大题专项-专题06 概率与统计初步（讲义）-2026版四川省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版四川省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及四川省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版四川省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第6个专题，内容为概率与统计初步。 2026版四川省（对口招生）二轮复习 《数学考纲专题练》 专题06 概率与统计初步 一、课标解读 1．抽样方法 2．古典概型 3．频率分布直方图 4．随机变量的概率与分布列 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2023 解答题 21 随机变量的概率与分布列 12 （1）题型：解答题。 （2）分值：分值稳定在12分。 （3）内容：频率分布直方图、随机变量的概率与分布列、抽样方法等。 2024 解答题 21 抽样方法与古典概型 12 2025 解答题 21 频率分布直方图与样本的数字特征 12 三、考点预测 根据2023-2025年的真题考情，预估2026年四川省对口招生考试依然有1道题目对概率与统计初步的知识点进行考查，题型为解答题，分值为12分。 具体考点可能涉及如下内容： · 抽样方法（重点是分层抽样） · 古典概型 · 频率分布直方图及样本的数字特征 · 随机变量的概率与分布列 四、知识梳理 1．简单随机抽样 (1)定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样． (2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法． 2．系统抽样的步骤 假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本． (1)编号：先将总体的N个个体编号； (2)分段：确定分段间隔k，对编号进行分段，当(n是样本容量)是整数时，取k＝； (3)确定首个个体：在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)； (4)获取样本：按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本． 3．分层抽样 (1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样． (2)分层抽样的应用范围： 当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样． 4．频率分布直方图 (1)通常我们对总体作出的估计一般分成两种，一种是用样本的频率分布估计总体的频率分布，另一种是用样本的数字特征估计总体的数字特征． (2)在频率分布直方图中，纵轴表示，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示，各小长方形的面积总和等于1. (3)连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线，统计中称之为总体密度曲线，它能够更加精细的反映出总体在各个范围内取值的百分比． (4)当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留所有信息，而且可以随时记录，给数据的记录和表示都带来方便． 5．用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数、中位数、平均数 ①众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数． ②中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数． ③平均数：样本数据的算术平均数，即＝(x1＋x2＋…＋xn)．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等． (2)样本方差、标准差 标准差 其中xn是样本数据的第n项，n是样本容量，是平均数． 标准差是反映总体波动大小的特征数，样本方差是标准差的平方．通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差． 6．基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的． (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 7．古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)有限性：实验中所有可能出现的基本事件只有有限个. (2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等. 8．古典概型的概率公式 P(A)＝. 9．离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量． 10．离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 称为离散型随机变量X的概率分布列． (2)离散型随机变量的分布列的性质 ①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1 五、知识检测 1．我校高一举办中华优秀传统文化知识竞赛．用简单随机抽样的方法，从该年级全体600名学生中抽取20名，其竞赛成绩如图． (1)求这20名学生成绩的众数、中位数和平均数． (2)若规定成绩大于或等于90分为优秀等级，试估计该年级获优秀等级的学生人数． 2．某中职学校为了解2025届高三学生的备考情况，抽查了100名高三学生的冲刺训练成绩（单位：分），总分750分．其分组为，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中x的值； (2)若成绩在的学生称为“尖子生”，成绩在的学生称为“学霸生”．现从“尖子生”和“学霸生”中用分层抽样的方法抽取6名学生开展座谈会．再从这6名学生中选取3名进行经验交流，记从“学霸生”中选取的人数为，求随机变量的分布列及数学期望． 3．已知某职业学校机电、信息、校企三个系部的学生人数分别为225，150，150，现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动， (1)求从机电、信息、校企三个系部的学生中分别抽取的人数 (2)现从7人中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作，设事件为“抽取的2名同学来自同一系部”，求事件的概率， 4．甲乙两人参加一次答题比赛，他们需要从4道备选题中一次性随机抽取3道作答，如果能正确答对两题以上（含两题）便可获得奖励．已知4道备选题中，甲有2道题能正确完成，2道题不能正确完成；乙每道题正确完成的概率都是，且每道题正确完成与否互不影响．求： (1)甲恰好正确完成两道题目的概率； (2)乙正确完成题数的分布列及其数学期望． 5．某研究机构为了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（第1~5组区间分别为，，，，）.    (1)求选取的市民年龄在内的人数； (2)若用分层抽样的方法从第3，4组选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中做重点发言，求做重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 1．(1)众数为90分，中位数为90分，平均数为分 (2)450 【分析】（1）通过柱状图数据，利用众数、中位数、平均数的定义，分别计算对应值. （2）根据用样本估计总体，即可求解. 【详解】（1）由所给数据知，80分2个，85分3个，90分8个，95分5个，100分2个， 这20名学生成绩的众数为90分． 在20个数据中，中位数为从小到大排列后的第10个数与第11个数的平均数， 因为，，所以从小到大排列后， 第10个数与第11个数均为90，所以这20名学生成绩的中位数为分． 这20名学生成绩的平均数为分． （2）在抽取的20名学生中，有名学生为优秀等级， 人，所以该年级获优秀等级的学生人数约为450． 2．(1). (2)分布列见解析，1. 【分析】（）由频率分布直方图的性质列出方程即可得解. （）根据分层抽样的定义求出成绩在的学生与在的学生人数，结合组合数的定义与古典概型公式求出分布列，代入期望公式即可得解. 【详解】（1）由频率分布直方图可得， 解得． （2）100名高三学生中，成绩在的学生人数为，成绩在的学生人数为， 用分层抽样的方法抽取的6名学生中，成绩在的学生人数为，成绩在的学生人数为， 的所有可能取值为0，1，2， 则， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 P 数学期望为． 3．(1)从机电、信息、校企三个系部的学生中分别抽取3人，2人，2人 (2) 【分析】（1）利用分层抽样的等比例性质即可得解； （2）利用古典概型的概率公式，结合组合的相关知识即可得解， 【详解】（1）因为某职业学校机电、信息、校企三个系部的学生人数分别为225，150，150， 所以这三个系部的学生人数之比为， 又采用分层抽样的方法从中抽取7名同学， 因此应从机电、信息、校企三个系部的学生中分别抽取3人，2人，2人. （2）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果共种， 其随机抽取的2名同学来自同一系部的所有可能结果共种， 所以事件M发生的概率为， 4．(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）分别计算从4道题中一次性随机抽取3道作答的基本事件总数，及甲恰好正确完成两道题目所包含的基本事件数，根据古典概型概率公式计算即可得解； （2）乙正确完成题数，则的取值范围是0，1，2，3，求出取每个值时的概率，即可得分布列，然后根据二项分布期望的求法求解即可. 【详解】（1）由题意，甲恰好正确完成两道题目的概率为． （2）由题意得，的所有可能取值为0，1，2，3， 则， ， ， ， 的分布列为 0 1 2 3 ． 5．(1)20 (2). 【分析】（1）根据频率分布直方图的含义即可求解； （2）利用分层抽样方法及古典概型的概率计算公式即可求出概率. 【详解】（1）设选取的市民年龄在的人数为. 根据频率分布直方图年龄在的频率为. ∵，∴. （2）由题意得，第3，4组的人数分别为60，40. ∴用分层抽样的方法选取的5名市民中第3，4组的人数分别为3人，2人. 再从中选取2人在座谈会中作重点发言的.总基本事件数为. ∴至少一人的年龄在的基本事件数为. ∴. 六、经典例题解析 【例1】（24-25高三下·四川·对口/高职单招）某高中为了解本校高三年级学生的体育锻炼情况，随机抽取100名学生，统计他们每天体育锻炼的时间，并以此作为样本，按照，，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.已知.    (1)求频率分布直方图中和的值； (2)估计样本数据的平均数. 【答案】(1) (2)72 【分析】（1）根据题意，根据频率分布直方图中，各小组的频率之和为1，即可列式求解； （2）根据题意，结合频率分布直方图中，平均数的计算，即可求解. 【详解】（1）由题意，得， 所以，又， 所以； （2）由题意，样本数据的平均数为 【例2】（24-25高三下·四川·职教高考）甲、乙参加学校科普知识竞赛，竞赛成绩不低于96分可获“一等奖”．为预测甲、乙的竞赛结果，收集了两人的模拟竞赛成绩（单位：分），数据如下： 甲 87 94 98 90 92 97 96 94 96 93 乙 96 98 96 96 95 95 94 96 96 93 假设用频率估计概率，且甲、乙的成绩相互独立． (1)分别估计甲、乙获“一等奖”的概率； (2)设X是甲、乙获“一等奖”的总人数，求X的均值． 【答案】(1)甲、乙获“一等奖”的概率分别为和 (2) 【分析】（1）根据表格中甲乙两人不低于96分的成绩个数比总数即可分别得到两人获得“一等奖”的频率和概率. （2）分别求出甲、乙获“一等奖”的总人数为0，1，2的概率，列出分布列，再利用数学期望公式求均值即可. 【详解】（1）甲在以往参加的10次知识竞赛中有4次成绩可以获得一等奖． 记事件为“甲在本次知识竞赛中获得一等奖”， 则， 乙在以往参加的10次知识竞赛中有6次成绩可以获得一等奖， 记事件B为“乙在本次知识竞赛中获得一等奖”， 则． （2）的所有可能取值为0，1，2， 记事件为“甲在本次知识竞赛中获得一等奖”， 记事件为“乙在本次知识竞赛中获得一等奖”， 则由（1）知，， 则， ， ， 所以其分布列为： X 0 1 2 P 因此． 【例3】（23-24高三下·四川·对口/高职单招）某景区为了解2023年第四季度接待游客量情况，随机抽取了该季度中20天的日接待游客量（单位：人次）的数据，得到如下频数分布表： 日接待游客量 频数 4 8 5 3 (1)试估计该景区第四季度日接待游客量不低于5000人次的概率； (2)若同一组中的日接待游客量用该组的中间值（如的中间值为2000）来估计，试估计该景区第四季度的平均日接待游客量. 【答案】(1)0.4 (2)4700 【分析】（1）根据频率估计概率即可求解. （2）根据平均数计算公式进行计算即可求解. 【详解】（1）由题意可知，2023年第四季度的20天中日接待游客量不低于5000人次的频数为， 所以日接待游客量不低于5000人次的频率为， 由频率估计概率，可知该景区第四季度日接待游客量不低于5000人次的概率约为. （2）由题中表以及平均数计算公式可知， 该景区第四季度的平均日接待游客量约为. 【例4】（23-24高三下·四川·职教高考）某超市举行开业促销活动，顾客从装有2个红球、4个黄球、14个白球的盒子中任抽取一球（假设每个球被抽到的可能性相同）.抽到红球、黄球、白球分别获得面额50元、30元、20元的代金券一张. (1)求顾客抽到红球的概率； (2)设为顾客获得的代金券金额（单位：元），求随机变量的均值. 【答案】(1) (2)25 【分析】（1）利用古典概型的概率公式即可求解. （2）求出随机变量的所有可能取值，并求出对应的概率，再列出分布列即可求解. 【详解】（1）因为抽奖箱内有个球，红球2个，所以抽到红球的概率为. （2）由题可知，随机变量可取的值有50，30，20， ，，， 随机变量的分布列如下： 50 30 20 所以， 所以，随机变量的均值为25. 【例5】（23-24高三下·四川·对口/高职单招）为弘扬中华优秀传统文化，某学校将开展传统文化知识竞赛.已知该学校的文学､朗诵､书画､戏曲4个社团的人数分别为，且每个社团的成员都只参加了1个社团.竞赛组委会拟采用分层抽样的方法从以上4个社团中抽取12名同学担任志愿者. (1)求应从这4个社团中分别抽取的志愿者人数； (2)若从抽取的12名志愿者中随机抽取3名担任竞赛分数统计员，求抽取的3名统计员中恰有2名来自同一社团的概率. 【答案】(1)5；4；2；1. (2) 【分析】（1）先确定抽样比，再分别计算每层抽取的人数即可求得. （2）根据组合的应用分别计算出基本事件总数以及事件A中包含的基本事件数，再根据古典概型概率公式计算即可. 【详解】（1）由题意，抽样比为， 所以从文学社团抽取的志愿者人数为； 从朗诵社团抽取的志愿者人数为； 从书画社团抽取的志愿者人数为； 从戏曲社团抽取的志愿者人数为； 综上所述，应从文学、朗诵、书画、戏曲4个社团中分别抽取的志愿者人数为5，4，2，1. （2）由题意，从抽取的12名志愿者中随机抽取3名担任竞赛分数统计员，共有种抽法； 记“抽取的3名统计员中恰有2名来自同一社团”为事件A； 其中抽取的3名统计员中恰有2名来自文学社团的方法有种， 抽取的3名统计员中恰有2名来自明诵社团的方法有种， 抽取的3名统计员中恰有2名来自书画社团的方法有种； 故抽取的3名统计员中恰有2名来自同一社团的方法共有种； 故抽取的3名统计员中恰有2名来自同一社团的概率为. 【例6】（24-25高三下·四川·模拟预测）已知盒中有10个除颜色外，形状和大小完全相同的小球，其中红球7个，白球3个，现从中任意取出2个球． (1)设取出的球中红球的个数为，求的概率分布； (2)求取出的2个球颜色相同的概率． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据题意列出可以取到红球个数的情况，再求出对应的概率得到分布列. （2）利用对立事件的概率公式求解即可. 【详解】（1）的所有可能取值为0，1，2，                             则，                 ，                     ，                             所以的分布列为 0 1 2 P （2）取出的2个球颜色相同的概率． 【例7】（24-25高三下·四川自贡·二模）某单位“三•八”节抽奖：从抽奖箱里的2红8白，只有颜色不同的10个球中任意摸出一个球，摸到红球者获奖300元，摸到白球者获奖100元．其中每位男职工摸奖一次；每位女职工摸奖两次，以这两次摸奖中的最高奖作为她的最终得奖金且两次均摸到红球者另获鲜花一束． (1)若有7名员工共摸奖11次，现从这7名员工中任选2名作主持人，求主持人恰好一男一女的概率． (2)每位女职工获得奖金金额为元，求随机变量的概率分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，172 【分析】（1）根据摸奖次数求出7名员工中的男女数，再结合组合数计算概率即可. （2）分别求出每位女职工获得100元与获得300元的概率即可求解. 【详解】（1）设这7人中男职工人，女职工人， 则由，解得． 从7名员工中任选2名，恰好一男一女的概率． （2）X可能的取值有100，300， 每位女员工每次摸到红球的概率为， 摸到白球的概率为， 获得100元即两次都摸到白球，概率为， 获得300元即至少一次摸到红球，概率为， 随机变量X的概率分布为 X 100 300 P 0.64 0.36 随机变量X的数学期望为： . 【例8】（24-25高三下·四川眉山·一模）某商场举办抽奖活动，抽奖箱内有红球2个，白球3个，黄球5个.这些球除颜色外无异，现从中抽取3个球.求： (1)抽到的3个球中恰有2个红球的概率； (2)设表示抽到红球的个数，求随机变量的概率分布和数学期望. 【答案】(1) (2)概率分布见详解；数学期望 【分析】（1）根据题意，结合古典概率的计算，及组合数的应用，即可求解； （2）根据题意，可得随机变量的可能取值为，结合古典概率的计算，及组合数的应用，分别求出对应的概率，即可求得概率分布，结合数学期望的计算公式，即可求解. 【详解】（1）由题意，可得抽到的3个球中恰有2个红球的概率； （2）由题意，的可能取值为， ；； ； 所以随机变量的概率分布为 0 1 2 所以数学期望. 【例9】（2024高三·专题练习）随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位： cm），按照区间[160，165），[165，170），[170，175），[175，180），[180，185]分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示. (1)求频率分布直方图中x的值及身高在170 cm及以上的学生人数； (2)将身高在[170，175），[175，180），[180，185]区间内的学生依次记为A，B，C三个组，用分层随机抽样的方法从这三个组中抽取6人，求这三个组分别抽取的学生人数. 【答案】(1)x＝0.06，60 (2)A组3人；B组2人；C组1人 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1求解x；求出身高在170cm及以上的频率，利用频数=样本容量×频率可得. （2）根据分层抽样的相关运算进行求解即可. 【详解】（1）由频率分布直方图可知5×（0.07＋x＋0.04＋0.02＋0.01）＝1， 解得x＝0.06， 身高在170 cm及以上的学生人数为100×5×（0.06＋0.04＋0.02）＝60. （2）A组人数为100×5×0.06＝30，B组人数为100×5×0.04＝20，C组人数为100×5×0.02＝10， 由题意可知A组抽取人数为30×＝3，B组抽取人数为20×＝2，C组抽取人数为10×＝1， 故A，B，C三个组分别抽取的学生人数为3，2，1. 【例10】（23-24高三上·四川·二模）中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日至22日在北京顺利举行，某电视台就人民群众对“二十大”的关注度进行了调查，随机抽取80名群众进行调查，将他们的年龄分成6段：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求这80名群众年龄的中位数； (2)将频率视为概率，现用随机抽样的方法从该80名群众中每次抽取1人，共抽取2次，记被抽取的2人中年龄在的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列及数学期望． 【答案】(1)55 (2)分布列见解析， 【分析】（1）利用中位数的性质易得答案. （2）先列出分布列,再根据数学期望公式求出答案. 【详解】（1）设80名群众年龄的中位数为，根据频率分布直方图有： 解得． 即80名群众年龄的中位数为55． （2）由频率分布直方图可知，任意抽取1名群众，年龄恰在的概率为， 由题意可知，的所有可能取值为0，1，2， 的分布列为 0 1 2 P 所以． 七、专题归纳小结 1．三种抽样方法的联系 三种抽样方法的共同点都是等概率抽样，即抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，体现了这三种抽样方法的客观性和公平性．若样本容量为n，总体的个体数为N，则用这三种方法抽样时，每个个体被抽到的概率都是.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．三种抽样方法的特点 (1)简单随机抽样的特点：总体中的个体性质相似，无明显层次；总体容量较小，尤其是样本容量较小；用简单随机抽样法抽取的个体带有随机性，个体间无固定间距． (2)系统抽样的特点：适用于元素个数很多且均衡的总体；各个个体被抽到的机会均等；总体分组后，在起始部分抽样时，采用简单随机抽样． (3)分层抽样的特点：适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；分层后，在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样． 3．众数、中位数、平均数的异同 (1)众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量． (2)平均数的大小与一组数据里每个数据均有关系，任何一个数据的变动都会引起平均数的变动，而中位数和众数都不具备此性质． (3)众数体现各数据出现的频率，当一组数据中有若干数据多次出现时，众数往往更能反映问题． (4)中位数仅与数据的排列位置有关，中位数可能出现在所给数据中，也可能不在所给数据中，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其集中趋势．　 4．古典概型计算三步曲 第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少个． 5．求分布列的关键是正确求出随机变量的所有可能值及对应的概率，要注意避免分类不全面或计算错误． 6．注意运用分布列的两个性质检验求得分布列的正误． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $