第一单元 集合B卷（能力提升）-2025-2026学年高一上学期人教B版数学必修第一册

第一单元 集合 B卷· 能力提升卷 一、单选题 1．已知集合，，那么（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，，所以，故选：D 2．若集合，则（   ） A． B． C． D． 【详解】因为集合，则，所以A错误，B正确； 空集是集合A的真子集，C错误；集合A不是整数集的子集，D错误.故选：B. 3．已知全集，集合，或，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【详解】由图可知阴影部分对应的集合为， 集合，，，即.故选：A. 4．已知，则的值为（    ） A．1或 B．1 C． D．1或 【详解】因为，所以当时，解得，此时，不符合集合元素的互异性，舍去； 当，即，即时，解得或（舍去）， 又时，，此时集合为，符合题意，所以．故选：C 5．满足集合为的真子集且的集合的个数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．15 【详解】因为集合， 则集合可以为，，，，，，共7个，故选：B 6．已知集合，若，则实数取值范围为（ ） A． B． C． D． 【详解】由得，.由得，， ∴或，∴，解得.故选：A. 7．某班有学生56人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人，同时参加了英语小组和语文小组的学生有22人，同时参加了数学小组和语文小组的学生有25人．已知该班学生每人至少参加了1个小组，则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多是（    ） A．20 B．21 C．23 D．25 【详解】 如图，设该班学生中同时参加了数学小组、英语小组和语文小组的人数为，只参加其中一个小组的人数为， 则，即．因为，所以．故选：B. 8．已知集合，，若集合中恰好只有两个整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意，集合A中的整数为0，1，2，3．因为，所以集合中至少有3个整数，所以集合中的两个整数只能为0，1或2，3． 若集合中的两个整数是2，3，则解得； 若集合中的两个整数是0，1，则解得． 综上可得，或，即的取值范围是． 故选：A 二、多选题 9．设全集，集合，，若，，，则（   ） A． B． C．真子集的个数31 D． 【详解】由题意知， 作出韦恩图，如图， 由图可知，故A正确，B错误； 所以集合的真子集个数为个，故C正确； ，故，故D正确.故选：ACD 10．已知全集，，且中有6个元素，则实数的值可以是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【详解】对于A中，当时，， 满足且中有6个元素，所以A正确； 对于B中，当时，，集合中无整数解，不符合题意； 对于C中，当时，，集合中无整数解，不符合题意； 对于D中，当时，， 满足且中有6个元素，所以D正确.故选：AD. 11．对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（ ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．存在，使得 【详解】解：对于A，因为，所以， 所以，且中的元素不能出现在中，因此，即A正确； 对于B，因为，所以， 即与是相同的，所以，即B正确； 对于C，因为，所以， 所以，即C错误；对于D，由于 ， 而，故，即D错误．故选：AB． 三、填空题 12．已知，，若集合，则的值为 ． 【详解】因为，，所以，故，所以解得或． 当时，不满足集合元素的互异性，当时，集合为，符合条件. 所以．故答案为： 13．已知，，若，则的取值范围为 ． 【详解】由，可得， 若，即，则，符合题意； 若，则，此时要使，则解得，因此． 综上，的取值范围为． 14．已知非空集合满足以下四个条件： ①； ②； ③中的元素个数不是中的元素； ④中的元素个数不是中的元素． 则有序集合对的个数是 ． 【详解】当集合中有1个元素时，集合中有5个元素，，，所以，此时，有序集合对为1个； 当集合中有2个元素时，集合中有4个元素，，，所以，此时，，，，共四种情况，对应的，，，，有序集合对为4个； 当集合中有3个元素时，集合中也有3个元素，，，不符合题意； 当集合中有4个元素时，集合中有2个元素，，，故，，此时，，，，共四种情况，对应的，，，，有序集合对为4个； 当集合中有5个元素时，集合中有1个元素，此时，故，此时，有序集合对为1个． 综上，满足题意的有序集合对共有（个）．故答案为：10 四、解答题-问答题 15．已知集合，，． (1)若，求，； (2)请从①，②这两个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 【详解】（1）时，，， 又，，所以， 故，． （2）若选①，因为，，所以， 又，，所以，解得， 即实数的取值范围为． 若选②，，， 作出数轴如图，由，知，解得， 则实数的取值范围为． 16．已知集合， (1)若，求实数m的取值范围； (2)当时，求A的非空真子集； (3)若不存在实数x，使，同时成立，求实数m的取值范围． 【详解】（1）因为，所以， 又因为，， 所以当时，，得； 当时，则，结合数轴法得，解得，故； 综上：，即实数的取值范围为. （2）因为，，所以， 所以集合的非空真子集为. （3）因为不存在实数x，使，同时成立，所以， 又因为，， 当时，由（1）得； 当时，则，结合数轴法有或，解得或，故； 综上：或，所以实数的取值范围是. 17．已知集合，． (1)若，存在集合使得，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围． 【详解】（1）当时，方程的根的判别式，所以． 又，故． 由已知得应是一个非空集合，且是的一个真子集， 用列举法可得这样的集合共有6个，分别为,,,,,． （2）当时，是的一个子集， 此时对于方程，有，所以． 当时，因为，所以当时，，即， 此时，因为，所以不是的子集； 同理，当时，，也不是的子集； 当时，，也不是的子集．综上，满足条件的的取值范围是． 18．已知集合； (1)判断，，是否属于集合； (2)若正整数为完全平方数，，证明：； (3)若集合，证明：； 【详解】（1）由，可知，，属于集合； （2）由题可设，又由，设， 有，由，有，故有； （3）①当都为偶数时，不妨设，有， 此时为4的倍数，而偶数，此时； ②当都为奇数时，不妨设， 有， 此时为2的倍数，而偶数，此时； ③当一奇一偶时，不妨设， 有， 此时被整除余，而集合中的元素被整除余，此时.由①②③可知，. 19．对于由个正整数构成的集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”． (1)判断集合是否是“和谐集”，并说明理由； (2)求证：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数． 【详解】（1）当集合去掉元素2时，剩下元素组成两个集合的交集为空集有以下几种情况： ，；，；，；，；，；，；，． 经过计算可以发现每组两个集合的所有元素之和不相等，故集合不是“和谐集”． （2）设集合所有元素之和为， 由题意可知均为偶数，因此任意一个元素的奇偶性相同． 若是奇数，则也都是奇数， 因为，所以为奇数； 若是偶数，则也都是偶数，设， 显然也是“和谐集”，重复上述操作有限次，便可以得到各项都为奇数的“和谐集”， 此时各项的和也是奇数，所以为奇数．综上所述，若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $高一数学人教B版（秋） 姚老师18241275155 第一单元 集合 B卷· 能力提升卷 一、单选题 1．已知集合，，那么（    ） A． B． C． D． 2．若集合，则（   ） A． B． C． D． 3．已知全集，集合，或，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 4．已知，则的值为（    ） A．1或 B．1 C． D．1或 5．满足集合为的真子集且的集合的个数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．15 6．已知集合，若，则实数取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．某班有学生56人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人，同时参加了英语小组和语文小组的学生有22人，同时参加了数学小组和语文小组的学生有25人．已知该班学生每人至少参加了1个小组，则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多是（    ） A．20 B．21 C．23 D．25 8．已知集合，，若集合中恰好只有两个整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．设全集，集合，，若，，，则（   ） A． B． C．真子集的个数31 D． 10．已知全集，，且中有6个元素，则实数的值可以是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 11．对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（ ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．存在，使得 三、填空题 12．已知，，若集合，则的值为 ． 13．已知，，若，则的取值范围为 ． 14．已知非空集合满足以下四个条件： ①； ②； ③中的元素个数不是中的元素； ④中的元素个数不是中的元素． 则有序集合对的个数是 ． 四、解答题-问答题 15．已知集合，，． (1)若，求，； (2)请从①，②这两个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 16．已知集合， (1)若，求实数m的取值范围； (2)当时，求A的非空真子集； (3)若不存在实数x，使，同时成立，求实数m的取值范围． 17．已知集合，． (1)若，存在集合使得，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围． 18．已知集合； (1)判断，，是否属于集合； (2)若正整数为完全平方数，，证明：； (3)若集合，证明：； 19．对于由个正整数构成的集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”． (1)判断集合是否是“和谐集”，并说明理由； (2)求证：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $