第2章有理数的运算（单元测试·培优卷）数学人教版2024七年级上册

2025-2026学年七年级上册数学单元检测卷 第2章 有理数的运算·培优卷 建议用时：80分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1．的倒数是（   ） A． B． C． D． 2．比大的数是（    ） A． B．2 C． D．8 3．截止到2025年3月1日，我国第三代自主超导量子计算机“本源悟空”全球访问量突破2800万次，刷新了我国自主量子算力服务规模记录．其中数据“2800万”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．下列各组数中，相等的是(    ) A．与 B．与 C．与 D．与 5．若的运算结果为正数，则内的数可以为（　　） A．2 B．1 C．0 D． 6．用四舍五入法按要求对分别取近似值，其中错误的是（   ） A．（精确到十分位） B．（精确到） C．（精确到千分位） D．（精确到） 7．下列计算正确的有（　　） （1）（2）（3） （4） A．0 B．1 C．2 D．3 8．若，为有理数，它们在数轴上的位置如图所示，以下计算正确的是（   ） A． B． C． D． 9．定义新运算 “”：，则的值为(    ) A．6 B．10 C．12 D．14 10．在互联网时代，利用二维码可以进行身份识别．某校建立了一个学生身份识别系统，如图是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0．将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生的编号，其编号为，如图第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，编号为（其中），表示该生的编号为28，下面表示编号为10的学生的识别图案是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．比小9的数是 ； ． 12．数轴上离表示的点的距离等于3个单位长度的点表示的数是 13．按如图的程序计算，如果输入，则输出的结果为 ． 14．你会玩“24点”游戏吗？ 现有“，， 6， 10”四个数字，每个数用且只用一次，只可进行加、减、乘、除，使其结果为24，写出你的算式（只写一个即可）： ． 15．有理数a，b，c在数轴上的位置如图示：化简|a|-|a-b|-|c+b|-c= . 16．如果一个零件的实际长度为a，测量结果是b，则称为绝对误差，为相对误差．现有一个零件的实际长度为，测量结果是，则本次测量的相对误差是 （结果精确到）． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（12分）计算： (1) ； (2)； (3)； (4)． 18．（8分）阅读下面的材料． 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为， 其值， 原式． (1)上述解法中．你认为解法 是错误的．在正确的解法中，你认为解法 较简便．（填“一”、“二”或“三”） (2)请用你认为简便的方法计算：． 19．（8分）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是3，求的值． 20．（10分）小李是一位铁路轨道维护员，他每天负责从站台开始沿铁路轨道巡视检查，规定向东巡视为正，向西巡视为负，以下是他某天巡视记录：（单位：千米） (1)当天巡视结束时，小李在站台的什么方向，离站台多远？ (2)小李当天走过的路程是多少？ 21．（10分）已知有理数m，n在数轴上的位置如图所示（m在原点右侧，n在原点左侧，且），且，． (1)求m和n的值； (2)比较和的大小； (3)计算的值． 22．（12分）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如我们把记作，读作“2的3次商”，记作，读作“的4次商”．一般地，我们把n个相除记作，读作“a的n次商”． (1)关于除方，下列说法错误的是______； ①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数n，；③；④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数． (2)我们知道，有理数的除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化乘方运算呢？ 例：．仿照上面的算式，请你尝试将下列各式写成乘方（幂）的形式：①；②． (3)想一想：将一个非零有理数a的n次商写成幂的形式等于______； (4)算一算：． 23．（12分）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的【探究】． 【提出问题】 两个不为0的有理数a，b满足a，b同号，求的值． 【解决问题】 解：由a、b同号且都不为0可知a、b有两种可能：①a、b都是正数：②a、b都是负数． ①若a、b都是正数，即，，有及，则； ②若a、b都是负数，即，，有及，； 所以的值为2或． 【探究】 请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知且，且，求的值． (2)两个不为0的有理数a，b满足a，b异号，求的值． (3)若，则的值可能是多少？ 5 / 5 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级上册数学单元检测卷 第2章 有理数的运算·培优卷（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A A C C D C A A A C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11． 12．0或 13．5 14 15． 0 16． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（12分）（1）解： ；…………………………………3 分 （2）解： ；………………………………… 6分 （3）解： ；………………………………… 9分 （4）解： ．………………………………… 12分 18．（8分）（1）解：上述解法中．我认为解法一是错误的．在正确的解法中，你认为解法三较简便 故答案为：一，三；…………………………………2 分 （2）解：原式的倒数为： ， 故原式．………………………………… 8分 19．（8分）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是3，求的值． 【答案】8 【分析】本题考查了相反数，倒数，绝对值，有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据相反数，倒数的意义，绝对值的意义可得，，，然后整体代入计算即可． 【详解】解：互为相反数，互为倒数， ，………………………………… 3分 ∴…………………………………4 分 ∴ ．…………………………………8 分 20．（10分）（1）解：（千米）， 答：小李在站台的正东方向，离站台1千米；………………………………… 5分 （2）解：（千米）， 答：小李当天走过的路程是19千米．………………………………… 10分 21．（10分）（1）解：因为m在原点右侧，，所以； 因为n在原点左侧，，所以．………………………………… 4分 （2）解：由（1）可知：，， ∴， 因为， 所以．………………………………… 7分 （3）解：由（2）可得：．………………………………… 10分 22．（12分）（1）②③．…………………………………2 分 （2）解：① ； ②， ．………………………………… 6分 （3）解： ． 故答案为：．………………………………… 9分 （4）解： ．………………………………… 12分 23．（12分）在（1）解：∵，， ∴或，或， ∵， ∴，或，， 当，时， 当，时， 综上，的值10或4；………………………………… 4分 （2）解：由a、b异号，可知：①，；②，， 当，时，； 当，时，， 综上，的值为0；………………………………… 8分 （3）解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当a，b，c都是正数，即，，时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设，，， 则： 所以：的值为3或．………………………………… 12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级上册数学单元检测卷 第2章 有理数的运算·培优卷 建议用时：80分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1．的倒数是（   ） A． B． C． D． 2．比大的数是（    ） A． B．2 C． D．8 3．截止到2025年3月1日，我国第三代自主超导量子计算机“本源悟空”全球访问量突破2800万次，刷新了我国自主量子算力服务规模记录．其中数据“2800万”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．下列各组数中，相等的是(    ) A．与 B．与 C．与 D．与 5．若的运算结果为正数，则内的数可以为（　　） A．2 B．1 C．0 D． 6．用四舍五入法按要求对分别取近似值，其中错误的是（   ） A．（精确到十分位） B．（精确到） C．（精确到千分位） D．（精确到） 7．下列计算正确的有（　　） （1）（2）（3） （4） A．0 B．1 C．2 D．3 8．若，为有理数，它们在数轴上的位置如图所示，以下计算正确的是（   ） A． B． C． D． 9．定义新运算 “”：，则的值为(    ) A．6 B．10 C．12 D．14 10．在互联网时代，利用二维码可以进行身份识别．某校建立了一个学生身份识别系统，如图是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0．将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生的编号，其编号为，如图第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，编号为（其中），表示该生的编号为28，下面表示编号为10的学生的识别图案是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．比小9的数是 ； ． 12．数轴上离表示的点的距离等于3个单位长度的点表示的数是 13．按如图的程序计算，如果输入，则输出的结果为 ． 14．你会玩“24点”游戏吗？ 现有“，， 6， 10”四个数字，每个数用且只用一次，只可进行加、减、乘、除，使其结果为24，写出你的算式（只写一个即可）： ． 15．有理数a，b，c在数轴上的位置如图示：化简|a|-|a-b|-|c+b|-c= . 16．如果一个零件的实际长度为a，测量结果是b，则称为绝对误差，为相对误差．现有一个零件的实际长度为，测量结果是，则本次测量的相对误差是 （结果精确到）． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（12分）计算： (1) ； (2)； (3)； (4)． 18．（8分）阅读下面的材料． 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为， 其值， 原式． (1)上述解法中．你认为解法 是错误的．在正确的解法中，你认为解法 较简便．（填“一”、“二”或“三”） (2)请用你认为简便的方法计算：． 19．（8分）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是3，求的值． 20．（10分）小李是一位铁路轨道维护员，他每天负责从站台开始沿铁路轨道巡视检查，规定向东巡视为正，向西巡视为负，以下是他某天巡视记录：（单位：千米） (1)当天巡视结束时，小李在站台的什么方向，离站台多远？ (2)小李当天走过的路程是多少？ 21．（10分）已知有理数m，n在数轴上的位置如图所示（m在原点右侧，n在原点左侧，且），且，． (1)求m和n的值； (2)比较和的大小； (3)计算的值． 22．（12分）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如我们把记作，读作“2的3次商”，记作，读作“的4次商”．一般地，我们把n个相除记作，读作“a的n次商”． (1)关于除方，下列说法错误的是______； ①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数n，；③；④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数． (2)我们知道，有理数的除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化乘方运算呢？ 例：．仿照上面的算式，请你尝试将下列各式写成乘方（幂）的形式：①；②． (3)想一想：将一个非零有理数a的n次商写成幂的形式等于______； (4)算一算：． 23．（12分）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的【探究】． 【提出问题】 两个不为0的有理数a，b满足a，b同号，求的值． 【解决问题】 解：由a、b同号且都不为0可知a、b有两种可能：①a、b都是正数：②a、b都是负数． ①若a、b都是正数，即，，有及，则； ②若a、b都是负数，即，，有及，； 所以的值为2或． 【探究】 请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知且，且，求的值． (2)两个不为0的有理数a，b满足a，b异号，求的值． (3)若，则的值可能是多少？ 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级上册数学单元检测卷 第2章 有理数的运算·培优卷 建议用时：80分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1．的倒数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键． 根据两数的乘积为，则两数互为倒数，即可得出答案． 【详解】解：的倒数是， 故选A． 2．比大的数是（    ） A． B．2 C． D．8 【答案】A 【分析】此题主要考查有理数运算的应用，解题的关键是根据题意列式求解． 根据题意列出算式，再根据有理数加法的运算法则进行计算即可． 【详解】解：依题意，， 故选：A． 3．截止到2025年3月1日，我国第三代自主超导量子计算机“本源悟空”全球访问量突破2800万次，刷新了我国自主量子算力服务规模记录．其中数据“2800万”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：数据“2800万”用科学记数法表示为； 故选C 4．下列各组数中，相等的是(    ) A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查绝对值和乘方运算，根据绝对值和乘方运算的法则计算后即可比较得到答案． 【详解】A、∵ ∴故A选项不符合题意； B、∵ ∴故B选项不符合题意； C、∵， ∴故C选项符合题意； D、∵ ∴故D选项不符合题意． 故选：C． 5．若的运算结果为正数，则内的数可以为（　　） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘法，根据同号为正，异号为负求解即可． 【详解】解：∵若的运算结果为正数， ∴内的数为负数，即内的数可以为， 故选：D． 6．用四舍五入法按要求对分别取近似值，其中错误的是（   ） A．（精确到十分位） B．（精确到） C．（精确到千分位） D．（精确到） 【答案】C 【分析】根据近似数，精确度的定义解答即可． 本题考查了近似数和精确度：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． 【详解】解：A. （精确到十分位）正确，不符合题意；     B. （精确到）正确，不符合题意     C. 用四舍五入法精确到千分位是，不是，故该选项错误，符合题意； D. （精确到）正确，不符合题意；     故选：C． 7．下列计算正确的有（　　） （1） （2） （3） （4） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是正确解题的关键． 根据含有乘方的有理数混合运算法则，对每个式子逐一进行计算，判断其正确性，即可解答． 【详解】解：（1），故原式计算错误； （2），故原式计算错误； （3），故原式计算错误； （4） ；故原式计算错误； 综上，正确的有0个； 故选：A． 8．若，为有理数，它们在数轴上的位置如图所示，以下计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示及有理数的运算，熟练掌握数轴上有理数的表示及有理数的运算是解题的关键；由数轴可知，然后可进行排除选项． 【详解】解：由数轴可知：， ∴，，； 故选A． 9．定义新运算 “”：，则的值为(    ) A．6 B．10 C．12 D．14 【答案】A 【分析】本题考查了新定义运算的理解及有理数的混合运算，解题的关键是遵循运算顺序，先计算括号内的新运算，再进行外层运算，准确代入新运算公式． 根据新运算“”的定义，先计算括号内的，得到结果后，再用该结果计算与它的新运算，最后将结果与选项匹配． 【详解】解：由新运算，先算； 再算．该结果与选项A一致， 故选：A． 10．在互联网时代，利用二维码可以进行身份识别．某校建立了一个学生身份识别系统，如图是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0．将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生的编号，其编号为，如图第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，编号为（其中），表示该生的编号为28，下面表示编号为10的学生的识别图案是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查了有理数乘方的应用，正确理解题中的转换方法，利用有理数的乘方法则逐项计算是解题的关键；根据编号的转换方法，将四个选项中的识别图案转换成编号，取其编号为10的选项即可得出结论． 【详解】 解：A、； B、； C、； D、． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．比小9的数是 ； ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的运算． 直接用减9即可；根据的偶次方是1，的奇次方是计算即可． 【详解】比小9的数是；． 故答案为：， 12．数轴上离表示的点的距离等于3个单位长度的点表示的数是 【答案】0或 【分析】本题考查了数轴、有理数的加法与减法，熟练掌握数轴的性质是解题关键．分两种情况：①当这个点在表示的点左侧时，②当这个点在表示的点右侧时，利用数轴的性质列式，计算有理数的减法与加法即可得． 【详解】解：①当这个点在表示的点左侧时， 则这个点表示数是； ②当这个点在表示的点右侧时， 则这个点表示数是； 故答案为：0或． 13．按如图的程序计算，如果输入，则输出的结果为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查程序流程图与有理数计算；根据程序流程图的操作方法再结合有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：输入，， ∵，重复， 输入2，， ∵， ∴输出5． 故答案为：5． 14．你会玩“24点”游戏吗？ 现有“，， 6， 10”四个数字，每个数用且只用一次，只可进行加、减、乘、除，使其结果为24，写出你的算式（只写一个即可）： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，利用“24点游戏”规则计算即可得到结果． 【详解】解： ． 故答案为：（答案不唯一）． 15．有理数a，b，c在数轴上的位置如图示：化简|a|-|a-b|-|c+b|-c= . 【答案】0 【分析】先根据数轴得到，从而进行化简即可. 【详解】解：根据数轴得到， ， ∴ = =； 故答案为0. 【点睛】本题考查了数轴，以及绝对值的化简求值，解题的关键是熟练进行绝对值的化简. 16．如果一个零件的实际长度为a，测量结果是b，则称为绝对误差，为相对误差．现有一个零件的实际长度为，测量结果是，则本次测量的相对误差是 （结果精确到）． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，有理数的计算，求一个数的近似数，理解题意是解题的关键．根据题目中的公式直接进行计算即可． 【详解】解：现有一个零件的实际长度为，测量结果是， 本次测量的相对误差是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（12分）计算： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)1 (3)0 (4) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）利用减法法则变形，计算即可得解； （2）利用乘法分配律进行计算即可得解； （3）先计算乘方及绝对值运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得解； （4）整理成含有因数3.14的形式，然后逆运用乘法分配律进行计算即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 18．（8分）阅读下面的材料． 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为， 其值， 原式． (1)上述解法中．你认为解法 是错误的．在正确的解法中，你认为解法 较简便．（填“一”、“二”或“三”） (2)请用你认为简便的方法计算：． 【答案】(1)一，三； (2) 【分析】（1）判断三种解法的正误，依据除法运算性质，除法没有分配律，所以解法一错误；再比较解法二和解法三，解法三通过求倒数，利用乘法分配律计算更简便． （2）借鉴（1）中简便的解法三，先求原式的倒数，再利用乘法分配律计算倒数的值，最后得出原式的值． 本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握乘法分配律是解题的关键． 【详解】（1）解：上述解法中．我认为解法一是错误的．在正确的解法中，你认为解法三较简便 故答案为：一，三； （2）解：原式的倒数为： ， 故原式． 19．（8分）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是3，求的值． 【答案】8 【分析】本题考查了相反数，倒数，绝对值，有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据相反数，倒数的意义，绝对值的意义可得，，，然后整体代入计算即可． 【详解】解：互为相反数，互为倒数， ， ∴ ∴ ． 20．（10分）小李是一位铁路轨道维护员，他每天负责从站台开始沿铁路轨道巡视检查，规定向东巡视为正，向西巡视为负，以下是他某天巡视记录：（单位：千米） (1)当天巡视结束时，小李在站台的什么方向，离站台多远？ (2)小李当天走过的路程是多少？ 【答案】(1)小李在站台的正东方向，离站台1千米 (2)小李当天走过的路程是19千米 【分析】本题主要考查了有理数的加法，正数和负数的意义，以及绝对值，熟练掌握有理数的加法法则及正负数的意义是解题的关键． （1）先把题目的已知数据相加，然后根据结果的正负即可确定巡视在出发点的方向，相距多少千米； （2）把已知数据的绝对值相加，即可得到答案． 【详解】（1）解：（千米）， 答：小李在站台的正东方向，离站台1千米； （2）解：（千米）， 答：小李当天走过的路程是19千米． 21．（10分）已知有理数m，n在数轴上的位置如图所示（m在原点右侧，n在原点左侧，且），且，． (1)求m和n的值； (2)比较和的大小； (3)计算的值． 【答案】(1)， (2) (3)6 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示、绝对值的意义及有理数的加减运算，熟练掌握数轴上有理数的表示、绝对值的意义及有理数的加减运算是解题的关键； （1）根据数轴可知m是正数，n是负数，然后根据绝对值的意义可进行求解； （2）由（1）可分别得出和的值，然后问题可求解； （3）由（2）及有理数的运算可进行求解 【详解】（1）解：因为m在原点右侧，，所以； 因为n在原点左侧，，所以． （2）解：由（1）可知：，， ∴， 因为， 所以． （3）解：由（2）可得：． 22．（12分）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如我们把记作，读作“2的3次商”，记作，读作“的4次商”．一般地，我们把n个相除记作，读作“a的n次商”． (1)关于除方，下列说法错误的是______； ①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数n，；③；④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数． (2)我们知道，有理数的除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化乘方运算呢？ 例：．仿照上面的算式，请你尝试将下列各式写成乘方（幂）的形式：①；②． (3)想一想：将一个非零有理数a的n次商写成幂的形式等于______； (4)算一算：． 【答案】(1)②③ (2)①；② (3) (4) 【分析】本题考查了定义新运算、有理数的混合运算，理解题意，利用新定义计算是解题的关键． （1）根据新定义计算逐项分析即可得出答案； （2）仿照题目的算式，即可得出答案； （3）根据新定义计算即可得出答案； （4）根据新定义，将除方转化为乘方，再利用有理数的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：任何非零数的2次商都等于1，故①正确，不符合题意； 当n为奇数时，，当n为偶数时，，故②错误，符合题意； ，，所以，故③错误，符合题意； 负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数，故④正确，不符合题意； 故答案为：②③． （2）解：① ； ②， ． （3）解： ． 故答案为：． （4）解： ． 23．（12分）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的【探究】． 【提出问题】 两个不为0的有理数a，b满足a，b同号，求的值． 【解决问题】 解：由a、b同号且都不为0可知a、b有两种可能：①a、b都是正数：②a、b都是负数． ①若a、b都是正数，即，，有及，则； ②若a、b都是负数，即，，有及，； 所以的值为2或． 【探究】 请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知且，且，求的值． (2)两个不为0的有理数a，b满足a，b异号，求的值． (3)若，则的值可能是多少？ 【答案】(1)10或4； (2)0； (3)3或． 【分析】（1）由且，且得到a和b的值，代入求解即可； （2）由a、b异号分2种情况讨论：①，；②，，分别求解即可； （3）由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数，分情况讨论：①当a，b，c都是正数，即，，时，②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设，，，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴或，或， ∵， ∴，或，， 当，时， 当，时， 综上，的值10或4； （2）解：由a、b异号，可知：①，；②，， 当，时，； 当，时，， 综上，的值为0； （3）解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当a，b，c都是正数，即，，时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设，，， 则： 所以：的值为3或． 【点睛】本题考查了阅读理解问题，涉及了绝对值、有理数的混合运算、分类讨论等，熟练掌握相关知识并能运用分类讨论思想是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 / 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