位），设是的共轭复数，则的虚部是_______. 【答案】 【解析】因为，所以，所以的虚部为， 故答案为：. 8．复数，则 . 【答案】 【分析】根据复数求模公式易得答案. 【解析】因为,所以 故答案为： 9．已知复数z在复平面内对应的点在第二象限，，且，求z. 【答案】 【解析】解：设， 由题意每，解得，， ∵复数z在复平面内对应的点在第二象限， ∴，∴. 10．（1）已知复数的实部为3，模为5，求复数； （2）实数取什么值时，复数是①实数；②虚数；③纯虚数？ 【答案】（1）或； （2）①；②；③. 【解析】解：（1）由已知得，，解得， 则或. （2）①当，即时，复数为实数； ②当，即时，复数为虚数； ③当时，即时，复数为纯虚数. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块41个专题，每个专题均配备配套课件、讲义及练习题。 本专题是河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》模块12复数中的第1个专题复数的概念和意义。本专题涵盖虚数单位、复数的实部、虚部、相等复数、复数的模、共轭复数等知识点，知识点后配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河南省2026年对口招生考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题1 复数的概念和意义（讲义） 知识点1 复数的概念 1．复数的有关概念 (1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，实部是，虚部是. (2)虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1，我们把i叫作虚数单位． (3)表示方法：复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)． (4)复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示． 注意：复数概念说明： (1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i. (2)复数的实部是a，虚部是实数b而非bi. (3)复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式． 2．复数的分类 对于复数a＋bi， (1)当且仅当b＝0时，它是实数； (2)当且仅当a＝b＝0时，它是实数0； (3)当b≠0时，叫做虚数； (4)当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数． 这样，复数z＝a＋bi可以分类如下：. 注意：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 3．复数相等 在复数集C＝中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)， 我们规定：两个复数相等的充要条件是实部与虚部分别相等。 知识点2 复数的几何意义 1．复平面 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面 ①轴——实轴 ②轴——虚轴 ③实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 2．复数的几何意义——与点对应 复数的几何意义1：复数复平面内的点 3．复数的几何意义——与向量对应 复数的几何意义2：复数 平面向量 4．复数的模 向量的模叫做复数)的模，记为或 公式：，其中 复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离； 特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值). 5．共轭复数 ①定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数. ②表示方法 复数的共轭复数用表示，即如果，则. 【考试题型1】求复数的模长 【例1】（2025年·河南对口升学高考）若复数，则_________. 【考试题型2】考查纯虚数的概念 【例2】（24-25高三下·河南·模拟预测）下列复数为纯虚数的是（    ） A． B． C． D． 【考试题型3】求复数的模长 【例3】（24-25高三上·河南·模拟预测）已知，则（   ） A．4 B．9 C．13 D． 【考试题型4】利用共轭复数的概念求参数 【例4】（23-24高三下·河南·模拟预测）已知与是共轭复数，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 【考试题型5】考查复数的几何意义 【例5】（23-24高三上·河南·模拟预测）设复数在复平面内对应的点为，若，则点的轨迹方程为 . 题型考点一 复数的概念 1．复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 2．下列各式正确的是（ ） A．纯虚数的共轭复数是它本身 B．纯虚数在复平面内对应的点在第一象限 C．如果两个复数互为共轭复数，则它们的模相等 D．如果两个复数的模相等，则它们互为共轭复数 3．复数的实部是（    ） A．2 B． C． D．0 4．若，则（   ）. A． B． C． D． 5．若复数的实部与虚部之和为0，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 6．若复数的实部是,且,则复数的虚部是 （    ） A． B． C． D． 7．若复数 与与复数相等，则 m，n 的值分别为 （ ） A．3， B．3， 1 C．1， D．1， 3 8．若（为虚数单位），则= ． 9．计算： ． 10．的平方根   题型考点二 复数的几何意义 1．复数在复平面内的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知复数（其中为虚数单位）在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．复数（表示虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点为（   ） A． B． C． D． 5．复数对应的点在第三象限内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．无解 6．若复数满足，则下列说法正确的是（    ） A．的虚部为 B．的共轭复数为 C．在复平面内对应的点在第三象限 D． 7．已知复数，为虚数单位，． （1）若为纯虚数，求的值； （2）若在复平面上表示复数的点位于第二象限，求的取值范围． 题型考点三 复数的模及共轭复数 1．复数（为虚数单位），则（    ） A．1 B． C． D． 2．若与是共轭复数，则是（    ） A．实数 B．虚数 C．纯虚数 D．无法判断 3．已知（虚数单位）， 则的共轭复数的虚部为（    ） A．2 B． C．3 D． 4．已知为虚数单位，若复数，则（       ） A． B． C． D． 5．已知复数则，则正确的是（    ） A． B．的实部为 C．的虚部为 D．的共轭复数为 6．已知复数z为纯虚数，若（其中i为虚数单位），则实数a的值为 . 7．已知复数（为虚数单位），设是的共轭复数，则的虚部是 . 8．复数，则 . 9．已知复数z在复平面内对应的点在第二象限，，且，求z. 10．（1）已知复数的实部为3，模为5，求复数； （2）实数取什么值时，复数是①实数；②虚数；③纯虚数？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $