专题2.4 函数的奇偶性与幂函数重难点题型讲义（2个知识点+11大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版必修第一册）

该高中数学讲义围绕函数奇偶性与幂函数两大核心主题，构建了“概念理解—方法归纳—题型突破—拓展应用”的系统复习框架。通过知识结构图清晰呈现函数奇偶性的定义、性质与判断方法，用表格对比五类常见幂函数的定义域、值域、单调性和奇偶性特征，辅以思维导图梳理抽象函数与复合函数中奇偶性的推理路径，使重难点分布明确，内在逻辑紧密关联。 讲义的亮点在于“分层训练+素养导向”的练习设计，如例题10中通过判断五种常见幂函数的奇偶性，培养学生的几何直观和符号意识，又如例题9中分析复合函数单调性时运用“同增异减”法则，强化逻辑推理能力。每类题型均配有解题策略提示，基础薄弱生可掌握基本步骤，优等生能提炼通法模型。讲义还提供自我检测与错题归因建议，既支持学生自主查漏补缺，也为教师实施精准教学提供数据支撑。

专题2.4 函数的奇偶性与幂函数重难点题型专训 （2个知识点+11大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 函数奇偶性的定义与判断 题型二 由奇偶性求函数解析式 题型三 函数奇偶性的应用 题型四 抽象函数的奇偶性 题型五 求幂函数的解析式 题型六 根据函数是幂函数求参数值 题型七 幂函数图象的判断及应用 题型八 判断一般幂函数的单调性 题型九 判断与幂函数相关的复合函数的单调性 题型十 判断五种常见幂函数的奇偶性 题型十一 幂函数的奇偶性的应用 拓展训练一 函数奇偶性的性质、判定及应用 拓展训练二 幂函数相关问题 知识点一：函数奇偶性 1 函数奇偶性的概念 (1) 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. (2) 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 由奇偶函数的概念可知道其定义域是关于原点对称的. 注 ① 从定义可知，若是函数定义域中的一个数值，则也必然在该定义域中．故判断函数的奇偶性的前提是：定义域关于原点对称．如是非奇非偶函数. ② 函数按奇偶性可以分为四类：奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，既不是奇函数又不是偶函数．从定义可知，既是奇函数又是偶函数的函数只有一类，即，，是关于原点对称的实数集． 2 性质 ① 偶函数关于轴对称； ② 奇函数关于原点对称； ③ 若奇函数定义域内含有，则； 证明 为奇函数，． 令，则，即，． ④ 在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数)，两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数． 3 判断函数奇偶性的方法 ① 定义法 先判断定义域是否关于原点对称，再求看下与的关系：若，则是偶函数；若，则是奇函数. ② 数形结合 若函数关于原点对称，则函数是奇函数；若函数关于轴对称，则函数是偶函数. 【即时训练】 1．（24-25高一下·江苏盐城·期末）函数的奇偶性为（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 2．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知是定义在R上的奇函数，是定义在R上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最小值为 ． 知识点二：幂函数 1 幂函数的定义 一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，为常数． 注 注意幂函数中的系数是，底数是变量，指数是常数； 2幂函数图像及其性质 (1) 幂函数的图象． (2) 幂函数的性质 图象X|X|K] 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 在上递增 在上递减 在上递增 在上递增 在 上递增 在上递减 在上递减 定点 (3)性质 ① 所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点； ② 时，幂函数的图象通过原点，并且在上是增函数． 特别地，当时，幂函数变化快，图象下凹；当时，幂函数变化慢，图象上凸. Eg 图象上凸，图象下凹，在上是增函数． ③ 时，幂函数的图象在上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． Eg ， 【即时训练】 1．（24-25高一下·辽宁抚顺·开学考试）若函数是幂函数，且，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（23-24高一下·辽宁·阶段练习）函数的值域为 . 【经典例题一 函数奇偶性的定义与判断】 【例1】（24-25高二下·广东深圳·期末）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·山东德州·开学考试）判断下列函数的奇偶性，并说明理由 (1)； (2)； (3)； (4). 1．（2025高一·全国·专题练习）函数，则（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．既非奇函数也非偶函数 D．既是奇函数也是偶函数 2．（多选题）（2025·广东深圳·二模）已知函数的定义域为，，，则（   ） A． B． C．为偶函数 D．的最大值为 3．（2024高一·全国·专题练习）若存在正实数a使得为奇函数，为偶函数，我们称函数为“亲和函数”．则对于“亲和函数”，下列说法正确的有 ． ①；②； ③图象关于对称；④图象关于对称． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)； (3)； (4)； (5) 【经典例题二 由奇偶性求函数解析式】 【例1】（24-25高一上·全国·课前预习）设是奇函数，当时，，则当时，（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）设是偶函数，是奇函数，且，求函数，的解析式. 1．（24-25高一上·江苏南通·开学考试）已知是奇函数，且当时，，则时，（　　） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高一上·甘肃白银·阶段练习）是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法中错误的是（    ） A． B．的单调递增区间为和 C．的解集为 D．的最大值为 3．（2025高一·全国·专题练习）若函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时， ． 4．（24-25高一下·福建·期中）已知是定义在R上的偶函数，当时，. (1)求函数在R上的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围. 【经典例题三 函数奇偶性的应用】 【例1】（24-25高一上·重庆·阶段练习）若为奇函数，当时，，则（    ） A．10 B． C．12 D． 【例2】（2025高一·全国·专题练习）已知与是奇函数；与是偶函数．．请你按照自己对奇偶函数的理解作一推理，并写出所得的结论． 1．（2025高一·全国·专题练习）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，则的值为（    ） A． B．1 C．0 D．无法计算 2．（多选题）（2025·海南·模拟预测）已知函数的定义域为，函数为奇函数，函数为偶函数，则（    ） A．函数的一个对称中心为 B． C．函数为周期函数，且一个周期为4 D． 3．（24-25高一上·全国·课前预习）已知分别为奇函数、偶函数，且，则 ． 4．（24-25高一上·宁夏银川·期中）已知奇函数在上单调递减， (1)指出在上的单调性： (2)用单调性定义证明第（1）问的结论. 【经典例题四 抽象函数的奇偶性】 【例1】（24-25高一上·山东济宁·期中）已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（   ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【例2】（23-24高二下·河南·阶段练习）已知函数的定义域为R，对于任意的x，都有，且． (1)求． (2)证明：． 1．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）已知函数的图象关于点对称，则下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）已知函数的定义域为，，，则（   ） A． B． C．是奇函数 D．是偶函数 3．（2025·重庆·模拟预测）已知定义在上的奇函数满足，则 . 4．（24-25高一上·河南·阶段练习）已知定义域为R的函数满足，，当时，． (1)用定义法证明：在定义域内单调递增； (2)记函数，判断的奇偶性，并证明你的结论． 【经典例题五 求幂函数的解析式】 【例1】（24-25高一上·江西·期末）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．25 B．5 C． D． 【例2】（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知幂函数既不是奇函数也不是偶函数. (1)求的解析式； (2)判断函数的单调性，并用定义法证明. 1．（24-25高一上·广东·期中）已知幂函数的图象经过点， 则 的值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．（多选题）（23-24高一上·河北·阶段练习）已知幂函数的图像经过中的三个点，则的值可能为（    ） A． B． C．3 D．9 3．（24-25高一上·全国·单元测试）若幂函数的图象经过，，这三个点中的两个点，则 . 4．（24-25高一上·山东枣庄·期中）幂函数过点． (1)求函数的解析式； (2)用单调性的定义证明是增函数． 【经典例题六 根据函数是幂函数求参数值】 【例1】（24-25高一上·江苏徐州·期末）若幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C．2 D． 【例2】（24-25高一上·陕西西安·期中）已知幂函数为偶函数. (1)求的值； (2)若，求实数a的值. 1．（24-25高一上·全国·课前预习）已知幂函数是奇函数，则（    ） A． B．1 C．2 D．或2 2．（多选题）（23-24高一上·内蒙古·期中）若幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024高一·全国·专题练习）已知幂函数的图象过点，若，则实数的值为 . 4．（24-25高一上·河南·阶段练习）已知幂函数在第一象限内单调递增，． (1)求m的值； (2)设，判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论． 【经典例题七 幂函数图象的判断及应用】 【例1】（24-25高一上·江苏淮安·期末）已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【例2】（23-24高一·上海·随堂练习）作出函数的大致图象，并说明它与函数图象之间的关系． 1．（24-25高一上·上海·期中）如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高一·全国·课后作业）已知实数a，b满足等式，则下列关系式中可能成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·广东东莞·期中）若，且函数与的图象若只有个交点，则写出一个符合条件的集合 ；若有两个交点，则满足条件的不同集合有 个． 4．（23-24高一·全国·课后作业）点（2，4）在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上，那么求当x为何值时，有：（1）；（2）；（3）. 【经典例题八 判断一般幂函数的单调性】 【例1】（24-25高一下·上海·阶段练习）幂函数在上是严格增函数，且经过，则a的值可能是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·上海·假期作业）写出函数的定义域，作出其大致图像，并根据图像判断其单调性. 1．（23-24高一上·河南郑州·期中）小强在研究幂函数的图像和性质时得到如下结论，则其中正确的是（    ） A．幂函数的图像必过定点和 B．幂函数的图像不可能过第四象限 C．幂函数为偶函数 D．幂函数在其定义域上为减函数 2．（多选题）（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知幂函数的图象经过点，若，则（ ） A． B．的图象经过点 C．是增函数 D． 3．（2025·全国·模拟预测）已知实数，满足，则 . 4．（24-25高一·全国·课后作业）已知幂函数的图象过点， （1）画出的图象. （2）指出该函数的定义域与单调区间. （3）判断奇偶性. 【经典例题九 判断与幂函数相关的复合函数的单调性】 【例1】（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一上·全国·课前预习）讨论函数在时，随着的增大其函数值的变化情况． 1．（23-24高一上·湖南常德·期中）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·全国·期中）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·河南周口·阶段练习）函数的单调递减区间为 ． 4．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）请从下列条件中选取一个条件补充在横线上，并解决你组成的问题：①；②m是满足的最大正整数；③m是满足的最小正整数.问题：已知函数，且__________. （1）判定的奇偶性； （2）判断在上的单调性，并用定义证明. 【经典例题十 判断五种常见幂函数的奇偶性】 【例1】（23-24高一上·山东济南·阶段练习）设，则使的定义域为R且为奇函数的值有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【例2】（23-24高一·江苏·课后作业）分别写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性： （1）；         （2）； （3）；         （4）. 1．（23-24高一上·宁夏·期中）已知函数为幂函数且为偶函数，则（    ） A．3 B．2 C． D． 2．（多选题）（23-24高一上·山东济南·期中）若函数的定义域为且为奇函数，则可能的值为（    ） A．-1 B．1 C． D．3 3．（2024·全国·模拟预测）写出一个同时具有下列性质①②③的函数： ． ①为奇函数； ②在上单调递减； ③当时，． 4．（23-24高一上·广东江门·期中）已知幂函数的图象过点． (1)求此函数的解析式． (2)根据单调性的定义，证明函数在上单调递减． (3)判断函数的奇偶性并说明理由． 【经典例题十一 幂函数的奇偶性的应用】 【例1】（23-24高一上·全国·课后作业）函数在上是（   ） A．增函数且是奇函数 B．增函数且是偶函数 C．减函数且是奇函数 D．减函数且是偶函数 【例2】（23-24高一上·全国·单元测试）已知，函数的图像关于原点对称，且与x轴、y轴均无交点，求m的值． 1．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知幂函数为偶函数，则（   ） A．或2 B．2 C． D．1 2．（多选题）（23-24高一·全国·课后作业）已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（    ） A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数 B．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数 C．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数 D．时，幂函数在上是减函数 3．（24-25高一上·湖南长沙·期中）已知，且，则 ． 4．（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）已知幂函数的图像经过四点中的两点，且在上为减函数． (1)求的解析式； (2)若，求实数a的值． 【拓展训练一 函数奇偶性的性质、判定及应用】 【例1】（2025·云南·模拟预测）已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025高一·全国·专题练习）已知函数的定义域关于原点对称，，且．求证：是奇函数． 1．（24-25高一上·江苏盐城·期中）若奇函数和偶函数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．(多选题)（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习）定义在R上的连续函数满足，，，则（    ） A． B．当时， C．若，则为偶函数 D．当时， 3．（24-25高一上·重庆·期中）设函数（）的最大值为，最小值为，则= 4．（24-25高一下·广西南宁·期末）已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，． (1)求的解析式； (2)证明：函数在上单调递增． 【拓展训练二 幂函数相关问题】 【例1】（23-24高一上·江苏南京·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024高一·全国·专题练习）已知幂函数y＝f(x)经过点（2，）. (1)试求函数解析式； (2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间． 1．（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）已知幂函数，则（    ） A．8 B．4 C． D． 2．（多选题）（23-24高二下·山东枣庄·阶段练习）以下说法正确的是（    ） A． B．若定义在R上的函数是奇函数，则也是奇函数 C． D．已知是幂函数，则m的值为4 3．（23-24高一上·江苏镇江·期末）设幂函数同时具有以下两个性质：①函数在第二象限内有图象；②对于任意两个不同的正数，，都有恒成立.请写出符合上述条件的一个幂函数 . 4．（2024·江苏常州·一模）已知是定义在上的奇函数，当时，. (1)求在上的解析式； (2)当时，若的值域为，求实数，的值． 1．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·开学考试）下列函数是偶函数的是（    ）． A． B． C． D． 2．（2025·河南·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且对任意，都有，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 3．（24-25高一下·贵州毕节·期末）已知幂函数满足，则下列结论正确的是（   ） A．在上单调递减 B．的图象关于轴对称 C．的图象过点 D． 4．（24-25高一上·湖北荆州·期末）已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·山东济南·期末）设，则使函数的值域为R且为奇函数的所有a值为（    ） A．1，3 B．，1 C．，3 D．，1，3 6．（多选题）（2025·云南玉溪·模拟预测）已知不恒为0的函数的定义域为R，，则（   ） A． B．是奇函数 C．是偶函数 D． 7．（多选题）（24-25高一下·浙江衢州·期末）已知函数和的定义域均为，若是奇函数，是偶函数，且，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（多选题）（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知函数的定义域为，对任意的实数，满足，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．为上的减函数 D．为奇函数 9．（多选题）（24-25高一上·全国·单元测试）已知，则（    ） A．当时，的定义域为 B．当时， C．当时，是偶函数 D．当时，是奇函数 10．（多选题）（23-24高一上·山西运城·阶段练习）下列函数中，既是偶函数又在上是递减的函数是（ ） A． B． C． D． 11．（2025高一下·全国·专题练习）函数是 函数（填“奇”“偶”或“非奇非偶”）. 12．（2025高一·全国·专题练习）设，为实数，且满足：，则 ． 13．（24-25高一上·江苏南通·期中）已知幂函数的图像关于轴对称，则 ． 14．（24-25高一上·云南昆明·期中）已知幂函数经过点，若，则 . 15．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知函数的图像与坐标轴没有公共点，且关于y轴对称，则函数的解析式为 . 16．（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知函数的表达式为 . (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)用定义证明:函数在区间上是严格减函数. 17．（24-25高一上·浙江温州·期中）定义在上的函数满足：对任意的，都有，且当时，. (1)求证：是奇函数； (2)判断的正负，并说明理由. 18．（23-24高一上·广东珠海·期末）已知定义在上的函数满足，，且. (1)求的值； (2)判断的奇偶性，并证明. 19．（23-24高一下·全国·单元测试）已知幂函数的图象过点. (1)求此函数的解析式； (2)根据单调性的定义判断函数在上的单调性. 20．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知幂函数满足． (1)求函数的解析式； (2)若函数，是否存在实数n使得的最小值为，若存在，求出实数n的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.4 函数的奇偶性与幂函数重难点题型专训 （2个知识点+11大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 函数奇偶性的定义与判断 题型二 由奇偶性求函数解析式 题型三 函数奇偶性的应用 题型四 抽象函数的奇偶性 题型五 求幂函数的解析式 题型六 根据函数是幂函数求参数值 题型七 幂函数图象的判断及应用 题型八 判断一般幂函数的单调性 题型九 判断与幂函数相关的复合函数的单调性 题型十 判断五种常见幂函数的奇偶性 题型十一 幂函数的奇偶性的应用 拓展训练一 函数奇偶性的性质、判定及应用 拓展训练二 幂函数相关问题 知识点一：函数奇偶性 1 函数奇偶性的概念 (1) 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. (2) 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 由奇偶函数的概念可知道其定义域是关于原点对称的. 注 ① 从定义可知，若是函数定义域中的一个数值，则也必然在该定义域中．故判断函数的奇偶性的前提是：定义域关于原点对称．如是非奇非偶函数. ② 函数按奇偶性可以分为四类：奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，既不是奇函数又不是偶函数．从定义可知，既是奇函数又是偶函数的函数只有一类，即，，是关于原点对称的实数集． 2 性质 ① 偶函数关于轴对称； ② 奇函数关于原点对称； ③ 若奇函数定义域内含有，则； 证明 为奇函数，． 令，则，即，． ④ 在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数)，两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数． 3 判断函数奇偶性的方法 ① 定义法 先判断定义域是否关于原点对称，再求看下与的关系：若，则是偶函数；若，则是奇函数. ② 数形结合 若函数关于原点对称，则函数是奇函数；若函数关于轴对称，则函数是偶函数. 【即时训练】 1．（24-25高一下·江苏盐城·期末）函数的奇偶性为（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 【答案】A 【分析】现求出函数的定义域，再根据奇偶性的定义，判断与的关系即可求解. 【详解】因为函数的定义域为，， 所以函数为奇函数. 故选：A. 2．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知是定义在R上的奇函数，是定义在R上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最小值为 ． 【答案】－4 【分析】根据函数的奇偶性的定义可求的范围，从而可得范围和最小值. 【详解】因为是定义在R上的奇函数，是定义在R上的偶函数， 所以， 所以，即， 因为的值域为，所以的值域也为， 所以的值域为，所以的值域也为， 所以的最小值为． 故答案为：－4. 知识点二：幂函数 1 幂函数的定义 一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，为常数． 注 注意幂函数中的系数是，底数是变量，指数是常数； 2幂函数图像及其性质 (1) 幂函数的图象． (2) 幂函数的性质 图象X|X|K] 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 在上递增 在上递减 在上递增 在上递增 在 上递增 在上递减 在上递减 定点 (3)性质 ① 所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点； ② 时，幂函数的图象通过原点，并且在上是增函数． 特别地，当时，幂函数变化快，图象下凹；当时，幂函数变化慢，图象上凸. Eg 图象上凸，图象下凹，在上是增函数． ③ 时，幂函数的图象在上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． Eg ， 【即时训练】 1．（24-25高一下·辽宁抚顺·开学考试）若函数是幂函数，且，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】设出幂函数解析式，根据条件得到方程，求出，代入求值. 【详解】设，由得，解得，所以， 所以． 故选：C 2．（23-24高一下·辽宁·阶段练习）函数的值域为 . 【答案】 【分析】结合函数解析式并利用幂函数单调性可求得其值域为. 【详解】由幂函数性质可知在上单调递增， 又易知为偶函数， 所以当时，可知在上单调递减， 可得. 故答案为： 【经典例题一 函数奇偶性的定义与判断】 【例1】（24-25高二下·广东深圳·期末）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据奇函数的定义即可得出判断． 【详解】对于A，，设， ，所以为奇函数，故A符合题意； 对于B，，， 定义域关于原点不对称，所以是非奇非偶函数，故B不合题意； 对于C，， 设， 则，不为奇函数，故C不合题意； 对于D，， 定义域关于原点不对称，所以为非奇非偶函数，故D不合题意； 故选：A． 【例2】（24-25高一上·山东德州·开学考试）判断下列函数的奇偶性，并说明理由 (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)偶函数 (2)非奇非偶函数 (3)非奇非偶函数 (4)既是奇函数又是偶函数 【分析】（1）（2）（3）（4）根据函数奇偶性的定义进行判断即可. 【详解】（1）偶函数，理由如下： 函数的定义域为R，关于原点对称， 且， 所以函数为偶函数. （2）非奇非偶函数，理由如下： 由得且， 故函数的定义域为且，不关于原点对称， 所以函数为非奇非偶函数. （3）非奇非偶函数，理由如下： 由解得，所以，函数的定义域为，定义域关于原点不对称， 则为非奇非偶函数． （4）既是奇函数又是偶函数，理由如下： 由，所以，其定义域为，关于原点对称. 因为对定义域内的每一个，都有，所以，， 所以既是奇函数又是偶函数. 1．（2025高一·全国·专题练习）函数，则（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．既非奇函数也非偶函数 D．既是奇函数也是偶函数 【答案】B 【分析】利用函数奇偶性的定义判断即可. 【详解】函数的定义域为， 当时，，有，； 当时，，有，； 当，，， 综上所述，对任意的，成立，所以函数为偶函数， 故选：B． 2．（多选题）（2025·广东深圳·二模）已知函数的定义域为，，，则（   ） A． B． C．为偶函数 D．的最大值为 【答案】BCD 【分析】令，可判断A选项，令可得出，再令，可求出的值，可判断B选项；利用偶函数的定义可判断C选项；令，可得出，求出的最大值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，令，则，解得，A错； 对于B选项，令，则，即， 所以， 令，，可得，即， 即，故，B对； 对于C选项，因为， 同理有， 所以， 若，设， 令，则， 再令， 则， 所以函数的零点关于y轴对称； 若，则， 令有， 故函数为偶函数，C对； 对于D选项，令，则， 所以，可得，故函数的最大值为，D对. 故选：BCD. 3．（2024高一·全国·专题练习）若存在正实数a使得为奇函数，为偶函数，我们称函数为“亲和函数”．则对于“亲和函数”，下列说法正确的有 ． ①；②； ③图象关于对称；④图象关于对称． 【答案】② 【分析】利用构造函数，根据奇偶性的定义以及性质，结合函数图象变换，可得答案. 【详解】①令，由题意可知函数是奇函数，则，可得，∴错误； ②令，由题意可得函数是偶函数，则，可得，∴正确； ③由①可知奇函数的图象关于对称，函数的图象向左移动个单位可得函数的图象，可得关于对称，∴错误； ④由②可知奇函数的图象关于轴对称，函数的图象向右移动个单位可得函数的图象，可得关于对称，∴错误． 故答案为：②. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)； (3)； (4)； (5) 【答案】(1)奇函数 (2)既是奇函数又是偶函数 (3)既不是奇函数也不是偶函数 (4)奇函数 (5)奇函数 【分析】先判断函数的定义域是否关于原点对称，对于函数定义域不对称的即为非奇非偶函数，再结合函数奇偶性的定义逐一判断（1）（5）题即可． 【详解】（1）函数的定义域为，关于原点对称，且，则为奇函数． （2）对于函数，由可得， 其定义域为，关于原点对称．因为当时，都有， 满足，故既是奇函数又是偶函数． （3）由可得，即函数的定义域为，不关于原点对称， 故既不是奇函数也不是偶函数． （4）由可得，且， 即函数的定义域为且，关于原点对称，此时． 因为，所以函数是奇函数． （5）因函数的定义域为，关于原点对称． 且当时，，则； 当时，，则． 综上所述，，所以函数是奇函数． 【经典例题二 由奇偶性求函数解析式】 【例1】（24-25高一上·全国·课前预习）设是奇函数，当时，，则当时，（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数是奇函数定义求出解析式. 【详解】当时，， 又因为为奇函数，所以，所以． 故选：D. 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）设是偶函数，是奇函数，且，求函数，的解析式. 【答案】， 【分析】由已知条件得到，再结合奇偶性解方程即可. 【详解】因为是偶函数，是奇函数， 所以，. 由①， 用代替得， 所以②. （①+②）÷2，得. （①-②）÷2，得. 1．（24-25高一上·江苏南通·开学考试）已知是奇函数，且当时，，则时，（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用奇函数的性质，根据题设条件即可求得另一半的解析式. 【详解】因为时，， 当时，则，， 因是奇函数，则. 故选：B.　 2．（多选题）（24-25高一上·甘肃白银·阶段练习）是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法中错误的是（    ） A． B．的单调递增区间为和 C．的解集为 D．的最大值为 【答案】AC 【分析】先依据偶函数的性质求出解析式，再利用二次函数性质求解单调区间判断B，利用单调性结合 偶函数的性质判断A，举反例判断C，利用二次函数的性质分区间求最值判断D即可. 【详解】当时，，因为是定义在上的偶函数， 所以，而当时，， 故此时，故的解析式如下， 当时，，当时，， 当时，由二次函数性质得在上单调递增， 在上单调递减， 当时，由二次函数性质得在上单调递增， 在上单调递减， 综上可得的单调递增区间为和，故B正确， 由偶函数性质得，而在上单调递减， 所以，故，故A错误， 当时，，不满足，故C错误， 当时，由二次函数性质得， 当时，由二次函数性质得， 故的最大值为，即D正确. 故选：AC 3．（2025高一·全国·专题练习）若函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时， ． 【答案】 【分析】由奇函数的性质进行求解函数的表达式即可. 【详解】当时，则，得， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 故当时，. 故答案为: 4．（24-25高一下·福建·期中）已知是定义在R上的偶函数，当时，. (1)求函数在R上的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数是偶函数结合分段函数解析式求解； （2）根据函数单调性列不等式计算求参. 【详解】（1）由题意知是定义在R上的偶函数，当时，. 故当时，， 故函数在R上的解析式为； （2）作出函数的图象如图： 结合图象可得，若函数在区间上单调递增， 需满足，即. 【经典例题三 函数奇偶性的应用】 【例1】（24-25高一上·重庆·阶段练习）若为奇函数，当时，，则（    ） A．10 B． C．12 D． 【答案】D 【分析】由奇函数性质结合题意可得答案. 【详解】因为为奇函数，时，, 所以. 故选：D 【例2】（2025高一·全国·专题练习）已知与是奇函数；与是偶函数．．请你按照自己对奇偶函数的理解作一推理，并写出所得的结论． 【答案】答案见解析 【分析】根据奇函数、偶函数的定义和性质可得出结论. 【详解】这类问题自由发挥的空间很大，可以从定义出发，也可以从函数的运算出发，或者从其它某个自己感兴趣的角度展开联想进行推理，得出结论． （1）、都是关于原点对称的数集； （2），； （3）在公共定义域中有如下性质： ①两个奇函数的乘积和两个偶函数的乘积都是偶函数； ②一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数； ③两个偶函数的和是偶函数； ④两个奇函数的和是奇函数． 1．（2025高一·全国·专题练习）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，则的值为（    ） A． B．1 C．0 D．无法计算 【答案】C 【分析】根据函数，的奇偶性，结合，推出，化简求解. 【详解】因为是定义在上的奇函数，则有， 又因为，所以， 又因为是定义在上的偶函数， 所以， 所以，可得 因此， 所以． 故选：C. 2．（多选题）（2025·海南·模拟预测）已知函数的定义域为，函数为奇函数，函数为偶函数，则（    ） A．函数的一个对称中心为 B． C．函数为周期函数，且一个周期为4 D． 【答案】AD 【分析】利用奇函数的性质将得到即可得出对称中心；通过赋值法令，得出，再利用为偶函数，得出，再令即可求解；利用函数的一个对称中心为即可求解；利用，令得即可求解． 【详解】对于A，由函数为奇函数，故， 即，即，故函数的一个对称中心为，故A正确； 对于B，由，令，则，即， 由函数为偶函数，故，即， 令，则，故B错误； 对于C，由函数的一个对称中心为，则，即，故函数不以4为周期，故C错误； 对于D，由，令，有， 由，故，故D正确． 故选：AD． 3．（24-25高一上·全国·课前预习）已知分别为奇函数、偶函数，且，则 ． 【答案】/-6.5 【分析】利用奇函数和偶函数的性质，将原方程中的替换为，得到另一个方程，联立解出和，再代入计算的值. 【详解】因为①，所以②， ①+②得，，所以，则，所以， 所以． 故答案为： 4．（24-25高一上·宁夏银川·期中）已知奇函数在上单调递减， (1)指出在上的单调性： (2)用单调性定义证明第（1）问的结论. 【答案】(1)单调递减 (2)证明见解析 【分析】（1）根据奇函数在对称区间单调性相同这个性质得出结论； （2）利用单调性的定义和奇偶性定义进行证明. 【详解】（1）因为奇函数在对称区间单调性相同， 函数在上单调递减， 所以在上单调递减.. （2）设，且. 则，且. 因为在上单调递减，所以. 根据是奇函数，，所以. 两边同时乘以得. 即对于任意的，当时，都有. 所以在上单调递减,则命题得证. 【经典例题四 抽象函数的奇偶性】 【例1】（24-25高一上·山东济宁·期中）已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（   ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】C 【分析】根据抽象函数，利用奇偶函数的性质直接判断即可. 【详解】因为， 所以令，可得， 令，则， 所以， 则既不是奇函数又不是偶函数， 且， 所以是奇函数. 故选：C 【例2】（23-24高二下·河南·阶段练习）已知函数的定义域为R，对于任意的x，都有，且． (1)求． (2)证明：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用赋值法即得； （2）由题可得，进而可得，即得. 【详解】（1）在中， 令，可得， 因为， 所以． （2）在中， 令，得， 因为， 所以，即， 由于y的任意性， 则． 1．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）已知函数的图象关于点对称，则下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平移规律，再结合条件，即可求解. 【详解】函数的图象关于点对称， 所以函数的图象向右平移1个单位， 向下平移一个单位后函数的图象关于点对称， 即可得. 故选：D 2．（多选题）（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）已知函数的定义域为，，，则（   ） A． B． C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】ABC 【分析】运用赋值法，结合奇偶函数的定义判断即可. 【详解】令，则，即，故A正确； 令，则，可得， 令，则，则，B正确； 将代替得，即， 则，所以是奇函数，故C正确D不正确. 故选：ABC 3．（2025·重庆·模拟预测）已知定义在上的奇函数满足，则 . 【答案】2026 【分析】法一：由题意利用列举法写出函数值，整理等式可得递推公式，根据累加法，可得答案；法二：由题意利用列举法写出函数值，设出函数解析式，利用等式检验，可得答案. 【详解】法一： 由函数是上的奇函数，则， 由，令，则； 则 ， 由 . 法二： 由函数是上的奇函数，则， 由，令，则； 由，令，则； 设，则，，即，符合题意， 所以. 故答案为：. 4．（24-25高一上·河南·阶段练习）已知定义域为R的函数满足，，当时，． (1)用定义法证明：在定义域内单调递增； (2)记函数，判断的奇偶性，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)是奇函数，证明见解析 【分析】（1）根据题意，由函数单调性的定义法代入计算，即可证明； （2）根据题意，由函数奇偶性的定义代入计算，即可证明. 【详解】（1）设，则， 因为，所以，故，而， 故，所以是单调递增函数． （2）是奇函数． 证明如下：由， 所以， 由，令， 则，再令，解得， 所以， 所以 ， 故是奇函数． 【经典例题五 求幂函数的解析式】 【例1】（24-25高一上·江西·期末）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．25 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】待定系数法求出幂函数解析式，代入求值即可. 【详解】设，则，解得，则，. 故选：D 【例2】（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知幂函数既不是奇函数也不是偶函数. (1)求的解析式； (2)判断函数的单调性，并用定义法证明. 【答案】(1) (2)函数在上单调递增，证明见解析 【分析】（1）根据幂函数的定义可得，求出m的值，再验证是否满足题意，即可求的结果. （2）利用函数单调性的定义即可证明函数在上单调递增. 【详解】（1）由是幂函数可得，解得或， 时，，定义域为，关于原点对称， 且，所以为奇函数，不符合题意，舍去， 时，，可得定义域为， 不关于原点对称，可得既不是奇函数也不是偶函数，符合题意， 故； （2），定义域为， 函数在上单调递增. 证明如下： 设且， 则 ， ，，，， ，即， 故函数在上单调递增. 1．（24-25高一上·广东·期中）已知幂函数的图象经过点， 则 的值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】设出幂函数的解析式，待定系数求得解析式，再求函数值. 【详解】设幂函数的解析式为， 因为幂函数的图象经过点 故可得，解得， 故，故， 故选：B. 2．（多选题）（23-24高一上·河北·阶段练习）已知幂函数的图像经过中的三个点，则的值可能为（    ） A． B． C．3 D．9 【答案】BC 【分析】设，利用幂函数的性质知，点一定在幂函数图像上，再分别讨论过三点，过三点，过三点，即可求出结果. 【详解】设，因为， 由幂函数的性质可知的图像必定经过点, 若的图像经过三点，由，得为正奇数， 则的解析式可能为，有，此时； 若的图像经过三点，由，得， 则，有，此时； 若的图像经过三点，由，得到，，此时不在图像上，即的图像不同时经过三点， 故选：BC. 3．（24-25高一上·全国·单元测试）若幂函数的图象经过，，这三个点中的两个点，则 . 【答案】16 【分析】根据幂函数的概念及性质，先确定幂函数的解析式，再求的值. 【详解】因为点为第四象限的点，所以幂函数的图象不过点. 设幂函数，其图象经过点和， 所以，解得，所以. 所以. 故答案为：16. 4．（24-25高一上·山东枣庄·期中）幂函数过点． (1)求函数的解析式； (2)用单调性的定义证明是增函数． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）把点坐标代入函数解析式可得，即可得到函数解析式. （2）利用定义法可证明函数在上是增函数. 【详解】（1）∵过点, ∴，解得， ∴函数的解析式为，即. （2）函数的定义域为. ，且， ， ∵， ∴，即， ∴在上是增函数. 【经典例题六 根据函数是幂函数求参数值】 【例1】（24-25高一上·江苏徐州·期末）若幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的概念可求得，利用函数图象过点可得，由此可计算的值. 【详解】因为函数为幂函数， 所以，即，所以， 因为函数的图象经过点， 所以，即， 所以，解得， 所以. 故选：A. 【例2】（24-25高一上·陕西西安·期中）已知幂函数为偶函数. (1)求的值； (2)若，求实数a的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由幂函数的定义求得或，再检验即可求得函数表达式，代入求值即可； （2）由偶函数性质可得，由此解方程即可得解. 【详解】（1）由题意知，解得或， 当时，为奇函数，不满足题意； 当时， ，满足题意， ∴，∴. （2）由和可得，即或， ∴或. 1．（24-25高一上·全国·课前预习）已知幂函数是奇函数，则（    ） A． B．1 C．2 D．或2 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义求出的可能值，再结合奇偶性即可得出结果． 【详解】由为幂函数得，即，解得或． 当时，，，原幂函数为偶函数，所以； 当时，，，原幂函数为奇函数，故． 故选：A． 2．（多选题）（23-24高一上·内蒙古·期中）若幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据幂函数的定义求出幂函数的解析式，再把点的坐标代入幂函数解析式中即可求出. 【详解】由题意得，则， 所以过点，由，得． 故选：BC. 3．（2024高一·全国·专题练习）已知幂函数的图象过点，若，则实数的值为 . 【答案】 【分析】利用幂函数的性质求解参数得到解析式，再求值即可. 【详解】因为幂函数的图象过点， 所以，解得，即， 因为，所以，解得， 所以实数的值为. 故答案为： 4．（24-25高一上·河南·阶段练习）已知幂函数在第一象限内单调递增，． (1)求m的值； (2)设，判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论． 【答案】(1) (2)单调递减，证明见解析 【分析】（1）由幂函数的定义和单调性求解即可； （2）由函数单调性的定义证明即可； 【详解】（1）由幂函数的定义可知，， 即，解得或， 又在第一象限内单调递增，由幂函数的单调性可知，． （2）在上单调递减． 证明：由（1）可知，，则． ，，且，则 ， 因为，，所以， 又，所以，则， 即，所以， 故函数在上单调递减． 【经典例题七 幂函数图象的判断及应用】 【例1】（24-25高一上·江苏淮安·期末）已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据幂函数图象上的点求出幂函数的解析式， 方法一：排除法，根据函数的定义域及偶函数图象特征排除，即可判断； 方法二：排除法，根据幂函数的单调性和函数值的符号排除，即可判断． 【详解】设幂函数的解析式为，由其图象经过点，得，解得， 于是． 方法一：函数的定义域为，关于原点对称，排除A，D； 因为，所以函数为偶函数， 图象关于轴对称，排除C． 方法二：因为，所以在上单调递减，排除A，D； 又，排除C． 故选：B． 【例2】（23-24高一·上海·随堂练习）作出函数的大致图象，并说明它与函数图象之间的关系． 【答案】答案见解析 【分析】由结合图象的变换以及幂函数的性质，画出图象. 【详解】函数的定义域为，且. 所以左移3个单位，然后下移1个单位：即为的图象， 图象如图所示： 1．（24-25高一上·上海·期中）如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的图象和性质之间的关系进行判断即可. 【详解】当时，幂函数在上单调递增， 当时，幂函数在上单调递减， 并且在直线的右侧，图象自下而上所对应的函数的幂指数依次增大， 所以，所以. 故选：A 2．（多选题）（23-24高一·全国·课后作业）已知实数a，b满足等式，则下列关系式中可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先作出函数与的图象，设，作直线，观察图象分析得解. 【详解】画出与的图象（如图）， 设，作直线． 从图象知，若或，则； 若，则； 若，则． 故其中可能成立的是ACD． 故选ACD 【点睛】本题主要考查幂函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 3．（24-25高一上·广东东莞·期中）若，且函数与的图象若只有个交点，则写出一个符合条件的集合 ；若有两个交点，则满足条件的不同集合有 个． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】列举出所有两个不同函数的交点个数，筛选出符合题意的函数即可得结果. 【详解】函数与的图象分别有个，个，个交点； 函数与的图象都有个交点； 函数与的图象有个交点， 所以函数与的图象若只有个交点， 则或； 函数与的图象若只有个交点， 则或或或. 故答案为：（答案不唯一）；. 4．（23-24高一·全国·课后作业）点（2，4）在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上，那么求当x为何值时，有：（1）；（2）；（3）. 【答案】见解析. 【分析】首先求出与的函数解析，再在同一平面直角坐标系上画出两函数图象，数形结合即可得解. 【详解】解：设，则由题意得，，即. 再设，则由题意得，，即. 在同一直角坐标系中作出与的图象，如图所示. 由图象可知，（1）当或时，. （2）当时，. （3）当时，. 【经典例题八 判断一般幂函数的单调性】 【例1】（24-25高一下·上海·阶段练习）幂函数在上是严格增函数，且经过，则a的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的单调性可排除A；根据幂函数过点，可排除B和 D. 【详解】因为幂函数在上是严格增函数，所以，故A错误. 对于B，若，则，当时，，不经过，故B错误. 对于C ，若，则，当时，，经过，故C正确. 对于D，若，则，定义域为，不符合题意，故D错误. 故答案为：C. 【例2】（24-25高一上·上海·假期作业）写出函数的定义域，作出其大致图像，并根据图像判断其单调性. 【答案】，作图见解析，在严格递减 【分析】把写成根式型，得到所以得到定义域，根据指数位置小于0，所以在第一象限单调递减，可以画出大致图像. 【详解】，，即定义域为. 图像为： 在定义域上单调递减. 1．（23-24高一上·河南郑州·期中）小强在研究幂函数的图像和性质时得到如下结论，则其中正确的是（    ） A．幂函数的图像必过定点和 B．幂函数的图像不可能过第四象限 C．幂函数为偶函数 D．幂函数在其定义域上为减函数 【答案】B 【分析】不过，A错误，根据定义域排除C，举反例得到D错误，B正确，得到答案. 【详解】对选项A：不过，错误； 对选项B：时，，幂函数的图像不可能过第四象限，正确； 对选项C：幂函数的定义域为，是非奇非偶函数，错误； 对选项D：时，；时，，不是定义域上减函数，错误； 故选：B. 2．（多选题）（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知幂函数的图象经过点，若，则（ ） A． B．的图象经过点 C．是增函数 D． 【答案】BC 【分析】设幂函数解析式，代入点坐标可得选项A错误；由可得选项B正确；根据幂函数的单调性可得选项C正确；利用可得选项D错误. 【详解】设，由的图象经过点得，，解得， ∴，选项A错误. 由得的图象经过点，选项B正确. 在为增函数，选项C正确. 由得，，解得，选项D错误. 故选：BC. 3．（2025·全国·模拟预测）已知实数，满足，则 . 【答案】4 【分析】通过对两个方程进行变形，构造出相同形式的函数，再利用函数的性质来求解x + y的值. 【详解】对进行变形，可化为， 对进行变形，可化为， 设，随增大而增大，，也是随增大而增大， 则是单调递增函数.则可得. 故答案为：4. 4．（24-25高一·全国·课后作业）已知幂函数的图象过点， （1）画出的图象. （2）指出该函数的定义域与单调区间. （3）判断奇偶性. 【答案】（1）作图见解析；（2）定义域为，单调减区间为，单调增区间为；（3）偶函数. 【分析】（1）根据题设条件，先求得幂函数的解析式，结合幂函数的图象与性质，即可求解； （2）化简幂函数，得到，即可求得函数的定义域，再结合图象，即可求得函数的单调区间； （3）根据函数的奇偶性的定义，即可得出函数的奇偶性，得到结论. 【详解】（1）由题意，幂函数的图象过点，可得，即， 解得，所以.根据幂函数的图象与性质，可得函数的图象， 如图所示： （2）由（1）可得幂函数，可得，解得或， 即函数的定义域为， 结合图象，可得函数的单调减区间为，单调增区间为. （3）由（2）可知，函数的定义域为，关于原点对称， 又由，即， 所以函数为定义域上的偶函数. 【经典例题九 判断与幂函数相关的复合函数的单调性】 【例1】（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，可得的定义域，利用复合函数的单调性可求得的单调递减区间. 【详解】由，可得，解得或， 所以函数的定义域为， 又，所以在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增， 所以由复合函数的单调性可得在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为. 故选：A. 【例2】（23-24高一上·全国·课前预习）讨论函数在时，随着的增大其函数值的变化情况． 【答案】分类讨论，答案见解析. 【分析】结合与的符号进行分类讨论，由此求得函数随着的增大其函数值的变化情况. 【详解】依题意， （1）当，即或时，为常数函数； （2）当，即或 时，此时函数为常数函数； （3）当，即时，函数为减函数，函数值随的增大而减小； （4）当，即或时，函数为增函数，函数值随的增大而增大； （5）当，即时，函数为增函数，函数值随的增大而增大； （6）当，即时，函数为减函数，函数值随的增大而减小． 1．（23-24高一上·湖南常德·期中）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，，利用复合函数的单调性求解. 【详解】解：由，得，即， 解得，所以 的定义域为， 令，在上递增，在上递减，又，在上递减， 所以在上递减， 所以函数的单调递减区间为， 故选：C 2．（22-23高一上·全国·期中）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的定义域，利用复合函数的单调性即可判断. 【详解】令,则. 由，解得或，故函数的定义域为或. 又函数在上单调递减，在上单调递增, 在上单调递增，则函数在上单调递增. 故选：B. 3．（24-25高一上·河南周口·阶段练习）函数的单调递减区间为 ． 【答案】 【分析】先求函数的定义域，然后由复合函数的单调性，同增异减的原则分析即可. 【详解】由得：， 所以函数的定义域为：， 令，其对称轴为， 所以在上单调递增，上单调递减， 在上单调递增， 故复合函数在上单调递增，上单调递减， 故答案为：. 4．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）请从下列条件中选取一个条件补充在横线上，并解决你组成的问题：①；②m是满足的最大正整数；③m是满足的最小正整数.问题：已知函数，且__________. （1）判定的奇偶性； （2）判断在上的单调性，并用定义证明. 【答案】任先一个，结果都一样，（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）选①，直接由解方程确定值；选②，解不等式得的范围，取其中最大的正整数可得；选③，解不等式得的范围，取其中最小的正整数可得． 以下步骤相同：由偶函数定义证明； （2）由单调性定义证明． 【详解】选①： （1），解得，即， 定义域为，， 所以是偶函数； （2）设，则， 所以，即， 所以在上是增函数． 选②：由得，，所以，最大正整数为4，所以，， 选③：由得，，当是整数时，是偶数，其中最小的正整数是2，故，即，以下同选①． 【经典例题十 判断五种常见幂函数的奇偶性】 【例1】（23-24高一上·山东济南·阶段练习）设，则使的定义域为R且为奇函数的值有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据幂函数的性质一一判断即可. 【详解】当时定义域为且为偶函数，不符合题意； 当时定义域为且为奇函数，不符合题意； 当时定义域为且为奇函数，符合题意； 当时定义域为且为非奇非偶函数，不符合题意； 当时定义域为且为奇函数，符合题意； 当时定义域为且为奇函数，符合题意； 故符合题意的有、、共个. 故选：B 【例2】（23-24高一·江苏·课后作业）分别写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性： （1）；         （2）； （3）；         （4）. 【答案】（1）奇函数；（2）非奇非偶函数；（3）偶函数；（4）非奇非偶函数； 【分析】首先求出函数的定义域，再利用函数的奇偶性定义即可求解. 【详解】（1），定义域为，关于原点对称， ，函数为奇函数. （2），定义域为，不关于原点对称， 函数为非奇非偶函数. （3）定义域为， 关于原点对称，且，函数为偶函数. （4）定义域为， 定义域不关于原点对称，函数为非奇非偶函数. 1．（23-24高一上·宁夏·期中）已知函数为幂函数且为偶函数，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】由函数为幂函数，求得或，分别验证函数的奇偶性，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，函数为幂函数，可得，即， 解得或， 当时，函数，此时，函数为奇函数，不符合题意，舍去； 当时，函数，此时，函数为偶函数， 综上，可得. 故选B. 【点睛】本题主要考查了幂函数的定义，以及函数的奇偶性的判定及应用，其中解答中熟记幂函数的概念，以及函数的奇偶性的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2．（多选题）（23-24高一上·山东济南·期中）若函数的定义域为且为奇函数，则可能的值为（    ） A．-1 B．1 C． D．3 【答案】BD 【分析】根据幂函数的图像和性质判断可能的值即可. 【详解】当为时，定义域不是R；当为时，定义域不是R； 当为时，是定义域为R的奇函数；当为时，是定义域为R的奇函数. 故选BD 【点睛】本题主要考查了常见幂函数的定义域，奇偶性，属于中档题. 3．（2024·全国·模拟预测）写出一个同时具有下列性质①②③的函数： ． ①为奇函数； ②在上单调递减； ③当时，． 【答案】（答案不唯一） 【分析】取，利用幂函数的基本性质可判断①②，利用作差法可判断③. 【详解】取，则，易知函数为奇函数，满足①； 由在上单调递减，可知在上单调递减，满足②； 对于③， ， 当时，，即，满足③． 故答案为：（答案不唯一）. 4．（23-24高一上·广东江门·期中）已知幂函数的图象过点． (1)求此函数的解析式． (2)根据单调性的定义，证明函数在上单调递减． (3)判断函数的奇偶性并说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)非奇非偶函数，理由见解析 【分析】（1）根据幂函数的定义求解即可； （2）根据单调性的定义证明即可； （3）判断出函数的定义域，结合奇偶性的定义求解即可． 【详解】（1）由题意，设，则，故， 所以； （2）设任意且， 则， 而，，， 故，即 函数在上单调递减． （3）函数的定义域为，不关于原点对称， 则函数为非奇非偶函数． 【经典例题十一 幂函数的奇偶性的应用】 【例1】（23-24高一上·全国·课后作业）函数在上是（   ） A．增函数且是奇函数 B．增函数且是偶函数 C．减函数且是奇函数 D．减函数且是偶函数 【答案】A 【分析】由幂函数的图象与性质求解即可. 【详解】因为，令， 因为关于原点对称， 所以， 所以是奇函数，又因为，所以在是增函数 故选：A. 【例2】（23-24高一上·全国·单元测试）已知，函数的图像关于原点对称，且与x轴、y轴均无交点，求m的值． 【答案】1，3，5，7. 【分析】根据幂函数的图象特征可得，解得整数的值，再根据的值验证图象是否满足题意，可得结果. 【详解】解：因为幂函数的图象关于原点对称，且与x轴、y轴均无交点，所以，解得， 因为，所以的值为奇数， 所以当时，，图象关于原点对称，满足题意； 当时，，图象关于y轴对称，不满足题意； 当时，，图象关于原点对称，满足题意； 当时，，图象关于y轴对称，不满足题意； 当时，，图象关于原点对称，满足题意； 当时，，图象关于y轴对称，不满足题意； 当时，，图象关于原点对称，满足题意； 综上所述：m的值为：1，3，5，7. 1．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知幂函数为偶函数，则（   ） A．或2 B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义和性质即可求解. 【详解】因为幂函数为偶函数， 所以且为偶数， 所以. 故选：. 2．（多选题）（23-24高一·全国·课后作业）已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（    ） A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数 B．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数 C．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数 D．时，幂函数在上是减函数 【答案】AC 【分析】根据幂函数中结论一一分析即可. 【详解】 对A，当m，n是奇数时，的定义域为，关于原点对称， ，则幂函数是奇函数，故A中的结论正确； 对B，当m是偶数，n是奇数，幂函数在时无意义，故B中的结论错误； 对C，当m是奇数，n是偶数时，的定义域为，关于原点对称， ，则幂函数是偶函数，故C中的结论正确； 对D，时，幂函数在上是增函数，故D中的结论错误； 故选：AC. 3．（24-25高一上·湖南长沙·期中）已知，且，则 ． 【答案】 【分析】设，证明函数为奇函数，结合奇函数性质可得，由此可求结论. 【详解】设，又， 所以，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为， 所以函数为奇函数，故， 所以，又， 所以. 故答案为：. 4．（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）已知幂函数的图像经过四点中的两点，且在上为减函数． (1)求的解析式； (2)若，求实数a的值． 【答案】(1) (2)实数a的值为4或． 【分析】（1）解法一：设，幂函数的图像必过点，分幂函数的图像经过点、点、点讨论可得答案；解法二：设，幂函数的图像必过点，在上为减函数，可得在的图像上，求出可得答案； （2）为偶函数，由可得，解法一：两边平方可得答案；解法二：或，解方程可得答案. 【详解】（1）解法一：设， 易知幂函数的图像必过点， 当幂函数的图像经过点时，， 所以， 在上为增函数，不符合题意； 当幂函数的图像经过点时，，所以， 在上为减函数，符合题意； 当幂函数的图像经过点时，，所以， 在上为增函数，不符合题意： 故； 解法二： 设， 易知幂函数的图像必过点， 因为在上为减函数，所以在的图像上， 所以，所以， 故； （2）易知的定义域为，且为偶函数， 由可得，， 解法一：两边平方整理得，， 解之得或． 故实数a的值为4或． 解法二：或， 解之得或． 故实数a的值为4或． 【拓展训练一 函数奇偶性的性质、判定及应用】 【例1】（2025·云南·模拟预测）已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数、偶函数的定义可得出关于、的等式组，求出的解析式，代值计算可得的值. 【详解】因为函数为奇函数，即， 所以，可得①， 因为函数是偶函数，即， 所以，可得②， 联立①②可得，因此. 故选：C. 【例2】（2025高一·全国·专题练习）已知函数的定义域关于原点对称，，且．求证：是奇函数． 【答案】证明见解析 【分析】结合题干抽象函数法则，利用赋值法得，根据奇函数的定义证明即可. 【详解】若函数的定义域包含0，不妨令，则， 即对定义域内任意恒成立， 记，则为常数，则函数为常数函数， 有，即，显然无解， 故函数的定义域关于原点对称且不包含0， 令得， 同理，令得， 故得到，所以是奇函数． 1．（24-25高一上·江苏盐城·期中）若奇函数和偶函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用奇函数和偶函数的性质可得出关于、的方程组，解出这两个函数的解析式，代值计算可得出的值. 【详解】因为奇函数和偶函数满足， 则， 即，解得， 因此，. 故选：C. 2．(多选题)（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习）定义在R上的连续函数满足，，，则（    ） A． B．当时， C．若，则为偶函数 D．当时， 【答案】BC 【分析】举反例判断AD；利用赋值法推出判断B；利用赋值法结合偶函数定义判断C. 【详解】对于A，令，函数符合题意，此时，A错误； 对于B，当时，，即， 因此，B正确； 对于C，函数的定义域为R，且，，取， 则，因此为偶函数，C正确； 对于D，令，函数符合题意，当时，，D错误． 故选：BC 【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即可求解. 3．（24-25高一上·重庆·期中）设函数（）的最大值为，最小值为，则= 【答案】4048 【分析】将函数（），化简为（），构造函数（），判断奇偶性，根据奇函数的性质，即可求得答案. 【详解】由题意得 ， 令，（） 则，即为奇函数， 则， 又函数，（）的最大值为，最小值为， 得，则， 故答案为：4048. 4．（24-25高一下·广西南宁·期末）已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，． (1)求的解析式； (2)证明：函数在上单调递增． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用偶函数的性质可求出当时，，从而可求解； （2）利用函数单调性证明的定义法可得，从而可求解证明. 【详解】（1）当时，， 因当时，，得． 因为是偶函数，所以当时，． 故． （2）证明：由（1）可知，当时，． 任取，，令， 则， 因为，所以，，，则， 则，即， 从而可证在上单调递增． 【拓展训练二 幂函数相关问题】 【例1】（23-24高一上·江苏南京·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，然后利用复合函数的单调性得出结果． 【详解】设，因为的图象过点， 所以，解得，即， 可得在上单调递减， 则函数， 由，解得或， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为. 故选：A. 【例2】（2024高一·全国·专题练习）已知幂函数y＝f(x)经过点（2，）. (1)试求函数解析式； (2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间． 【答案】（1）f(x)＝x－3（2）奇函数，减区间为， 【详解】(1)由题意，得f(2)＝2a＝a＝－3， 故函数解析式为f(x)＝x－3. (2)定义域为∪，关于原点对称， 因为f(－x)＝(－x)－3＝－x－3＝－f(x)，故该幂函数为奇函数． 其单调减区间为， 1．（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）已知幂函数，则（    ） A．8 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】由幂函数的定义，知，解得：，再解出，求解即可. 【详解】由幂函数的定义，知，解得：， 所以，. 故选：A. 2．（多选题）（23-24高二下·山东枣庄·阶段练习）以下说法正确的是（    ） A． B．若定义在R上的函数是奇函数，则也是奇函数 C． D．已知是幂函数，则m的值为4 【答案】BD 【分析】取特殊值判断A，根据函数奇偶性的定义判断B，设，利用完全平方差公式化简判断C，由判断D. 【详解】对A项，当时，，则A错误； 对B项，设，，则函数是奇函数，则B正确； 对C项，设，，则C错误； 对D项，，则D正确； 故选：BD 【点睛】本题主要考查了判断函数的奇偶性以及根据函数是幂函数求参数的值，属于中档题. 3．（23-24高一上·江苏镇江·期末）设幂函数同时具有以下两个性质：①函数在第二象限内有图象；②对于任意两个不同的正数，，都有恒成立.请写出符合上述条件的一个幂函数 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用幂函数的图像、单调性得到指数满足的条件，写出一个满足题意的幂函数即可. 【详解】由题意可得，幂函数需满足在第二象限内有图象且在上是单调递减即可，所以，故满足上述条件的可以为. 故答案为：（答案不唯一）. 4．（2024·江苏常州·一模）已知是定义在上的奇函数，当时，. (1)求在上的解析式； (2)当时，若的值域为，求实数，的值． 【答案】(1) (2)，. 【分析】（1）由定义知，对任意实数恒成立，结合当时，，求函数的解析式； （2）首先判断函数的单调性，假设存在满足条件的，，则，必为方程的两个正根，即可求出结果． 【详解】（1）当时，， 故当时，则，， 由于是奇函数，则， 又，                                          故当时，； （2）解：∵当时，， 又与在上均单调递增， ∴在上单调递增， ∴在上单调递增， ∴，∴， ∴，为的两个正实数根， ， ∴，为的两个正实数根， 又由题意可知：，∴，. 1．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·开学考试）下列函数是偶函数的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据偶函数的定义，分别对各选项函数逐一判断即可. 【详解】对于A，函数的定义域为，关于原点对称， 任取，则， 因，故不是偶函数； 对于B，函数的定义域为，关于原点对称， 任取，则，， 因，故不是偶函数； 对于C，函数的定义域为，关于原点对称， 任取，则，，， 因，故不是偶函数. 对于D，函数的定义域为，关于原点对称， 因，故是偶函数. 故答案：. 2．（2025·河南·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且对任意，都有，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】通过赋值法结合奇函数的性质即可求解. 【详解】令，则， 因为是定义在上的奇函数， 所以，则. 故选：C. 3．（24-25高一下·贵州毕节·期末）已知幂函数满足，则下列结论正确的是（   ） A．在上单调递减 B．的图象关于轴对称 C．的图象过点 D． 【答案】D 【分析】先求出幂函数的解析式，然后根据幂函数的性质和解析式对选项逐一判断即可. 【详解】设幂函数，因为， 所以，所以（）. 根据幂函数的性质可知，在上单调递减，所以A错误； 因为该函数的定义域为，所以不关于轴对称，B错误； 因为时函数无意义，所以不经过点，C错误； 因为在上单调递减，， 所以，D正确. 故选：D. 4．（24-25高一上·湖北荆州·期末）已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数单调性及二次函数对称轴与区间的关系可得a的取值范围. 【详解】由题意得，二次函数对称轴为直线，幂函数在为增函数， ∵函数区间上单调递减， ∴，解得， ∴a的取值范围是. 故选：D. 5．（24-25高一上·山东济南·期末）设，则使函数的值域为R且为奇函数的所有a值为（    ） A．1，3 B．，1 C．，3 D．，1，3 【答案】A 【分析】根据幂函数的性质，分别判断幂函数的值域和奇偶性是否满足条件即可． 【详解】当时，，为奇函数，但值域为，不满足条件. 当时，，为奇函数，值域为R，满足条件. 当时，为偶函数，值域为，不满足条件. 当时，为奇函数，值域为R，满足条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查幂函数的图象和性质，属于容易题． 6．（多选题）（2025·云南玉溪·模拟预测）已知不恒为0的函数的定义域为R，，则（   ） A． B．是奇函数 C．是偶函数 D． 【答案】ABD 【分析】用赋值法计算判断AD；取，利用奇偶性的定义判断BC. 【详解】函数的定义域为R，， 对于A，令，则，解得，A正确； 对于B，，取，则， 因此，令，即有， 因此函数是奇函数，即是奇函数，B正确，C错误； 对于D，， 由选项B，得，即，因此，D正确． 故选：ABD 7．（多选题）（24-25高一下·浙江衢州·期末）已知函数和的定义域均为，若是奇函数，是偶函数，且，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由题意得，又得，进而得，通过赋值即可求解. 【详解】由题意有，，又， 所以， 所以，又得， 令得，故A正确，B错误； 由，令有，故C正确； ，令得， 又，令得， 所以，故D正确. 故选：ACD. 8．（多选题）（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知函数的定义域为，对任意的实数，满足，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．为上的减函数 D．为奇函数 【答案】ABD 【分析】由，利用赋值法求解. 【详解】解：依题意，且， 令，得，故A选项正确. 令，则，， 即，故B选项正确 由于，故C选项错误. 令，得， 即，即， 所以为奇函数，故D选项正确. 故选：ABD 9．（多选题）（24-25高一上·全国·单元测试）已知，则（    ） A．当时，的定义域为 B．当时， C．当时，是偶函数 D．当时，是奇函数 【答案】BC 【分析】由幂函数的性质逐一判断各个选项即可求解. 【详解】A错误，当时，，此时的定义域为； B正确，当时，在上单调递增，所以； C正确，当时，，所以是偶函数； D错误，当时，，则，定义域不关于原点对称所以不是奇函数. 故选：BC. 10．（多选题）（23-24高一上·山西运城·阶段练习）下列函数中，既是偶函数又在上是递减的函数是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据幂函数的性质依次判断各选项即可得答案. 【详解】解：A：是偶函数，且在上递减，∴该选项正确； B：是奇函数，∴该选项错误； C：是偶函数，且在上递减，∴该选项正确； D：是非奇非偶函数，∴该选项错误. 故选：AC 11．（2025高一下·全国·专题练习）函数是 函数（填“奇”“偶”或“非奇非偶”）. 【答案】非奇非偶 【分析】借助函数奇偶性的定义计算即可得. 【详解】的定义域为不关于原点对称.故为非奇非偶函数. 故答案为：非奇非偶. 12．（2025高一·全国·专题练习）设，为实数，且满足：，则 ． 【答案】2 【分析】根据题意，设，易知为奇函数且在上为增函数，再根据函数奇偶性及单调性求解方程即可. 【详解】构造函数，所以为奇函数，且在上为单调递增函数． 又，即， 故， 所以，即． 故答案为：2. 13．（24-25高一上·江苏南通·期中）已知幂函数的图像关于轴对称，则 ． 【答案】9 【分析】首先，根据幂函数的定义，系数应为，可求出的值.然后根据函数图像关于轴对称确定的具体取值，得到函数表达式，最后将代入函数求值. 【详解】因为是幂函数，所以，即. 解得或. 当时，，，函数是奇函数，其图像关于原点对称，不符合题意. 当时，，，函数是偶函数，其图像关于轴对称，符合题意. 所以，. 将代入，可得. 故答案为：9. 14．（24-25高一上·云南昆明·期中）已知幂函数经过点，若，则 . 【答案】 【分析】先由题意解出幂函数的解析式，再根据，结合幂函数定义域解出的值即可. 【详解】设幂函数为，，，， 因为，所以， 即，解得. 故答案为:. 15．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知函数的图像与坐标轴没有公共点，且关于y轴对称，则函数的解析式为 . 【答案】或 【分析】函数的图象与轴、轴都无交点，且关于轴对称，可得，且是偶数，且，解方程即可. 【详解】因为函数的图像与坐标轴没有公共点，且关于y轴对称 所以由幂函数性质可知，，且为偶数，且， 即，且为偶数，且 解得 ， 当和时，解析式为，当时，解析式为. 故答案为：或 16．（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知函数的表达式为 . (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)用定义证明:函数在区间上是严格减函数. 【答案】(1)既不是奇函数也不是偶函数. (2)证明见解析. 【分析】（1）求出函数的定义域，发现定义域不关于原点对称,故可直接判断不是奇函数也不是偶函数； （2）利用单调性的定义，按步骤：“任取值，作差，定号，下结论”证明即可. 【详解】（1）函数的定义域为不关于原点对称, 所以既不是奇函数也不是偶函数. （2）任取 则 ， 因为所以， 所以，即， 所以函数在区间上是严格减函数. 17．（24-25高一上·浙江温州·期中）定义在上的函数满足：对任意的，都有，且当时，. (1)求证：是奇函数； (2)判断的正负，并说明理由. 【答案】(1)证明见详解 (2)，理由见详解 【分析】（1）通过赋值，得，再通过赋值，结合奇函数的定义，即可证明； （2）根据题意结合奇函数性质运算求解即可. 【详解】（1）因为函数的定义域为， 令，得，即， 令，可得，即， 所以在上为奇函数. （2），理由如下： 因为在上为奇函数， 则， 当时，，即， 所以. 18．（23-24高一上·广东珠海·期末）已知定义在上的函数满足，，且. (1)求的值； (2)判断的奇偶性，并证明. 【答案】(1) (2)为偶函数，证明见解析 【分析】（1）利用赋值法结合已知条件可求解； （2）令，结合条件和函数奇偶性定义判断. 【详解】（1）令，得， 令，得， 因为，所以，， 令，得，即， 因为，所以，所以. （2）为偶函数. 证明如下：令，得， 由（1）得， 即，又的定义域为，所以为偶函数. 19．（23-24高一下·全国·单元测试）已知幂函数的图象过点. (1)求此函数的解析式； (2)根据单调性的定义判断函数在上的单调性. 【答案】(1)； (2)在上的单调递减. 【分析】（1）设，将所过点坐标代入求参数，即得解析式； （2）任取，判断的符号即可得单调性. 【详解】（1）设（是常数），过，故，可得， 所以. （2）在上的单调递减，判断如下： 任取，则， 而，，故，即， 所以在上的单调递减. 20．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知幂函数满足． (1)求函数的解析式； (2)若函数，是否存在实数n使得的最小值为，若存在，求出实数n的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用幂函数的定义及单调性求出解析式. （2）求出函数并换元，转化为二次函数在闭区间上的最值问题求解. 【详解】（1）由是幂函数，得，解得或， 当时，函数在区间上单调递减，不满足，不符合题意； 当时，在区间上单调递增，满足，符合题意， 所以函数的解析式是． （2）假设存在实数n使得的最小值为，即， 由（1）得， 令，由，得，则，即，此时， 于是化为，此时，即， 当，即时，在上单调递增，则， 由，得，解得，不满足题意； 当，即时，则， 由，解得或，因此； 当，即时，在上单调递减，则， 由，解得，不满足题意； 所以存在实数使得的最小值为，． 学科网（北京）股份有限公司 $