2.4用因式分解法求解一元二次方程 同步课堂讲义2025-2026学年北师大版九年级数学上册

2.4用因式分解法求解一元二次方程 讲解目录 【知识点1】解一元二次方程-因式分解法 1 【题型1】用因式分解法解形如x²+px+q=0型的一元二次方程 2 【题型2】用提取公因式法求解一元二次方程 2 知识讲解 【知识点1】解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 1.（2024秋•梅县区期末）已知关于x的一元二次方程x2+5x=0的一个根是0，则另一个根是（　　） A．-5 B．5 C．-1 D．1 2.（2025•英德市一模）下列哪个数是方程x2-6x+8=0的解（　　） A．-8 B．-2 C．2 D．5 题型专练 【题型1】用因式分解法解形如x²+px+q=0型的一元二次方程 【典型例题】一元二次方程x²-4x=12的根是(　　) A.x1=2，x²=-6 B.x1=-2，x²=6 C.x1=-2，x²=-6 D.x1=2，x²=6 【举一反三1】已知3是关于x的方程x²-(m+1)x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为(　　) A.7 B.10 C.11 D.10或11 【举一反三2】已知等腰△ABC的两条边的长度是一元二次方程x²-6x+8=0的两根，则△ABC的周长是(　　) A.10 B.8 C.6 D.8或10 【举一反三3】方程(2x+1)(x-1)=8(9-x)-1的根为____________． 【举一反三4】方程x²+4x-5=0的解是_________________． 【举一反三5】用适当的方法解下列方程： （1）x²+2x+1=4； （2）x²+x-6=0； （3）x²+10x+21=0； （4）x²-x-1=0； （5）x²−2x+7＝0； （6）2x(x-3)+x=3． 【题型2】用提取公因式法求解一元二次方程 【典型例题】一元二次方程(x-1)(x-2)=0的一个解是x=2，则另一个解是(　　) A.x=3 B.x=2 C.x=1 D.无法判断 【举一反三1】我们解一元二次方程3x²-6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x(x-2)=0，从而得到两个一元一次方程：3x=0或x-2=0，进而得到原方程的解为x1=0，x²=2．这种解法体现的数学思想是(　　) A.转化思想 B.函数思想 C.数形结合思想 D.公理化思想 【举一反三2】方程x²=-x的解是__________． 【举一反三3】解方程： （1）3x(x﹣2)=2(2﹣x)； （2）x(x+3)=7(x+3)； （3）(3x+1)(2x﹣5)=﹣2(2x﹣5)； （4）2x²﹣6x=0； （5）x(x﹣6)=6﹣x； （6）x(x﹣2)=10x﹣20； （7）(x﹣1)2=2x(1﹣x)． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4用因式分解法求解一元二次方程 讲解目录 【知识点1】解一元二次方程-因式分解法 1 【题型1】用因式分解法解形如x²+px+q=0型的一元二次方程 2 【题型2】用提取公因式法求解一元二次方程 4 知识讲解 【知识点1】解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 1.（2024秋•梅县区期末）已知关于x的一元二次方程x2+5x=0的一个根是0，则另一个根是（　　） A．-5 B．5 C．-1 D．1 【答案】A 【分析】提公因式得到x（x+5）=0，解方程即可得到答案． 【解答】解：∵x2+5x=0， ∴x（x+5）=0， 解得x1=0，x2=-5， ∴关于x的一元二次方程x2+5x=0的一个根是0， ∴该方程的另一个根是-5， 故选：A． 2.（2025•英德市一模）下列哪个数是方程x2-6x+8=0的解（　　） A．-8 B．-2 C．2 D．5 【答案】C 【分析】利用因式分解法解方程即可． 【解答】解：方程分解因式得：（x-2）（x-4）=0， ∴x-2=0或x-4=0， 解得：x=2或x=4， 故选：C． 题型专练 【题型1】用因式分解法解形如x²+px+q=0型的一元二次方程 【典型例题】一元二次方程x²-4x=12的根是(　　) A.x1=2，x²=-6 B.x1=-2，x²=6 C.x1=-2，x²=-6 D.x1=2，x²=6 【答案】B 【解析】方程整理得x²-4x-12=0，分解因式得(x+2)(x-6)=0，解得x1=-2，x²=6． 故选：B. 【举一反三1】已知3是关于x的方程x²-(m+1)x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为(　　) A.7 B.10 C.11 D.10或11 【答案】D 【解析】把x=3代入方程得9-3(m+1)+2m=0，解得m=6， 则原方程为x²-7x+12=0，解得x1=3，x²=4， 因为这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长， ①当△ABC的腰为4，底边为3时，则△ABC的周长为4+4+3=11； ②当△ABC的腰为3，底边为4时，则△ABC的周长为3+3+4=10． 综上所述，△ABC的周长为10或11． 故选：D. 【举一反三2】已知等腰△ABC的两条边的长度是一元二次方程x²-6x+8=0的两根，则△ABC的周长是(　　) A.10 B.8 C.6 D.8或10 【答案】A 【解析】x²-6x+8=0，∴(x-2)(x-4)=0，∴x1=2，x²=4． 由三角形的三边关系(两边之和大于第三边)可得腰长是4，底边是2，所以周长是4+4+2=10． 故选：A． 【举一反三3】方程(2x+1)(x-1)=8(9-x)-1的根为____________． 【答案】-8或 【解析】(2x+1)(x-1)=8(9-x)-1， 整理得2x²-x-1=72-8x-1， 2x²+7x-72=0， 则(x+8)(2x-9)=0， 解得x1=-8，x²=． 【举一反三4】方程x²+4x-5=0的解是_________________． 【答案】x1=-5，x²=1 【解析】∵x²+4x-5=0， ∴(x+5)(x-1)=0， ∴x+5=0或x-1=0， ∴x1=-5，x²=1． 【举一反三5】用适当的方法解下列方程： （1）x²+2x+1=4； （2）x²+x-6=0； （3）x²+10x+21=0； （4）x²-x-1=0； （5）x²−2x+7＝0； （6）2x(x-3)+x=3． 【答案】解：（1）x²+2x+1=4， (x+1)2=4， x+1=±2， 所以x1=1，x²=-3． （2）x²+x-6=0， (x+3)(x-2)=0， x+3=0或x-2=0， 所以x1=-3，x²=2． （3）x²+10x+21=0， (x+3)(x+7)=0， x+3=0或x+7=0， 所以x1=-3，x²=-7． （4）Δ=(-1)2-4×1×(-1)=5， x=， 所以x1=，x²=． （5）x²−2x+7＝0， ∴(x−)2＝0， 解得x1＝x²＝． （6）2x(x-3)+x=3， ∴2x(x-3)+x-3=0， ∴(x-3)(2x+1)=0， 解得x1=3，x²＝−． 【题型2】用提取公因式法求解一元二次方程 【典型例题】一元二次方程(x-1)(x-2)=0的一个解是x=2，则另一个解是(　　) A.x=3 B.x=2 C.x=1 D.无法判断 【答案】C 【解析】(x-1)(x-2)=0， x-1=0或x-2=0， x1=1，x²=2． 【举一反三1】我们解一元二次方程3x²-6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x(x-2)=0，从而得到两个一元一次方程：3x=0或x-2=0，进而得到原方程的解为x1=0，x²=2．这种解法体现的数学思想是(　　) A.转化思想 B.函数思想 C.数形结合思想 D.公理化思想 【答案】A 【举一反三2】方程x²=-x的解是__________． 【答案】0或-1 【解析】原方程变形为x²+x=0，x(x+1)=0，x=0或x=-1． 【举一反三3】解方程： （1）3x(x﹣2)=2(2﹣x)； （2）x(x+3)=7(x+3)； （3）(3x+1)(2x﹣5)=﹣2(2x﹣5)； （4）2x²﹣6x=0； （5）x(x﹣6)=6﹣x； （6）x(x﹣2)=10x﹣20； （7）(x﹣1)2=2x(1﹣x)． 【答案】解：（1）3x(x﹣2)=2(2﹣x)， 由原方程，得(3x+2)(x﹣2)=0， 所以3x+2=0或x﹣2=0， 解得x1=，x²=2． （2）x(x+3)﹣7(x+3)=0， 分解因式得(x+3)(x﹣7)=0， 解得x1=﹣3，x²=7． （3）(3x+1)(2x﹣5)=﹣2(2x﹣5)， 移项得(3x+1)(2x﹣5)+2(2x﹣5)=0， (2x﹣5)(3x+1+2)=0， 2x﹣5=0或3x+1+2=0， x1=，x²=﹣1． （4）2x²﹣6x=0， 提取公因式得2x(x﹣3)=0， ∴2x=0或x﹣3=0， ∴x1=0，x²=3． （5）x(x﹣6)=6﹣x， ∵x(x﹣6)+x﹣6=0， ∴(x﹣6)(x+1)=0， ∴x﹣6=0或x+1=0， ∴x1=6，x²=﹣1． （6）x(x﹣2)=10x﹣20， x(x﹣2)=10(x﹣2)， x(x﹣2)﹣10(x﹣2)=0， (x﹣2)(x﹣10)=0， x﹣2=0或x﹣10=0， x1=2，x²=10． （7）(x﹣1)2=2x(1﹣x)， 移项得(x﹣1)2+2x(x﹣1)=0， 因式分解得(x﹣1)(x﹣1+2x)=0， 即x﹣1=0或3x﹣1=0， 解得x1=1，x²=． 学科网（北京）股份有限公司 $