专题1 概率（练习题） - 河南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块41个专题，每个专题均配备配套课件、讲义及练习题。 本专题是河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》模块11概率与统计初步中的第1个专题概率。本专题涵盖概率与频率、事件的关系与运算、古典概型等知识点，知识点后配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河南省2026年对口招生考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题1 概率（练习题） 一、选择题 1．下列事件中是必然事件是（ ） A．掷一枚硬币，出现正面向上 B．若，则 C．买一张奖券，中奖 D．检验一只灯泡合格 【答案】B 【分析】根据必然事件的概念判断. 【解析】掷一枚硬币，可能出现正面向上，也可能出现反面向上，则选项A不是必然事件，故A错误； 若，则必有，则选项B是必然事件，故B正确； 买一张奖券，可能中奖，也可能不中奖，则选项C不是必然事件，故C错误； 检验一只灯泡，可能合格，也可能不合格，则选项D不是必然事件，故D错误. 故选：B. 2．抛掷一颗质地均匀的骰子，事件 A {点数是奇数}的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用古典概型的概率公式求解． 【解析】抛掷一颗质地均匀的骰子，点数可能的情况为1，2，3，4，5，6，共6种， 其中点数为奇数的情况有 1，3，5，共 3 种， 故所求概率为​​． 故选：D． 3．一个家庭有两个孩子，两个都是女孩的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用树状图及古典概型求概率即可. 【解析】由题可得树状图，如图， 则共有四种可能，两个全为女孩占一种， 则两个都是女孩的概率是； 故选：D. 4．从一个不透明的袋子中摸出红球的概率为，已知袋子中有红球6个，则袋子中一共有球的个数为（ ） A．60 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】根据古典概型的概率公式计算． 【解析】设袋子中共有球个， 根据题意，已知袋子中有红球6个，则摸出红球的概率为，解得． 故选：B． 5．有3个黑球，2个白球，第一次摸出1个球后放回，再摸出一个球，则两次摸出的都是白球的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据古典概型的概率计算公式计算有放回的问题即可. 【解析】设第一次摸到白球记为事件， 第二次摸到白球记为事件， 则，， 因为两次摸球相互独立， 所以. 故选：D. 6．3名男生和2名女生站成一排，其中2名女生恰好站在两端的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据古典概型概率公式和排列组合公式计算即可. 【解析】2名女生恰好站在两端的优先排法， 3名男生和2名女生站成一排，其中2名女生恰好站在两端的排法， 所以3名男生和2名女生站成一排，其中2名女生恰好站在两端的概率为. 故选：C. 二、填空题 7．在某商场节日搞的销售活动中，凡当日消费指定的商品满88元，可以参加抽奖活动．现有200张奖券，设有一等奖2张，二等奖10张，三等奖28张．从中任意抽取1张，则中奖的概率是 . 【答案】/0.2 【分析】根据古典概型的计算公式求解即可. 【解析】设“从中任意抽取1张中奖”为随机事件A， 因为随机试验的样本空间包含的样本点总数为， 随机事件A包含的样本点个数为， 所以. 故答案为：. 8．已知事件互斥，，则 . 【答案】/ 【分析】根据互斥事件的概率加法公式，即可求解. 【解析】因为事件互斥， ， 则， 故答案为：. 9．同时掷两枚质地均匀的骰子，所得点数之和大于10的概率为 . 【答案】 【分析】首先根据题意列表，然后由表中数据求得所有等可能的结果与其点数之和大于10的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【解析】列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 两次抛掷骰子总共有36种情况， 而和大于10的只有：，，三种情况， 点数之和大于10的概率为：． 故答案为：． 10．口袋中装有个大小相同的红球，白球，黑球，其中红球个，从袋中摸出一个球是白球的概率为，则摸出黑球的概率为 . 【答案】/ 【分析】根据概率公式求出对立事件的概率即可解得. 【解析】由题，摸出黑球可以看作是摸出红球和白球的对立事件， 摸出红球的概率为， 则摸出黑球的概率为. 故答案为：. 三、解答题 11．在某校举行的春季运动会上，某班有2名男生和2名女生共4人参加．运动会后，他们4人想站成一排合影留念． (1)如果2名男生相邻，2名女生也相邻，那么一共有多少种不同的站法？ (2)2名女生站在中间的概率是多少？ 【答案】(1)8；(2) 【分析】（1）采用捆绑法可求解； （2）设“2名女生站在中间”为事件A，分别求出4人站成一排和事件A所包含的基本事件数，根据古典概型公式可求解. 【解析】解：（1）由题意，将2名男生看作一个元素，2名女生也看作一个元素，利用捆绑法， 则不同的站法有：（种）； （2）设“2名女生站在中间”为事件A，4人站成一排，共包含个基本事件， 其中事件A包含个基本事件， 所以. 12．抛掷两颗质地均匀的骰子，求以下几种情况的概率： (1)两颗骰子的点数都是偶数； (2)两颗骰子的点数之和为12； (3)两颗骰子的点数之积为12. 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】利用古典概型的概率公式求解即可． 【解析】解：（1）抛掷两颗质地均匀的骰子，所得可能结果用表示，其中表示抛掷第一颗骰子出现的点数，表示抛掷第二颗骰子出现的点数，则试验的所有可能结果为： ，， ，， ，， 共36个基本事件， 两颗骰子的点数都是偶数的有： ，，，共9个． 因此两颗骰子的点数都是偶数的概率为． （2）两颗骰子的点数之和为12的有：，共1个． 因此两颗骰子的点数之和为12的概率为． （3）两颗骰子的点数之积为12的有：，，，，共4个． 因此两颗骰子的点数之积为12的概率为． 一、选择题 1．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件{抽到一等品}，事件{抽到二等品}，事件{抽到三等品}，且已知，，，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】“抽到的产品不是一等品”的事件的对立事件是“抽到一等品”的事件， 而事件{抽到一等品}，且，于是得， 所以事件“抽到的产品不是一等品”的概率为0.35， 故选：B. 2．手机密码通常由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的6位数字组成（允许重复），如果任意输入一个6位数字，恰好能开机的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由分步乘法计数原理，结合古典概型的概率公式即可求解. 【解析】密码共6位且允许重复 每位都可能是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数 由分步乘法计数原理，6位密码共有种可能 又任意输入6位数 这个6位数恰好是手机密码的情况只有1种， 由古典概型的概率公式，得恰好能开机的概率为. 故选：D. 3．若以连续掷两次骰子得到的点数，作为点的坐标，则点在圆内的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由古典概型的应用即可得解. 【解析】连续掷两次骰子出现点数的所以情况为. 点在圆内. 则. 符合条件的情况有有种. 所以概率为. 故选：. 4．某老物件收藏者购买了清代老榉木的大铜钱形状的水车轮子，正面以颇具传统文化意味的“古钱币”为外形，预示着财源广进，事业发达，也可以理解为象征中国传统文化的天圆地方，其正视图和侧视图（单位：厘米）如图所示（图中），且该轮子的表面积为（）平方厘米，若向轮子的正面随机投掷一颗小石子，则恰好落到正方形中的概率为（ ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过该轮子的表面积求出m的值，然后利用几何概型，面积比面积进行求解． 【解析】根据轮子的正视图和侧视图， 可得该轮子的形状是底面直径为40厘米、高为13厘米的圆柱体，挖去一个底面是正方形、高为13厘米的直四棱柱而构成． 所以其表面积为圆柱的表面积加上直四棱柱的侧面积，减去上下两个正方形的面积． 所以． 解得或（舍去）． 所以恰好落到正方形中的概率为. 故选：A 5．四张卡片上分别写有数字1，2，3，4（除数字外其余均相同），从其中随机抽取一张，放回去，再抽取一张，共抽取两次，则第一次抽到的数字不大于第二次抽到的数字的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据古典概型的概率求解即可. 【解析】如下表所示： 第二次第一次 1 2 3 4 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) 从4张卡片中随机抽取一次，放回去，再抽取一张，共抽取两次，基本事件总数为. 设{第一次抽到的数字不大于第二次抽到的数字}. 事件A包含的基本事件数：. . 故选：B. 6．围棋盒子中有多粒黑子和多粒白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，从中取出2粒都是白子的概率是.那么从中任意取出2粒不是同一色的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B， 则事件A与B互斥.“从中取出2粒不是同一色”为事件C，则C与对立， 所以， 即“从中取出2粒不是同一色”的概率为， 故选：D. 二、填空题 7．有一道数学题，甲能解答的概率为，乙能解答的概率为，则两人都未能解答的概率为 . 【答案】 【分析】利用对立事件的性质和相互独立事件的概率乘法公式求解可得. 【解析】因为甲能解答的概率为，所以甲未能解答的概率为， 又因为乙能解答的概率为，则乙未能解答的概率为， 所以两人都未能解答的概率为. 故答案为：. 8．某运动员在射击训练中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.22、0.25、0.24，则该运动员射中环数大于或等于8环的概率是 . 【答案】/ 【分析】根据互斥事件的概率公式即可求解. 【解析】由题意得，射中10环，9环，8环的概率分别为， 则该运动员射中环数大于或等于8环的概率是. 故答案为：. 9．从分别写有的四张卡片中随机抽取一张，放回后再抽取一张，则抽得第一张卡片上的数不大于第二张卡片上的数的概率是 . 【答案】. 【分析】先写出所有符合题意的基本事件，再写出满足抽得第一张卡片上的数不大于第二张卡片上的数的基本事件，最后根据古典概型的概率公式得解. 【解析】记两次依次取得的卡片上的数为， 则所有的基本事件为：， ， ，共16种， 其中满足抽得第一张卡片上的数不大于第二张卡片上的数的概率的基本事件有： ， ，共10种， 由古典概型的概率公式可知， 所求概率为. 故答案为：. 10．一个盒子中有个灯泡，其中3个次品，7个正品，从中任意摸出3个，取到的3个至多有1个次品的概率是 . 【答案】 【分析】首先由组合数确定个灯泡中摸出3个的所有基本事件的个数，再由至多有1个次品可分为没有次品和只有一个次品，运用组合数再计算出取到的3个至多有1个次品的基本事件的个数，最后由古典概型概率公式求值即可. 【解析】一个盒子中有个灯泡，其中3个次品，7个正品， 则从中任意摸出3个共有个基本事件， 到的3个至多有1个次品的基本事件的个数为 ， 所以取到的3个至多有1个次品的概率是, 故答案为：. 三、解答题 11．一个盒子里有3个红球，4个黄球（仅颜色不同）. (1)现从中任取2个，求取出同色球的概率； (2)现从中任取出1个，看后放回，连续取两次，求取出不同色球的概率. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据古典概型的概念，即可求解. （2）根据古典概型的概念，结合排列顺序，即可求解. 【解析】解：（1）从7个小球中任取2个小球共有种取法， 设取出同色球，有种取法， 故. （2）从7个小球中任取出1个，看后放回，连续取两次， 共有种取法， 设取出不同色球，有种取法， 故. 12．从1，2，3，4，5这5个数中，任取2个数，组成没有重复数字的两位数.求： (1)组成的两位数能被5整除的概率； (2)组成的两位数是偶数的概率. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据两位数能被5整除的特点求解. （2）根据两位数是偶数的特点求解. 【解析】解：（1）组成的两位数能被5整除，则两位数的个位必须是5，则十位的选择方案是，即概率为. （2）组成的两位数是偶数，则两位数的个位必须是2或4，即，则十位的选择方案是，的概率为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块41个专题，每个专题均配备配套课件、讲义及练习题。 本专题是河南省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》模块11概率与统计初步中的第1个专题概率。本专题涵盖概率与频率、事件的关系与运算、古典概型等知识点，知识点后配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河南省2026年对口招生考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题1 概率（练习题） 一、选择题 1．下列事件中是必然事件是（ ） A．掷一枚硬币，出现正面向上 B．若，则 C．买一张奖券，中奖 D．检验一只灯泡合格 2．抛掷一颗质地均匀的骰子，事件 A {点数是奇数}的概率为（ ） A． B． C． D． 3．一个家庭有两个孩子，两个都是女孩的概率是（ ） A． B． C． D． 4．从一个不透明的袋子中摸出红球的概率为，已知袋子中有红球6个，则袋子中一共有球的个数为（ ） A．60 B．12 C．18 D．24 5．有3个黑球，2个白球，第一次摸出1个球后放回，再摸出一个球，则两次摸出的都是白球的概率是（ ） A． B． C． D． 6．3名男生和2名女生站成一排，其中2名女生恰好站在两端的概率为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 7．在某商场节日搞的销售活动中，凡当日消费指定的商品满88元，可以参加抽奖活动．现有200张奖券，设有一等奖2张，二等奖10张，三等奖28张．从中任意抽取1张，则中奖的概率是 . 8．已知事件互斥，，则 . 9．同时掷两枚质地均匀的骰子，所得点数之和大于10的概率为 . 10．口袋中装有个大小相同的红球，白球，黑球，其中红球个，从袋中摸出一个球是白球的概率为，则摸出黑球的概率为 . 三、解答题 11．在某校举行的春季运动会上，某班有2名男生和2名女生共4人参加．运动会后，他们4人想站成一排合影留念． (1)如果2名男生相邻，2名女生也相邻，那么一共有多少种不同的站法？ (2)2名女生站在中间的概率是多少？ 12．抛掷两颗质地均匀的骰子，求以下几种情况的概率： (1)两颗骰子的点数都是偶数； (2)两颗骰子的点数之和为12； (3)两颗骰子的点数之积为12. 一、选择题 1．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件{抽到一等品}，事件{抽到二等品}，事件{抽到三等品}，且已知，，，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为（ ） A． B． C． D． 位数字，恰好能开机的概率是（ ） A． B． C． D． 3．若以连续掷两次骰子得到的点数，作为点的坐标，则点在圆内的概率是（ ） A． B． C． D． 4．某老物件收藏者购买了清代老榉木的大铜钱形状的水车轮子，正面以颇具传统文化意味的“古钱币”为外形，预示着财源广进，事业发达，也可以理解为象征中国传统文化的天圆地方，其正视图和侧视图（单位：厘米）如图所示（图中），且该轮子的表面积为（）平方厘米，若向轮子的正面随机投掷一颗小石子，则恰好落到正方形中的概率为（ ）      A． B． C． D． 5．四张卡片上分别写有数字1，2，3，4（除数字外其余均相同），从其中随机抽取一张，放回去，再抽取一张，共抽取两次，则第一次抽到的数字不大于第二次抽到的数字的概率是（ ） A． B． C． D． 6．围棋盒子中有多粒黑子和多粒白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，从中取出2粒都是白子的概率是.那么从中任意取出2粒不是同一色的概率是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 7．有一道数学题，甲能解答的概率为，乙能解答的概率为，则两人都未能解答的概率为 . 8．某运动员在射击训练中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.22、0.25、0.24，则该运动员射中环数大于或等于8环的概率是 . 9．从分别写有的四张卡片中随机抽取一张，放回后再抽取一张，则抽得第一张卡片上的数不大于第二张卡片上的数的概率是 . 10．一个盒子中有个灯泡，其中3个次品，7个正品，从中任意摸出3个，取到的3个至多有1个次品的概率是 . 三、解答题 11．一个盒子里有3个红球，4个黄球（仅颜色不同）. (1)现从中任取2个，求取出同色球的概率； (2)现从中任取出1个，看后放回，连续取两次，求取出不同色球的概率. 12．从1，2，3，4，5这5个数中，任取2个数，组成没有重复数字的两位数.求： (1)组成的两位数能被5整除的概率； (2)组成的两位数是偶数的概率. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $