21.3 实际问题与一元二次方程 【课时训练】2025-2026学年人教版数学九年级上册

2025-2026学年人教版数学九年级上册 21.3.3 几何图形面积问题 教材必备知识精练 知识点1 一般图形面积问题 1.教材P25T3变式［2025天津河西区期末］一个矩形的长和宽相差 ，面积是 ，则这个矩形的周长为( ) A. B. C. D. 2.如图，若该图形的面积为24，则 的值为___. 知识点2 边框与通道问题 3.教材P22T9变式［2025长春朝阳区期末］如图，某小区规划在一个长为、宽为的矩形场地 上修建三条同样宽的道路，使其中两条与 平行，另一条与平行，道路以外的部分种花草，并且使每一块草坪的面积都为 ，求道路的宽.小明为了解决这个问题，设道路的宽为 ，并列出一个不完整的方程 ，则“ 处的代数式为_________. 4.新趋势·传统文化［2025北京丰台区期末］造纸术、印刷术、指南针和火药是中图古代四大发明.这些发明对人类文明发展产生了深远的影响.某校在科技节活动中，计划在如图所示的长，宽 的展板上展出介绍四大发明的海报，每幅海报面积均为 .若展板外沿与海报之间、相邻海报之间均贴有相同宽度的彩色纸带，求彩色纸带的宽度. 知识点3 篱笆问题 5.［2024通辽中考］如图，小程的爸爸用一段 长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长 ）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个 宽的门（由其他材料制成），则 长为( ) A.或 B.或 C. D. 6.教材P25T8变式为了让学生感受劳动的乐趣，在劳动中 学习知识，某学校决定在校园围墙边用篱笆围成一个一 面靠墙（墙足够长）的矩形菜地，用一道篱笆把菜地分 为， 两块（如图所示），菜地里种满豆角和菠菜，学校已定购篱笆120米．如果菜地的面积为1 200平方米，那么围成的菜地与墙垂直的一边长为多少米？ 学科关键能力构建 7.教材P26T12变式如图，为便于游客在一块长为40米， 宽为30米的矩形荷花池里近距离观赏荷花，公园管理处 拟修建等宽的观景廊桥，若要使得能观赏（观景廊桥下 的荷花都按不能观赏计）的荷花面积不少于1 064平方米，则修建时观景廊桥宽度最大只能是___米. 8.［2025深圳莲花中学月考］如图，在 中， ，，，动点， 分别从 点，同时开始运动（运动方向如图所示），点 的速度为，点的速度为，点运动到点 后停止，点也随之停止运动.若使的面积为，则点 运动的时间是___ . 9.［2025襄阳三十一中月考］如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（墙长为 ），其他的边用总长为的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个 的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形.（备注信息：距后墙 处，规划有机动车停车位） （1）若设车棚宽度为，则车棚长度为__________ . （2）若车棚面积为 ，试求出自行车车棚的长和宽. （3）若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为 的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由. 10.应用意识［2024太原小店区期中］综合与实践——用矩形纸板制作长方体盒子如图1，有一块矩形纸板，长为，宽为 ，要将其四角各剪去一个同样大小的正方形，折成图2所示的底面积为 的无盖长方体盒子.（纸板厚度忽略不计） （1）求要剪去的正方形的边长. （2）如图3，小明先在原矩形纸板的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子. ①请你在图3的矩形纸板中画出示意图（用阴影表示将要剪去的矩形并用虚线表示折线）； ②若折成的有盖长方体盒子的表面积为 ,请计算剪去的正方形的边长. 11.如图，在矩形中，， ，动 点,分别从点,同时出发，点沿以 的速 度向点移动，到点停止移动，点沿以 的 速度向点移动（点停止移动时，点也停止移动）. 设移动时间为 . （1）当为何值时，,两点间的距离为 ？ （2）当为何值时，四边形的面积为 ? （3）四边形的形状可能为矩形吗？若可能，求出 的值；若不可能，请说明理由. （4）当为等腰三角形时，求出 的值. （5）在运动过程中，是否存在一个时刻，使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由. 参考答案 1.C 【解析】 设矩形的宽为，则长为 ，根据题意，得，解得（不合题意，舍去），，所以 ，，所以这个矩形的周长为 . 2.4 【解析】 观察此图可知，该图形是一个边长为 的正方形截去一个边长为1的小正方形剩下的图形，根据题意，得 ，解得，（不合题意，舍去）， 的值为4. 3.< 4.解：设彩色纸带的宽度为<，根据题意，得<，解得<，<（不合题意，舍去）. 答：彩色纸带的宽度为<. 5.C 【解析】 设，则 .根据题意，得，解得，，，且 的长不超过墙的长度，，即 . 6.解：设围成的菜地与墙垂直的一边长为<米，则与墙平行的一边长为<米. 根据题意，得<，解得<. 答：围成的菜地与墙垂直的一边长为20米. 7.2 【解析】 设修建时观景廊桥宽度是米,由题意,得 ,解得, （不符合题意,舍去）,即若要使得能观赏（观景廊桥下的荷花都按不能观赏计）的荷花面积不少于1 064平方米,修建时观景廊桥宽度最大只能是2米. 8.3 【解析】 在中, ,, , ．设运动时间为，则 , ,,依题意得， ,即,整理得,解得,,当 时, ,符合题意；当时,, ,不符合题意,舍去, 点运动的时间是 ． 9.（1）< 【解析】 . （2）解：由（1）和题意可得，<，解得<,<， < 距后墙<处，规划有机动车停车位， <， 将<代入<得<，满足题干条件， < 自行车车棚的宽为<，自行车车棚的长为<. （3）不能.理由如下： 要围成面积为<的自行车车棚，则由（1），得<， 整理得<， <， 故此方程没有实数根， < 不能围成面积为<的自行车车棚. 10.（1）解：设要剪去的正方形的边长为<, 根据题意列方程为<, 解得<,<, 当<时,<,<,所以不符合题意，舍去. 答：要剪去的正方形的边长为<. （2）①画出的图形如图所示. . . ②设剪去的正方形的边长为<． 根据题意可列方程为<, 解得<（舍去）,<. 答：剪去的正方形的边长为<． 11.利用方程解决动点问题 作答题、解：根据题意,得<,<,<, 所以<,<. （1）过点<作<于点<, 则<,<, 所以<, 当<时,<, 即<, 解得<,<（舍去）, 故当<时,<,<两点间的距离为<. （2）由题意得，<,解得<, 故当<时,四边形<的面积为<． （3）可能. 当四边形<为矩形时,<, 则<,解得<, 故四边形<可能为矩形,此时<的值为3． （4）由（1）和题意,知<,<, <. 当<时,<, 解得<； 当<时,<, 解得<,<（舍去）； 当<时,<, 解得<,<（舍去）. 故当<为等腰三角形时,<的值为<,<或<. （5）不存在.理由如下： 若< ,则应有<, 即<, 化简,得<. 因为<, 所以此方程没有实数根, 所以不存在一个时刻,使得< . 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版数学九年级上册 21.3.1 传播问题、循环问题与数字问题 教材必备知识精练 知识点1 传播问题 1.[2024湖北大学附中月考]某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是121,若设每个支干长出 个小分支,则可列方程为( ) A. B. C. D. 2.教材P19探究1变式 [2024厦门外国语海沧附校期中]有一个人患了流感，经过两轮传染后有若干人被传染上流感.假设在每轮传染中平均一个人传染 个人. （1）第二轮被传染上流感的人数是_________；（用含 的代数式表示） （2）在进入第二轮传染之前，如果有4名患者被及时隔离（未治愈），经过两轮传染后患流感人数可能为81吗？请说明理由. 知识点2 循环问题 3.[2024太原小店区期中]某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送出1 190张照片，则全班共有____名同学. 4.新情境 教材P22T6变式2024中国足球协会超级联赛将于 月举行，某市以此为契机举行了足球邀请赛，规定参赛的每两个队之间比赛一场. （1）如果有4支球队参加比赛，那么共需进行___场比赛； （2）如果全市共需进行36场比赛，那么有多少支球队参加比赛? 知识点3 数字问题 5.[2023佛山映月中学月考]两个连续奇数的积为323，设其中较小的奇数为 ，可列方程为( ) A. B. C. D. 6.[2024丹东十九中期中]2014年2月27日，第十二届全国人大常委会第七次会议通过决定，将每年的12月13日设立为南京大屠杀死难者国家公祭日，2023年12月13日是自2014年开始的第10个公祭日，在2023年12月的月历表上可以用一个方框圈出四个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）. 学科关键能力构建 1.[2023厦门期中]小程观看了《开学第一课》后，写了一份《奋斗吧，少年》的倡议书,在微信朋友圈传播.传播规则：将该倡议书发表在自己的微信朋友圈上，再邀请 个好友转发该倡议书，每个好友转发该倡议书之后，又邀请 个互不相同的好友转发该倡议书.若经过两轮后，共有421人参与了该倡议书的传播活动，则 ____. 2.跨学科 [2024泸州江阳区期中]小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去，浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿同；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”则周瑜逝世时的年龄是____岁. 3.教材P23数学活动变式如图是一个三角点阵，从上 向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2 个点……第行有 个点…… （1）若该三角点阵中前行的点数和为325，求 的值. （2）在该三角点阵中，前行的点数和能是900吗？如果能，求出 ；如果不能，说明理由. （3）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换为3，6，9， ， ， ，前行的点数和能是900吗？如果能，求出 ；如果不能，说明理由. 4.应用意识【问题提出】科技改变生活，某中学响应教育局“打造数字化教学”的号召，鼓励学生进行周末劳动实践经验线上交流，九年级一班的全体同学在家务劳动的同时，全班每两个同学都通过一次视频电话，互相交流，共同提高，若每两名同学之间仅通过一次视频电话，如何求全班50名同学共通过多少次电话呢？ 【模型构建】用点，，， ，分别表示第1，2，3， ，50名同学，把该班级人数与视频通话次数 之间的关系用如图模型表示： 【问题解决】 （1）如图中第5个图中 的值为____； （2）通过探索发现，视频通话次数与该班级人数 之间的关系式为__________，则当时，对应的 _______； （3）若该班全体女生相互之间共通话190次，求该班共有多少名女生； 【问题拓展】 （4）若该班数学兴趣小组的同学，每两位同学之间互发一条微信，小明统计全组共发送微信110条，求该班数学兴趣小组有多少人. 参考答案 教材必备知识精练 1.B 2.（1） （2）解：可能.理由如下：根据题意,得, 解得,（不合题意,舍去）.因为10为正整数,所以经过两轮传染后患流感人数可能为81. 3.35 【解析】 设全班共有名同学,则每人需送 张照片给其他同学,依题意,得,解得, （舍去）,故全班共有35名同学. 4.（1）6 （2）解：设有支球队参加比赛,根据题意,得, 解得,（不合题意,舍去）. 答:有9支球队参加比赛. 5.B 【解析】 因为较小的奇数为,所以较大的奇数为 ,根据题意,得 . 6.解：设这个最小数为,则最大数为,根据题意,得． 解得,（不符合题意,舍去）． 答：这个最小数为5． 学科关键能力构建 1.20 【解析】 由题意可知,解得, （舍去）,所以 . 2.36 【解析】 设周瑜逝世时的年龄的个位数字为,则十位数字为 ,根据题意,得,解得,,当 时,周瑜逝世时的年龄 是25岁,非而立之年,不符合题意,舍去；当 时,周瑜逝世时的年龄是36岁,符合题意．所以周瑜逝世时的年龄是36岁． 3.（1）解：根据题意,得, 即,解得,（舍去）, 的值为25. （2） 解： 不能.理由如下： 由,得, ,, 应为正整数,是无理数, 前行的点数和不能是900． （3） 解： 能. 由,得, 则, ,解得,（舍去）, 当时,前行的点数和是900． 4.（1）15 （2）,1 225 （3）解：设该班共有女生名,根据题意,得, 解得,（不符合题意,舍去）. 答：该班共有20名女生． （4） 解： 设该班数学兴趣小组有人, 根据题意,得, 解方程得,（不符合题意,舍去）. 答：该班数学兴趣小组有11人． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版数学九年级上册 21.3.2 平均变化率问题与销售问题 教材必备知识精练 知识点1 平均变化率问题 1.教材P19探究2变式 2023年10月24日，新一轮成品油调价窗口开启，零售限价或遇“二连跌”，若汽油连续两次降价 后售价由8.1元降低至7.8元，下列所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 2.[2024昆明十二中期中]梭梭树因其顽强的生命力和防风固沙的作用，被称为“沙漠植被之王”.2021年新疆北部某沙漠有16万亩梭梭树，经过两年的人工种植和自然繁殖，2023年达到25万亩，则这两年梭梭树种植面积的年平均增长率为______. 3.[2023安庆期末]为助力实现“双碳”目标，安徽大力发展光伏零部件制造.合肥某公司2023年第一季度生产 型零件的成本是200万元，由于技术升级改进，生产成本逐季度下降，第三季度的生产成本为128万元，若该公司每个季度生产成本的平均下降率都相同. （1）求该公司每个季度生产成本的平均下降率； （2）按照这个平均下降率，预计2024年第一季度生产 型零件的成本是多少万元. 知识点2 销售问题 4.[2024保定期中]某超市以10元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋16元时，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出80袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1 440元？若设每袋粽子售价降低 元，则可列方程为( ) A. B. C. D. 5.新趋势·过程性学习 [2024河南省实验中学期中]某商店以每件50元的价格购进若干件衬衫，第一个月按单价80元销售，售出200件，第二个月为增加销售量，且能够让顾客得到更大的实惠，决定降价处理，经市场调查，____，如何定价，才能使以后每个月的利润达到7 920元？ 解：设……根据题意，得 根据上面所列方程，完成下列任务：单价每降低2元,月销售量可增加40件 （1）数学问题中横线处缺少的条件是___________________________________； （2）所列方程中未知数 的实际意义是_______________； （3）请写出解决上面的数学问题的完整的解题过程. 学科关键能力构建 1.新趋势·数学文化[2022泰安中考]我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽.”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6 210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6 210文能买多少株椽？设这批椽的数量为 株，则符合题意的方程是( ) A. B. C. D. 2.[2023滁州模拟]某厂家2023年 月份 的自行车产量统计图如图所示，3月份自 行车产量不小心被墨汁覆盖.若3，4月份该 厂家自行车产量的月增长率相同，则3月份自行车产量为( ) A.218辆 B.240辆 C.256辆 D.272辆 3.[2024新乡二十二中月考]某主播带货图书《苏东坡传》，他用双语直播，风趣幽默，点燃了不同年龄者的购书热情．已知这本书的成本价为每本10元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍．如果这本书按每本25元销售，每天可销售500本，通过几天的销售发现，销售单价每降低5元，每天可多销售100本． （1）若每本降价10元，每天可销售多少本书？每天销售获利多少元？ （2）若降价销售该书，求每天的利润为6 000元时，该书的销售单价． （3）若降价销售该书，每天的利润能否达到9 000元？请说明理由． 4.模型观念 [2022宜昌中考]某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大.该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸的产量比3月份的2倍少100吨. （1）求4月份再生纸的产量. （2）若4月份每吨再生纸的利润为1 000元，5月份再生纸的产量比上月增加，5月份每吨再生纸的利润比上月增加 ，则5月份再生纸项目的月利润达到66万元.求 的值. （3）若4月份每吨再生纸的利润为1 200元，4至 6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目的月利润比上月增加了 .求6月份每吨再生纸的利润是多少元. 参考答案 教材必备知识精练 1.B 2. 【解析】 设这两年梭梭树种植面积的年平均增长率为 ,依题意,得,解得,（不符合题意,舍去）, 这两年梭梭树种植面积的年平均增长率为 ． 3.（1）解：设该公司每个季度生产成本的平均下降率是, 根据题意，得, 解得,（不合题意,舍去）． 答：该公司每个季度生产成本的平均下降率是． （2） 解： 根据题意,得（万元）． 答：预计2024年第一季度生产型零件的成本是81.92万元． 4.A 【解析】 当每袋粽子售价降低 元时,每袋粽子的销售利润为元,每天可售出 袋,依题意得 ． 5.（1）单价每降低2元,月销售量可增加40件 （2）单价降低了元 （3）解：设单价降低了元, 根据题意,得, 解得,, 要让顾客得到更大的实惠,, ． 答：定价为每件68元时,才能使以后每个月的利润达到元． 学科关键能力构建 1.A 【解析】 这批椽的数量为 株,每株椽的运费是3文,少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱, 一株椽的价钱为 文．依题意,得 ． 2.B 【解析】 设2月份到4月份该厂家自行车产量的月增长率为 ,依题意得,解得, （不合题意,舍去）,故3 月份自行车产量为 （辆）． 3.（1）解：若每本降价10元,则每天可销售（本）, 每天销售获利（元）. 答：若每本降价10元,每天可销售700本书,每天销售获利3 500元． （2） 解： 设该书的销售单价为元,依题意得 ,化简得 , 解得,. ,. 答：该书的销售单价为20元. （3） 解： 降价销售该书，每天的利润不能达到9 000元．理由如下： 设该书的销售单价为元, 依题意得, 化简得, 整理得, , 该方程没有实数根, 降价销售该书，每天的利润不能达到9 000元． 4.（1）解：设3月份再生纸的产量为吨,则4月份再生纸的产量为 吨, 依题意,得,解得, 所以． 答：4月份再生纸的产量为500吨． （2） 解： 依题意,得, 整理,得,解得,（不合题意,舍 去）,所以. 答：的值为20. （3） 解： 设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为,5月份再生纸的产 量为吨,则6月份每吨再生纸的利润是元. 依题意,得, 所以． 答：6月份每吨再生纸的利润是1 500元． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $