8.1.2 全概率公式 8.1.3 贝叶斯公式同步练习-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

8.1.2　全概率公式　8.1.3　贝叶斯公式 一、基础达标 1.甲袋里有5只白球、7只红球,乙袋里有4只白球、2只红球,从两个袋中任取一袋,然后从所取到的袋中任取一球,则取到的球是白球的概率为(　　) A. B. C. D. 2.某人外出出差,委托邻居给家里植物浇一次水,设不浇水时植物枯萎的概率为0.8,浇水时植物枯萎的概率为0.15.邻居记得浇水的概率为0.9.则该人回来植物没有枯萎的概率为(　　) A.0.785 B.0.845 C.0.765 D.0.215 3.某批麦种中,一等麦种占80%,二等麦种占20%,等麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率分别为0.6,0.2,则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为(　　) A.0.48 B.0.52 C.0.56 D.0.65 4.某一地区的患有癌症的人占0.004,患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95,正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.02.现抽查了一个人,试验反应是阳性,则此人是癌症患者的概率约为(　　) A.0.16 B.0.32 C.0.42 D.0.84 5.(多选题)某儿童乐园有甲、乙两个游乐场,小王同学第一天去甲、乙两家游乐场游玩的概率分别为0.3和0.7,如果他第一天去甲游乐场,那么第二天去甲游乐场的概率为0.7;如果第一天去乙游乐场,那么第二天去甲游乐场的概率为0.6,则小王同学(　　) A.第二天去甲游乐场的概率为0.63 B.第二天去乙游乐场的概率为0.42 C.第二天去了甲游乐场,则第一天去乙游乐场的概率为 D.第二天去了乙游乐场,则第一天去甲游乐场的概率为 6.两台机床加工同样的零件,它们常出现废品的概率分别为0.03和0.02,加工出的零件放在一起,设第一台机床加工的零件比第二台的多一倍,则任取一个零件是合格品的概率为　　　　　.  7.某同学连续两次投篮,已知第一次投中的概率为0.8,在第一次投中的情况下,第二次也投中的概率为0.7,且第一次投不中,第二次投中的概率为0.5,则在第二次投中的条件下,第一次也投中的概率为　　　　　.  8.某电子设备制造厂所用的元件是由甲、乙、丙三家元件制造厂提供的,根据以往的记录有如表所示的数据.设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的且不区别标志. 元件制造厂 次品率 提供元件的份额 甲 0.02 0.15 乙 0.01 0.80 丙 0.03 0.05 (1)在仓库中随机取一只元件,求它是次品的概率; (2)在仓库中随机取一只元件,若已知取到的是次品,求此次品出自甲工厂生产的概率. 二、能力提升 9.若某地区一种疾病流行,现有一种试剂可以检验被检者是否患病,已知该试剂的准确率为99%,即在被检验者患病的前提下用该试剂检测,有99%的可能呈现阳性,该试剂的误报率为5%,即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测,有5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者,用该试剂来检验,结果呈现阳性的概率为0.068 8,则该地区疾病的患病率是(　　) A.0.02 B.0.98 C.0.049 D.0.05 10.随着经济的不断发展,城市的交通问题越来越严重,为倡导绿色出行,某公司员工小明选择了三种出行方式.已知他每天上班选择步行、骑共享单车和乘坐地铁的概率分别为0.2,0.3,0.5,并且小明步行上班不迟到的概率为0.91,骑共享单车上班不迟到的概率为0.92,乘坐地铁上班不迟到的概率为0.93,则某天上班小明迟到的概率是(　　) A.0.24 B.0.14 C.0.067 D.0.077 11.甲箱中有3个白球、2个黑球,乙箱中有1个白球、3个黑球,先从甲箱中任取一球放入乙箱中,再从乙箱中任取一球. (1)若已知从甲箱中取出的是白球,则从乙箱中也取出的是白球的概率是　　　　　;  (2)从乙箱中取出白球的概率是　　　　　.  12.某商店成箱出售玻璃杯,每箱装有10只.假设在各箱中有0,1,2只残次品的概率依次为0.6,0.25,0.15,顾客随机取出一箱,并从中取出4只查看,若无残次品,则买下该箱玻璃杯,否则退回.则顾客买下该箱玻璃杯的概率为　　　　　.  13.由于身体及心理方面的差异,人们往往认为女性驾驶员比男性驾驶员更容易发生交通事故.为调查女性驾驶员是否比男性驾驶员更容易发生交通事故,某学校的同学组成了调查小组,对其所在城市进行了调查研究,结果却显示该市男女驾驶员的比例为7∶3,男性驾驶员平均万人的发案率为2.20,女性驾驶员平均万人的发案率为0.25.(发案即发生了交通事故,暂不区分其是否为肇事责任人) (1)若在全市驾驶员中随机抽取1人,则恰是女驾驶员的概率是多少? (2)若该市一名驾驶员发生了交通事故,则其为女性的概率是多少?(结果保留到小数点后第三位) 三、拓展探究 14.(多选题)已知编号为1,2,3的三个盒子,其中1号盒子内装有一个1号球,一个2号球和两个3号球;2号盒子内装有一个1号球,两个3号球;3号盒子内装有两个1号球,三个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球,将取出的球放入与球同编号的盒子中,第二次从该盒子中任取一个球,则下列说法正确的是(　　) A.在第一次抽到3号球的条件下,第二次抽到2号球的概率为 B.第一次抽到3号球且第二次抽到2号球的概率为 C.第二次抽到2号球的概率为 D.如果第二次抽到的是2号球,则它来自1号盒子的概率最大 参考答案 1.B　由题意,知从两袋中任选一袋,选中甲、乙的概率都是,又从甲袋中取到白球的概率是,从乙袋中取到白球的概率为,故所求概率为×()=. 2.A　记A为事件“植物没有枯萎”,W为事件“邻居记得给植物浇水”,则根据题意,知P(W)=0.9,P()=0.1,P(A|)=1-0.8=0.2,P(A|W)=1-0.15=0.85, 因此P(A)=P(A|W)P(W)+P(A|)P()=0.85×0.9+0.2×0.1=0.785.故选A. 3.B　种植一等麦种和二等麦种的事件分别为A1,A2,所结麦穗含有50粒以上麦粒为事件B,依题意,P(A1)=0.8,P(A2)=0.2,P(B|A1)=0.6,P(B|A2)=0.2, 由全概率公式得,P(B)=P(BA1)+P(BA2)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.8×0.6+0.2×0.2=0.52.故选B. 4.A　设“抽查的人患癌症”为事件A,“试验反应是阳性”为事件B,又P(A)=0.004,P()=0.996,P(B|A)=0.95,P(B|)=0.02,所以由贝叶斯公式得P(A|B)= ≈0.16.故选A. 5.AC　设A1:第一天去甲游乐场,A2:第二天去甲游乐场,B1:第一天去乙游乐场,B2:第二天去乙游乐场,依题意可得P(A1)=0.3,P(B1)=0.7,P(A2|A1)=0.7,P(A2|B1)=0.6, 对于A,P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)=0.3×0.7+0.7×0.6=0.63,A正确;对于B,P(B2)=1-P(A2)=0.37,B错误;对于C,P(B1|A2)=,C正确;对于D,P(A1|B2)=,D错误.故选AC. 6.　由题意知,第一台机床加工的零件占总数的,第二台机床加工的零件占总数的,故所求概率为1-(×0.03+×0.02)=. 7.　设事件A表示“第一次投中”,事件B表示“第二次投中”,由贝叶斯公式可得P(A|B)=. 8.解 (1)设事件A表示“取到的是一只次品”,事件Bi(i=1,2,3)表示“所取到的产品是由第i家工厂提供的”, 则P(B1)=0.15,P(B2)=0.80,P(B3)=0.05,P(A|B1)=0.02,P(A|B2)=0.01,P(A|B3)=0.03,由全概率公式可得P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)·P(B3)=0.02×0.15+0.01×0.80+0.03×0.05=0.012 5,即在仓库中随机取一只元件,则它是次品的概率为0.012 5. (2)由贝叶斯公式得P(B1|A)==0.24,即在取到的是次品的条件下,此次品出自甲工厂生产的概率是0.24. 9.A　设用该试剂检测呈现阳性为事件B,被检测者患病为事件A,未患病为事件,则P(B|A)=0.99,P(A)=x,P(B|)=0.05,P()=1-x,故所求概率P(B)=0.99x+0.05×(1-x)=0.068 8,解得x=0.02.故选A. 10.D　记小明步行上班为事件A,骑共享单车上班为事件B,乘坐地铁上班为事件C,小明上班迟到为事件H,则P(A)=0.2,P(B)=0.3,P(C)=0.5,P(|A)=0.91,P(|B)=0.92,P(|C)=0.93,P(H|A)=1-P(|A)=0.09,P(H|B)=1-P(|B)=0.08,P(H|C)=1-P(|C)=0.07, 所以P(H)=P(AH)+P(BH)+P(CH)=P(A)·P(H|A)+P(B)·P(H|B)+P(C)·P(H|C)=0.2×0.09+0.3×0.08+0.5×0.07=0.077,所以某天上班他迟到的概率是0.077.故选D. 11.(1)　(2)　设事件B为“从乙箱中取出白球”, 事件A为“从甲箱中取出白球”,则P(A)=,P()=. (1)由题意可知,P(AB)=,故所求概率为P(B|A)=. (2)易知P(B|)=,故利用全概率公式,得所求概率为P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=. 12.　记事件B为顾客买下该箱玻璃杯,事件Ai为取出的该箱中有i只残次品,i=0,1,2,所以P(A0)=0.6=,P(A1)=0.25=,P(A2)=0.15=,且P(B|A0)=1,P(B|A1)=,P(B|A2)=,由全概率公式可得P(B)=P(A0)P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×1+. 13.解 (1)因为该市男、女驾驶员的比例为7∶3,所以,在全市驾驶员中随机抽取1人是女驾驶员的概率为0.3. (2)设事件A:驾驶员为女性,事件B:驾驶员发生了交通事故,所以P(A)=0.3,P()=0.7,P(B|A)=0.25×10-4,P(B|)=2.20×10-4, 所以根据全概率公式可得,P(B)=P(A)P(B|A)+P()·P(B|)=0.075×10-4+2.2×0.7×10-4=1.615×10-4,所以P(A|B)=≈0.046. 所以,该市一名驾驶员发生了交通事故,则其为女性的概率是0.046. 14.AB　记第一次取得i(i=1,2,3)号球为事件Ai,则P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,在第一次抽到3号球的条件下,第二次抽到2号球的概率为P=,即A正确; 第一次抽到3号球且第二次抽到2号球的概率为P=,即B正确; 记第二次在第i号盒子内抽到2号球的事件分别为Bi(i=1,2,3),而A1,A2,A3两两互斥,和为Ω,且P(B1|A1)=,P(B2|A2)=,P(B3|A3)=,记第二次抽到2号球的事件为B,则P(B)=P(AiBi)=P(Ai)P(Bi|Ai)=,即C错误; 由于原先2号盒子没有2号球,如果第二次取到的是2号球,则它来自1号盒子的概率为P1=,它来自3号盒子的概率P3=,即它来自3号盒子的概率最大,D错误.故答案为AB. 6 学科网（北京）股份有限公司 $