专题2 复数的运算（讲义） - 河南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块41个专题，每个专题均配备配套课件、讲义及练习题。 本专题是河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》模块12复数中的第2个专题复数的运算。本专题涵盖复数的加减运算及几何意义、复数的乘除运算及几何意义、实系数一元二次方程的解法等知识点，知识点后配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河南省2026年对口招生考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题2 复数的运算（讲义） 知识点1 复数的加减法运算及几何意义 1．复数代数形式的加法运算及其几何意义 (1)复数的加法法则 设，，（）是任意两个复数，那么它们的和： ，显然，两个复数的和仍然是一个确定的复数. (2)复数加法满足的运算律 对任意，有 交换律： 结合律： (3)复数加法的几何意义 如图，设在复平面内复数，对应的向量分别为，，以，为邻边作平行四边形，则，即：，即对角线表示的向量就是与复数对应的向量.所以：复数的加法可以按照向量的加法来进行. 2．复数代数形式的减法运算及其几何意义 (1)复数的减法法则 类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作 注意：①两个复数的差是一个确定的复数； ②两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减. (2)复数减法的几何意义 复数 向量 知识点2 复数的乘除法运算及几何意义 1．复数代数形式的乘法运算 (1)复数的乘法法则 我们规定，复数乘法法则如下： 设,是任意两个复数，那么它们的乘积为 ， 即 (2)复数乘法满足的运算律 复数乘法的交换律、结合律、分配律 (交换律) (结合律) (分配律) 2．复数代数形式的除法运算 (1)定义 规定复数的除法是乘法的逆运算，即把满足（，）的复数叫做复数除以复数的商，记作或 (2)复数的除法法则 （） 由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数. 知识点2 实系数一元二次方程的解法 1．根的判定 当a，b，c都是实数且a≠0时，关于x的方程ax2+bx+c=0称为实系数一元二次方程， ①当4=b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根； ②当4=b2- 4ac=0时，方程有两个相等的实数根； ③当=b2- 4ac<0时，方程有两个互为共轭的虚数根. 2．根与系数的关系 如果x1，x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的解，那么x1＋x2=-，x1x2=， 3．在复数范围内，实数系方程ax2+bx+c=0的求解方法 求根公式法 ①时， ②<0时， 利用复数相等的定义求解，设方程的根为x=m＋ni（m，n∈R），将此代入方程 ax²＋bx＋c=0（a≠0），化简后利用复数相等的定义求解. 【考试题型1】考查实系数一元二次方程的解法 【例1】（2024年·河南对口升学高考）在复数集中，方程的根为（ ） A. B. C. D. 【考试题型2】结合共轭复数考查复数的乘法 【例2】（24-25高三下·河南·模拟预测）若复数，则（ ） A． B． C．7 D．1 【考试题型3】考查复数的乘法 【例3】（24-25高三上·河南·模拟预测）（ ） A． B． C． D． 【考试题型4】考查实系数一元二次方程的解法 【例4】（23-24高三下·河南·模拟预测）在复数集中，方程的根为（ ） A． B． C． D． 【考试题型5】考查实系数一元二次方程的解法 【例5】（23-24高三上·河南·模拟预测）已知实系数一元二次方程的一个根是，则___________． 题型考点一 复数的加减法运算及几何意义 1．若，则等于（ ） A． B． C． D． 2．已知，，则（ ） A．4 B． C． D． 3．已知复数，则等于（ ） A．       B．6       C．       D． 4．复数（i为虚数单位）的共扼复数在复平面内对应的点在（      ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．设，，其中为虚数单位，则在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．已知，则（ ） A． B． C． D． 7．若，其中，则（　　） A．3 B．2 C．-2 D．-3 8．设，则（       ） A． B． C． D． 9．___________． 10．已知，则复数___________． 题型考点二 复数的乘除法运算及几何意义 1．（ ） A． B． C． D． 2．若复数满足（是虚数单位），则（ ） A． B． C． D． 3．复数满足.则（ ） A． B． C． D． 4．已知复数，则（ ） A． B． C． D． 5．若复数满足，则的虚部是（ ） A．1 B． C． D． 6．已知是虚数单位，复数z满足，则z的实部为（      ） A． B．0 C．1 D．2 7．已知为虚数单位，若复数的实部与虚部相等，则实数的值为（ ） A．－3 B．－1 C．1 D．3 8．设，则的虚部为___________． 9．已知为虚数单位，若，则（ ） A．4 B． C．0 D．6 10．___________． 题型考点三 实系数一元二次方程的解法 1．若关于x的实系数方程有一个复数根是，则另一个复数根是（ ） A． B． C． D．无法确定 2．已知复数 是方程的一个根，则（     ） A． B． C． D． 3．若关于x的实系数一元二次方程的两个根分别是和，则这个一元二次方程可以是（ ） A． B． C． D． 4．若x为复数，则方程x4=1的解是（ ） A．l或 B．i或﹣i C．1+i或1﹣i D．1或﹣1或i或﹣i 5．在复数范围内分解因式：___________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块41个专题，每个专题均配备配套课件、讲义及练习题。 本专题是河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》模块12复数中的第2个专题复数的运算。本专题涵盖复数的加减运算及几何意义、复数的乘除运算及几何意义、实系数一元二次方程的解法等知识点，知识点后配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河南省2026年对口招生考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题2 复数的运算（讲义） 知识点1 复数的加减法运算及几何意义 1．复数代数形式的加法运算及其几何意义 (1)复数的加法法则 设，，（）是任意两个复数，那么它们的和： ，显然，两个复数的和仍然是一个确定的复数. (2)复数加法满足的运算律 对任意，有 交换律： 结合律： (3)复数加法的几何意义 如图，设在复平面内复数，对应的向量分别为，，以，为邻边作平行四边形，则，即：，即对角线表示的向量就是与复数对应的向量.所以：复数的加法可以按照向量的加法来进行. 2．复数代数形式的减法运算及其几何意义 (1)复数的减法法则 类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作 注意：①两个复数的差是一个确定的复数； ②两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减. (2)复数减法的几何意义 复数 向量 知识点2 复数的乘除法运算及几何意义 1．复数代数形式的乘法运算 (1)复数的乘法法则 我们规定，复数乘法法则如下： 设,是任意两个复数，那么它们的乘积为 ， 即 (2)复数乘法满足的运算律 复数乘法的交换律、结合律、分配律 (交换律) (结合律) (分配律) 2．复数代数形式的除法运算 (1)定义 规定复数的除法是乘法的逆运算，即把满足（，）的复数叫做复数除以复数的商，记作或 (2)复数的除法法则 （） 由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数. 知识点2 实系数一元二次方程的解法 1．根的判定 当a，b，c都是实数且a≠0时，关于x的方程ax2+bx+c=0称为实系数一元二次方程， ①当4=b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根； ②当4=b2- 4ac=0时，方程有两个相等的实数根； ③当=b2- 4ac<0时，方程有两个互为共轭的虚数根. 2．根与系数的关系 如果x1，x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的解，那么x1＋x2=-，x1x2=， 3．在复数范围内，实数系方程ax2+bx+c=0的求解方法 求根公式法 ①时， ②<0时， 利用复数相等的定义求解，设方程的根为x=m＋ni（m，n∈R），将此代入方程 ax²＋bx＋c=0（a≠0），化简后利用复数相等的定义求解. 【考试题型1】考查实系数一元二次方程的解法 【例1】（2024年·河南对口升学高考）在复数集中，方程的根为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】由求根公式求实系数一元二次方程在复数范围内的根即可. 【解析】在复数集中，方程的根为 . 故选：D. 【考试题型2】结合共轭复数考查复数的乘法 【例2】（24-25高三下·河南·模拟预测）若复数，则（ ） A． B． C．7 D．1 【答案】C 【分析】根据题意，先求得复数z的共轭复数，结合复数的乘法运算，即可求解. 【解析】因为复数，所以， 所以. 故选：C. 【考试题型3】考查复数的乘法 【例3】（24-25高三上·河南·模拟预测）（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的代数形式的乘法运算法则求解即可. 【解析】. 故选：D. 【考试题型4】考查实系数一元二次方程的解法 【例4】（23-24高三下·河南·模拟预测）在复数集中，方程的根为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由求根公式求实系数一元二次方程在复数范围内的根即可. 【解析】在复数集中，方程的根为 . 故选：D. 【考试题型5】考查实系数一元二次方程的解法 【例5】（23-24高三上·河南·模拟预测）已知实系数一元二次方程的一个根是，则___________． 【答案】5 【分析】首先由实系数一元二次方程的其中一个根确定另一个根，再由韦达定理求值即可. 【解析】已知的一个根是， 则另一个根为，所以， 即， 故答案为：5. 题型考点一 复数的加减法运算及几何意义 1．若，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则， 所以，得，所以， 故选：B. 2．已知，，则（ ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得， ， 故选：D. 3．已知复数，则等于（ ） A．       B．6       C．       D． 【答案】B 【解析】由题可知：， 故选：B. 4．复数（i为虚数单位）的共扼复数在复平面内对应的点在（      ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】，所以共轭复数为， 在复平面内对应的点的坐标为，可知该点在第四象限， 故选：D. 5．设，，其中为虚数单位，则在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】，，， 因此，在复平面内对应的点位于第二象限， 故选：B. 6．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则． 由得， 则，所以，，所以， 故选：B. 7．若，其中，则（　　） A．3 B．2 C．-2 D．-3 【答案】D 【解析】∵， ∴ 解得 ， 故选：D. 8．设，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则， 则， 所以，，解得，因此，， 故选：C. 9．___________． 【答案】/ 【分析】根据复数加减法的代数运算性质，即可求解. 【解析】 . 故答案为：. 10．已知，则复数___________． 【答案】. 【解析】， 可得：， 故答案为：. 题型考点二 复数的乘除法运算及几何意义 1．（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 故选：D. 2．若复数满足（是虚数单位），则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由复数代数形式的乘除法运算化简得答案． 【解析】， 所以， 故选：D. 3．复数满足.则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以， 所以. 故选：B. 4．已知复数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据共轭复数的概念得出，再由复数的运算法则计算即可. 【解析】因为复数，则， 所以 ， 故选：C. 5．若复数满足，则的虚部是（ ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】，， ，的虚部为， 故选：． 6．已知是虚数单位，复数z满足，则z的实部为（      ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解析】∵， ∴， ∴z的实部为0， 故选：B. 7．已知为虚数单位，若复数的实部与虚部相等，则实数的值为（ ） A．－3 B．－1 C．1 D．3 【答案】A 【解析】由题意可得， 故，解得 ， 故选：A. 8．设，则的虚部为___________． 【答案】 【解析】因为， 所以的虚部为， 故答案为：. 9．已知为虚数单位，若，则（ ） A．4 B． C．0 D．6 【答案】A 【解析】因为 又因为， 所以， 故选：A. 10．___________． 【答案】 【分析】根据复数的乘法运算法则可求解. 【解析】 . 故答案为： 题型考点三 实系数一元二次方程的解法 1．若关于x的实系数方程有一个复数根是，则另一个复数根是（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【解析】若关于x的实系数方程有两个复数根，则两复数根互为共轭复数， 故该方程的另一个复数根是， 故选：A. 2．已知复数 是方程的一个根，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】是方程的一个根，是方程的另一个根， ，. 故选：B. 3．若关于x的实系数一元二次方程的两个根分别是和，则这个一元二次方程可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设方程为，则， 所以，，所以， 则方程为， 故只有B选项符合题意. 故选：B. 4．若x为复数，则方程x4=1的解是（ ） A．l或 B．i或﹣i C．1+i或1﹣i D．1或﹣1或i或﹣i 【答案】D 【解析】因为：x4﹣1=(x2+1)(x2﹣1)=(x+i)(x﹣i)(x﹣1)(x+1)， 所以x4﹣1=0即(x+i)(x﹣i)(x﹣1)(x+1)=0，解得x=1，﹣1，i，﹣i， 即在复数集中，方程x4=1的解为1，﹣1，i，﹣i， 故选：D. 5．在复数范围内分解因式：___________． 【答案】 【解析】 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $