大题专项-专题05解析几何（讲义）-2026版四川省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版四川省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及四川省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版四川省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第5个专题，内容为解析几何。 2026版四川省（对口招生）二轮复习 《数学考纲专题练》 专题05 解析几何 一、课标解读 1．直线与椭圆的位置关系 2．直线与双曲线的位置关系 3．直线与抛物线的位置关系 4．直线与圆的位置关系 5．动点的轨迹方程 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2023 解答题 25 直线与圆 12 （1）题型：解答题。 （2）分值：分值稳定在12分。 （3）内容：直线与圆的位置关系、动点的轨迹方程 2024 解答题 26 动点轨迹方程 12 2025 解答题 26 直线与圆 12 三、考点预测 根据2023-2025年的真题考情，预估2026年四川省对口招生考试依然有1道题目对解析几何的知识点进行考查，题型为解答题，分值为12分。 具体考点可能涉及如下内容： · 直线与圆锥曲线的位置关系（重点是直线与圆） · 动点的轨迹方程 四、知识梳理 1．直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线与圆锥曲线的位置关系时，通常将直线的方程(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程，消去y(也可以消去)得到一个关于变量(或变量)的一元方程． 即消去后得. (1)当时，设一元二次方程的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线与圆锥曲线相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切； Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C无公共点． (2)当时，即得到一个一次方程，则直线与圆锥曲线相交，且只有一个交点，此时，若为双曲线，则直线与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若为抛物线，则直线与抛物线的对称轴的位置关系是平行． (3)对于直线与圆的位置关系，除了上面的代数法还可以用几何法去判断.若圆的半径为，圆心到直线的距离为.若则直线与圆相切；若则直线与圆相离；若则直线与圆相交. 2．圆锥曲线的弦长 (1)圆锥曲线的弦长 直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长． (2)圆锥曲线的弦长的计算 设斜率为的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，， 则 (抛物线的焦点弦长θ为弦AB所在直线的倾斜角)． 3．圆锥曲线的中点弦问题 遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率；在双曲线中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率；在抛物线中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率. 五、知识检测 1．已知抛物线C：的焦点，直线：与抛物线C交于A，B两点. (1)求抛物线的标准方程； (2)若线段的中点为P，求点P的坐标. 2．已知椭圆. (1)求椭圆的焦点、焦距、长轴长、短轴长及离心率； (2)判断直线与该椭圆的位置关系，并说明理由. 3．已知抛物线的焦点为. (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线与抛物线相交于两点，且为的中点，求直线的方程. 4．已知直线：，圆：， (1)求F的取值范围； (2)若，判断直线与圆的位置关系.若相交，求出弦长；否则，求出圆上的点到直线的最短距离. 5．已知圆心为的圆经过原点O. (1)求圆C的方程； (2)设直线与圆C交于两点，求的面积. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 1．(1). (2). 【分析】（）根据抛物线的焦点坐标求出值即可得解. （）联立方程组，结合韦达定理及中点坐标公式即可得解. 【详解】（1）抛物线C：的焦点， 则抛物线的焦点在轴正半轴，且， 抛物线方程为：. （2）令，， 联立方程组得， 则，， 直线方程，所以， 所以线段的中点为P的坐标为， 所以线段的中点为P的坐标为. 2．(1)焦点为，焦距，长轴长4，短轴长2，离心率 (2)直线与椭圆相交，理由见解析 【分析】（1）根据椭圆方程的定义以及性质求解即可. （2）将直线方程与椭圆方程联立，再根据判别式进行判断. 【详解】（1）椭圆中，，， 解得，，. 所以焦点为，焦距，长轴长，短轴长， 离心率. （2）联立，得到， 因为，所以直线与椭圆相交. 3．(1) (2) 【分析】（1）利用焦点求抛物线的标准方程即可. （2）设出两点的坐标，利用点是线段的中点，以及两点在抛物线上，即可求解. 【详解】（1）已知抛物线的焦点为， 则 ，解得. 所以抛物线的方程为. （2）设 因为在抛物线上，则 由得：， 即 因为为的中点，所以， 直线的斜率， 由可得， 所以直线的方程为， 整理得. 4．(1) (2)相交，弦长为2. 【分析】（1）由二元二次方程表示圆的条件列式求解即可； （2）先利用圆心到直线的距离公式和半径的关系判断出直线与圆相交，再根据弦长公式求出弦长即可. 【详解】（1）因为表示圆， 所以，解得， 故F的取值范围为. （2）因为， 则圆：， 可化为， 则圆心为，半径. 圆心为到直线：的距离为 ， 所以直线与圆C相交， 故弦长为. 5．(1) (2)12 【分析】（1）根据题意，结合两点之间的距离公式，先求得圆的半径，继而求得圆的标准方程； （2）根据题意，结合点到直线的距离公式，先求得圆心到直线的距离，结合半径、弦心距、弦长的一半之间的关系，利用勾股定理，即可求得弦长，继而求得的面积. 【详解】（1）因为圆C过原点O，且圆心为， 所以半径, 所以圆C的标准方程为； （2）    因为圆心坐标为，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以弦长， 所以. 六、经典例题解析 【例1】（24-25高三下·四川·对口/高职单招）已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，两点. (1)若点，求直线的方程； (2)若点在抛物线上，求的范围？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，根据与圆相切找出三点满足的圆的方程，再与圆的方程作差即可求直线的方程. （2）先由题意求出点到圆心的距离、切线长及切点弦的长度，建立的表达式，结合抛物线方程分析的范围，最后确定的范围即可求解. 【详解】（1）由题意，点距离圆圆心的距离为， 以点为圆心，为半径的圆方程为①， 又在圆②上， ②①得，即，所以直线的方程为. （2）点到圆心的距离为，切线长， 如图，在四边形中，    由得切点弦的长度为， 在中，利用余弦定理得， 又点在抛物线上，代入得， 配方得，当且仅当时，取得最小值， 当时，，因此，， 当时，；当时，. 因此的取值范围为. 【例2】（23-24高三下·四川·对口/高职单招）设，分别为双曲线的左，右焦点，为坐标原点.已知点，的面积为4，且，，为等差数列. (1)求的标准方程； (2)设为第一象限内一点且在上，记为的面积.当取得最小值时，求的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据的面积为4，求出参数，再结合双曲线性质求出，从而得到双曲线标准方程. （2）首先设出的坐标，根据三角形面积公式表示出，再利用基本不等式对进行分析求最值，进行得到的坐标. 【详解】（1）已知，，，的面积为4， 则的面积，所以， 因为，，为等差数列，所以，即， 两式相减得，因为，所以， 所以， 故双曲线的标准方程. （2）设在双曲线上，所以， 又点，所以的面积， 所以， 因为， 所以. 当且仅当，即时取等号，即取得最小值， 根据，又，所以. 所以. 【例3】（23-24高三下·四川·职教高考）已知抛物线.点，，抛物线的焦点到原点的距离为. (1)求的标准方程； (2)设是上的点，当的面积取得最小值时，求的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两点之间的距离公式求出，再求出焦点到原点的距离得出焦点坐标，即可得出抛物线的方程. （2）设，求出直线的方程，用点到直线的距离表示出的高，建立二次函数模型，求最值即可. 【详解】（1）因为，，所以， 抛物线， 又因为抛物线的焦点到原点的距离为， 所以，， 所以抛物线的方程. （2）是抛物线上的点，设， 因为以为底，点到直线的距离为高， 因为，， 所以直线的方程为 所以， 又因为. 所以，当面积有最小值时，，面积最小为. 所以，点的坐标为. 【例4】（23-24高三下·四川·对口/高职单招）设，过定点的动直线和过定点的动直线相交于点. (1)求定点的坐标，并求点的轨迹方程； (2)求的最大值. 【答案】(1)，，（） (2) 【分析】（1）先利用直线定点的求法求得的坐标，再利用两直线垂直得到点的轨迹为圆，进而利用两点中点坐标公式与距离公式，结合圆的标准方程即可得解； （2）利用（1）中结论，结合三角换元与三角恒等变换、正弦函数的性质即可得解. 【详解】（1）由可得， 所以该线过定点， 由易知该直线过定点， 又由直线与，可知， 所以两直线垂直，又两直线相交于，所以， 注意到直线不平行于轴，所以圆与轴的另一个交点不存在， 则点的轨迹为以线段为直径的圆（挖掉一点）， 则圆心为线段的中点，即， 半径为， 所以点的轨迹方程为（）. （2）因为， 所以， 不妨设， 所以 ， 因为，所以， 则当，即时，取得最大值. 【例5】（23-24高三下·四川·对口/高职单招）设，函数. (1)设函数的图象与轴相交于两点，且，求的值； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)或. (2). 【分析】（）设出点的坐标，利用韦达定理及两点间的距离公式列出方程即可得解. （）将函数转化为以为自变量的函数，分类讨论的单调性，列出不等式即可得解. 【详解】（1）由题意可设，， 则与是方程的两根， 所以，， 因为， 所以， 整理得，解得或. （2）， 令，根据题意可知，当，， 当，即时，为增函数， 所以，解得， 当，即时，为减函数，所以，解得，又因为，所以此时无解， 当，即时，，此时不满足题意， 综上所述，对任意的恒成立，实数的取值范围为. 【例6】（24-25高三下·四川自贡·三模）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，动点满足 (1)求动点的轨迹的方程； (2)直线与轴、轴分别交于两点，当最小时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，可设，结合平面直角坐标系中两点间的距离公式，即可列式，化简即可求解； （2）根据题意，结合点的轨迹的方程，易得点的轨迹是圆，继而求得圆的圆心坐标和半径，结合直线l的方程，先求得的坐标，由题意可得当最小时，直线与圆相切，结合直线与圆相切，利用勾股定理即可求得. 【详解】（1）由题意，设，点A的坐标为， 由，得， 化简得， 所以点的轨迹为圆，方程为． （2）      由（1）得点的轨迹是圆， 化为标准方程得， 圆心， 直线与轴、轴分别交于两点， 令，则；令，则； ， ， 当最小时，直线与圆相切， ． 【例7】（24-25高三下·四川·模拟预测）已知圆，直线，圆与圆关于直线l对称. (1)求圆的标准方程； (2)过动点分别作两圆的切线MA，MB，其中A，B分别为切点，若，求的最小值. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）先求出圆的圆心和半径，再由两圆关于直线对称，求出圆的圆心和半径，即可写出标准方程. （2）由可得，化简可得点的轨迹方程，再由表示点到原点的距离，结合点到直线的距离公式计算最小值即可. 【详解】（1）圆的圆心为，圆与圆关于直线l对称， 圆的半径为1，两圆的圆心关于直线对称， 设的圆心为，则的中点为， 中点在对称的直线上，得到①， 的连线与直线l垂直， ∴两直线的斜率相乘为，得到②， 联立①②可得， 圆心坐标为，且半径为1， ∴求圆的标准方程； （2），两圆的半径均为1， ，即， ，即， ∴点M的轨迹是直线，其方程为， 表示，而， ， 即的最小值为2. 【例8】（24-25高三下·四川自贡·模拟预测）已知过点且斜率为的直线与圆交于，两点． (1)求的取值范围； (2)若，其中为坐标原点，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知得直线的斜截式方程，利用圆心到直线距离小于半径，列不等式可求解； （2）联立直线与圆方程，利用向量内积的坐标表示，结合韦达定理得的值，从而可知直线过圆心，据此可得解. 【详解】（1）由圆可知，圆心，半径. 因为直线过点且斜率为， 所以直线方程可表示为，即. 又因为直线与圆交于，两点， 所以， 即，解得， 所以的取值范围为； （2）设，由题意，过点的直线方程为，代入圆，可得 ，则有， 所以 ， 由，解得， 显然满足（1）中结论. 此时直线的方程为，即，则 圆心在直线上，为圆的直径， 所以. 【例9】（24-25高三下·四川自贡·二模）倾斜角为直线过点，圆C的圆心坐标为且与直线相切． (1)求直线与圆C的方程； (2)设点为线段的中点，若点为圆上的动点，试判断是否为定值，若为定值，请求出该定值，若不是定值，请说明理由． 【答案】(1)， (2)是，． 【分析】（1）根据直线的点斜式方程公式确定直线方程，再由直线与圆的关系得到半径的长，确定圆的方程即可. （2）根据中点坐标公式确定点B的坐标，设，再由两点之间的距离公式列式化简即可解答. 【详解】（1）已知倾斜角为直线过点， 则，所以直线方程为，即， 由圆C的圆心坐标为且与直线相切， 可得， 所以圆C的方程为. （2）已知，， 则，即， 设，由点为圆上的动点， 可得，即， 则 ， 所以是定值，为. 【例10】（24-25高三下·四川·模拟预测）已知直线和圆． (1)求直线截圆所得弦的长； (2)若直线垂直于直线，且和圆相切于点，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由圆的标准方程得到圆心和半径，再利用点到直线的距离和弦长公式即可得解； （2）由直线垂直于直线表示出直线的方程，利用点到直线的距离求出直线的方程，再利用两直线垂直求出直线CP，联立直线方程求出点P的坐标即可得解. 【详解】（1）由题意得，直线可化为， 圆的圆心坐标为，半径， 则圆心到直线的距离， 弦长． （2）直线垂直于直线， ∴设的方程为， 又直线与圆相切， 圆心到直线的距离， 解得或， 的方程为或， 切点为， 设所在直线的方程为， 将代入，解得， 所在直线的方程为， 联立形成方程组或 分别解得点的坐标为或． 七、专题归纳小结 1. 判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法． 2.当两圆相交时求其公共弦所在的直线方程或是公共弦长，只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长． (1)圆与直线l相切的情形——圆心到l的距离等于半径，圆心与切点的连线垂直于l. (2)圆与直线l相交的情形——圆心到l的距离小于半径，过圆心而垂直于l的直线平分l被圆截得的弦；连接圆心与弦的中点的直线垂直于弦；过圆内一点的所有弦中，最 短的是垂直于过这点的直径的那条弦，最长的是过这点的直径． 3.在解有关圆的解析几何题时，主动地、充分地利用这些性质可以得到新奇的思路，避免冗长的计算． 4．求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上，然后设出切线方程．注意：斜率不存在的情形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $