专题09 分段函数及函数的实际应用（讲义） -湖北省2026年技能高考一轮复习《数学知识点清单》

编写说明：湖北省2026年技能高考一轮复习《数学知识点清单》，依据《湖北省普通高等学校招收中等职业学校毕业生技能高考文化综合考试大纲》及历年湖北技能高考数学真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含10个模块共40个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是湖北省2026年技能高考一轮复习《数学知识点清单》的第9个专题：专题09 分段函数及函数的实际应用。本专题涵盖分段函数及函数的实际应用知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 湖北省2026年技能高考 一轮复习 《数学知识点清单》 专题09 分段函数及函数的实际应用（讲义） 知识点1 分段函数及函数的实际应用 1.函数应用的内涵 ：函数应用的内涵是把实际问题抽象为数学问题. 2.函数应用的步骤 (1)读题:即读题目,弄清题目中的相关量及其数学含义. (2)建模:根据题目的描述,建立相关量之间的数学关系.常见函数模型有一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等. (3)解模:用相应的数学知识和方法去求解函数. (4)检验:把解出的数学结论放回到实际问题中去检验,得出符合条件的结论. 3.二次函数的最值问题：在现实生活中被广泛应用.解决此类问题时,一般先构造函数,然后利用单调性、值域等求出最值. 4.分段函数模型：分段函数的应用主要是自变量在每一段变化范围所对应的法则不同，可以先将其作为几个问题,将各段的变化规律分别找出来,再将其合到一起. 1．（23-24高三下·湖北·职教高考）在一次跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度 （单位：m）与起跳后的时间（单位：） 存在函数关系，该运动员在运动 过程中的重心相对于水面的最大高度为（   ） A．11 B．11.4 C．12 D．12.6 【答案】B 【分析】对于二次函数，求出对称轴为，将其代入函数解析式中即可求得最大值. 【详解】由题意得，函数关系为开口向下的二次函数， 对称轴为， 所以当时，高度最大为， 故选：. 2．（24-25高三下·四川·对口/高职单招）一个绳子长度为，它可以围成一个圆和一个正方形（忽略损耗），当围成的圆和正方形的面积之和最小时，则正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意设正方形的边长为，表示出圆和正方形的面积之和，再由二次函数最小值的求法即可求解. 【详解】设正方形的边长为，则正方形的周长为，剩余绳子用于围成圆， 圆的周长为，圆的半径为， 正方形的面积为，圆的面积为， 总面积， 所以当，即，时，总面积最小， 此时，正方形的边长为. 故选：A. 二、解答题 3．（24-25高三·全国·对口/高职单招）有一批材料可以建成长为的围墙，现用该材料围成一块矩形场地，矩形场地一边靠墙，中间用同样的材料隔成个面积相等的小矩形（如图）.设与墙垂直的一边长为，试写出围成矩形的面积(单位：)关于边长的函数解析式. 【答案】 【分析】因为与墙垂直的一边长为米，通过计算与墙平行的边长，即可得出矩形场地的面积关于边长的函数解析式. 【详解】因为与墙垂直的一边长为，所以小矩形的另一边长为. 由得，所以， 即围成矩形的面积关于边长的函数解析式为. 4．（14-15高三·重庆·职教高考）某公司生产某种设备每年需固定支出120万元，此外每台设备还需支出其它费用2万元．设该公司年产量为台，当时，公司年销售总收入为万元，当时，公司年销售总收入为万元． (1)求该公司年利润与年产量的函数关系式（年利润年销售总收入-年总支出）； (2)当该公司年产量为多少台时，所获年利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)该公司年产量为16台时，所获年利润最大，最大利润是136万元 【分析】（1）根据题意，结合分段函数求解析式，分别求出和时，对应的年利润，即可求解； （2）根据题意，结合分段函数求最值，分别求出每段区间上函数的最大值，比较即可求解. 【详解】（1）由题意，得当，时，； 当，时，， 所以年利润与年产量的函数关系式为； （2）由（1）得当，时，， 所以当时，函数取得最大值； 当，时，， 所以当时，函数取得最大值，即； 综上所述，当时，函数取得最大值， 即当该公司年产量为16台时，所获年利润最大，最大利润是136万元. 5．（23-24高三下·江苏·职教高考）近年来，电商行业的蓬勃发展拓宽了农产品的销售渠道.某农户将成本价20元/千克的有机大米按36元/千克的价格进行线上销售，每天可售出80千克.经统计发现，若将有机大米的售价每提高1元/千克，则日销售量减少4千克；若将有机大米的售价每降低1元/千克，则日销售量增加8千克.不考虑其他因素，问有机大米的售价定为多少元时，每日获得的利润最大？并求出最大利润. 【答案】当售价定为元时，每日获得的利润最大，最大利润为元. 【分析】分类讨论售价提高与降低时，每日获得的利润情况，结合二次函数的性质与配方法即可得解. 【详解】依题意，设售价为元，每日获得的利润为元. 当售价每提高1元/千克时，，此时每天售出千克大米， 所以 ， 所以当时，取得最大值为； 当售价每降低1元/千克时，，此时每天售出千克大米， ， 所以当时，取得最大值为； 综上，当售价定为元时，每日获得的利润最大，最大利润为元. 一、单选题 1．某容器水位高度与时间满足，小时后的水位差是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过计算时与时的水位高度即可得解. 【详解】某容器水位高度与时间满足， 当时，水位； 当时  水位， 水位差， 故选：. 2．某税收政策规定：月收入元免税，元部分按征税，超过元部分按征税.某人月收入元需缴税（    ）. A．700元 B．900元 C．1100元 D．1300元 【答案】C 【分析】根据题目中的税收政策，分段计算所缴纳的税收. 【详解】因为元以下部分免税，即缴税为元， 元部分按征税，即元， 超过元部分按征税，即元， 所以总税款为元. 故选：C. 3．某银行零存整取利息计算规则：每月存入金额元按年利率计息，超过部分按计息.某月存入元，该月利息为 （    ）. A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】由题意，将存入的元拆分成元和元两部分，分别计算月利息即可求解. 【详解】由题意，将存入的元拆分成元和元两部分， 则元部分月利率为：，利息为元； 元部分月利率为：，利息为元 因此月利息为 元. 故选：A. 4．某传感器输出信号，信号最大值是（    ）. A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据题意，结合分段函数求最值，分别求出和时函数的最值，即可求解. 【详解】因为， 当时，为单调增函数，此时， 当时，， 所以当时，函数取得最大值，即； 综上所述，信号最大值是8. 故选：C. 5．某快递公司收费规则：首重内元，续重每加2元（不足按计），寄送包裹需付（    ）. A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】首先计算出续重了多少个，再根据收费规则计算即可. 【详解】已知首重元，则续重为， 按计算，它是3个，收费元， 所以共元. 故选：B. 6．某停车场收费标准：首小时元，之后每小时元，不足1小时按1小时计.停车小时需缴费 （    ）. A．11元 B．14元 C．17元 D．20元 【答案】B 【分析】由题意可知停车小时缴费需要分两段支付，但要注意不足1小时按1小时计，即首小时后的小时按小时计算，求解即可. 【详解】因为小时，不足1小时按1小时计， 所以首小时后的小时按小时计算， 即停车小时需缴费元， 故选：B. 7．某体温监测仪记录某患者体温变化：当小时，；当小时，第小时体温为 （    ）. A．37.5℃ B．38.0℃ C．38.5℃ D．39.0℃ 【答案】A 【分析】根据题意写出分段函数解析式，即可得解. 【详解】由题意可知分段函数， 所以℃ 故选：. 8．某工厂生产零件，每日基本产量个以内（含）按每个元计酬，超额部分按每个元计酬，某工人某日生产个零件，当日工资为（    ）. A．475元 B．490元 C．505元 D．520元 【答案】C 【分析】根据题意列式求解即可. 【详解】工人某日生产个零件，当日工资分两段支付， 每日基本产量个以内（含）按每个元计酬， 每日基本产量个以上按每个65元计酬， 因此元. 故选：C. 9．某市居民用电实行阶梯电价，月用电量不超过千瓦时的部分按元/千瓦时计费，超过千瓦时但不超过千瓦时的部分按元/千瓦时计费，超过千瓦时的部分按元/千瓦时计费.若某用户某月用电千瓦时，应缴电费为 （    ）. A．160元 B．172元 C．192元 D．256元 【答案】B 【分析】根据题意将320千瓦应缴电费分为两段支付即可得解. 【详解】电量不超过千瓦时的部分，按元/千瓦；电量超过千瓦但不超过千瓦时的部分，按元/千瓦， 则用电千瓦，电费为元， 故选：. 10．某电路电压固定时，电流与电阻的关系如图，当时，对应，则电压为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将，代入求值即可. 【详解】已知当时，对应， 由得． 故选：B. 11．某医疗器械消毒时间与紫外线强度满足 ​，某医疗器械消毒时间为120分钟，若强度提升50%后，则消毒时间变为（    ）． A．80分钟 B．60分钟 C．40分钟 D．30分钟 【答案】A 【分析】首先求出新的紫外线强度，再求出新的消毒时间，与原来时间相比再求解即可. 【详解】强度提升50%后，新强度为1.5I，则， 即消毒时间变为原来时间的， 因此，分钟． 故选：A. 12．某企业利润与广告费满足​，则利润为万元时，广告费为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令代入解析式，列方程求解即可. 【详解】由， ​ 得，即，解得. 故选：C. 13．某药物代谢速率与时间满足 ​，残留量满足 ​．则时为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据时间t求出速率v，再求残留量Q. 【详解】因为药物代谢速率与时间满足 ， 当时，药物代谢速率， 又残留量满足 ，则． 故选：A. 14．某电路中​，当时要求，则电阻的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的表达式，再利用不等式的性质求解即可. 【详解】当时，，由，解得. 故选：A. 15．某任务若人合作需天完成，满足．若增加人，则完成时间减少（    ）． A．天 B．​天 C．天 D．​天 【答案】B 【分析】由得，再表示出增加人后的时间，两式相减即可. 【详解】已知，则， 增加人后所用时间 ， 因此，减少量为 ​． 故选：B. 16．某机械装置输出功率恒为240W，牵引力与速度满足 ​，当速度时牵引力为（    ）． A．50N B．60N C．70N D．80N 【答案】B 【分析】根据题意，将代入函数解析式，求解即可. 【详解】因为牵引力与速度满足 ， 所以将代入，得． 故选：B. 17．某容器容积固定，装液高度与底面积满足​.若底面积扩大为原来的倍，则液面高度变为原来的（    ）. A．​倍 B．倍 C．​倍 D．倍 【答案】A 【分析】首先算出底面积扩大为原来的3倍之后的液面高度，再与之前的液面高度比较. 【详解】设底面积扩大为原来的倍后，液面高度变为，则. 则液面高度变为原来的​倍. 故选：A. 18．某电路中电流与电阻满足 ​．当电阻为时，电流为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将电阻代入，计算即可. 【详解】将代入. 所以当电阻为时，电流为. 故选：B. 19．某商品日销量（件）与单价（元）满足．当定价为元时，日销售额为（    ）． A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】将定价代入表达式先求解日销售量，再求解日销售额即可. 【详解】因为销量（件）与单价（元）满足， 当单价元时，日销售量件， 则日销售额为元. 故选：C. 20．某过程收益函数为，成本函数，利润最大时产量为 （    ）. A．100 B．120 C．140 D．160 【答案】B 【分析】根据利润=收益-成本，结合二次函数的性质即可得解. 【详解】收益函数为，成本函数， 设利润为L， 则，为二次函数，图像为开口向下的抛物线， 对称轴为， 所以当时，利润最大， 故选：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：湖北省2026年技能高考一轮复习《数学知识点清单》，依据《湖北省普通高等学校招收中等职业学校毕业生技能高考文化综合考试大纲》及历年湖北技能高考数学真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含10个模块共40个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是湖北省2026年技能高考一轮复习《数学知识点清单》的第9个专题：专题09 分段函数及函数的实际应用。本专题涵盖分段函数及函数的实际应用知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 湖北省2026年技能高考 一轮复习 《数学知识点清单》 专题09 分段函数及函数的实际应用（讲义） 知识点1 分段函数及函数的实际应用 1.函数应用的内涵 ：函数应用的内涵是把实际问题抽象为数学问题. 2.函数应用的步骤 (1)读题:即读题目,弄清题目中的相关量及其数学含义. (2)建模:根据题目的描述,建立相关量之间的数学关系.常见函数模型有一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等. (3)解模:用相应的数学知识和方法去求解函数. (4)检验:把解出的数学结论放回到实际问题中去检验,得出符合条件的结论. 3.二次函数的最值问题：在现实生活中被广泛应用.解决此类问题时,一般先构造函数,然后利用单调性、值域等求出最值. 4.分段函数模型：分段函数的应用主要是自变量在每一段变化范围所对应的法则不同，可以先将其作为几个问题,将各段的变化规律分别找出来,再将其合到一起. 1．（23-24高三下·湖北·职教高考）在一次跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度 （单位：m）与起跳后的时间（单位：） 存在函数关系，该运动员在运动 过程中的重心相对于水面的最大高度为（   ） A．11 B．11.4 C．12 D．12.6 2．（24-25高三下·四川·对口/高职单招）一个绳子长度为，它可以围成一个圆和一个正方形（忽略损耗），当围成的圆和正方形的面积之和最小时，则正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 二、解答题 3．（24-25高三·全国·对口/高职单招）有一批材料可以建成长为的围墙，现用该材料围成一块矩形场地，矩形场地一边靠墙，中间用同样的材料隔成个面积相等的小矩形（如图）.设与墙垂直的一边长为，试写出围成矩形的面积(单位：)关于边长的函数解析式. 4．（14-15高三·重庆·职教高考）某公司生产某种设备每年需固定支出120万元，此外每台设备还需支出其它费用2万元．设该公司年产量为台，当时，公司年销售总收入为万元，当时，公司年销售总收入为万元． (1)求该公司年利润与年产量的函数关系式（年利润年销售总收入-年总支出）； (2)当该公司年产量为多少台时，所获年利润最大？最大利润是多少？ 5．（23-24高三下·江苏·职教高考）近年来，电商行业的蓬勃发展拓宽了农产品的销售渠道.某农户将成本价20元/千克的有机大米按36元/千克的价格进行线上销售，每天可售出80千克.经统计发现，若将有机大米的售价每提高1元/千克，则日销售量减少4千克；若将有机大米的售价每降低1元/千克，则日销售量增加8千克.不考虑其他因素，问有机大米的售价定为多少元时，每日获得的利润最大？并求出最大利润. 一、单选题 1．某容器水位高度与时间满足，小时后的水位差是（    ）. A． B． C． D． 2．某税收政策规定：月收入元免税，元部分按征税，超过元部分按征税.某人月收入元需缴税（    ）. A．700元 B．900元 C．1100元 D．1300元 3．某银行零存整取利息计算规则：每月存入金额元按年利率计息，超过部分按计息.某月存入元，该月利息为 （    ）. A．元 B．元 C．元 D．元 4．某传感器输出信号，信号最大值是（    ）. A．4 B．6 C．8 D．10 5．某快递公司收费规则：首重内元，续重每加2元（不足按计），寄送包裹需付（    ）. A．元 B．元 C．元 D．元 6．某停车场收费标准：首小时元，之后每小时元，不足1小时按1小时计.停车小时需缴费 （    ）. A．11元 B．14元 C．17元 D．20元 7．某体温监测仪记录某患者体温变化：当小时，；当小时，第小时体温为 （    ）. A．37.5℃ B．38.0℃ C．38.5℃ D．39.0℃ 8．某工厂生产零件，每日基本产量个以内（含）按每个元计酬，超额部分按每个元计酬，某工人某日生产个零件，当日工资为（    ）. A．475元 B．490元 C．505元 D．520元 9．某市居民用电实行阶梯电价，月用电量不超过千瓦时的部分按元/千瓦时计费，超过千瓦时但不超过千瓦时的部分按元/千瓦时计费，超过千瓦时的部分按元/千瓦时计费.若某用户某月用电千瓦时，应缴电费为 （    ）. A．160元 B．172元 C．192元 D．256元 10．某电路电压固定时，电流与电阻的关系如图，当时，对应，则电压为（    ）． A． B． C． D． 11．某医疗器械消毒时间与紫外线强度满足 ​，某医疗器械消毒时间为120分钟，若强度提升50%后，则消毒时间变为（    ）． A．80分钟 B．60分钟 C．40分钟 D．30分钟 12．某企业利润与广告费满足​，则利润为万元时，广告费为（    ）． A． B． C． D． 13．某药物代谢速率与时间满足 ​，残留量满足 ​．则时为（    ）． A． B． C． D． 14．某电路中​，当时要求，则电阻的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 15．某任务若人合作需天完成，满足．若增加人，则完成时间减少（    ）． A．天 B．​天 C．天 D．​天 16．某机械装置输出功率恒为240W，牵引力与速度满足 ​，当速度时牵引力为（    ）． A．50N B．60N C．70N D．80N 17．某容器容积固定，装液高度与底面积满足​.若底面积扩大为原来的倍，则液面高度变为原来的（    ）. A．​倍 B．倍 C．​倍 D．倍 18．某电路中电流与电阻满足 ​．当电阻为时，电流为（    ）． A． B． C． D． 19．某商品日销量（件）与单价（元）满足．当定价为元时，日销售额为（    ）． A．元 B．元 C．元 D．元 20．某过程收益函数为，成本函数，利润最大时产量为 （    ）. A．100 B．120 C．140 D．160 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $