大题专项-专题04 立体几何（讲义）-2026版四川省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版四川省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及四川省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版四川省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第4个专题，内容为立体几何。 2026版四川省（对口招生）二轮复习 《数学考纲专题练》 专题04 立体几何 一、课标解读 1．异面直线所成的角 2．直线与平面平行的判定定理与性质定理 3．直线与平面垂直的判定定理与性质定理 4．直线与平面所成的角 5．平面与平面所成的角 6．多面体的体积公式 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2023 解答题 23 证线面平行、求异面直线所成的角 12 （1）题型：解答题。 （2）分值：分值稳定在12分。 （3）内容：线面角、二面角的求法、线面平行与垂直的证明、多面体的体积公式。 2024 解答题 23 证线性直线、求二面角 12 2025 解答题 23 证线面平行、求棱锥的体积角 12 三、考点预测 根据2023-2025年的真题考情，预估2026年四川省对口招生考试依然有1道题目对立体几何知识进行考查，题型为解答题，分值为12分。 具体考点可能涉及如下内容： · 求异面直线所成的角 · 求线面角与二面角 · 证明线面平行与垂直 · 求多面体的体积 四、知识梳理 1.异面直线所成的角 （1）定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． （2）范围： 2．直线与平面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 a∩α＝∅ a⊂α，b⊄α，a∥b a∥α a∥α，a⊂β，α∩β＝b 结论 a∥α b∥α a∩α＝∅ a∥b 3．直线与平面垂直 (1)定义：若直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直． (2)判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直(线线垂直⇒线面垂直)．即：a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，a∩b＝P⇒l⊥α. (3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．即：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. 4．直线与平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角． (2)线面角θ的范围：. 5.面面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 α∩β＝∅ a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b α∥β，a⊂β 结论 α∥β α∥β a∥b a∥α 6．平面与平面垂直 (1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．即：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β. (3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．即：α⊥β，a⊂α，α∩β＝b，a⊥b⇒a⊥β. 7．二面角的有关概念 (1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． (2)二面角的平面角：二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角． 8．柱、锥、台和球的侧面积和体积 面　积 体　积 圆柱 S侧＝2πrh V＝Sh＝πr2h 圆锥 S侧＝πrl V＝Sh＝πr2h ＝πr2 圆台 S侧＝π(r1＋r2)l V＝(S上＋S下＋)h＝π(r＋r＋r1r2)h 直棱柱 S侧＝Ch V＝Sh 正棱锥 S侧＝Ch′ V＝Sh 正棱台 S侧＝(C＋C′)h′ V＝(S上＋S下＋)h 球 S球面＝4πR2 V＝πR3 五、知识检测 1．如图所示，已知正方形和所在的平面相交于，点分别为正方形和的中心，说出平面的原因．    2．如图所示，已知直三棱柱的所有棱长都相等，分别是棱的中点．求DE与平面ABC所成角的正切值． 3．如图，在直三棱柱 中，，点 是 的中点． (1)求证：； (2)求证：平面． 4．如图，在正方体中，为线段的中点. (1)证明：直线平面； (2)证明：直线平面. 5．如图，在正方体中， (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)求二面角的大小. 【答案】 1.【分析】由线线平行证明线面平行即可求解. 【详解】如图所示，连接， 因为，所以是一个平面. 因为分别是正方形的中心， 所以是的中点，是的中点. 所以. 因为不在平面内，在平面内. 所以平面.      2.2 【分析】根据线面垂直的判定定理验证EF⊥平面ABC，再通过线面角的定义找到∠EDF就是DE与平面ABC所成的角，求出对应比值即可求解. 【详解】取的中点，连接． 因为直三棱柱的所有棱长都相等，分别是棱的中点， 即∥，CC1⊥平面ABC，且DF是的一条中位线， 所以平面 ， 所以∠EDF是DE与平面ABC所成的角． 设三棱柱的棱长为2，则． 所以． 3.(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线线垂直证明线面垂直，进而得到线线垂直； （2）根据线线平行证明线面平行即可； 【详解】（1）因为 ，所以 ； 又在直三棱柱 中，有 ， 因为，平面，平面， 所以 平面， 因为平面，所以； （2） 设 与 交于点 ，连接 ， 易知 是 的中点，又 是 的中点， 所以 ． 因为 平面，平面， 所以 平面． 4.(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）证明直线垂直于平面内两条相交直线即可证明直线平面； （2）证明直线所在的平面平面平面，即可证明直线平面. 【详解】（1）∵在正方体中， 平面，平面， ∴， 又∵在正方形中，为线段中点， ∴， 又，平面， ∴直线平面. （2）连接，如图， 在正方体中， 四边形是平行四边形， ∴， 又平面，平面， ∴平面， 在正方体中，四边形是平行四边形， ∴， 又平面，平面， ∴平面， 又，平面， ∴平面平面， ∵平面， ∴平面. 5.(1) (2) 【分析】（1）找出是异面直线与所成的角，结合正方体的结构特征，正三角形的性质即可求解. （2）先找出二面角的平面角，结合正方体的结构特征即可求解. 【详解】（1）在正方体中，连接， 因为，即四边形是平行四边形， 即，所以是异面直线与所成的角， 因为三角形是等边三角形，所以， 所以异面直线与所成的角的大小为. （2）在正方体中，平面，平面， 所以， 即是二面角的平面角， 由正方体的性质可知，即二面角的大小为. 六、经典例题解析 【例1】（24-25高三下·四川·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体，中，E，F分别为，BD的中点. (1)求EF与BC所成角的正切值； (2)求点D到平面AEF的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过平行直线，先找出异面直线EF与BC所成角，再由线面垂直的性质，在直角三角形中求正切值即可； （2）通过等体积法求点到平面的距离即可. 【详解】（1）连接， E、F分别为线段、BD的中点， ， ∴异面直线EF与BC所成的角为， 又平面平面， ， 正方体的棱长为2， ， ， ∴EF与BC所成角的正切值为； （2）在正方体中，E为线段的中点， 平面ADF，且， 点F是线段BD的中点， ， ∴三棱锥的体积， E，F分别为线段，BD的中点， ， 又， 在中满足，即为直角三角形， 则， 设点D到平面AEF的距离为d， 则，即，解得， ∴点D到平面AEF的距离为. 【例2】（22-23高三·四川·模拟预测）如图所示，在直三棱柱中，分别为，的中点，点F在侧棱，且，. (1)求证：直线平面； (2)若，求与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）首先根据平行线的传递性得出，再由线面平行的判定定理证明即可. （2）根据线面垂直的判定定理得平面，再由线面垂直的性质得出平面， 再由线面垂直的判定定理得平面，得出为与平面所成角，再由余弦函数的定义和诱导公式求值即可. 【详解】（1）分别为，的中点， 为的中位线， ，为直三棱柱， ，， 平面，平面， 直线平面. （2）为直三棱柱， 平面，平面， ，， 且平面，平面，， 平面， ，平面， 平面，， ，且平面， 平面，， 平面， 故为与平面所成角. ，， ， 在中，， ， ，， ， 与平面所成角的余弦值为. 【例3】（21-22高三·四川成都·一模）在如图所示的几何体中，面为正方形，面为等腰梯形，. (1)求证：平面； (2)求四面体的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）推导出，由此能证明平面. （2）推导出平面，求出，由此能求出四面体的体积. 【详解】（1）在中，， ， . 又，平面， 平面. （2）平面，平面， ， 面为正方形，， 平面， 平面. 在中，，得， 在等腰梯形中可得 ， . 的面积为， 四面体的体积为： . 【例4】（20-21高三下·四川·三模）如图所示，四棱锥的底面是边长为的菱形，，平面，.求：    (1)直线与平面所成角的正切值； (2)二面角的正切值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取的中点，根据线面垂直的判定定理得平面，从而为在平面上的射影，根据线面角的定义，为直线与平面所成的角，利用三角函数的定义即可求解； （2）连接，交于点，根据线面垂直的判定定理得平面，作于，连接，则就是二面角的平面角，利用三角函数的定义即可求解. 【详解】（1）取的中点，连接，， 是边长为的菱形，， 即是等边三角形，即， 平面，平面，， 又，且平面，平面， 平面， 所以为直线与平面所成的角， 因为， 所以，，， .    （2）连接，交于点， 是菱形，， 平面，平面，， ，平面，平面， 平面，又平面，即， 作于，连接， 平面，即， 平面，平面，，平面， 又平面，则， 故就是二面角的平面角， 是边长为的菱形，，， ， 即是等边三角形，，， ， . 【例5】（24-25高三上·四川德阳·一模）如图，在三棱柱中，平面，且四边形是菱形，.    (1)求证：； (2)若，三棱锥的体积为，求的面积. 【答案】(1)证明过程见详解. (2) 【分析】通过连结利用线面垂直得出,再根据四边形是菱形,得出,平面,所以. 设菱形的边长为,求出,再根据题意,三棱锥的体积为可算出,进而求出. 【详解】（1）   连结, 因为平面,平面, 所以, 因为四边形是菱形, 所以, 因为, 所以平面，平面 所以. （2）由平面,,得, 设菱形的边长为, 因为, 所以, 因为, 所以,， 所以, 因为侧面,侧面, 所以, 所以在中,, 因为三棱锥的体积为, 所以，整理得, 解得, 所以,, 所以. 【例6】（24-25高三上·四川·一模）如图所示，在直角三角形中，，斜边，D是边的中点，现以直角三角形的直角边为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上一点，且.求： (1)该圆锥的体积与侧面积； (2)直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用圆锥的体积和侧面积公式，计算得到答案； （2）取的中点H，证明即为直线与平面所成的角，进而计算正切值. 【详解】（1）由题意可得，， ∴底面圆的面积，圆锥的高， ∴圆锥的体积. 圆锥的侧面积. （2）取的中点H，连接，，如图所示. 在中，中位线，易知平面，则平面， ∴即为直线与平面所成的角， 易知， ∵，∴， ∴. ∴直线与平面所成角的正切值为. 【例7】（21-22高三·四川·二模）如图，在四棱锥中，已知底面是等腰梯形，，，侧面是等边三角形，，点在平面上的射影恰是线段的中点． (1)二面角的大小； (2)异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设AD的中点F，连接PF，EF，即证∠PFE是二面角的平面角即可求解； （2）过A作CD的平行线交BC于G，则∠PAG等于异面直线PA与CD所成的角即可求解． 【详解】（1）设，则， 如图，设AD的中点F，连接PF，EF， ∵ABCD是等腰梯形，且E为BC的中点， ∴ ，， ∵PAD是等边三角形，F为AD的中点 ， ∴，，， ∴∠PFE是二面角的平面角， ∵点P在平面ABCD上的射影为E， ∴，， 在中，， 即，所以. ∴二面角P－AD－M的大小是． （2）过A作CD的平行线交BC于G，则∠PAG等于异面直线PA与CD所成的角． ∵GADC是平行四边形，∴， 又，则为等边三角形， ∴， ∵底面是等腰梯形，， ∴， ∴， 在中，， 在中，， 在中，由余弦定理得： ， ∴异面直线PA与CD所成角的余弦值为. 【例8】（23-24高三上·四川南充·一模）在三棱柱中，是等边三角形，平面，分别为的中点．    (1)求三棱锥的体积； (2)求证：平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）找出棱柱的底面积和高，计算体积. （2）利用直线与平面平行的判定定理证明. 【详解】（1）解：是等边三角形，为的中点， ， ． 又平面，且， ． （2）证明：连接，由于是的中点，所以与相交与点．   为的中点，又为的中点， ． 平面平面， 平面． 【例9】（23-24高三上·四川·三模）如图所示，四边形是正方形，平面．    (1)求三棱锥的体积； (2)求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先证是三棱锥的高，再用三棱锥体积公式计算即可. （2）连接交于点O，连接，  先证是所求的角，再求其正弦值即可. 【详解】（1）平面， ， 是三棱锥的高，                 由，可得，                 又是正方形，，                 ，                 ． （2）如图所示，连接交于点O，连接，                 平面，                 又是正方形，， 又平面，平面，   平面， 是在平面内的射影，                 是与平面所成的角，             ∵四边形是正方形， ，      ，            ．    【例10】（22-23高三上·江西·阶段练习）如图所示，在直三棱柱中，，. (1)求证：； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过垂直与所在的平面，得出两直线垂直. （2）先找到二面角的平面角，再利用余弦定理求值. 【详解】（1）∵， ∴ 又∵直三棱柱， ∴平面 ∵平面， ∴ ∵，，平面 ∴平面 ∵平面， ∴ ∵， ∴平面为正方形 ∴ ∵，，平面 ∴平面 ∵平面， ∴. （2）取中点，连结， ∵， ∴为等腰三角形， ∴ ∵平面，平面， ∴ ∵，，平面， ∴ 即为所求角 ∵， ∴， ， . 七、专题归纳小结 1. 求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围． 2 .判断线面关系时不要漏掉线在面内的情况 3．在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线 平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要 注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”．　 4．在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键．　 5.注意在空间中垂直于同一直线的两条直线不一定平行，还有可能异面、相交等. 6.注意使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $