22.3 第1课时 实践与探索（1）-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(华东师大版)

该初中数学教案聚焦一元二次方程的实际应用，核心知识点为利用方程解决面积与销售问题。课堂导入通过“矩形试验田开辟小道”情境，关联已学一元二次方程知识，搭建从理论到实践的学习支架。 资料特色在于情境真实贴近生活，如试验田、药品降价问题，通过问题串分解难点，引导学生抽象数量关系。注重几何直观（平移小道简化面积计算）、模型意识（归纳列方程六步骤）与推理意识（问题串引导分析），助力学生提升应用能力，为教师提供结构化教学流程，增强课堂实效。

22.3 实践与探索（1） 课题 22.3 实践与探索（1） 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P38-39 教学目标 1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程。 2.经历分析具体问题中的数量关系、建立方程模型并解决问题的过程。 3.在列方程解决实际问题的过程中，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的般步骤。 4.能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，增强数学应用意识和能力。 教学重难点 重点：利用一元二次方程解决简单的面积问题和销售问题。 难点：分析具体问题中的数量关系、建立方程模型解决问题。。 教学准备 多媒体课件。 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 教师活动：同学们还记得前面学习过的一元二次方程吗？这节课我们就来学习一元二次方程在实际问题中的应用。（教师板书课题： 22.3 实践与探索（1）） 问题1： 学校生物小组有一块长32m、宽20m的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道，要使种植面积为540m2，小道的宽应是多少？ 预设： 解：设小道宽为xm，则两条小道的面的分别为32xm2和20xm2，其中重叠部分小正方形的面积为x2m2，根据题意，得32×20-32x-20x+x2=540。 解得x1=2，x2=50（不符合题意，舍去）。 所以小道的宽应为2m。 教师活动：引导学生思考：怎样用一元二次方程解决实际问题？步骤是什么？ 预设：列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，即：审、设、列、解、验、答。 （这里要特别注意，在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求。） 用熟悉的情境激发学生解决问题的欲望，用学生已有的知识为支点，进一步让学生体会数形结合的思想。 2.实践探究，学习新知 【探究】 教师提问：如果把小道平移到两边，如图，小道所占的面积是否保持不变？在这样的设想下列出的方程是否符合题目要求？处理问题是否方便些？ 预设：解：设小道宽为x m，把小道平移后剩余的矩形长为（32-x）m，宽为（20-x）m，根据题意，得 （32-x）（20-x）=540。 这个方程符合题目要求。 问题2：某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元。已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率。 解决实际应用问题的关键是审清题意，因此教学中教师要给学生充分的时间去审清题意，让学生自己反复审题，弄清各量之间的关系，分析题目中的已知条件和要求解的问题 在学生分析题意遇到困难时，教学中可设置问题串分解难点： （1）应怎样设未知数呢？怎样表示药品两次所降的价格呢？ 预设：设每次降价的百分率为x，第一次降价后的零售价为原来的（1-x）倍，即56（1-x）元，第二次降价后的零售价为56（1-x）的（1-x）倍。 （2）等量关系又是什么？ 预设：第二次降价后的零售价等于31.5元。 学生活动：学生在问题串的引导下，逐层分析，在分组讨论后找出题目中的等量关系。 解：设每次降价的百分率为x， 根据题意，得56（1-x）2=31.5。 解这个方程，得x1=0.25，x2=1.75。 因为降价的百分率不可能大于1，所以x2=1.75不符合题意，经检验，x1=0.25=25%，符合本题要求。 答：每次降价的百分率为25%。 【归纳总结】 列一元二次方程解实际问题的一般步骤： （1）审题——了解问题的实际意义，分清已知条件和未知量之间的关系； （2）设未知数——一般情况下求什么设什么为未知数； （3）列方程——根据量与量之间的关系，找出相等关系，列出方程； （4）解方程——灵活运用一元二次方程的解法； （5）验根——检验一元二次方程的根是否满足题意； （6）答——作答。 在例题的教学中，引导学生关注列方程解应用题的三个重要环节：其一是整体地、系统地弄懂题意；其二是把握问题中的等量关系；其三是正确求解方程并检验解的合理性。 通过问题串的设立，将比较复杂、难以理解的题目分成多个小的题目去理解，使学生在不知不觉中克服困难。 3.学以致用，应用新知 考点1 面积问题 例1 我国南宋数学家杨辉在1275年提出一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔（宽）几步。”设阔为x步，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）。 A. 2x+2（x+12）=864 B. x（x-12）=864 C. x+（x+12）=864 D. x（x+12）=864 答案：D 变式训练 如图1，用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围，墙可利用的最大长度为15 m，篱笆长为24 m，设平行于墙的BC边长为x m。 （1）若围成的花圃面积为40 m2时，求BC的长； （2）如图2，若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且花圃面积为50 m2，请你判断能否围成花圃，如果能，求BC的长；如果不能，请说明理由。 解：（1）根据题意，得AB= m， 则·x=40， ∴x1=20，x2=4。 ∵20>15， ∴x=20舍去， ∴x=4。 答：BC的长为4 m。 （2）不能围成花圃。理由如下： 根据题意，得·x=50， 方程可化为x2-24x+150=0， ∵Δ=（-24）2-4×150=-24<0。 ∴方程无实数解， ∴不能围成花圃。 考点2 增长率问题 例2 某种商品原价是200元，经两次降价后的价格是160元．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为（ ）。 A. 200x（1-2x）=160 B. 200（1+2x）=160 C. 200（1+x）2=160 D. 200（1-x）2=160 答案：D 变式训练 某水果商店经销一种名为“阳光玫瑰”水果，现进行春日促销，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率。 解：设每次降价的百分率为x，则两次降价后的百分率为（1-x）2。 根据题意，得50（1-x）2=32。 解得x1=0.2，x2=1.8（舍去）。 答：每次下降的百分率为20%。 通过例题讲解，巩固学生应用一元二次方程解决面积问题，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 4.随堂训练，巩固新知 1. 如图，要把长4 m、宽3 m的矩形花坛四周扩展相同的宽度x m，得到面积为30 m2的新矩形花坛，则x的值为（ ）。 A. 4.5 B. 2 C. 1.5 D. 1 答案：D 2. 《九章算术》中“勾股”章有一个问题：今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈（1丈=10尺，1尺=10寸），问户高、广各几何？意思是：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？设门的宽为x尺，下列方程中正确的为（ ）。 A. x2+（x+6.8）2=102 B. x2+（x-6.8）2=12 C. x2+102=（x+6.8）2 D. x2÷（x÷6.8）2=12 答案：A 3. 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，我市某家快递公司，今年1月份与3月份完成投送的快递件数分别为10万件和12.1万件。如果按此平均速度增长，该公司4月份投递的快递总件数将达到_______万件。 答案：13.31 4. 春季流感病毒传播速度快，我们要做好预防。如果有一个人患了流感，经过两轮传染后共有256人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染了_______人。 答案：15 5.前年生产1 t甲种药品的成本是5 000元，随着生产技术的进步，现在生产1 t甲种药品的成本是3 000元，试求甲种药品成本的年平均下降率是多少？ 解：设甲种药品的年平均下降率为x。 根据题意，得5 000（1-x）2=3 000。 解方程，得x1≈0.225，x2≈1.775。 根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5％。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 1.列方程解应用题的关键是什么？ 2.列方程解应用题的步骤是什么？ 3.列方程应注意的哪些问题？ 让学生在学习小组中进行回顾与反思后，进行组间交流发言。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 6.布置作业 教材P40练习，P42习题22.3 T1-T4。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 第1课时 一元二次方程在实际问题中的应用（1） 1.列一元二次方程解实际问题的一般步骤 2.例题 提纲挈领，重点突出。 教后反思 大部分学生能够联系以前学过的勾股定理的三边关系对上述问题进行思考，能够在老师的引导下主动地探究问题，取得了比较理想的效果，而且也调动了学生的学习热情，激发了学生的思维，为后面的探索奠定了良好的基础。 鼓励学生回顾本节课知识方面有哪些收获，解题技能方面有哪些提高，还有什么疑难问题希望得到解决，通过回顾进一步巩固知识，将新知识纳入到学生个人已有的知识体系中；学生通过回顾本节课的学习过程，体会利用列一元二次方程解决实际问题的方法和技巧，进一步提高自己解决问题的能力。 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $