第二章 函数重难点检测卷 -2025-2026学年高一数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版必修第一册）

第二章 函数重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数满足，当时，，则（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·云南红河·阶段练习）函数的值域为（ ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·山东济宁·期中）已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是奇函数 5．（22-23高三·全国·对口高考）如图，已知四边形在映射作用下的象集为四边形，若四边形面积是，则四边形的面积是（    ）    A．9 B．6 C． D．12 6．（2024高三·全国·专题练习）函数的单调增区间为（   ） A． B． C．和 D． 7．（24-25高一上·广东广州·期末）已知幂函数的图像经过点，则（   ） A．16 B．32 C．64 D．128 8．（24-25高一上·重庆九龙坡·期末）若幂函数的图象关于原点对称，则实数的值为（    ） A． B．2 C． D．3 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（24-25高一上·四川攀枝花·阶段练习）下列函数中值域为的是（　　） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）已知函数，且，则a的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 11．（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知函数，的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．是函数的单调递增区间 B．是函数的单调递减区间 C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（24-25高二下·江西南昌·期末）已知函数 ，则函数的值域为 ． 13．（2025高三·全国·专题练习）已知是奇函数，是偶函数，且，则 ， ． 14．（2025高三·全国·专题练习）已知对于任意实数，，函数满足，且，则 ． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）根据下列条件，求函数的解析式. (1)已知函数是一次函数，若，求的解析式. (2)已知，求的解析式. 16．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有． (1)求的值； (2)求证：在R上为增函数； 17．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）已知函数 (1)判断函数的奇偶性，并证明你的结论： (2)用函数单调性定义证明：函数在上是减函数； 18．（24-25高一上·河北沧州·期末）已知幂函数，且． (1)求的解析式； (2)若函数，求在上的值域． 19．（24-25高一上·上海长宁·期末）已知是定义域为的奇函数，且在上是严格增函数． (1)求的值，并证明：是上的严格增函数； (2)判断函数是否一定是上的严格增函数．如果是，给与证明：如果不是，举出反例，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 函数重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的解析式代值计算可得的值. 【详解】因为，则， 所以，， 故选：C. 2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数满足，当时，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据已知条件推导出函数的表达式，发现与自变量的规律和关系，然后根据当时，条件，判断的值. 【详解】根据题意，函数满足，，所以 .，为整数， ，． 因为，且， 又因为当时，，所以． 故选:B． 3．（24-25高一上·云南红河·阶段练习）函数的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合对勾函数的单调性即可求解. 【详解】化简可得：， 设,则. 由对勾函数的性值可知： 函数是奇函数，在上单调递减，上单调递增， 当时，在处取得最小值，当或时，， 所以的值域为， 所以函数值域为， 故选：C. 4．（23-24高三上·山东济宁·期中）已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是奇函数 【答案】D 【分析】通过对的赋值，结合奇函数、偶函数的定义逐项判断. 【详解】在函数中，2023， 当时，，解得， 若函数是上的奇函数，则该函数的图象必过原点，即有，B错误； 当时，，解得， 无法得到，A错误； 在函数中，由上可知，，且不一定恒为零， 因此是奇函数，C错误，D正确. 故选：D 5．（22-23高三·全国·对口高考）如图，已知四边形在映射作用下的象集为四边形，若四边形面积是，则四边形的面积是（    ）    A．9 B．6 C． D．12 【答案】B 【分析】根据题意知映射时左右平移和纵坐标的伸缩变换，通过变换，得到面积的关系，即可求解. 【详解】因为映射之间的一一对应是一次函数的线性关系， 所以这种作用下相当于是将横坐标向左平移1个单位，纵坐标变为原来的2倍， 又因为四边形面积是，所以的面积为. 故选：B. 6．（2024高三·全国·专题练习）函数的单调增区间为（   ） A． B． C．和 D． 【答案】C 【分析】求出原函数的定义域，利用复合函数法可得出原函数的单调递增区间. 【详解】由可得且， 所以，函数的定义域为， 因为开口向下，其对称轴为， 所以的减区间为和， 因为函数在、上均为减函数， 所以，函数的单调增区间为和． 故选：C. 7．（24-25高一上·广东广州·期末）已知幂函数的图像经过点，则（   ） A．16 B．32 C．64 D．128 【答案】C 【分析】利用幂函数的定义可设，再利用待定系数法即可求值. 【详解】由是幂函数，可设， 再由其图像经过点，则，解得， 所以，即， 故选：C. 8．（24-25高一上·重庆九龙坡·期末）若幂函数的图象关于原点对称，则实数的值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义和性质即可求解. 【详解】由幂函数的定义，得，解得或. 若，则，为奇函数，其图象关于原点对称，符合题意； 若，则，定义域为，且， 所以为偶函数，其图象关于y轴对称，不符合题意，舍去. 故选：D 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（24-25高一上·四川攀枝花·阶段练习）下列函数中值域为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】求出各选项中的函数值域，即可判断得解． 【详解】对于A，函数的定义域为，值域也为，A正确； 对于B，函数，值域为，B正确； 对于C，函数的定义域为，值域为，C错误； 对于D，函数的定义域为R，值域为，D错误． 故选：AB． 10．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）已知函数，且，则a的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】AB 【分析】用换元法求出的表达式，在根据题意求参数. 【详解】令,则, 所以, 所以 所以, 即, 解得或, 故选：AB. 11．（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知函数，的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．是函数的单调递增区间 B．是函数的单调递减区间 C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减 【答案】ABD 【分析】利用函数图象得到单调性判断A，B，利用单调区间不能用并集符号连接判断C，D即可. 【详解】对于A，根据函数图象可知函数在上单调递增，故A正确， 对于B，根据函数图象可知函数在上单调递减，故B正确， 由图象可知，，因此不能说函数在上单调递增，C错误； 由于函数在时有定义，由图象可知，则为函数的一个单调递减区间，故函数在上单调递减，D正确．. 故选：ABD. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（24-25高二下·江西南昌·期末）已知函数 ，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】根据二次函数以及根式可得，进而可得结果. 【详解】令，可得， 所以函数的定义域为 ， 因为，当且仅当时，等号成立， ，则， 所以函数的值域为. 故答案为：. 13．（2025高三·全国·专题练习）已知是奇函数，是偶函数，且，则 ， ． 【答案】 ． 【分析】根据奇偶性构造出新的关系式，结合题干表达式，列方程组求解. 【详解】由题意得， 则有 两式相减得，所以 故答案为：， 14．（2025高三·全国·专题练习）已知对于任意实数，，函数满足，且，则 ． 【答案】/ 【分析】利用赋值法，分别令；；得到；；；再利用累加法得到即可求解. 【详解】对于， 令，得，解得， 令，得，又，解得， 令，得，即， 所以，，，， 故， 所以． 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）根据下列条件，求函数的解析式. (1)已知函数是一次函数，若，求的解析式. (2)已知，求的解析式. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用待定系数法，设，求出即可； （2）利用换元法，令则，求出即可 【详解】（1）是一次函数，∴设（k） ，∴ ∴或或 （2）令则，， 16．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有． (1)求的值； (2)求证：在R上为增函数； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用赋值法，求； （2）设，是上任意两个实数，且，令，，通过函数的单调性的定义直接证明在R上为增函数. 【详解】（1）由， 故此令，则， 则. （2）设，是R上任意两个实数，且，令，， 则，所以， 由得，所以， 故，即， 故此函数为R上增函数. 17．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）已知函数 (1)判断函数的奇偶性，并证明你的结论： (2)用函数单调性定义证明：函数在上是减函数； 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先分析定义域是否关原点对称，然后根据与的关系作出判断； （2）先取值，然后再计算的正负，由此可完成证明； 【详解】（1）是奇函数.证明如下： 的定义域为， 因为，都有， 且， 所以是奇函数. （2）任取，且， ， 因为，所以，， 所以， 所以， 所以函数在上是减函数. 18．（24-25高一上·河北沧州·期末）已知幂函数，且． (1)求的解析式； (2)若函数，求在上的值域． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由幂函数的概念得，进而或，再根据可得； （2）具体函数根据定义域求值域. 【详解】（1）因为是幂函数，所以，解得或． 当时，，此时，则符合题意； 当时，，此时，则不符合题意． 故． （2）由（1）可知，则． 因为，所以，所以， 所以，所以， 所以，即在上的值域为． 19．（24-25高一上·上海长宁·期末）已知是定义域为的奇函数，且在上是严格增函数． (1)求的值，并证明：是上的严格增函数； (2)判断函数是否一定是上的严格增函数．如果是，给与证明：如果不是，举出反例，并说明理由． 【答案】(1)，证明见解析； (2)不是，反例，理由见解析. 【分析】（1）根据奇函数的性质有，再利用函数单调性定义及证明函数在上的单调性； （2）应用反例，结合的性质分析判断，即可得结论. 【详解】（1）由是定义域为的奇函数，则， 任取，则，又在上是严格增函数， 由，即， 所以是上的严格增函数，得证； （2）函数不一定是上的严格增函数，理由如下： 对于， 由在、上都单调递增，且，函数满足题设， 但在上，在上，显然不满足是上的严格增函数， 所以函数不一定是上的严格增函数. 学科网（北京）股份有限公司 $