第02讲 圆与方程（14大核心考点）【练透核心考点】-2025-2026学年高二数学核心题型总结与突破（人教A版选择性必修第一册）

第02讲 2.4圆的方程+2.5直线与圆，圆与圆的位置关系 目录 题型一：重点考查二元二次方程表示圆的条件 1 题型二：重点考查圆的标准方程与一般方程的求法 3 题型三：重点考查圆过定点问题 5 题型四：重点考查直线与圆的位置关系的判断 9 题型五：重点考查由直线与圆的位置关系求参数 11 题型六：重点考查圆的切线问题 14 题型七：重点考查圆的弦长与中点弦问题 19 题型八：重点考查由直线与圆的位置关系求距离最值问题 25 题型九：重点考查两圆的位置关系的判断 30 题型十：重点考查由两圆的位置关系求参数 33 题型十一：重点考查相交圆的公共弦问题 36 题型十二：重点考查圆的公切线问题 41 题型十三：重点考查圆中的轨迹方程问题 45 题型十四：重点考查直线与圆的实际应用 50 题型一：重点考查二元二次方程表示圆的条件 典型例题 例题1．（24-25高一下·浙江宁波·期末）“关于的方程：表示圆”是“”的（       ）条件 A．必要不充分 B．充要 C．充分不必要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】先得的表示圆时的的取值范围，从而得到结论. 【详解】由题意有， 所以或， 由于为或的真子集， 故方程表示圆是的必要不充分条件， 故选：A. 例题2．（24-25高二上·贵州铜仁·期末）已知方程表示圆，则m的取值范围为（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程表示圆的条件列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】依题意，， ，解得， 所以的取值范围是. 故选：B 精练核心考点 1．（24-25高二上·重庆·开学考试）已知“”是“”表示圆的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意先根据圆的一般方程求出“”表示圆时m的取值范围，再根据必要不充分条件得出两个范围的包含关系，从而得出t的取值范围. 【详解】因为表示圆， 所以根据圆的一般方程，， 又因为是表示圆的必要不充分条件， 所以能推出，而推不出， 即是的真子集， 所以， 故选: B. 2．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）方程所表示的圆的最大面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对方程配方整理，结合圆的标准方程求的取值范围，以及半径的最大值，即可得结果. 【详解】由题意整理可得：， 则，解得， 且圆的半径， 当且仅当时，等号成立， 即圆的半径最大值为3，所以圆的最大面积为. 故选：B. 3．（24-25高一上·陕西宝鸡·期末）已知，方程表示圆，则 ． 【答案】 【分析】利用二元二次方程表示圆的充要条件，列式求解即得. 【详解】依题意，解得或2， 当时，方程为，即表示圆，符合题意； 当时，方程为，即， 得，不表示圆，不符合题意， 综上，. 故答案为：. 题型二：重点考查圆的标准方程与一般方程的求法 典型例题 例题1．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）以为圆心，且经过点的圆的一般方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两点间的距离公式求出圆的半径，结合圆的标准方程与一般方程之间的转化，即可求解. 【详解】由题意得，圆的半径， 所以圆的标准方程为， 所以圆的一般方程为． 故选：D. 例题2．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知圆与圆关于轴对称．则圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】利用对称求出圆心坐标和半径即得所求圆的方程. 【详解】圆化成标准方程为：， 所以圆心，半径， 而圆与圆关于轴对称，即圆心与圆心关于轴对称，而两圆半径相等， 即圆心，半径， 所以圆的标准方程为：. 故答案为： 精练核心考点 1．（2025·山西晋中·三模）已知圆C的一般方程为，则圆C的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一般方程得到标准方程即可求解. 【详解】由， 得， 可知圆C的圆心坐标为． 故选：C 2．（23-24高二上·江苏无锡·期中）以为直径的两个端点的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，直接求出圆心和半径，即可求解. 【详解】因为，则，且中点为， 所以以为直径的两个端点的圆的标准方程为，展开得， 故选：A. 3．（24-25高二上·湖南永州·阶段练习）圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把圆的一般方程化为标准方程即可得到圆心坐标. 【详解】由得，故圆心坐标为. 故选：D. 题型三：重点考查圆过定点问题 典型例题 例题1．（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果. 【详解】圆的方程化为， 由得或， 故圆恒过定点． 故选：D． 例题2．（24-25高二下·湖北·阶段练习）在平面直角坐标系中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C. (1)是否存在以线段AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由； (2)试确定：过A，B，C三点的圆是否过定点. 【答案】(1)存在， (2)过定点或 【分析】（1）令，得，根据结合韦达定理得到，得到半径和圆心，得到圆方程. （2）设过A，B，C的圆P的方程为列出方程组利用圆系方程，推出圆P方程恒过定点即可. 【详解】（1）由曲线，令，得， 设，则可得，，． 令，得，即．若存在以AB为直径的圆过点C， 则，得，即， 所以或．由，得或，所以， 此时，AB的中点即圆心，半径， 故所求圆的方程为． （2）设过A，B，C的圆P的方程为， 满足， 代入P得， 展开得， 当，即或时方程恒成立， 所以圆P方程恒过定点或． 精练核心考点 1．（2024高三·全国·专题练习）当m变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒过定点 . 【答案】（0，－2）和（0，1） 【详解】 解析：方程x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0可化为（x2＋y2＋2x＋y－2）＋mx＝0.由得所以定点坐标是（0，－2）和（0，1）. 2．（23-24高二下·上海徐汇·期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 【答案】或 【分析】由已知得，从而，由此能求出定点的坐标． 【详解】解：，即， 令，解得，，或，， 所以定点的坐标是或． 故答案为：或. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数过定点，且与坐标轴有3个不同的交点，，，那么经过，，三点的圆一定经过定点 ． 【答案】， 【分析】由题设，令其为，令则是的两个根，经过，，三点的圆为，将点代入得，，进而有，令求定点坐标. 【详解】由题设，可得，故， 令，则，不妨令其为，令 令，则，且， 所以或，则是的两个根， 经过，，三点的圆为， 所以，即是的两个根，则， 且且（否则与中一点重合且为原点），则， 综上， ，则， 令，可得，即或， 对应分别为，所以圆必过，. 故答案为：， 题型四：重点考查直线与圆的位置关系的判断 典型例题 例题1．（25-26高三上·广西柳州·开学考试）直线与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定的 【答案】C 【分析】由圆心到直线的距离和半径的大小关系即可判断. 【详解】由， 可知：圆心，半径为， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆的位置关系为相离， 故选：C 例题2．（2025·陕西西安·模拟预测）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 【答案】C 【分析】先求出直线经过的定点，求出圆的圆心和半径，由即可判断. 【详解】因直线过定点， 由配方得：，可得圆心为，半径为， 因为，所以点在圆内，故直线与圆相交. 故选：C. 精练核心考点 1．（25-26高二上·全国·单元测试）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交且直线过圆心 D．相交但直线不过圆心 【答案】C 【分析】先计算圆心到直线的距离，通过比较圆心到直线的距离和圆半径的大小关系，若距离等于半径则相切，小于半径则相交，大于则相离，同时，若圆心坐标满足直线方程，则直线过圆心. 【详解】圆的圆心为， 圆心到直线的距离为：，      所以直线过圆心， 所以直线与圆相交且过圆心． 故选：C. 2．（24-25高二下·湖北荆门·期末）设直线，圆，则与圆C（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能 【答案】C 【分析】根据点到直线的距离公式判断直线与圆的位置关系. 【详解】圆的圆心为，半径， 则圆心C到直线l的距离， 故直线与圆C相离． 故选：C. 3．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．与有关，不能确定 【答案】C 【分析】根据直线过定点，且点在圆内，可得直线与圆相交，即可得解. 【详解】直线， 即， 令，解得， 即直线过点， 又， 则点在圆内， 所以直线与圆相交，有个公共点， 故选：C. 题型五：重点考查由直线与圆的位置关系求参数 典型例题 例题1．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知实数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，运用转化思想，把问题转化为直线与圆有公共点问题，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】设， 问题可转化为直线与圆有公共点． 由，得，所以的取值范围为， 故选：A 例题2．（24-25高二下·云南曲靖·期末）若直线与圆相离，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆心到直线的距离大于半径求解. 【详解】圆C的圆心为，半径， 到直线的距离，解得， 又，所以. 故选：B. 例题3．（24-25高二下·北京·期中）若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把斜率为1的直线平行移动与曲线表示的图形有两公共点，根据图象即可求解． 【详解】由题意，曲线表示的曲线为圆心在原点， 半径为1的圆在轴以及轴上方的部分． 在同一坐标系中，作出斜率为1的直线，在直线平移的过程中可发现， 直线过时先与半圆形有2个交点，此时. 再将直线向上平移一直到最后与半圆相切，此时，且, 即， 所以满足条件的的取值范围. 故选：D. 精练核心考点 1．（24-25高二下·安徽·期末）若直线与圆相切，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】由题意得圆的圆心为，半径为，，根据直线与圆相切即可列方程求解. 【详解】圆即圆，所以， 且圆的圆心为，半径为， 若直线与圆相切，则，解得. 故选：A. 2．（2025·北京海淀·三模）已知直线与圆有公共点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式，列出不等式，求解即可. 【详解】由题可知，直线与圆有交点，故圆心到直线的距离，小于等于半径， 即，故，也即，解得，则的最小值为. 故选：C. 3．（24-25高二下·云南曲靖·期中）已知曲线：和直线：有且仅有一个公共点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【分析】由题意知直线过定点，即可判断与圆的位置关系，最后由圆心到直线的距离等于半径即可求解. 【详解】易知，直线过定点，曲线表示圆心为，半径为2的圆， 定点在圆外.由与有且仅有一个公共点时，与圆相切， 此时圆心到直线的距离，解得， 故选：A. 4．（25-26高三上·广东·阶段练习）已知直线与圆有唯一交点，则 . 【答案】4 【分析】由直线和圆的位置关系计算即可. 【详解】由题意，可知直线与圆相切，由直线和圆的方程可知圆心到直线的距离，圆的半径， 所以由可得，解得. 故答案为：4. 题型六：重点考查圆的切线问题 典型例题 例题1．（24-25高二下·河南鹤壁·期末）过点可以作圆的切线的条数为（   ） A． B． C． D．无数条 【答案】B 【分析】判断点与圆的位置关系，即可得出结论. 【详解】因为，故点在圆上，所以因此过点只能作一条圆的切线. 故选：B. 例题2．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知为圆上一点，过点的圆的切线的方程为 . 【答案】 【分析】根据题意，求得则，得到切线的斜率为，且，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心坐标为，则， 则过点的圆的切线的斜率为，且 所以过点的圆的切线的切线方程为， 即，即. 故答案为：. 例题3．（24-25高二上·山西晋中·期末）已知圆的圆心在直线上，且直线被圆截得的弦长为. (1)求圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据圆心坐标以及弦长公式计算可得结果； （2）分别讨论直线斜率是否存在，再由圆心到切线的距离等于半径可得结果. 【详解】（1）圆的圆心为， 由圆心在直线上可得，即圆心； 易知圆心到直线的距离为， 由弦长公式可得，解得； 所以圆的方程为； （2）当切线斜率不存在时，过点的直线方程为， 显然到的距离等于3，符合题意； 当切线斜率存在时，可设过点的直线方程为， 则圆心到的距离为，解得； 此时切线方程为，即； 综上可知，切线的方程为或. 精练核心考点 1．（24-25高二上·广东茂名·期末）过点作圆的切线，则直线的方程为 .（写出一条方程即可） 【答案】或（写出一条即可） 【分析】设出直线方程，根据点到直线的距离等于半径即可求解. 【详解】由可知：直线一定有斜率， 故设：， 则，化简可得，故或， 当时，切线方程为，当时，切线方程为， 故切线方程为：或， 故答案为：或， 2．（2025高二上·全国·专题练习）过点作圆的切线，求此切线方程． 【答案】 【分析】将A点代入圆的方程中，发现点A在圆上，则圆心到A点的斜率为0，则切线斜率不存在，是垂直于x轴的直线即可求出切线方程. 【详解】因为， 所以点在圆上，从而A是切点， 又过圆心与点A的直线斜率为，且切线与之垂直， 故所求切线的方程为． 3．（24-25高二上·山东潍坊·期末）已知直线与圆交于，两点，且. (1)求的值； (2)求过点的的切线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离，根据求出； （2）分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线方程为，利用圆心到直线的距离等于半径得到方程，解得即可. 【详解】（1）圆即， 圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 又，所以，即，解得； （2）由（1）可得，则，即点在圆外， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，符合题意； 当过点的直线斜率存在时，设直线方程为，即， 所以，解得， 所以切线方程为，即， 综上可得，过点的圆的切线方程为或.    4．（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）（1）求经过圆上点的圆的切线方程； （2）求经过点且与圆相切的直线的方程． 【答案】（1）；（2）或． 【分析】（1）分直线的斜率不存在和存在，根据直线与圆相切，由圆心到直线的距离等于半径求解. （2）当所求直线的斜率不存在，易得直线方程为；当所求直线的斜率存在，设直线方程为，根据题意可得圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到答案. 【详解】（1）当直线的斜率不存在时，直线方程为：，与圆相交； 当直线的斜率存在时，设直线方程为：，即 ， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即 ， 即 ，解得 ， 所以直线方程为 ，即 . （2）由题意知，圆的圆心为，半径为2， 若所求直线的斜率不存在， 由直线过点，得所求直线方程为， 此时圆心到直线的距离为2，直线与圆相切，符合题意； 若所求直线的斜率存在，设直线方程为：即， 则圆心到直线的距离为，解得， 此时所求直线方程为， 综上，所求直线的方程为或. 题型七：重点考查圆的弦长与中点弦问题 典型例题 例题1．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知点为圆 上两点，，点为线段的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆的方程求出圆心及半径，由求解即可. 【详解】由题可得圆心坐标为，半径， 因为点为线段的中点，， 则. 故选：C. 例题2．（25-26高三上·湖北·开学考试）已知直线，圆，直线与圆交于两点，则弦长的最小值为（　　） A．2 B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据直线方程确定其所过的定点，再判断定点与圆的位置关系，结合直线与圆相交弦长最小时定点与圆心所在直线与垂直，最后应用几何法求弦长. 【详解】由题设即， 令得，所以直线过定点， 而即， 所以，即定点在圆内，且圆心为，半径为3， 所以定点与圆心的距离， 要使最小，即定点与圆心所在直线与垂直，此时. 故选：D 例题3．（24-25高二上·广东江门·期末）已知直线经过两条直线和的交点，且垂直于直线，圆经过三点. (1)求直线与圆的方程； (2)求直线被圆所截得的弦长. 【答案】(1)直线的方程为，圆 (2) 【分析】（1）利用垂直直线系可求直线方程，利用待定系数法可求圆的方程； （2）利用垂径定理可求弦长. 【详解】（1）由可得，故两条直线的交点坐标为， 设，代入可得， 故直线的方程为， 设圆，由题设有：， 故，故圆. （2）由（1）得圆，故，且半径为， 而到直线的距离为，故所求弦长为. 例题4．（24-25高二上·四川自贡·期末）已知圆内有一点，直线过点P且和圆C交于A，B两点，直线l的倾斜角为. (1)当时，求的长； (2)当弦被点P平分时，求直线l的方程. 【答案】(1)) (2) 【分析】（1）写出直线方程，求出圆心到直线的距离，由勾股定理求得弦长； （2）求出圆心与点连线斜率，从而得直线l斜率，得直线方程； 【详解】（1）由题意直线的斜率为，直线方程为，即， 圆心为，圆半径为， 到直线距离为， 所以； （2）弦AB被点P平分，则，又，所以， 直线方程为，即； 精练核心考点 1．（25-26高三上·北京·开学考试）直线被圆所截得的弦长为（　　） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】先把圆的一般方程化成标准方程，求出圆心和半径，再结合点到直线的距离公式，判断直线与圆的位置关系，可求弦长. 【详解】由， 可得圆的圆心为，半径为. 因圆心到直线的距离为：，则直线经过圆心. 所以直线被圆所截得的弦长为圆的直径，为. 故选：C 2．（24-25高二下·上海浦东新·期中）过圆外一点任意作一条割线交圆于、两点. (1)若割线的方程为，求的值； (2)求弦的中点的轨迹. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出圆心到直线的距离，利用勾股定理可求得的值； （2）设点，由化简可得出点的轨迹方程，结合实际条件可得出点的轨迹. 【详解】（1）圆的圆心为原点，半径为， 圆心到直线的距离为，所以. （2）设点，当直线不过原点时，连接，则， 且，， 由题意可得，化简得， 当直线过原点时，点与点重合，此时点的坐标也满足方程， 所以点的轨迹是点为圆心，半径为，且位于圆内的一段弧. 3．（24-25高二上·湖北省直辖县级单位·期末）已知圆内有一点，过作直线与圆交于，两点. (1)若弦被点平分，求直线的方程. (2)若，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）当弦被点平分时，根据圆的性质可知与直线垂直，通过求出的斜率，进而得到直线的斜率，再利用点斜式求出直线的方程. （2）已知弦长，先根据圆的半径和半弦长以及圆心到直线的距离的关系求出圆心到直线的距离，然后分直线斜率存在和不存在两种情况进行讨论，分别求出直线的方程. 【详解】（1）圆的方程为，圆心，已知. 根据两点间斜率公式，可得. 弦被点平分时，，设直线斜率为，则，所以. 已知直线过点，斜率为，根据点斜式方程， 可得直线的方程为，即. （2）设圆心到直线的距离：圆的半径，已知. 根据圆的弦长计算公式，可得，所以. 当直线的斜率不存在时：直线的方程为. 此时圆心到直线的距离为，满足圆心到直线的距离， 所以是直线的一个方程. 当直线的斜率存在时：设直线的方程为，即. 圆心到直线的距离. 即，两边平方得.展开得，移项，解得. 所以直线的方程为. 综上所得，线的方程为或. 4．（24-25高二上·广东肇庆·阶段练习）已知圆C：，点.点在圆上运动，为线段的中点. (1)求点的轨迹方程，并说明其轨迹； (2)若过点的直线l被曲线（点为轨迹中心）截得的弦长为4，求直线的一般方程. 【答案】(1)，轨迹为以为圆心，以为半径的圆. (2)或 【分析】（1）设，，根据为线段的中点，可得，再结合点在圆上可得点轨迹方程，再进一步分析其轨迹. （2）结合（1）的结论，按直线的斜率是否存在分类，结合弦心距求直线方程. 【详解】（1）如图： 设，，因为为线段的中点， 所以. 又点在圆：上，所以. 所以，即. 所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆. （2）由（1）可知，点到直线的距离：. 点到直线的距离为2，因此直线的方程可以为； 当直线的斜率存在时，设其方程为：，即. 由， 此时直线的方程为：. 故直线的方程为或. 题型八：重点考查由直线与圆的位置关系求距离最值问题 典型例题 例题1．（24-25高二上·海南海口·期末）已知点在圆上． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值与最小值． 【答案】(1)最大值是，最小值为 (2)最小值，最大值． 【分析】（1）先把圆方程化为标准式，得到圆心和半径．设，它代表圆上点与原点连线斜率．利用圆心到直线距离小于等于半径，列出不等式求解，得出的范围，即的最值． （2）方法一：将圆方程用参数表示，令，，得到关于的式子，根据三角函数取值范围求最值． 方法二：设，与圆方程联立，消去得到关于的一元二次方程．因为直线与圆有公共点，所以方程有解，通过判别式得出的范围，即的最值． 【详解】（1）    圆即为， 可得圆心为，半径为， 设，即， 则圆心到直线的距离，即， 平方得，解得：， 故的最大值是，最小值为， （2）方法1：圆即为， 令， 则， ∵，∴， ∴的最大值为，最小值为． 方法2：设，则， 化简整理得到， ，解得， 故的最小值，最大值． 例题2．（2024高三·全国·专题练习）点在曲线上，求的取值范围. 【答案】 【分析】的取值范围转化为点到直线距离的5倍，结合点到直线的距离公式，数形结合即可求解. 【详解】如图， 曲线为圆的上半圆，圆心，半径为2，， 表示点到直线距离的5倍， 点A到直线的距离， 即直线与圆相离， 点B到直线的距离， 故的最小值为，的最大值为， 则的取值范围为. 例题3．（2024高三·全国·专题练习）已知点是圆上任意一点． (1)求P点到直线的距离的最大值和最小值． (2)求的最大值和最小值． (3)求的最大值和最小值 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为 (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）转化为圆心到直线的距离的最大值和最小值； （2）解法一，转化为直线与圆有公共点，解法二，利用三角换元求最值； （3）首先设，再转化为直线与圆有交点， 【详解】（1）圆心到直线的距离为． ∴P点到直线的距离的最大值为，最小值为． （2）解法一 ：设，则直线与圆有公共点， ∴，解得， 则，即的最大值为，最小值为． 解法二：设，则，其中， ∴得，即的最大值为，最小值为． （3）表示圆上的点与点连线的斜率为k， 设，即，直线与圆有交点， 设， 解得． 则，即的最大值为，最小值为． 精练核心考点 1．（23-24高二上·全国·期中）已知圆过，，三点. (1)求圆的标准方程； (2)若点在圆上运动，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入圆方程求解参数即可. （2）转化为点到直线的距离求解即可. 【详解】（1）设圆的一般方程为， 则，解得， 圆的一般方程为， 即标准方程为. （2）设，则圆的圆心到直线的距离， 解得，的最大值为. 2．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知，，，且，点． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为； (2)最大值为，最小值为0； (3)最大值，最小值为. 【分析】（1）由求出点的轨迹，结合两点间距离即可求； （2）将问题转化为直线与圆有交点问题，结合点到直线的距离公式计算； （3）将问题转化为直线与圆相切问题，结合点到直线的距离公式计算. 【详解】（1）由题意，因为， 所以， 整理得， 所以点的轨迹为以为圆心，6为半径的圆. 所以点到的距离为， 所以的最小值为，最大值为. （2）设，则 ， 由题意与有交点， 所以， 解得， 所以的最大值为，最小值为0. （3）设，则 当直线与圆相切时，截距取到最值， 所以，解得或， 所以的最大值为，最小值为. 3．（23-24高二上·北京朝阳·期中）已知圆C：内有一点，AB为过点P且倾斜角为α的弦． (1)当时，求弦AB的长； (2)当弦AB被点P平分时，求直线AB的方程； (3)已知点P是圆C上的动点，试求点P到直线的距离的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3)0． 【分析】（1）写出直线方程，求出圆心到直线的距离，由勾股定理求得弦长； （2）求出圆心与点连线斜率，从而得直线斜率，得直线方程； （3）求出圆心到直线的距离，得直线与圆位置关系，易得所求最小值． 【详解】（1）由题意直线的斜率为，直线方程为，即， 圆心为，圆半径为， 到直线距离为， 所以； （2）弦AB被点P平分，则，又，所以， 直线方程为，即； （3）圆心到直线的距离为，直线与圆相切， 所以点P到直线的距离的最小值为0． 题型九：重点考查两圆的位置关系的判断 典型例题 例题1．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知直线与圆相切，则圆和圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】由直线与圆相切求出，进而判断两圆位置关系. 【详解】圆的圆心，半径， 由直线与圆相切，得，解得， 圆的圆心，半径， 而，所以圆和圆相交. 故选：C 例题2．（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】B 【分析】由题意可得圆心位于直线上，根据圆的方程写出圆心与半径，结合圆与圆的位置，可得答案. 【详解】圆关于直线对称， 圆心在直线上，，， 圆，即，圆心为，半径为． 圆的标准方程是，圆心，半径， 所以， 所以圆与圆的位置关系是相交． 故选：B. 例题3．（24-25高三上·云南文山·期末）圆与圆的位置关系为（   ） A．外离 B．相交 C．外切 D．内含 【答案】C 【分析】由两圆的位置关系计算即可. 【详解】因为圆，所以， 因为圆，所以圆，所以， 所以， 又因为，所以， 所以两圆相外切， 故选：C. 精练核心考点 1．（24-25高二上·天津西青·期末）已知圆，圆，则两圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】D 【分析】先求出两圆的圆心坐标和半径，然后根据圆心距与两圆半径之和、半径之差的关系来判断. 【详解】对于圆，可得圆的圆心坐标为，半径. 对于圆，可得圆的圆心坐标为，半径. 可得两圆的圆心距. 因为，而圆心距，所以. 故两圆的位置关系是外切. 故选：D. 2．（24-25高二上·山东·期中）已知圆关于直线对称，圆的标准方程是，则圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 【答案】B 【分析】先将化为标准方程，求出圆心和半径，再利用给定条件求解出参数，最后利用圆与圆的位置关系判断即可. 【详解】因为，所以， 故的圆心为，半径且， 而的圆心为，半径， 因为关于直线对称，所以直线经过圆心， 故，解得，由两点间距离公式得， 所以，则圆与圆外切，故B正确. 故选：B. 3．（24-25高二上·安徽铜陵·阶段练习）已知圆M的方程为，圆N上任意一点P到定点，的距离比为，则圆M与圆N的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．外切 D．内切 【答案】D 【分析】先用直接法求出圆N的轨迹方程，再利用圆心距与两圆半径之间关系判断位置关系． 【详解】由已知设，则，化简得， 故圆N的圆心为，半径为2．又圆M的圆心为，半径为7. 两圆心距为，故两圆内切， 故选：D． 题型十：重点考查由两圆的位置关系求参数 典型例题 例题1．（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知圆：，圆：，如果这两个圆有公共点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的方程写出圆心和半径，由题意有，即可求参数范围. 【详解】由，则， 由，则， 则， 因为圆与圆有公共点，所以， 即，解得， 所以实数取值范围是. 故选：C. 例题2．（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知圆与圆有且仅有两条公共切线，则正数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求圆心和半径，由题意可知：两圆相交，进而可得结果. 【详解】圆的方程整理可得，可知圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 由题意可知：两圆相交，且，， 所以. 故选：B. 例题3．（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知圆与圆内切，则实数 ． 【答案】 【分析】根据两圆内切列方程，求解即可解答. 【详解】，故圆心为，半径为1， 的圆心为，半径为2， 因为两圆内切，所以两圆圆心距离为两半径之差，故，解得. 故答案为： 例题4．（2025·河北·模拟预测）已知圆：和圆：相切，则 ． 【答案】－1或1或－3或3 【分析】根据圆的标准方程确定两圆圆心与坐标，结合两圆相切的条件及圆心距与半径关系计算即可. 【详解】由题意可知：，，，，有， 又两圆相切，则有或，可得或－1或1或3． 故答案为：－1或1或－3或3 精练核心考点 1．（24-25高二上·甘肃·期末）已知圆与圆内切，则（   ） A． B．±2 C． D． 【答案】C 【分析】利用两圆内切的定义表达式即可求得. 【详解】由圆与圆内切，可得，即，． 故选：C 2．（24-25高二上·广东珠海·阶段练习）若圆与圆外切，则（   ） A．32 B．26 C．18 D．24 【答案】A 【分析】根据圆的方程写出圆心和半径，由外切关系有列方程求参数. 【详解】由，则，且， 由，则，且，， 由题意，即，可得. 故选：A 3．（24-25高二上·天津·阶段练习）圆与恰有三条公切线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据公切线条数，确定两圆的位置关系，即可求解. 【详解】由条件可知，两圆相外切，所以，解得：. 故选：D 4．（多选）（24-25高二上·四川成都·阶段练习）若圆与圆相交，则的取值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据两圆的位置关系可得出关于实数的取值范围，即可得出合适的选项. 【详解】由题意可知，圆心、，圆的半径为，圆的半径为， 因为两圆相交，则，即，解得或， 故选：AC. 题型十一：重点考查相交圆的公共弦问题 典型例题 例题1．（24-25高二上·山东潍坊·期末）已知圆与圆相交于A，B两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则线段AB的长为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】分析可知线段AB的关于x轴对称，，利用等面积法运算求解即可. 【详解】因为圆的圆心为，半径， 圆的圆心为为，半径，    可知圆与圆均关于x轴对称，则线段AB的关于x轴对称， 若两圆在点处的切线互相垂直，则， 可得， 由的面积可得， 即，解得. 故选：D. 例题2．（2024·河南·模拟预测）已知不重合的圆都过点，且均与两坐标轴相切，则圆的公共弦长为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】分析出两圆公共弦的端点，利用两点间的距离公式可求公共弦长. 【详解】如图： 因为两圆都过点，且均与两坐标轴相切，所以必在直线上， 点关于直线的对称点为，则线段即为圆的公共弦. 因为. 故选：B 例题3．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知圆，点，若直线，分别切圆于，两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知直线为圆和以为直径的圆的公共弦，求出以为直径的圆，即可求出结果． 【详解】因为直线，分别切圆于，两点， 所以， 所以点在以为直径的圆上． 因为， 所以以为直径的圆的圆心为， 半径为， 故以为直径的圆的方程，即， 又圆，即， 两圆方程相减得， 所以直线的方程为：． 故选：A． 例题4．（24-25高二上·陕西汉中·期中）若圆与圆交于两点，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】两圆方程作差即可求得公共弦方程. 【详解】联立方程，消去二次项整理得， 所以直线的方程为. 故答案： 精练核心考点 1．（24-25高二上·湖北·期中）圆与圆的公共弦长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将两圆方程做差可得公共弦方程，再求出其中一个圆的圆心到公共弦的距离，利用公共弦长为求解即可． 【详解】圆①与圆②， ①－②得，即公共弦方程为， 又圆的半径为，圆心为， 圆心到直线距离， 所以公共弦长为. 故选：C. 2．（24-25高二上·河北衡水·阶段练习）若圆，圆，则圆与圆的公共弦所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设，将两圆方程作差即可得公共线方程. 【详解】由题设，将两圆作差，有， 整理可得，即公共弦所在直线为. 故选：B 3．（24-25高二上·江苏淮安·期中）圆与圆的公共弦长为 . 【答案】 【分析】将两圆方程作差可得出相交弦所在直线的方程，求出圆的圆心到相交弦所在直线的距离，利用勾股定理可求得相交弦长. 【详解】将圆与圆的方程作差可得， 所以，两圆相交弦所在直线的方程为， 圆的圆心为原点，半径为， 原点到直线的距离为， 所以，两圆的公共弦长为. 故答案为：. 4．（24-25高二上·辽宁沈阳·期中）过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的一般式方程为 ． 【答案】 【分析】由题意可得圆C的圆心坐标和半径，进而求出和的中点坐标，可得过点的圆的方程，则为两圆的公共弦，利用两圆的方程相减即可求解. 【详解】由题意，圆C的标准方程为， 圆心坐标为，半径为， 则，的中点为， 因为是圆C的两条切线，切点分别为， 所以，则共圆， 所以过点的圆的方程为， 其中为该两圆的公共弦，由两圆的方程相减， 得直线的方程，即. 故答案为： 题型十二：重点考查圆的公切线问题 典型例题 例题1．（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过计算可知两个圆内切，故两圆相减得到的方程即为所求. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为 所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线为两个圆的公共弦所在的直线方程， 所以 整理得， 故选：. 例题2．（2025高三·全国·专题练习）圆与圆的一条公切线长为 （填入一个答案即可）． 【答案】或（填一个即可） 【分析】先判断圆与圆的位置关系，即可得公切线情况，利用几何关系即可求出公切线的长. 【详解】由题意得，，，，，故两圆相离，有四条公切线．如图，    设四条公切线分别为直线、直线、直线、直线，且交于点． 由对称性可知，．连接，过作，垂足为，连接， 则四边形为矩形，所以．连接． 易知，所以．又，所以． 所以在中，，所以． 故两圆的一条公切线长为或． 故答案为：或（填一个即可）. 精练核心考点 1．（多选）（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）与圆和圆都相切的直线方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先明确两圆位置关系，从而根据两圆位置关系明确公切线的情况，再根据公切线特征情况分情况直接计算求解即可. 【详解】由题知，两圆半径， 所以， 故圆、外切， 则两圆有三条公切线，如图， 的中点为两圆外切切点， 当公切线过的中点，且与垂直时， 因为，所以公切线的方程为，即； 当公切线与平行，且到公切线的距离为时， 设公切线的方程为， 所以，解得或， 所以公切线的方程为或． 综上所述，公切线的方程为或或. 故选：BCD． 2．（25-26高二上·全国·单元测试）圆：与圆的公切线条数是 ． 【答案】3 【分析】分析圆心距和两圆半径的关系，可知两圆外切，即可得到两圆公切线条数. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径． 因为，所以两圆外切， 所以圆与圆的公切线有3条． 3．（24-25高二上·广东·阶段练习）已知圆，圆，则的公切线方程为 ．（写出一条即可） 【答案】，，（三个方程写出一个即给满分） 【分析】据圆与圆的位置关系得到两个圆的公切线的条数，然后结合图像写出公切线方程. 【详解】因为，的半径均为1，则外切，结合图像可知，的公切线方程为，，． 故答案为：，， 4．（24-25高二上·广西南宁·期中）已知圆，圆，则两圆公切线的方程为 . 【答案】 【分析】根据标准方程确定圆心、半径，进而得到两圆位置关系为内切，确定切点即可写出公切线方程. 【详解】由，圆心为，半径为， 由，圆心为，半径为， 显然，即两圆内切，且切点为， 所以两圆公切线的方程为. 故答案为： 题型十三：重点考查圆中的轨迹方程问题 典型例题 例题1．（25-26高二上·湖北黄冈·阶段练习）已知圆上一定点，点为圆内一点，为圆上的动点． (1)求线段中点的轨迹方程； (2)若，求线段中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出线段的中点坐标，表达出的坐标，代入求出轨迹方程； （2）由几何关系得到，故，得到轨迹方程. 【详解】（1）设线段的中点的坐标为，的坐标为， ∵，∴， 又在圆上， ∴，化简得， 故线段中点的轨迹方程为； （2）设的中点为， 在中，， 设O为坐标原点，连接，则⊥， ∴， ∴， 化简得 故线段PQ中点的轨迹方程为 例题2．（23-24高二上·山东济宁·阶段练习）已知圆内有一点，为过点且倾斜角为的弦． (1)当时，求弦的长； (2)若过点的弦的中点为，求点的轨迹方程． 【答案】(1) (2)点是以为圆心，为半径的圆，方程为 【分析】（1）首先求出直线的方程，再求出点到直线的距离，最后利用勾股定理计算可得； （2）设中点为，表示出，，即可得到，根据数量积的坐标表示得到方程，即可得解. 【详解】（1）解：当时，则， 此时直线方程为，整理得， 故圆心到直线的距离， 又，所以. （2）解：设中点为，则，， 由于，所以， 即，故点是以为圆心，为半径的圆． 例题3．（24-25高二下·内蒙古通辽·开学考试）已知圆：，为圆上任一点，为定点，的中点为.求：动点的轨迹方程 【答案】 【分析】设，则，又，代入即可求解. 【详解】设，由中点坐标公式可得， 所以， 又点在圆：上， 所以， 将代入得，即， 所以的轨迹方程为. 精练核心考点 1．（24-25高二·全国·课后作业）已知圆内有一点，AB为过点P且倾斜角为的弦． (1)当时，求弦AB的长； (2)当弦AB被点P平分时，求直线AB的方程； (3)求过点P的弦的中点的轨迹． 【答案】(1) (2) (3)以为圆心，为半径的圆． 【分析】（1）根据点到直线的距离公式以及勾股定理即可求解弦长， （2）根据直线垂直斜率乘积为，即可得直线的斜率，进而根据点斜式即可求方程， （3）根据向量垂直，利用坐标运算即可求解轨迹方程，进而可通过轨迹方程得轨迹. 【详解】（1）当时，则，此时直线方程为：，故圆心到直线的距离，又， 所以， （2）弦AB被点P平分时，则,,所以直线方程为：， （3）设中点为，则，由于, 所以，即， 故点是以为圆心，为半径的圆． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知圆，内接于圆，直线过圆心，在轴的下方，轴，且，点为动点，求重心的轨迹方程． 【答案】． 【分析】根据题意可得中点，设，再利用重心的性质求解即可. 【详解】根据题意，设的中点为，则， ，所以，点在圆上运动． 由于重心在中线的三等分点处，故重心的轨迹是圆． 设，则， 故， 则，即， 所以重心的轨迹方程为． 3．（2025高二·全国·专题练习）设圆的圆心为，点在圆上，求的中点的轨迹方程． 【答案】． 【分析】利用定义法或者相关点法即可求解. 【详解】法一：因为为圆的半径，则中点的轨迹为圆的同心圆，半径为圆的一半， 又圆的方程可化为， 所以中点的轨迹方程为． 法二：设，由题意，则， 将其代入圆的方程得， 化简为， 即的中点的轨迹方程为． 4．（2025高三·全国·专题练习）到两定点和的距离的比等于2（即），求动点的轨迹方程． 【答案】 【分析】根据题设建立方程求解即可. 【详解】，， 代入，得， 化简得， 则动点的轨迹方程为． 题型十四：重点考查直线与圆的实际应用 典型例题 例题1．（24-25高二上·海南·期中）据文献及绘画作品记载，中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期.某拱桥及其示意图如下，桥拱是一段圆弧，桥的跨度，拱高，与相距的支柱，则（    ） A．5 B． C．15 D． 【答案】C 【分析】根据圆的性质由弦长及拱高构造等量关系，由勾股定理计算可得结果. 【详解】设拱桥所在圆心为，连接，作于点，如下图所示： 设圆的半径为，在中利用勾股定理可得， 即，解得； 易知， 在中，易知，即，解得. 故选：C 例题2．（23-24高一上·上海崇明·期末）圆拱桥的一孔圆拱如图所示，该圆拱是一段圆弧，其跨度米，拱高米，在建造时每隔4米需用一根支柱支撑． (1)建立适当的坐标系，写出圆弧的方程； (2)求支柱的长度（精确到0.01米）． 【答案】(1)，()； (2)米. 【分析】（1）以O为原点，为x、y轴，确定的点坐标，设圆弧方程为且，将点坐标代入求参数，即可得方程. （2）由（1）及题设有，且在圆弧上，代入圆弧所在方程求y，即可知的长度 【详解】（1）构建如下直角坐标系，则，，， 设所在圆弧方程为且， ，解得， 所以圆弧的方程，. （2）由题设知：，则，且在圆弧上， 所以，可得，故的长度为米. 例题3．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图，贵阳红枫湖湖面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛2千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O，A，B三点． (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 【答案】(1) (2)该船没有触礁的危险． 【分析】（1）设圆的一般方程，代入圆上三点的坐标，即可求解； （2）首先求船行驶的直线方程，再判断直线与圆的位置关系，即可判断危险性. 【详解】（1）依题意，因岛在岛的北偏东方向距岛千米处，则点, 又岛在岛的正东方向距岛2千米处，则， 设过O，A，B三点的圆C的方程为， 则,解得， 所以圆C的方程为． （2）因船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，则， 而船D沿着北偏东方向行驶， 则船D的航线所在直线l的斜率为，直线的方程为， 由（1）知，圆C的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离，则， 所以该船没有触礁的危险． 精练核心考点 1．（24-25高二上·四川眉山·期中）如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为．这艘轮船能被海监船监测到的时长为（    ） A．1小时 B．0.75小时 C．0.5小时 D．0.25小时 【答案】C 【分析】以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系，求出直线与圆的方程，计算圆心到直线的距离和半径比较，可知这艘轮船能否被海监船监测到；计算弦长，可求得持续时间为多长． 【详解】如图，以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系， 由题意可知，，圆方程，半径， 直线方程：，即， 设到距离为， 则，故直线与圆相交， 所以外籍轮船能被海监船检测到， 如图，设直线与圆交点为，取中点，连接，则， 所以， 设监测时间为，则（小时）， 故轮船能被海监船检测到的时间是0.5小时． 故选：C． 2．（24-25高二上·北京大兴·期末）某个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20千米的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40千米处，港口位于小岛中心正北30千米处. (1)如图，小岛中心在原点O处，取10千米为单位长度，在图中标出轮船和港口的位置； (2)如果轮船沿直线返港，用坐标法判断该轮船是否会有触礁危险，并说明理由. 【答案】(1)作图见解析 (2)不会有触礁危险，理由见解析 【分析】（1）根据方位角的概念直接在图中标出即可. （2）建立平面直角坐标系，求出航线的直线方程及圆的方程，利用判别式法判断直线与圆的位置关系，即可判断. 【详解】（1） （2）以小岛中心为原点，东西方向为轴，建立上图所示的直角坐标系， 为了运算的简便，取10千米为单位长度，则港口所在位置的坐标为， 轮船所在位置坐标为， 则受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为， 轮船航线所在直线的方程为即， 由，得， 由，可知方程组无解． 所以直线与圆相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，某海面上有三个小岛（面积大小忽略不计），岛在岛的北偏东方向距岛千米处，岛在岛的正东方向距岛千米处．以为坐标原点，的正东方向为轴的正方向，千米为单位长度，建立如图的平面直角坐标系．圆同时相切于线段和，切点分别为，且为的中点．若圆区域内有未知暗礁，现有一船在岛的南偏西方向距岛千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？请说明理由． 【答案】该船没有触礁的危险，理由见解析 【分析】根据坐标可求得直线，设圆心，由直线与圆相切可构造方程求得；根据坐标可得该船航线所在直线的方程，由圆心到直线距离大于半径可得结论. 【详解】由题意知：圆心在线段与线段的垂直平分线的交点处， 由条件可知，则， 线段所在直线的方程为，即， 易知线段的垂直平分线方程为， 设圆心为， 则圆心到线段的距离，解得：， 圆的方程为． 该船初始位置为点，则，且该船航线所在直线的斜率为， 故该船航行方向为直线，即， 则圆心到直线的距离， 该船没有触礁的危险． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 2.4圆的方程+2.5直线与圆，圆与圆的位置关系 目录 题型一：重点考查二元二次方程表示圆的条件 1 题型二：重点考查圆的标准方程与一般方程的求法 2 题型三：重点考查圆过定点问题 2 题型四：重点考查直线与圆的位置关系的判断 3 题型五：重点考查由直线与圆的位置关系求参数 4 题型六：重点考查圆的切线问题 5 题型七：重点考查圆的弦长与中点弦问题 7 题型八：重点考查由直线与圆的位置关系求距离最值问题 9 题型九：重点考查两圆的位置关系的判断 12 题型十：重点考查由两圆的位置关系求参数 12 题型十一：重点考查相交圆的公共弦问题 14 题型十二：重点考查圆的公切线问题 15 题型十三：重点考查圆中的轨迹方程问题 15 题型十四：重点考查直线与圆的实际应用 18 题型一：重点考查二元二次方程表示圆的条件 典型例题 例题1．（24-25高一下·浙江宁波·期末）“关于的方程：表示圆”是“”的（       ）条件 A．必要不充分 B．充要 C．充分不必要 D．既不充分也不必要 例题2．（24-25高二上·贵州铜仁·期末）已知方程表示圆，则m的取值范围为（   ） A．B． C． D． 精练核心考点 1．（24-25高二上·重庆·开学考试）已知“”是“”表示圆的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）方程所表示的圆的最大面积为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·陕西宝鸡·期末）已知，方程表示圆，则 ． 题型二：重点考查圆的标准方程与一般方程的求法 典型例题 例题1．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）以为圆心，且经过点的圆的一般方程为（   ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知圆与圆关于轴对称．则圆的标准方程为 ． 精练核心考点 1．（2025·山西晋中·三模）已知圆C的一般方程为，则圆C的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·江苏无锡·期中）以为直径的两个端点的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·湖南永州·阶段练习）圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 题型三：重点考查圆过定点问题 典型例题 例题1．（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高二下·湖北·阶段练习）在平面直角坐标系中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C. (1)是否存在以线段AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由； (2)试确定：过A，B，C三点的圆是否过定点. 精练核心考点 1．（2024高三·全国·专题练习）当m变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒过定点 . 2．（23-24高二下·上海徐汇·期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数过定点，且与坐标轴有3个不同的交点，，，那么经过，，三点的圆一定经过定点 ． 题型四：重点考查直线与圆的位置关系的判断 典型例题 例题1．（25-26高三上·广西柳州·开学考试）直线与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定的 例题2．（2025·陕西西安·模拟预测）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 精练核心考点 1．（25-26高二上·全国·单元测试）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交且直线过圆心 D．相交但直线不过圆心 2．（24-25高二下·湖北荆门·期末）设直线，圆，则与圆C（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能 3．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．与有关，不能确定 题型五：重点考查由直线与圆的位置关系求参数 典型例题 例题1．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知实数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高二下·云南曲靖·期末）若直线与圆相离，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例题3．（24-25高二下·北京·期中）若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 精练核心考点 1．（24-25高二下·安徽·期末）若直线与圆相切，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（2025·北京海淀·三模）已知直线与圆有公共点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·云南曲靖·期中）已知曲线：和直线：有且仅有一个公共点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D．不存在 4．（25-26高三上·广东·阶段练习）已知直线与圆有唯一交点，则 . 题型六：重点考查圆的切线问题 典型例题 例题1．（24-25高二下·河南鹤壁·期末）过点可以作圆的切线的条数为（   ） A． B． C． D．无数条 例题2．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知为圆上一点，过点的圆的切线的方程为 . 例题3．（24-25高二上·山西晋中·期末）已知圆的圆心在直线上，且直线被圆截得的弦长为. (1)求圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程. 精练核心考点 1．（24-25高二上·广东茂名·期末）过点作圆的切线，则直线的方程为 .（写出一条方程即可） 2．（2025高二上·全国·专题练习）过点作圆的切线，求此切线方程． 3．（24-25高二上·山东潍坊·期末）已知直线与圆交于，两点，且. (1)求的值； (2)求过点的的切线方程. 4．（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）（1）求经过圆上点的圆的切线方程； （2）求经过点且与圆相切的直线的方程． 题型七：重点考查圆的弦长与中点弦问题 典型例题 例题1．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知点为圆 上两点，，点为线段的中点，则（   ） A． B． C． D． 例题2．（25-26高三上·湖北·开学考试）已知直线，圆，直线与圆交于两点，则弦长的最小值为（　　） A．2 B． C． D．2 例题3．（24-25高二上·广东江门·期末）已知直线经过两条直线和的交点，且垂直于直线，圆经过三点. (1)求直线与圆的方程； (2)求直线被圆所截得的弦长. 例题4．（24-25高二上·四川自贡·期末）已知圆内有一点，直线过点P且和圆C交于A，B两点，直线l的倾斜角为. (1)当时，求的长； (2)当弦被点P平分时，求直线l的方程. 精练核心考点 1．（25-26高三上·北京·开学考试）直线被圆所截得的弦长为（　　） A． B．2 C． D．4 2．（24-25高二下·上海浦东新·期中）过圆外一点任意作一条割线交圆于、两点. (1)若割线的方程为，求的值； (2)求弦的中点的轨迹. 3．（24-25高二上·湖北省直辖县级单位·期末）已知圆内有一点，过作直线与圆交于，两点. (1)若弦被点平分，求直线的方程. (2)若，求直线的方程. 4．（24-25高二上·广东肇庆·阶段练习）已知圆C：，点.点在圆上运动，为线段的中点. (1)求点的轨迹方程，并说明其轨迹； (2)若过点的直线l被曲线（点为轨迹中心）截得的弦长为4，求直线的一般方程. 题型八：重点考查由直线与圆的位置关系求距离最值问题 典型例题 例题1．（24-25高二上·海南海口·期末）已知点在圆上． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值与最小值． 例题2．（2024高三·全国·专题练习）点在曲线上，求的取值范围. 例题3．（2024高三·全国·专题练习）已知点是圆上任意一点． (1)求P点到直线的距离的最大值和最小值． (2)求的最大值和最小值． (3)求的最大值和最小值 精练核心考点 1．（23-24高二上·全国·期中）已知圆过，，三点. (1)求圆的标准方程； (2)若点在圆上运动，求的最大值. 2．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知，，，且，点． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 3．（23-24高二上·北京朝阳·期中）已知圆C：内有一点，AB为过点P且倾斜角为α的弦． (1)当时，求弦AB的长； (2)当弦AB被点P平分时，求直线AB的方程； (3)已知点P是圆C上的动点，试求点P到直线的距离的最小值． 题型九：重点考查两圆的位置关系的判断 典型例题 例题1．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知直线与圆相切，则圆和圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 例题2．（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 例题3．（24-25高三上·云南文山·期末）圆与圆的位置关系为（   ） A．外离 B．相交 C．外切 D．内含 精练核心考点 1．（24-25高二上·天津西青·期末）已知圆，圆，则两圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 2．（24-25高二上·山东·期中）已知圆关于直线对称，圆的标准方程是，则圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 3．（24-25高二上·安徽铜陵·阶段练习）已知圆M的方程为，圆N上任意一点P到定点，的距离比为，则圆M与圆N的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．外切 D．内切 题型十：重点考查由两圆的位置关系求参数 典型例题 例题1．（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知圆：，圆：，如果这两个圆有公共点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知圆与圆有且仅有两条公共切线，则正数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例题3．（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知圆与圆内切，则实数 ． 例题4．（2025·河北·模拟预测）已知圆：和圆：相切，则 ． 精练核心考点 1．（24-25高二上·甘肃·期末）已知圆与圆内切，则（   ） A． B．±2 C． D． 2．（24-25高二上·广东珠海·阶段练习）若圆与圆外切，则（   ） A．32 B．26 C．18 D．24 3．（24-25高二上·天津·阶段练习）圆与恰有三条公切线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 4．（多选）（24-25高二上·四川成都·阶段练习）若圆与圆相交，则的取值可能为（    ） A． B． C． D． 题型十一：重点考查相交圆的公共弦问题 典型例题 例题1．（24-25高二上·山东潍坊·期末）已知圆与圆相交于A，B两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则线段AB的长为（    ） A． B．3 C． D． 例题2．（2024·河南·模拟预测）已知不重合的圆都过点，且均与两坐标轴相切，则圆的公共弦长为（    ） A．1 B． C． D． 例题3．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知圆，点，若直线，分别切圆于，两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 例题4．（24-25高二上·陕西汉中·期中）若圆与圆交于两点，则直线的方程为 . 精练核心考点 1．（24-25高二上·湖北·期中）圆与圆的公共弦长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·河北衡水·阶段练习）若圆，圆，则圆与圆的公共弦所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏淮安·期中）圆与圆的公共弦长为 . 4．（24-25高二上·辽宁沈阳·期中）过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的一般式方程为 ． 题型十二：重点考查圆的公切线问题 典型例题 例题1．（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 例题2．（2025高三·全国·专题练习）圆与圆的一条公切线长为 （填入一个答案即可）． 精练核心考点 1．（多选）（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）与圆和圆都相切的直线方程可能为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·全国·单元测试）圆：与圆的公切线条数是 ． 3．（24-25高二上·广东·阶段练习）已知圆，圆，则的公切线方程为 ．（写出一条即可） 4．（24-25高二上·广西南宁·期中）已知圆，圆，则两圆公切线的方程为 . 题型十三：重点考查圆中的轨迹方程问题 典型例题 例题1．（25-26高二上·湖北黄冈·阶段练习）已知圆上一定点，点为圆内一点，为圆上的动点． (1)求线段中点的轨迹方程； (2)若，求线段中点的轨迹方程． 例题2．（23-24高二上·山东济宁·阶段练习）已知圆内有一点，为过点且倾斜角为的弦． (1)当时，求弦的长； (2)若过点的弦的中点为，求点的轨迹方程． 例题3．（24-25高二下·内蒙古通辽·开学考试）已知圆：，为圆上任一点，为定点，的中点为.求：动点的轨迹方程 精练核心考点 1．（24-25高二·全国·课后作业）已知圆内有一点，AB为过点P且倾斜角为的弦． (1)当时，求弦AB的长； (2)当弦AB被点P平分时，求直线AB的方程； (3)求过点P的弦的中点的轨迹． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知圆，内接于圆，直线过圆心，在轴的下方，轴，且，点为动点，求重心的轨迹方程． 3．（2025高二·全国·专题练习）设圆的圆心为，点在圆上，求的中点的轨迹方程． 4． （2025高三·全国·专题练习）到两定点和的距离的比等于2（即），求动点的轨迹方程． 题型十四：重点考查直线与圆的实际应用 典型例题 例题1．（24-25高二上·海南·期中）据文献及绘画作品记载，中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期.某拱桥及其示意图如下，桥拱是一段圆弧，桥的跨度，拱高，与相距的支柱，则（    ） A．5 B． C．15 D． 例题2．（23-24高一上·上海崇明·期末）圆拱桥的一孔圆拱如图所示，该圆拱是一段圆弧，其跨度米，拱高米，在建造时每隔4米需用一根支柱支撑． (1)建立适当的坐标系，写出圆弧的方程； (2)求支柱的长度（精确到0.01米）． 例题3．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图，贵阳红枫湖湖面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛2千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O，A，B三点． (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 精练核心考点 1．（24-25高二上·四川眉山·期中）如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为．这艘轮船能被海监船监测到的时长为（    ） A．1小时 B．0.75小时 C．0.5小时 D．0.25小时 2．（24-25高二上·北京大兴·期末）某个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20千米的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40千米处，港口位于小岛中心正北30千米处. (1)如图，小岛中心在原点O处，取10千米为单位长度，在图中标出轮船和港口的位置； (2)如果轮船沿直线返港，用坐标法判断该轮船是否会有触礁危险，并说明理由. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，某海面上有三个小岛（面积大小忽略不计），岛在岛的北偏东方向距岛千米处，岛在岛的正东方向距岛千米处．以为坐标原点，的正东方向为轴的正方向，千米为单位长度，建立如图的平面直角坐标系．圆同时相切于线段和，切点分别为，且为的中点．若圆区域内有未知暗礁，现有一船在岛的南偏西方向距岛千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $