大题专项-专题03 数列（讲义）-2026版四川省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版四川省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及四川省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版四川省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第3个专题，内容为数列。 2026版四川省（对口招生）二轮复习 《数学考纲专题练》 专题03 数列 一、课标解读 1．等差数列的通项公式、前n项和公式及其性质 2．等比数列的通项公式、前n项和公式及其性质 3．由递推关系求数列的通项公式 4．数列求和的常见方法与技巧 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2023 解答题 22 等差、等比数列的通项公式及前n项和 12 （1）题型：解答题。 （2）分值：分值稳定在12分。 （3）内容：求数列的通项公式及前n项和的常见方法。 2024 解答题 24 求数列的通项公式及前n项和的常见方法 12 2025 解答题 24 等差、等比数列的通项公式及常见的求数列前n项和的方法 12 三、考点预测 根据2023-2025年的真题考情，预估2026年四川省对口招生考试依然有1道题目对数列的通项公式及前n项和进行考查，题型为解答题，分值为12分。 具体考点可能涉及如下内容： · 等差数列的通项公式及前n项和 · 等比数列的通项公式及前n项和 · 求数列通项公式的其他常见方法：如迭加法、迭乘法、构造法等 · 求数列前n项和的其他常见方法：如分组求和法、裂项相消法等 · 函数的应用 四、知识梳理 1．等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)若等差数列的首项是，公差是，则其通项公式为. 若等差数列}的第m项为，则其第项可以表示为. (2)等差数列的前项和公式 .(其中n∈N*，为首项，d为公差，为第n项) 2．等差数列及前n项和的性质 (1)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝. (2)若{an}为等差数列，当m＋n＝p＋q，am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)． (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． (4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (5)S2n－1＝(2n－1)an. (6)若n为偶数，则S偶－S奇＝； 若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)． 3．等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1； 若等比数列{an}的第m项为am，公比是q，则其第n项an可以表示为an＝amqn－m. (2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，. 4．等比数列及前n项和的性质 (1)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm. (3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn. (4)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，仍是等比数列． 5.数列求和的常用方法 （1）公式法（等差数列求和公式、等比数列求和公式） （2）分组求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． （3）.裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． （4）错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的． （5）倒序相加法 如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的． （6）并项求和法 在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和． 形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 6.求数列通项的常用方法： (1)利用观察法求数列的通项. (2)利用公式法求数列的通项： ① 等差等比数列的通项公式； ② (3)应用迭加(迭乘、迭代)法求数列的通项： ①； ②. (4)构造等差、等比数列求通项： . 五、知识检测 1．在等差数列中，，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 2．已知数列为等差数列，是公比为2的等比数列，且满足 (1)求数列和的通项公式； (2)分别求数列和的前n项和和. 3．在等差数列中，已知. (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前n项和，求. 4．已知数列为等差数列，的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 5．已知数列是等差数列，数列是等比数列，，，. (1)求数列，的通项公式； (2)若数列，求数列的前项和. 【答案】 1．(1) (2) 【分析】（1）由等差数列的通项公式列方程组求解即可； （2）结合（1）知数列的通项公式，再利用错位相减法求出数列的前项和即可. 【详解】（1）设数列的首项为，公差为， 所以解得，， 所以， 故的通项公式为. （2）因为， 所以，① ，② ①-②得 ， 故. 2．(1)， (2) 【分析】（1）根据等差数列的性质和等比数列的性质，结合，即可求解. （2）由（1）得和的通项公式，结合等差数列和等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】（1）数列是等差数列，首项，公差为， 则通项公式为， 又数列是公比为的等比数列，首项， 则通项公式为， 因为，所以 解得， 所以， （2）因为， 前项和， 又，前项和. 3．(1) (2)20 【分析】（1）由题意得到等差数列的首项和公差，进而得到通项公式； （2）根据数列的特点，求得. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为d， 由题可知，，则， 则， 即等差数列的通项公式为. （2）因为为数列的前n项和， 所以. 4．(1) (2) 【分析】（1）设出等差数列的公差，根据题意列出等式，再求解通项公式即可. （2）根据（1）的结果以及裂项相消法求解即可. 【详解】（1）设数列的公差为，由题得， 解得，所以. （2）， 则 . 5．(1). (2) 【分析】（1）利用等差数列和等比数列的通项公式，结合已知条件建立方程组，解出公差和公比即可求解. （2）利用错位相减法即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 则，由得， 代入，得， 解得（舍去），则， 所以通项公式. （2）由（1）知， 所以，   两边乘以公比得 ， 两式相减得， 即，       所以. 六、经典例题解析 【例1】 （24-25高三下·四川·对口/高职单招）已知定义在上的函数满足对任意的，都有，. (1)判断函数的奇偶性； (2)若数列，求数列的前项和. 【答案】(1)函数为偶函数 (2) 【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义判断即可. （2）运用函数方程推导数列的递推关系，发现周期性进而分组求和即可. 【详解】（1）已知函数的定义域为，关于原点对称， 当时，， 即，解得或， 若，设，此时，不满足题意， 所以， 当时，得， 即，整理得， 所以函数为偶函数. （2）已知数列， 当时，， 因为，所以， 即数列，且， 当时，则， ，解得，即， 由，得， 由，得， 由，得， 数列的周期为，每项的和为， 前项中有个周期余两项， 所以. 【例2】（23-24高三下·四川·对口/高职单招）设数列的前项和满足：，且. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用写出，两式相减化简，在同除，化简等式累加，得到，等式两边同乘，得到，再由已知列方程组求出，即可求通项公式； （2）利用（1）求出，然后利用裂项相消求前项和即可. 【详解】（1）因为，有， 两式相减得， 即，化简得， 等式两边同除以，得， 化简得， 则有，，， 累加得， 即，等式两边同乘，则，即， 因为，且，即， 所以，即， ，即， 则，解得，，， ， 当时，满足， 则数列的通项公式为. （2）由（1）知， 则， 则， 则， 则 . 【例3】（24-25高三下·四川眉山·一模）已知等差数列的公差为2，且， (1)求的通项公式 (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合等差数列的性质，求出的值，继而求得首项，即可求解. （2）根据题意，易得数列是一个等比数列，结合等比数列的前n项和公式，即可求解. 【详解】（1）因为等差数列中，， 所以，即， 又等差数列的公差为2， 所以， 所以数列的通项公式为； （2）由（1）知， 所以， 所以，， 所以数列是一个等比数列，且首项，公比， 所以. 【例4】（19-20高三·四川成都·一模）已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出公差，由等比数列的性质以及等差数列的通项公式求解即可. （2）由等差数列的前项和公式代入即可． 【详解】（1）（1）由题设知公差，因为，，成等比数列， 得，又， 所以，即， 解得，（舍去）， 故． （2）由（1）知， 由等差数列前项和公式得. 【例5】（22-23高三·四川·三模）在递增等差数列中，已知，且是与的等比中项. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，且，求数列的通项公式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合等比中项的性质，先求出公差和首项，继而求得数列的通项公式； （2）根据题意，利用累加法，结合等差数列的前n项和公式，即可求解. 【详解】（1）因为等差数列中，，是与的等比中项， 所以，即， 所以，即， 解得或， 因为数列是递增的等差数列，所以， 所以，， 所以； （2）因为数列满足，即， 所以当时，， 所以，，， 各式相加得， 所以， 又， 所以. 【例6】（23-24高三下·四川·模拟预测）设等比数列的前项和为，公比，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的基本性质，即可求解. （2）根据（1）得出数列通项，利用错位相减法，即可求解. 【详解】（1）公比，且， ，解得或（舍去）， 又，，解得， 通项公式为． （2）由（1）知，， ， ， ， ． 【例7】（23-24高三下·四川·三模）已知公差不为零的等差数列的前项和为．若是与的等比中项，．求： (1)的通项公式； (2)的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得方程组，化简得出关于和的方程组，求解即可得和的值，进而可得到所求通项公式； （2）由（1）求出的和的值代入等差数列求和公式即可. 【详解】（1）由题意可知，令数列的首项为，公差为， ， 解得， ． （2）由（1）可知，． 【例8】（23-24高三下·四川宜宾·一模）设公差大于0的等差数列的前项和为，已知，且成等比数列，记数列的前n项和为． (1)求数列的通项公式． (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等差数列的通项公式和前n项和公式及等比数列的性质即可得解； （2）由裂项相消法求数列的前n项和即可. 【详解】（1）设的公差为， 由有，化简得，① 又成等比数列， ，即，化简得，② 联立①②解得， ． （2）， ， ， . 【例9】（24-25高三上·四川德阳·一模）记等差数列的前n项和为，已知，， (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）利用待定系数法.首先设出公差为，根据题目条件，求出公差和首项，进而求出通项公式. （2）根据（1）求出，进而根据错位相减法求解前n项和. 【详解】（1）设公差为.因为，， 所以， 所以. （2）根据（1）知则. 所以. 且. ， 合并得 ， 化简得 ， 【例10】（24-25高三上·四川自贡·一模）已知数列前项和为，求． (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由化简，再由等比数列的定义证明即可. （2）根据等比数列的通项公式表示出，即可求出数列的通项公式. 【详解】（1）① ② 由②①得： 即：， 即：， 令，解得：， 数列是以为首项，公比的等比数列． （2）由（1）得：， ． 七、专题归纳小结 1．等差数列的判断方法 (1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数)⇔{an}是等差数列． (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列． (3)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列． (4)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)⇔{an}是等差数列． 2．方程思想和化归思想：在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量，通过建立方程(组)获得解．　　 1．等比数列的判定方法有以下几种： (1)定义：＝q(q是不为零的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列． (2)通项公式：an＝cqn－1(c、q均是不为零的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列． (3)等比中项法：a＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)⇔{an}是等比数列． 2．方程观点以及基本量(首项a1和公比q)思想仍然是求解等比数列问题的基本方法：在a1，q，n，an，Sn五个量中，知三求二． 3．在求解与等比数列有关的问题时，除了要灵活地运用定义和公式外，还要注意等比数列性质的应用，以减少运算量而提高解题速度．　　 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $