大题专项-专题04 立体几何（B卷·能力提升） --2026版四川省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》（原卷版+解析版）

公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 ,编写说明：2026版四川省（对口招生）三轮复习《数学考钢专题练》依据《中等> ⅰ职业学校数学课程标准》及四川省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试！ !动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每1 1个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 ！本专题是2026版四川省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第1 4个专题，内容为立体几何。 2026版四川省（对口招生）《数学考纲专题练》 专题4立体几何 (B卷·能力提升) 班级 姓名 学号 成绩 1.如图，在四棱锥P-ABCD中，AB/ICD,AB⊥BC,CD=2AB=2BC,PA⊥平面 ABCD,E为PD的中点，证明：AE/平面PBC. 0 ⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 2.如图，在四棱锥P-ABCD中，，AB⊥AD,BC/IAD,AD=2BC=2PA=2AB=2,E 、F、G分别为线段AD、DC、PB的中点， 证明：直线PF11平面ACG. 3.四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=I20°，PA⊥底面ABCD, PA=25,E,F分别是PC,PD的中点.已知BG=2BC,若平面EFG/平面PAB,求 1的值. A B G C 4.在正方体ABCD-ABCD,中，E、F、G分别是AD1、CDI、AD的中点.求证：平面 AA,C平面EFG. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 5.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，AB/ICD,AB=2CD,E为棱PB 的中点.证明：CE∥平面PAD. E 6.如图，在三棱柱ABC-A,B,C,中，AA,⊥平面ABC,4AA,=3AB,ABC是等边三角形， D,E,F分别是棱B,C1,AC,BC的中点.证明：AD∥平面C,EF· E A 7.如图所示，在四面体C-ABD中，CD⊥平面ABD,D为垂足，∠CAD=30°， ∠CBD=45°，ABC为直角三角形，且∠ACB=90°. C D A B (1)求二面角C-AB-D的平面角的大小； (2)若CD=2,求这个四面体的体积， os. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 8.在长方体ABCD-A,B,CD,中，AB=BC=2,过A,C,B三点的平面截去长方体的一 个角后，得到如图所示的几何体ABCD-4CD,这个几何体的体积为 40 D (1)求棱AA的长： (2)求二面角B-4C,-D,的余弦值. 9.如题图所示，在三棱锥S-ABC中，已知SA1平面ABC,∠CAB=60°，且 SA=AB=AC=3,D是BC的中点，求： S (1)二面角C-SA-B的平面角的正弦值； (2)SD与平面ABC所成角的余弦值· 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 10.如图所示，已知正四棱柱ABCD-A,B,C,D,的底面ABCD是正方形，AA=4,AB=2. D A (1)求证：BD⊥AC: (2)求三棱锥B,-BCD,的体积. 11.如图，已知AB1BC,△PAB是边长为4的等边三角形，平面PAB⊥平面ABC B C (1)求证：BC⊥PA; (2)若BC=4√2，求直线PC与平面PAB夹角的正切值 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 12.如图，已知在长方体ABCD-A,B,C,D,中，AB=1,BC=√2，AA,=V3,E为A4的 中点 B D C B D (1)证明：A,C∥平面BDE; (2)求A,C与平面ABCD所成的角的大小. 13.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，ADNM是矩形，平面 ADNM⊥平面ABCD,AD=2,AM=1,E是AB的中点. M E B (1)证明：AN∥平面MEC; (2)设P是线段AM上一点，若二面角P-EC-D的大小为30°，求AP的长. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 14.在正四棱锥P-ABCD中，底面正方形ABCD的边长是2，侧棱长为√6 B (1)求PB与底面所成角的余弦值， (2)求正四棱锥的体积， 15.如图，正方体ABCD-A,B,CD,被平面EFGH截成两个几何体，其中E,F,G,H分 别在棱CD,CC,BB,AB上· D H B D B (1)证明：EF‖平面DGH; (2)若AB=2A,H=2BG=3EC,=3FC,=6,且直线HE与GF交于点0，求三棱锥O-CEF的 体积. 66 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 16.如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是正方形，BC=2,BE=CE=√2 D (1)若平面CDEn平面ABE=1,证明：AB/11; (2)若面EBC⊥面ABCD,求四棱锥E-ABCD的侧面积· 17.如图，已知a/1B,点P是平面、B外一点，直线PA、PC分别与a、B相交于点A、 B和C、D.若PA=8cm,AB=10cm,PC=6cm,求CD的长， d A 18.如图所示，在三棱柱ABC-A,B,C,中，E、F、G、H分别是AB、AC、AB、AC的 中点，求证：平面EFA/平面BCHG· A H G B ○⊙ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 19如图，三棱锥P-ABC的底面是直角三角形ABC,直角顶点是A,AB=2,AC=√5， PC⊥平面ABC,且平面PAB与平面CAB所成的二面角的大小为45°，求： B------------- A (1)三棱锥C-PAB的体积 (2)直线PB与平面ABC所成的角的正切值. 20.如图1，在矩形ABCD中，点E在边CD上，BC=DE=2EC,将△DAE沿AE进行翻 折，翻折后D点到达P点位置，且满足平面PAE⊥平面ABCE,如图2. p B 图1 图2 (1)若点F在棱PA上，且EF∥平面PBC,求 PE PA (2)若AB=3,求点A到平面PBC的距离， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 编写说明：2026版四川省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及四川省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版四川省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第4个专题，内容为立体几何。 2026版四川省（对口招生）《数学考纲专题练》 专题4 立体几何 （B卷·能力提升） 班级 姓名 学号 成绩 1．如图，在四棱锥中，，，，平面，E为PD的中点，证明：平面. 【答案】证明见解析. 【分析】取CD的中点F，连接EF，AF，由面面平行的判定定理证明平面平面PBC，再由面面平行的性质即可得到证明. 证明：取CD的中点F，连接EF，AF. 因为E为PD的中点，所以， 又平面PBC，平面PBC，所以平面PBC. 因为，所以. 且，所以四边形ABCF是平行四边形，所以， 因为平面PBC，平面PBC，所以平面PBC； 因为，且平面AEF，平面AEF， 所以平面平面PBC； 因为平面AEF，所以平面. 2．如图，在四棱锥中，，，，，、、分别为线段、、的中点， 证明：直线平面. 【答案】证明见解析 【分析】连接、，与相交于点，连接，则由已知结合三角形中位线定理可得，由线面平行的判定定理可得平面，由三角形中位线定理可得，再由线面平行的判定定理可得平面，由面面平行的判定定理可得平面平面，然后由面面平行的性质可得结论 【详解】如图，连接、，与相交于点，连接， 因为，，为线段的中点，， 所以四边形为矩形，为的中点， 因为为的中点，所以为的中位线，， 因为平面，平面，所以平面， 因为、分别为线段、的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，平面，， 所以平面平面， 因为平面，所以平面. 3．四棱锥的底面是边长为2的菱形，，底面，，，分别是，的中点．已知，若平面平面，求的值. 【答案】． 【分析】由面面平行的性质定理可得，结合中点性质即可求的值. 【详解】若面面，面面，面面， 由面面平行的性质定理知：，于是， 由为的中点知：为的中点，故，所以． 4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G分别是A1D1、C1D1、AD的中点.求证：平面AA1C1∥平面EFG. 【答案】证明见解析 【详解】证明]∵E、F为A1D1、C1D1中点，∴EF∥A1C1. ∵G为AD中点，∴EG∥AA1. 又∵EF∩EG＝E，A1C1∩A1A＝A1， ∴面AA1C1∥面EFG. 5．如图，在四棱锥中，底面是梯形，，， 为棱的中点. 证明：平面.    【答案】证明见解析 【分析】根据三角形中位线定理，结合平行四边形的判定定理和性质、线面平行的判定定理进行证明即可. 【详解】取线段的中点，连接， 则为的中位线，∴ 由题知， ∴， 所以四边形为平行四边形，∴， 又∵平面，平面， ∴平面。    6．如图，在三棱柱中，⊥平面，，是等边三角形，分别是棱的中点．证明：平面．    【答案】证明见解析 【分析】由线线平行证明面面平行，再由面面平行证明线面平行； 【详解】    连接BD. 因为E，F分别是棱AC，BC的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. 因为D，F分别是棱，BC的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，则. 因为平面，平面，所以平面. 因为平面ABD，平面ABD，且，平面 所以平面平面， 因为平面ABD，所以平面. 7．如图所示，在四面体中，平面，D为垂足，，，为直角三角形，且. (1)求二面角的平面角的大小； (2)若，求这个四面体的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】(1) 作交于，连接，证明，可寻找到二面角的平面角为，在中可求解； (2)计算出的面积，利用体积公式可求解. 【详解】（1） 如上图，作交于，连接， 因为平面，所以， ，且两直线是平面内的相交直线， 平面， 即为二面角的平面角. 设，由已知条件，在可求得：， 在可求得：， 在可求得：， 由可得，， 在中，， 故，即二面角的平面角的大小为. （2）由(1)知，， 在中， ， 故， 即这个四面体的体积为. 8．在长方体中，，过，，三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，这个几何体的体积为. (1)求棱的长； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）根据柱体、锥体体积公式计算，可得结果； （2）取中点，找到二面角的平面角，然后根据余弦定理计算即可. 【详解】（1）设，依题意可得，解得， 故棱的长为4. （2）取中点，连结、， 因为取、，所以就是二面角的平面角， 又、、，由余弦定理可知，， 所以二面角的余弦值为. 9．如题图所示，在三棱锥中，已知平面，，且，D是的中点，求： (1)二面角的平面角的正弦值； (2)与平面所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用垂面法找到二面角的平面角，再求正弦值即可解答； （2）利用线面角定义找到此角，再求余弦值. 【详解】（1）因为平面，且平面,平面, ， 所以为二面角的平面角， 因为，， 所以， 即二面角的平面角的正弦值为. （2）因为平面，平面，所以, 那么为与平面所成的线面角， 因为为中点，，所以, 所以, 所以, 即有, 故与平面所成角的余弦值为. 10．如图所示，已知正四棱柱的底面是正方形，，. (1)求证：； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据线面垂直的判定定理证明线面垂直，即可证明线线垂直； （2）根据三棱锥的体积公式求解. 【详解】（1）证明：连接， ∵是正方形，故， ∵平面 ，平面，故， 而平面，平面，，∴平面, ∵平面，∴. （2）由长方体知， 平面， ∴三棱锥的体积： . 11．如图，已知是边长为4的等边三角形，平面平面    (1)求证：； (2)若，求直线与平面夹角的正切值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）根据面面垂直的性质,得出平面又由线面垂直的性质即可证明. （2）由（1）知,平面得再根据已知条件, 在中,即为与平面夹角,即可求出. 【详解】（1）证明：因为平面平面, 又因为,平面平面 平面, 所以平面 又平面 所以. （2）由（1）知,平面所以是与平面所成的角， 因为平面 所以则是直角三角形, 因为是边长为4的等边三角形, 所以 又 在中,即为与平面夹角, 所以 12．如图，已知在长方体中，，，，为的中点． (1)证明：平面; (2)求与平面所成的角的大小． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）由直线与平面平行的判定定理即可得结果； （2）由底面可得线面角为，即可解得结果. 【详解】（1）证明：由题图连接交于点，连接，因为底面为长方形， 所以为的中点，又因为为的中点，所以为的中位线， 因此，，又因为平面，且不属于平面，所以平面； （2）解：由题知为长方体，所以底面， 所以为与平面所成的角，在直角三角形中， ，因此， 故可知与平面所成的角的大小为. 13．在如图所示的几何体中，四边形是菱形，，是矩形，平面平面，，，是的中点.    (1)证明：平面； (2)设是线段上一点，若二面角的大小为，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据条件连交于，连，再根据四边形是平行四边形，可知是的中点，从而可得，再根据线面平行的判定即可； （2）先作于，连，证是二面角，再依据，使用等面积法，算出，即可算出. 【详解】（1）证明：连交于，连. 依题设可知且，则是平行四边形， 所以是的中点. 又是的中点，所以， 而平面，平面，则平面. （2）于，连. 因为平面平面，， 所以平面，平面，则， 又因为与相交于点，且都在平面内， 因此平面，在平面内，则. 故是二面角的平面角等于.    在中，，，， 根据余弦定理计算可得. 由得， 则. 14．在正四棱锥中，底面正方形ABCD的边长是2，侧棱长为.    (1)求PB与底面所成角的余弦值； (2)求正四棱锥的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作辅助线找到PB与底面所成角，进而求解； （2）根据棱锥的体积公式即可求解. 【详解】（1）    连接AC，BD交于点O，连接PO， 正四棱锥中，底面正方形ABCD的边长是2，侧棱长为， 所以，O为AB，CD的中点， 所以， 又因为平面ABCD，平面ABCD， 所以平面ABCD， 所以即为PB与底面所成角， 在中, ； （2）正四棱锥的底面积， 高为， 所以正四棱锥的体积. 15．如图，正方体被平面截成两个几何体，其中，，，分别在棱，，，上．      (1)证明：∥平面； (2)若，且直线与交于点，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)8 【分析】（1）由面面平行的性质可得∥，然后由线面平行的判定定理可证得结论； （2）由平面的性质结合题意可得，再由∽，可求出，从而可求得结果. 【详解】（1）证明：由正方体性质可得平面∥平面， ∵平面平面，平面平面， ∴∥． ∵平面，平面， ∴∥平面． （2）解：∵，平面，∴平面． ∵，平面，∴平面． ∵平面平面，∴． ∵∥，∴∽， ∴， 即，则， ∴． 16．如图，在四棱锥中，底面是正方形，，．    (1)若平面平面，证明：； (2)若面⊥面，求四棱锥的侧面积． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）证明出线面平行，进而由线面平行的性质得到结论； （2）由面面垂直得到线面垂直，进而得到线线垂直，求出各个边长，求出侧面积. 【详解】（1）因为底面是正方形，所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为平面，平面平面， 所以； （2）因为平面⊥平面，交线为，，平面， 所以⊥平面，同理可得⊥平面， 因为平面，所以⊥，同理可得， 因为，所以， 又，由勾股定理逆定理得， 故， 由勾股定理得， 又， 取中点，连接，则⊥，故， 所以， 四棱锥的侧面积为.      17．如图，已知，点是平面、外一点，直线、分别与、相交于点、和、．若，，，求的长．    【答案】 【分析】由面面平行，可得线线平行，再由相似三角形即可求解长度. 【详解】∵，平面平面，平面平面， ∴， ∴和相似， ∴，即，解得， ∴的长为． 18．如图所示，在三棱柱中，、、、分别是、、、的中点，求证：平面平面．    【答案】证明见解析 【分析】先证明，得到平面，再证明，得到平面，最后由面面平行的判定定理即可证明． 【详解】∵、分别是、的中点， ∴， 又∵平面，平面， ∴平面． ∵，且， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵平面，平面， ∴平面, ∵，平面，平面， ∴平面平面． 19.如图，三棱锥的底面是直角三角形，直角顶点是，，，平面，且平面与平面所成的二面角的大小为45°，求：    (1)三棱锥的体积； (2)直线与平面所成的角的正切值． 【答案】(1)1; (2). 【分析】（1）由线面垂直的判定定理和性质定理证明线线垂直从而确定平面与平面所成的角，并利用等体积法求出三棱锥的体积； （2）先确定直线与平面所成的角为，再利用直角三角函数求解即可. 【详解】（1）平面，平面，， 又，，平面， 平面，平面，， 即为平面与平面所成的角， 由题意可知， ，， ， 为等腰直角三角形，， ． （2）平面， 直线与平面所成的角为， ，， ． 20．如图1，在矩形中，点E在边上，，将沿进行翻折，翻折后D点到达P点位置，且满足平面平面，如图2. (1)若点F在棱上，且平面，求； (2)若，求点A到平面的距离， 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在上取点作∥，根据面面平行的性质可得∥；（2）作，根据面面垂直的性质可得平面，再根据等体积转换求结果 【详解】（1）如图，在上取点，使得∥，连接，， 则∥∥. 因为平面，平面平面，所以∥， 所以四边形是平行四边形，所以. 又因为，所以. （2）作，垂足为，连接，，. 因为平面平面，平面平面，所以平面. 由条件可知是等腰直角三角形，，. ，所以三棱锥的体积为. 在底面内计算可得，所以 同理可得. 所以是等腰三角形，面积为. 设点到平面的距离为，则，即， 解得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $