23.3.4 相似三角形的应用-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(华东师大版)

23.3 相似三角形 情境导入 知识讲解 随堂小测 当堂检测 课堂小结 4. 相似三角形的应用 学习目标 1.能运用相似三角形的性质和判定解决实际生活中的高度和宽度等类问题.（重点） 2.能正确分析实际问题中的数量关系进行计算或证明.（重点） 3.抓住实际问题的实质并构造相似三角形模型进行方案设计.（难点） 情境导入 你知道怎样测量金字塔的高度和河流的宽度吗？ 人们从很早开始，就懂得利用相似三角形的有关性质来计算那些不能直接测量的物体高度和两地距离. 知识讲解 知识点1 利用相似三角形测高 例6 古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：如图，为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O'B'，比较木棒的影长A'B'与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB.如果O'B'=1 米，A'B'=2米，AB=274 米，求金字塔的高度OB. 规范解答： ∵太阳光线是平行光线，∴∠OAB=∠O′A′B′. ∵∠ABO=∠A′B′O′=90°， ∴△OAB∽△O′A′B′(两角分别相等的两个三角形相似)， ∴∴OB==137(米). 答：金字塔的高度OB为137米. 金字塔的影长AB为露在外面的影长AC与金字塔底边的一半CB的长度的和. 拓展 测量物体高度的几种方法 1.利用太阳光或灯光下的影子 A B C D E 拓展 测量物体高度的几种方法 2.利用标杆 C D E F B A 拓展 测量物体高度的几种方法 3.利用镜子的反射 A B C D E 随堂小测 O B D C A ┏ ┛ 1 m 16 m 0.5 m ？ 某一时刻树的影长为 8 m，同一时刻身高为 1.5 m的人的影长为 3 m，则树高为______m. 4 知识讲解 知识点2 利用相似三角形测长度或宽度 例7 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和C，使AB⊥BC，然后，再选定点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交 点D.此时如果测得BD=118米，DC = 61米，EC =50米，求河的宽度AB.(精 确到0.1米) 规范解答： ∵∠ADB=∠EDC，∠ABD=∠ECD=90°， ∴△ABD∽△ECD(两角分别相等的两个三角形相似)， ∴解得AB= 96.7(米). 答：河的宽度AB约为为96.7米. 拓展 测量不能直接到达的两点间的距离 1.构造“A”型相似 拓展 测量不能直接到达的两点间的距离 2.构造“X”型相似 随堂小测 如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20 m，CE＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度AB等于 ( ) A．60 m　　　B．40 m　　　C．30 m　　　D．20 m B 知识讲解 知识点3 利用相似三角形证明等积式 例8 如图，已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且∠ADE=∠C.求证：AD·AB=AE·AC. 证明：∵∠ADE=∠C，∠A=∠A， ∴△ADE∽△ACB(两角分别相等的两个三角形相似)， ∴ ∴AD·AB=AE·AC. 拓展 利用相似三角形证明等积式的步骤 将等积式转化为比例式 观察比例式中的线段是否在两个形状相同的三角形中(三点定形法) 证明这两个三角形相似 利用如下方法转化：①等线段转化；②中间比转化；③添加辅助线构造相似三角形转化 根据相似三角形或转化得到比例式，再化为等积式 在 不在 当堂检测 1. 如图，身高为1.6米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他 站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合， 并测得AC＝2.0米，BC＝8.0米，则旗杆的高度是 (　　) A．6.4米 B．7.0米 C．8.0米 D．9.0米 C 2．如图，为了测量一池塘的宽DE，在岸边找到一点C，测得CD＝30 m，在DC的延长线上找一点A，测得AC＝5 m，过点A作AB∥DE交EC的延长线于点B，测出AB＝6 m，则池塘的宽DE为 ( ) A．25 m B．30 m C．36 m D．40 m C 3.如图所示，有点光源 S 在平面镜上面，若在 P 点看到点光源 的反射光线，并测得 AB＝10 cm，BC＝20 cm，PC⊥AC，且 PC＝24 cm，则点光源 S 到平面镜的距离 SA 的长为 . 12 cm 4.如图,小明设计了两个直角三角形来测量河宽DE,他量得AD=20 m,BD=15 m,CE=45 m,求河宽DE. 解:∵∠CEA=∠BDA=90°,∠A=∠A, ∴△ABD∽△ACE, ∵AD=20 m,BD=15 m,CE=45 m, 解得DE=40(m). 答:河宽DE为40 m. 5．如图，地上安置了一盏照明灯A，照着一堵高墙，现有一人(身高1.5 m)自光源处向墙壁走近3 m时，墙上的人影恰好也是3 m，若此人再向前走1 m，求此时墙上人影的高． 课堂小结 (1)利用太阳光线平行构造相似，利用同一时刻物高与影长成比例构 造比例式；画数学图形找相似解决实际问题； (2)没有相似时可以构造直角三角形； (3)对于不易测量的长度或高度，可以用易测量的对应线段通过成比 例来计算． 利用相似三角形解决实际问题的方法： 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 绿卡图书—走向成功的通行证 解：∵MB∥FD，∴△AMB∽△AFD， ∴eq \f(MB,FD)＝eq \f(AB,AD)，即eq \f(1.5,3)＝eq \f(3,AD)，∴AD＝6. 又∵NC∥ED，∴△ANC∽△AED， ∴eq \f(NC,ED)＝eq \f(AC,AD)，即eq \f(1.5,ED)＝eq \f(4,6)，∴ED＝2.25. 答：此时墙上人影的高为2.25 m. $