23.1.1 成比例线段-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(华东师大版)

23.1.1 成比例线段 课题 23.1.1 成比例线段 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P48-51 教学目标 1.了解相似形、线段的比的概念；会求两条线段的比，应用线段的比解决实际问题。 2.掌握比例的基本性质，提高解决问题的能力，培养学生的数学应用意识，体会数学与自然、社会的密切联系。 3.理解并掌握比例的其他性质。 4.能运用比例的其他性质进行相关计算，能通过比例变形解决一些实际问题。 教学重难点 重点：1.理解成比例线段的概念并会求解。 2.理解并掌握比例的其他性质。 难点：1.求线段的比时，注意线段长度单位要统一。 2.能运用比例的其他性质进行相关计算，能通过比例变形解决一些实际问题。 教学准备 多媒体课件。 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 在实际生活中，我们经常会看到许多形状相同的图片。 教师活动：多媒体展示生活中的图片，并提问：观察上面图形，每一组图形有什么特点？ 学生回答：形状相同，大小不同。 我们把这种具有相同形状的图形称为相似图形，这节课，我们来学习成比例线段及比例的基本性质。（教师板书课题： 23.1.1 成比例线段） 通过用多媒体展示生活的图片,引入本章的学习内容——相似图形,初步感知相似图形,引发学生思考相似图形的特征，激发学生的求知欲及学习兴趣，为新课的学习做好情感铺垫。 2.实践探究，学习新知 【探究】 情境1： 教师活动：多媒体展示一些图形，并提问：你能在下面这些图形中找出形状相同的图形吗？ 学生回答：学生通过观察可以指出形状相同的图形，也可以口述说出第几个图形和第几个图形形状相似。 教师追问：这些形状相同的图形有什么不同？ （利用多媒体技术，通过放大或缩小得到形状相同、大小不同的图形，引导学生观察放大、缩小的过程中图形上相应线段也被放大或缩小） 总结：因此，对于形状相同而大小不同的两个图形，我们可以用相应线段长度的比来描述它们的大小关系。 试一试 在下面的格点图中我们可以得到 ， 。 这样与之间有什么关系？ 预设： ，，从中得到。 【教材例题】 例1 判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段： （1）a=4，b=8，c=5，d=10； （2）a=2，b=，c=，d=。 教师活动：操作投影仪。组织学生演练，巡视，等待大部分学生练习做完之后，再请两位学生上台演示，交流。 学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题。 解：（1）∵， ∴， ∴线段a、b、c、d是成比例线段。 （2）∵， ∴， ∴线段a、b、c、d是成比例线段。 【归纳总结】 对于给定的四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，如=（或a∶b=c∶d），那么，这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段。此时也称这四条线段成比例。 （教学中教师要引导学生注意，四条线段成比例与这四条线段的顺序有关，不能变动。例如，=叫做线段a、b、c、d成比例，不能说成是b、a、c、d成比例。） 情境2： 如果a，b，c，d四个数成比例，即=，那么ad=bc吗？ 预设：方法一：利用等式的基本性质，在=两边同时乘bd，得到ad=bc。 方法二：==k，那么a=bk，c=kd，因此ad=kb·d= b·kd=bc。 师生活动：方法一学生比较熟悉，很容易想到，教学中应予以肯定，方法二有助于今后学习，教师要引导学生能够正确使用此方法。 教师追问：如果ad=bc，那么a，b，c，d四个数成比例吗？与同伴交流。 学生回答：利用等式的基本性质，在两边同时除以bd，得到=。 （教师要引导学生注意：由ad=bc得出=是有条件的，即要求b≠0，d≠0） 【归纳总结】 如果=，那么ad=bc。 如果ad=bc（a，b，c，d都不等于0），那么=。 情境3： 已知a，b，c，d四个数。如果（a≠b），那么和成立吗？为什么？ 教师活动：由前面我们可以得到；，教师据此引导学生解决问题。 【归纳总结】 如果，那么。 如果，那么。 【教材例题】 例2 已知，求证：（1）； （2） 教师活动：操作投影仪。组织学生演练，巡视，等待大部分学生练习做完之后，再请两位学生上台演示，交流。 学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题。 解：（1）∵， 等式两边同时加上1，得， ∴。 （2）∵，∴ad=bc 等式两边同时减去ac，得ad-ac=bc-ac， ∴ac-ad=ac-bc，∴a（c-d）=c（a-b）， 由a≠b，且，知c≠d，从而a-b≠0，且c-d≠0，上式两边同除以（a-b）（c-d），得。 从生活图片过渡到平面图形，引导学生寻找表示方法，引出线段的比。 通过格点图中两个四边形对应边的比值的计算，引导学生发现这两组对应线段的比相等，进而引出比例线段的概念。 对知识进行巩练习，使学生对知队加深理解，便于教师及时了解学生对本节课内容的掌握情况。培养学生应用所学知识解决问题的能力。 通过提问复习回顾小学学过的比例的基本性质，让学生了解新旧知识之间的联系。 从图形中引出比例的其他性质，引导学生自主探究比例的其他类似性质。 对知识进行巩练习，使学生对知队加深理解，便于教师及时了解学生对本节课内容的掌握情况。培养学生应用所学知识解决问题的能力。 3.学以致用，应用新知 考点1 两条线段的比 例1 如果线段a=5 mm，b=10 mm，那么的值为（ ）。 A. B. C. D. 2 答案：B 变式训练 在中国地理地图册上，连接上海、香港、台湾三地构成一个三角形，用刻度尺测得它们之间的距离如图所示，飞机从台湾直飞上海的距离约为1 286 km，那么飞机从台湾绕道香港再到上海的飞行距离约为（ ）。 A. 3 858 km B. 3 218 km C. 2 314 km D. 1 543 km 答案：A 考点2 成比例线段 例2 下列线段a，b，c，d是成比例线段的是（ ）。 A. a=1，b=2，c=2，d=4 B. a=1.1，b=2.2，c=2.3，d=4.4 C. a=1.3，b=1.5，c=3，d=5 D. a=2，b=3，c=4，d=5 答案：A 变式训练 如果线段a，b，c，d是成比例线段，且a=2，b=6，c=3，那么d=_______。 答案：9 考点3 比例的基本性质 例3 如果2 022a=2 023b，则下列式子正确的是（ ）。 A. B. C. D. 答案：A 变式训练 已知，且a+c=6，则a-b的值是（ ）。 A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 答案：D 考点4 比例的其他性质 例4 若=，则的值为（ ）。 A. B. C. D. 答案：D 变式训练 若=，则下列式子中不正确的是（ ）。 A. = B. =4 C. = D. = 答案：A 通过例题的讲解，巩固学生应用两条线段的比，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 通过例题的讲解，巩固学生掌握成比例线段的概念，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 通过例题的讲解，巩固学生应用比例的基本性质，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 通过例题的讲解，巩固学生应用探究得到的比例的其他性质，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 4.随堂训练，巩固新知 1. 在一幅地图上，量得A，B两地距离是7 cm，已知两地实际距离为350 km，则该地图的比例尺是（ ）。 A. 1∶50 B. 1∶5 000 C. 1∶500 000 D. 1∶5 000 000 答案：D 2. 线段a，b，c，d的长度如下： ①a=12 cm，b=8 cm，c=15 cm，d=10 cm； ②a=7 cm，b=14 cm，c=19.6 cm，d=5 cm； ③a=12 cm，b=4 cm，c=9 dm，d=0.3 m。 以上3组数据中，能使a，b，c，d构成比例线段的有（ ）。 A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 0组 答案：B 3. 已知，则下列变形不正确的是（ ）。 A. B. 3a=2b C. D. 答案：A 4. 若=，则的值为（ ）。 A. 1 B. C. D. 答案：D 5. 已知a，b，c，d是成比线段，a=4 cm，b=6 cm，d=9cm，则c=_______。 答案：6 6. 已知：，求。 解：∵， ∴。 7. 已知，AD=6.4 cm，BD=4.8 cm，EC=4.2 cm。求AC的长。 解：由，得AE=·EC=×4.2=5.6（cm）。 则AC=AE+EC=5.6+4.2=9.8（cm）。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 1.线段的比 如果选用同一长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB∶CD=m∶n，或写成。 2.成比例线段 四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即=，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段。 3.比例的基本性质 如果=，那么ad=bc。 如果ad=bc（a，b，c，d都不等于0），那么=。 4.比例的其他性质 如果，那么。 如果，那么。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 6.布置作业 教材P51练习T1-T4，P55习题23.1 T1-T6。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 23.1.1 成比例线段 1.线段的比 2.成比例线段 3.比例的基本性质 4.比例的其他性质 提纲挈领，重点突出。 教后反思 1.教师可以根据学生的实际情况进行适当调整，设置出适合个人教学的情境。书上的情境设置应该是适用于广大地区的，教师也可以根据自己身边熟悉的事物来设置情境，或是用教材上的情境。具有地方特色的教学资源，不仅丰富了学生对家乡风景的认识和了解，也让学生感受到数学知识在生活中的应用。 2.学生已经有了全等图形和比例的知识作为铺垫，生活中也存在大量相似图形的例子，所以学生学习起来不会很难，可以大胆地放手让学生自己去动手操作、动脑思考，教师可以在适当的时候给予帮助和补。 3.在比例基本性质的推导和例题中都引入比例k，这是本节课的难点。学生可能理解不好，教师应把握好这个环节的教学。对于比的性质应用，教师在教学时，可补充一些练习题，以巩固这几个性质，达到当堂消化的目的。 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $