2025-2026学年人教版九年级上册初中数学10月考模拟测试题（一）

2025~2026学年秋季学期九年级数学学业质量监测（10月份） 模拟试题（一） （形式：闭卷 考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项: 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.请在答题卡上作答， 在本试卷上作答无效. 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项. 3．不能使用计算器．考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 1、 选择题（共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑.） 1．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是 A． B． C． D．（第2题图） 2．如图，将△ABC绕点B逆时针旋转30°得到△DBE，则∠ABD的度数为 A．20° B．30° C．40° D．60° 3．将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，能得到抛物线y＝2（x﹣2）2﹣3的是 A．y＝2（x﹣1）2+1 B．y＝2（x﹣3）2﹣1 C．y＝﹣2（x﹣1）2+1 D．y＝﹣2x2﹣1 4．根据下列表格中的对应值：判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c为常数）一个解x的范围最可能是 x 0.75 0.8 0.85 0.9 ax2+bx+c ﹣0.25 ﹣0.04 0.19 0.44（第7题图） A．x＜0.75 B．0.75＜x＜0.8 C．0.8＜x＜0.85 D．0.85＜x＜0.9 5．已知二次函数y＝﹣2x2+4x﹣3，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是 A．x＞1 B．x＞0 C．x＞﹣1 D．x＞﹣2 6．已知抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+mx＝5的根是 A．0，4 B．1，5 C．1，﹣5 D．﹣1，5 7．如图，在平面直角坐标系中，将点A（3，2）绕原点O逆时针旋转90°得到点B，则点B的坐标为 A．（﹣2，3） B．（﹣3，2） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣1，3） 8．某小区计划在一块长32m、宽20m的长方形空地上修建三条同样宽的道路（如图），剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是（第8题图） A．32×20﹣3x2＝570 B．（32﹣x）（20﹣x）＝570 C．（32﹣2x）（20﹣x）＝570 D．3x2＝570 9．已知点（﹣1，y1），（4，y2），（﹣3，y3）都在函数y＝x2+1上，则 A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y2＜y1＜y3 10．某宾馆有20个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间会全部住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出40元的各种费用．则房价定为多少时，宾馆利润取得最大值是 A．210 B．220 C．230 D．240 11．如图，线段AB的长度为1，线段AC的长度为x，线段AB上的点C满足关系式AC2＝BC•AB，线段AC上的点D满足关系式AD2＝CD•AC，线段AD上的点E满足关系式AE2＝DE•AD，则线段AE的长度是（第12题图） （第11题图） A．﹣1 B．2﹣4 C．﹣4 D．﹣2 12．如图，正方形ABCD的边长为2，E为边AD上一动点，连接CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG，连接DF，DG，则△DFG面积的最小值为 A．1 B．1.5 C．2 D．3 第Ⅱ卷（第13题图） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.请将答案直接填在答题卡对应题号的横线上） 13．如图所示的图案，可以看作是一个四边形（阴影部分）按顺时针方向通过5次旋转得到的，（第14题图） 每次旋转的角度是 　 ． 14．如图，△ABC绕点A按逆时针方向旋转50°后的图形为△AB1C1，则∠ABB1＝　 ． 15．若x1，x2是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根，则＝　 ．（第16题图） 16.在平面直角坐标系中，直角△AOB如图放置，点A的坐标为（1，0），∠AOB＝60°，每一次将△AOB绕点O逆时针旋转90°，第一次旋转后得到△A1OB1，第二次旋转后得到△A2OB2，依次类推，则点B2022的坐标为　 ．（第18题图） 三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（4分）（1）解一元二次方程：x2+2x﹣6＝0． （4分）(2)-20+(-3)×--|-1| 18．（本题满分6分）二次函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（2，3），（3，0）． （1）（4分）在所给坐标系中画出该二次函数的图象； （2）（2分）根据图象，当﹣1＜x＜3时，求y的取值范围． 19．（本题满分10分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）． （1）（3分）请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1； （2）（3分）请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2； （3）（4分）在x轴上求作一点P，使得△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出点P的坐标．（请使用铅笔和直尺画图） 20．（本题满分10分）在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）（3分）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？ （2）（3分）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． （3）（4分）是否存在t的值，使△BPQ的面积最大，若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 21．（本题满分10分）如图，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE．（第22题图） （1）（5分）求证：AE＝BD； （2）（5分）若∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，求CD的长． 22．（本题满分10分）如图，是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯，建立适当坐标系． （1）（5分）求抛物线的解析式．第23题图 （2）（5分）求两盏景观灯之间的水平距离． 解：（1）根据题意首先建立坐标系，如图所示： 23.（本题满分10分）问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边△ABC的边BC上一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接CE． （1）（4分）【猜想证明】试猜想BD与CE的数量关系，并加以证明； （2）（4分）【探究应用】如图2，点D为等边△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接CE，若B、D、E三点共线，求证：EB平分∠AEC； （3）（2分）【拓展提升】如图3，若△ABC是边长为2的等边三角形，点D是线段BC上的动点，将线段AD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连接CE．点D在运动过程中，△DEC的周长最小值为多少．（第26题图） 九上数学 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年秋季学期九年级数学学业质量监测（10月份） 模拟试题（一） （形式：闭卷 考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项: 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.请在答题卡上作答， 在本试卷上作答无效. 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项. 3．不能使用计算器．考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 1、 选择题（共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑.） 1．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是 A． B． C． D．（第2题图） 2．如图，将△ABC绕点B逆时针旋转30°得到△DBE，则∠ABD的度数为 A．20° B．30° C．40° D．60° 3．将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，能得到抛物线y＝2（x﹣2）2﹣3的是 A．y＝2（x﹣1）2+1 B．y＝2（x﹣3）2﹣1 C．y＝﹣2（x﹣1）2+1 D．y＝﹣2x2﹣1 4．根据下列表格中的对应值：判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c为常数）一个解x的范围最可能是 x 0.75 0.8 0.85 0.9 ax2+bx+c ﹣0.25 ﹣0.04 0.19 0.44（第7题图） A．x＜0.75 B．0.75＜x＜0.8 C．0.8＜x＜0.85 D．0.85＜x＜0.9 5．已知二次函数y＝﹣2x2+4x﹣3，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是 A．x＞1 B．x＞0 C．x＞﹣1 D．x＞﹣2 6．已知抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+mx＝5的根是 A．0，4 B．1，5 C．1，﹣5 D．﹣1，5 7．如图，在平面直角坐标系中，将点A（3，2）绕原点O逆时针旋转90°得到点B，则点B的坐标为 A．（﹣2，3） B．（﹣3，2） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣1，3） 8．某小区计划在一块长32m、宽20m的长方形空地上修建三条同样宽的道路（如图），剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是（第8题图） A．32×20﹣3x2＝570 B．（32﹣x）（20﹣x）＝570 C．（32﹣2x）（20﹣x）＝570 D．3x2＝570 9．已知点（﹣1，y1），（4，y2），（﹣3，y3）都在函数y＝x2+1上，则 A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y2＜y1＜y3 10．某宾馆有20个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间会全部住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出40元的各种费用．则房价定为多少时，宾馆利润取得最大值是 A．210 B．220 C．230 D．240 11．如图，线段AB的长度为1，线段AC的长度为x，线段AB上的点C满足关系式AC2＝BC•AB，线段AC上的点D满足关系式AD2＝CD•AC，线段AD上的点E满足关系式AE2＝DE•AD，则线段AE的长度是（第12题图） （第11题图） A．﹣1 B．2﹣4 C．﹣4 D．﹣2 12．如图，正方形ABCD的边长为2，E为边AD上一动点，连接CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG，连接DF，DG，则△DFG面积的最小值为 A．1 B．1.5 C．2 D．3 第Ⅱ卷（第13题图） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.请将答案直接填在答题卡对应题号的横线上） 13．如图所示的图案，可以看作是一个四边形（阴影部分）按顺时针方向通过5次旋转得到的，（第14题图） 每次旋转的角度是 　 60° ． 14．如图，△ABC绕点A按逆时针方向旋转50°后的图形为△AB1C1，则∠ABB1＝　 65° ． 15．若x1，x2是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根，则＝　3 ．