2.2 用配方法求解一元二次方程 第2课时 课件 2025--2026学年北师大版九年级数学上册

第二章 一元二次方程 第2节 用配方法求解一元二次方程 学习目标 1.会用直接开平方法解形如(x+m)2＝n (n>0)的方程； 2.理解配方法的基本思路； 3.会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程； 4.体会转化的数学思想方法； 5.能根据具体问题中的实际意义检验结果的合理性. 复习回顾 填一填： 1.如果 x2 = a,那么 x= . 4.完全平方式:式子a2 ± 2ab +b2叫完全平方式,且a2 ± 2ab +b2 = . 2.如果 x2=64 ,则x= . 3.任何数都可以作为被开方数吗？一个正数有几个平方根？ 试一试： 解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流. (1) x2=4 (2) x2=0 (3) x2+1=0 解:根据平方根的意义，得 x1=2, x2=-2. 解:根据平方根的意义，得 x1=x2=0. 解:根据平方根的意义，得 x2=-1, 因为负数没有平方根，所以原方程无解. 新课学习 (2)当p=0 时，方程(I)有两个相等的实数根 =0； (3)当p<0 时,因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程(I)无实数根. 探究归纳 一般的，对于可化为方程 x2 = p, (I) (1)当p>0 时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等 的实数根 ， ； 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法. 归纳 例1 利用直接开平方法解下列方程: (1) x2=6； (2) x2－900=0. 解： （1） x2=6， 直接开平方，得 （2）移项，得 x2=900. 直接开平方，得 x=±30， ∴x1=30, x2=－30. 典例精析 在解方程(I)时，由方程x2=25得x=±5.由此想到: （x+3)2=5 ， ② 得 对照上面方法，你认为怎样解方程（x+3）2=5 探究交流 于是，方程（x+3）2=5的两个根为 上面的解法中 ，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了. 归纳小结 例2 解下列方程： ⑴ （x＋1）2= 2 ； (2) 12（3－2x）2－3 = 0. 即x1=-1+ ，x2=-1- 解：（1）∵x+1是2的平方根， ∴x+1= ∴ x1= ， x2= ∵3-2x是0.25的平方根， ∴3-2x=±0.5. 即3-2x=0.5,3-2x=-0.5 （2 ）移项，得12（3-2x）2=3， 两边都除以12，得（3-2x）2=0.25. 1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？ 如果一个一元二次方程具有x2=p或（x＋n）2= p（p≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解. 2.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明. 探讨交流 做一做 填一填： （1）x2 +12x + _____ = ( x + 6 )2　; （2）x2 - 4x + _____ = ( x - ____ )2　; （3）x2 + 8 x + ____ = ( x + ____ )2 . 36 4 2 4 问题：上面等式的左边常数项和一次项系数有什么关系？对于形如 x2 + ax的式子，如何配成完全平方？ 16 x2 + ax + ( )2 = ( x + )2 尝试解决梯子底部滑动问题：x2 + 12x -15=0 . 解：可以把常数项移到方程的右边,得 x2 + 12x = 15 , 两边都加62（一次项系数6的一半的平方）,得 x2 + 12x + 62 = 15 + 62 , 即 （x+6）2 = 51 . 两边开平方,得 x + 6 = , 即 x + 6 = 或 x + 6 = . 所以 x1 = , x2= . 这里，解一元二次方程的思路是将方程转化为（x+m）2=n的形式，它的一边是一个完全平放式，另一边是一个常数，当n≥0时，两边同时开平方，转化为一元一次方程，便可求出它的根. 做一做 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 解：移项，得 x2 + 8x =9 , 配方，得 x2 + 8x +42 = 9 + 42, 即 （x + 4）2 = 25. 两边开平方, 得 x + 4 =±5 ， 即 x+4=5，或x+4=-5. 所以 x1 = 1 , x2= -9 . 例题通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法. 例3 ：解方程： x2 + 8x -9= 0. 知识小结 配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤: ①移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项； ②配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方； ③化原方程为 的形式， ④如果 ，解得 ；如果n＜0，则原方程无解. 课堂检测 解下列方程： (3)x2+3x=1; (4)x2+2x+2=8x+4. (1)x2-10x+25=7 ； (2) x2-14x=8； 解决问题 1.如图，在一块长35m，宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850m2，道路的宽应为多少？ 解决问题 2.游行队伍有8行12列，后又增加了69人，使得队伍增加的行、列数相同，你知道增加了多少行或多少列吗？ 课堂小结 1、用配方法解系数为1的一元二次方程的基本思路是 什么？ 2、用配方法解一元二次方程应注意什么问题？ 用配方法解 一元二次方程 直接开平方法： 基本思路： 解二次项系数为1的一元二次方程步骤 形如（x + m）2 = n (n≥0) 将方程转化为（x + m）2 = n (n≥0)的形式，再用直接开平方法， 直接求根. 1.移项 3.直接开平方求解 2.配方 课堂小结 $