（第16题图） 16.在平面直角坐标系中，直角△AOB如图放置，点A的坐标为（1，0），∠AOB＝60°，每一次将△AOB绕点O逆时针旋转90°，第一次旋转后得到△A1OB1，第二次旋转后得到△A2OB2，依次类推，则点B2022的坐标为　 (-1，- ) ．（第18题图） 三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（4分）（1）解一元二次方程：x2+2x﹣6＝0． （4分）(2)-20+(-3)×--|-1| 18．（本题满分6分）二次函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（2，3），（3，0）． （1）（4分）在所给坐标系中画出该二次函数的图象； （2）（2分）根据图象，当﹣1＜x＜3时，y的取值范围是0＜y≤4． 解：（1）函数图象如图所示： 19．（本题满分10分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）． （1）（3分）请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1； （2）（3分）请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2； （3）（4分）在x轴上求作一点P，使得△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出点P的坐标．（请使用铅笔和直尺画图） 解：（1）△A1B1C1如图所示； （2）△A2B2C2如图所示； （3）△PAB如图所示，P（2，0）． 20．（本题满分10分）在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）（3分）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？ （2）（3分）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． （3）（4分）是否存在t的值，使△BPQ的面积最大，若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 解：（1）由题意得：4t2+（5﹣t）2＝25，（第24题图） 解得t1＝0，t2＝2． ∴t＝0或2时，PQ＝5； （2）存在t＝1秒，能够使得五边形APQCD的面积等于26cm2．理由如下： 长方形ABCD的面积是：5×6＝30（cm2）， 使得五边形APQCD的面积等于26cm2，则△PBQ的面积为30﹣26＝4（cm2）， （5﹣t）×2t×＝4， 解得：t1＝4（不合题意舍去），t2＝1． 即当t＝1秒时，使得五边形APQCD的面积等于26cm2． （3）由题意得S＝×BQ•PB＝+5t＝﹣， ∵＜3， ∴当t＝时，△BPQ的面积最大． 21．（本题满分10分）如图，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE．（第22题图） （1）（5分）求证：AE＝BD； （2）（5分）若∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，求CD的长． （1）证明：由旋转可知∠DCE＝60°，CD＝CE， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°，AC＝BC， ∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD 即∠BCD＝∠ACE， 在△BCD和△ACE中， ， ∴△BCD≌△ACE（SAS）， ∴AE＝BD． （2）连接DE， 由（1）的结论知AE＝BD， ∵BD＝5， ∴AE＝5， 由旋转可知∠DCE＝60°， ∴△DCE是等边三角形， ∴∠CDE＝60°， ∵∠ADC＝30° ∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°， 在Rt△ADE中，， ∵△CDE是等边三角形， ∴CD＝DE＝4 22．（本题满分10分）如图，是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯，建立适当坐标系． （1）（5分）求抛物线的解析式．第23题图 （2）（5分）求两盏景观灯之间的水平距离． 解：（1）根据题意首先建立坐标系，如图所示： 抛物线的顶点坐标为（5，5），与y轴交点坐标是（0，1）， 设抛物线的解析式是y＝a（x﹣5）2+5， 把（0，1）代入y＝a（x﹣5）2+5， 得a＝﹣， ∴y＝﹣（x﹣5）2+5（0≤x≤10）； （2）由已知得两景观灯的纵坐标都是4， ∴4＝﹣（x﹣5）2+5， ∴（x﹣5）2＝1， ∴x1＝，x2＝． ∴两景观灯间的距离为﹣＝5（米）． 23.（本题满分10分）问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边△ABC的边BC上一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接CE． （1）（4分）【猜想证明】试猜想BD与CE的数量关系，并加以证明； （2）（4分）【探究应用】如图2，点D为等边△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接CE，若B、D、E三点共线，求证：EB平分∠AEC； （3）（2分）【拓展提升】如图3，若△ABC是边长为2的等边三角形，点D是线段BC上的动点，将线段AD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连接CE．点D在运动过程中，△DEC的周长最小值＝2+．（第26题图） （1）解：BD＝CE，理由如下： ∵将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE， ∴AD＝AE，∠DAE＝60°， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE； （2）证明：∵将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE， ∴AD＝AE，∠DAE＝60°， ∴∠ADE＝∠AED＝60°， ∴∠ADB＝120°， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ADB＝∠AEC＝120°， ∴∠BEC＝60°， ∴∠BEC＝∠AED＝60°， ∴EB平分∠AEC； 九上数学 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $