2025-2026学年人教版九年级上册数学第一周模拟测试题

2025-2026学年秋期九年级数学学业质量监测数学试题 （第1周）答案 （形式：闭卷 考试时间：120分钟 分值：120分） 1、 选择题（共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑.） 1．下列是一元二次方程的是 A．ax2+bx+c＝0 B．x2+4x﹣3＝0 C．3x2﹣xy+y2＝0 D． 2．关于抛物线y＝﹣3x2，下列说法正确的是 A．开口向上 B．对称轴是直线x=1 C．顶点坐标是原点 D．y随x的增大而减少 3.下列图象中是反比例函数y＝﹣图象的是 A． B． C． D． 4．关于x的一元二次方程x2+2x﹣8＝0的根的情况是 A．有两个不等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 5．将抛物线y=x2向上平移4个单位长度得到的抛物线的函数解析式是 A．y=(x﹣4)2 B．y=(x+4)2 C．y=x2+4 D．y=x2﹣4x 6.飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2．下列图象能正确反映飞机着陆后滑行到停下来的是（ C ） A. B C D 7．若点（0，y1），（1，y2），（2，y3）都在二次函数y＝x2的图象上，则 A．y2＞y1＞y3 B．y3＞y1＞y2 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1 8．为提高比赛热度，主办方发起了转发海报集赞得门票的活动，规则如下：参与者将宣传海报转发到自己的朋友圈，然后邀请x个好友转发，每个好友转发之后，又邀请x个互不相同的好友转发，若经过2轮转发后，共有73人参与了转发活动，则可列方程是 A．1+x+x＝73 B．（1+x）2＝73 C．x（1+x）＝73 D．1+x+x2＝73 x -3.4 -3.2 -3.0 -2.8 -2.6 y 0.62 0.32 0.02 -0.28 -0.58 9．下表是满足二次函数y＝ax2+bx+c的五组数据，x1是方程ax2+bx+c＝0的一个解，则下列选项中正确的是 A．-3.4＜x1＜-3.2 B．-3.2＜x1＜-3.0 C．-3.0＜x1＜-2.8 D．-2.8＜x1＜-2.6 10．如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m，水面下降2.5m，水面宽度增加了(第10题图) A．1m B．2m C．3m D．6m 11．如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示是(第11题图) A．y＝3x B．y＝4x C．y＝3x+1 D．y＝4x+1 12．二次函数y＝﹣x2﹣4x+2，当﹣5≤x≤0时，下列说法正确的是 A．有最小值﹣3，有最大值6 B．有最小值﹣5，有最大值0 C．有最小值0，有最大值6 D．有最小值2，有最大值6 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.请将答案直接填在答题卡对应题号的横线上） 13．方程：x2＝x的解是 x1=0，x2=1 　． 14．抛物线y＝﹣（x﹣2）2的顶点坐标是 （2，0） 　． 14. 若关于x的方程x2﹣x+k＝0有实数根，则k的取值范围是 k≤0.25 　． 15. 飞机着陆后滑行的距离S（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是：S＝60t﹣1.5t2 则飞机着陆后滑行 　600 　m才能停下来． 16. 如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度OP是m，出手后实心球 沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m，高度是4m．若实心球落地点为M，则OM＝ 　 　m．(第18题图) 三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（1）（本题满分4分）用配方法解一元二次方程：x2+3x+2＝0 （2）（本题满分4分）如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y＝（x≠0）的图象交于点A（﹣3，a），B（1，3），且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D．(第17（2）题图) （1）（2分）求这个反比例函数的解析式；y＝， （2）（2分）根据图象直接写出不等式mx+n＞的解集是 x＜﹣3或0＜x＜1　. 18．（本题满分10分）已知二次函数． （1）（4分）选取适当的数据填入下表，并在图中的直角坐标系内描点画出该函数的图象； 0 1 2 3 4 　3　 　0　 -1 　0　 　3　 （2） （2分）当　　时，随的增大而减小；当　　时，随的增大而增大； （3）（2分）根据图象，写出当时的取值范围； 当时的取值范围 （4）（2分）当时，请根据图象直接写出的取值范围． 当时的取值范围 19（本题满分10分）如图，E是正方形ABCD中CD边上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°． （1）（2分）旋转后点D与点 B 重合；（第19题图） （2）（4分）尺规作图：作出旋转后的图形，其中点E的对应点为点F（不写作法，标明字母，保留作图痕迹）； （3）（4分）若∠DAE＝20°，求∠AFB的度数． 解：（1） B （2）如图，以点B为圆心，DE的长为半径画弧，交CB的延长线于点F，连接AF， 则△ABF即为所求．……………………… 6分 （3）∵四边形ABCD为正方形， ∴∠D＝90°， ∵∠DAE＝20°， ∴∠AED＝70°． 由旋转得，∠AFB＝∠AED＝70°．……………… 10分 20.（本题满分10分）阅读材料： 材料1：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：一元二次方程的两个实数根分别为，， ，， 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）（4分）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则　　，　　． （2）（6分）类比应用：已知一元二次方程的两根分别为，，求的值． 解：（2）一元二次方程的两根分别为，， ，， ． 21．（本题满分10分）某电商店铺销售一种儿童服装，其进价为每件50元，现在的销售单价为每件80元，每周可卖出200件，双十二期间，商家决定降价让利促销，经过市场调查发现，单价每件降低1元，每周可多卖出20件． （1）（5分）若想满足每周销售利润为7500元，同时尽可能让利于顾客，则每件童服装应降价多少元. （2）（5分）该店铺每周可能盈利10000元吗？请说明理由． 解：（1）设每件童服装应降价x元， 根据题意，得（80﹣50﹣x）（200+20x）＝7500， 整理，得x2﹣20x+75＝0，解得x1＝5，x2＝15， ∵尽可能让利于顾客， ∴x＝15， 答：每件童服装应降价15元； （2）该店铺每周不可能盈利10000元，理由为： 设该店铺每周可能盈利10000元，则（80﹣50﹣x）（200+20x）＝10000， 整理，得x2﹣20x+200＝0， ∵Δ＝（﹣20）2﹣4×200＝﹣400＜0， ∴所列方程没有实数根， ∴该店铺每周不能盈利10000元． 22．（本题满分12分）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数y＝x2+2ax+a﹣3的最值问题展开探究． 【经典回顾】二次函数求最值的方法． （1）老师给出a＝﹣4，求二次函数y＝x2+2ax+a﹣3的最小值． ①（3分）请你写出对应的函数解析式； ②（3分）求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值； 【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成如表： a … ﹣4 ﹣2 0 2 4 … x … * 2 0 ﹣2 ﹣4 … y的最小值 … * ﹣9 ﹣3 ﹣5 ﹣15 … 注：*为②的计算结果． 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．” 甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取x＝﹣a，就能得到y的最小值．” 乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值” （2）（3分）请结合函数解析式y＝x2+2ax+a﹣3，解释甲同学的说法是否合理？ （3）（3分）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由． 解：（1）①a＝﹣4，y＝x2+2ax+a﹣3＝x2﹣8x﹣7； ②当抛物线在对称轴即x＝4时，y取得最小值为：16﹣32﹣7＝﹣23； （2）合理，理由： ∵1＞0，故函数有最小值， 当x＝﹣a（对称轴）时，y取得最小值，故甲同学的说法合理； （3）正确，理由： 当x＝﹣a时，y＝x2+2ax+a﹣3＝﹣a2+a﹣3， ∵﹣1＜0，故y有最大值， 当a＝时，y的最大值为：﹣+﹣3＝﹣． 23.（本题满分12分）综新变化新定义类几何探究题学习了矩形和正方形的知识后，同学们对于特殊平行四边形的性质有了一定程度的了解．某班数学兴趣小组发现对于平面内的一个四边形ABCD，O是AD上一点，连接BO，CO，存在点O，使得OB＝OC且OB⊥OC，我们称四边形ABCD是“可等垂四边形”，点O为四边形ABCD的“等垂点”． 【初步探索】 （1）（2分）如图（1），矩形ABCD是“可等垂四边形”，O是它的“等垂点”，则AB和AD的数量关系是AD＝2AB． 【类比探究】 （2）如图（2），四边形ABCD是“可等垂四边形”，O是它的“等垂点”，分别过点B，C作AD的垂线，垂足分别为G和H． ①（2分）请写出BG，CH，GH之间的数量关系，并证明； ②（2分）若AB＝OB＝CD＝2，AO＝4，求OD的长． 【拓展应用】 （3）（6分）如图（3），在Rt△AMD中，AM＝6，DM＝10，∠DAM＝90°，点B，C为Rt△AMD中不在同一边上的两点，且点B为所在边的中点，若以A，B，C，D为顶点的四边形是“可等垂四边形”，当AO=或3时，请求出C，D两点之间的距离．（第23题图） 解：（1）AD＝2AB； （2）①GH＝BG+CH； 证明：∵BG⊥AD，CH⊥AD． ∴∠OGB＝∠CHO＝90°， ∴∠GBO+∠BOG＝90°， 四边形ABCD是“可等垂四边形”，O是它的“等垂点”， ∴OB＝OC，OB⊥OC， ∴∠BOG+∠HOC＝90°， ∴∠GBO＝∠HOC， 在△GBO和△HOC中，，∴△GBO≌△HOC（AAS），∴OG＝CH，BG＝OH， ∴CH＝GO+OH＝BG+CH； ②在△ABO中，AB＝OB，BG⊥AO， ∴， 在直角三角形BOG中，由勾股定理得：， ∵OC＝OB＝CD，CH⊥OD， ∴OD＝2OH＝8； （3）C，D两点之间的距离为或；理由如下： ∵∠DAM＝90°，AM＝6，DM＝10， ∴AD＝8， 由题意，得点B，C均不可能在边AD上，分两种情况讨论： 当点B在边AM上，点C在边MD上，且四边形ABCD为“可等垂四边形”时，如图（3），则． 设点O为它的“等垂点”，连接BO，CO，过点C作CE⊥AD于点E，则CE∥AM． 同理（2）可得△BAO≌△OEC， ∴OE＝AB＝3，CE＝AO， 设CE＝AO＝x，则DE＝5﹣x， ∵CE∥AM， ∴△DCE∽△DMA，∴，即，解得， ∴；可用勾股定理求解 当点B在边DM上，点C在边AM上，且四边形ACBD为“可等垂四边形”时，如图（4），则， 设点O为它的“等垂点”，连接BO，CO，过点B作BF⊥AD于点F，则BF∥AM， ∴△DBF∽△DMA，∴， ∴BF＝3，DF＝4，可用勾股定理求解 ∴AF＝AD﹣DF＝4， 同理可证，△CAO≌△OFB， ∴OA＝BF＝3， ∴CA＝OF＝AF﹣OA＝1， 连接CD， 在直角三角形ACD中，由勾股定理得：， 综上所述，C，D两点之间的距离为或． NL2025.8.30A1 兴园2026中考备考九上数学 第 2 页 共 4 页 NL2025.8.30A1 兴园2026中考备考九上数学第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期九年级数学学业质量监测（预备周） 数学试题 （形式：闭卷 考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项: 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.请在答题卡上作答， 在本试卷上作答无效. 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项. 3．不能使用计算器．考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 1、 选择题（共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑.） 1．下列是一元二次方程的是 A．ax2+bx+c＝0 B．x2+4x﹣3＝0 C．3x2﹣xy+y2＝0 D． 2．关于抛物线y＝﹣3x2，下列说法正确的是 A．开口向上 B．对称轴是直线x=1 C．顶点坐标是原点 D．y随x的增大而减少 3.下列图象中是反比例函数y＝﹣图象的是 A． B． C． D． 4．关于x的一元二次方程x2+2x﹣8＝0的根的情况是 A．有两个不等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 5．将抛物线y=x2向上平移4个单位长度得到的抛物线的函数解析式是 A．y=(x﹣4)2 B．y=(x+4)2 C．y=x2+4 D．y=x2﹣4x 6.飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2．下列图象能正确反映飞机着陆后滑行到停下来的是 A. B C D 7．若点（0，y1），（1，y2），（2，y3）都在二次函数y＝x2的图象上，则 A．y2＞y1＞y3 B．y3＞y1＞y2 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1 8．为提高比赛热度，主办方发起了转发海报集赞得门票的活动，规则如下：参与者将宣传海报转发到自己的朋友圈，然后邀请x个好友转发，每个好友转发之后，又邀请x个互不相同的好友转发，若经过2轮转发后，共有73人参与了转发活动，则可列方程是 A．1+x+x＝73 B．（1+x）2＝73 C．x（1+x）＝73 D．1+x+x2＝73 x -3.4 -3.2 -3.0 -2.8 -2.6 y 0.62 0.32 0.02 -0.28 -0.58 9．下表是满足二次函数y＝ax2+bx+c的五组数据，x1是方程ax2+bx+c＝0的一个解，则下列选项中正确的是 A．-3.4＜x1＜-3.2 B．-3.2＜x1＜-3.0 C．-3.0＜x1＜-2.8 D．-2.8＜x1＜-2.6(第10题图) 10．如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m，水面下降2.5m，水面宽度增加了 A．1m B．2m C．3m D．6m 11．如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示是(第11题图) A．y＝3x B．y＝4x C．y＝3x+1 D．y＝4x+1 12．二次函数y＝﹣x2﹣4x+2，当﹣5≤x≤0时，下列说法正确的是 A．有最小值﹣3，有最大值6 B．有最小值﹣5，有最大值0 C．有最小值0，有最大值6 D．有最小值2，有最大值6 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.请将答案直接填在答题卡对应题号的横线上） 13．方程：x2＝x的解是　 ▲ 　． 14. 若关于x的方程x2﹣x+k＝0有实数根，则k的取值范围是 　 ▲ 　． 15. 飞机着陆后滑行的距离S（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是：S＝60t﹣1.5t2 则飞机着陆后滑行 　 ▲ 　m才能停下来． 16. 如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度OP是m，出手后实心球 沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m，高度是4m．若实心球落地点为M，则OM＝ 　 ▲ 　m．(第18题图) 三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（1）（本题满分4分）用配方法解一元二次方程：x2+3x+2＝0 （2）（本题满分4分）如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y＝（x≠0）的图象交于点A（﹣3，a），B（1，3），且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D．(第17（2）题图) （1）求这个反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式mx+n＞的解集是 　 ▲ 　. 18．（本题满分10分）已知二次函数y＝x2-4x+3． （1）选取适当的数据填入下表，并在图中的直角坐标系内描点画出该函数的图象. （第18题图） x … 　 0　　 　 1 　　 2 　 3 　 　 4 　 … y … 　 ▲ 　 　 ▲ 　　 -1 　 ▲ 　 　 ▲ 　 … （2） 当x ▲ 时，y随x的增大而减小；当x ▲ 时，y随x的增大而增大. （3）根据图象，写出当y＞0时x的取值范围； （4）当y≤3时，请根据图象直接写出的x取值范围. 19（本题满分10分）如图，E是正方形ABCD中CD边上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°． （1）旋转后点D与点 ▲ 重合；（第19题图） （2）尺规作图：作出旋转后的图形，其中点E的对应点为点F（不写作法，标明字母，保留作图痕迹）； （3）若∠DAE＝20°，求∠AFB的度数． 20.（本题满分10分）阅读材料： 材料1；若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则，． 材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值． 解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n， ∴m+n＝1，mn＝﹣1， 则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程2x2﹣5x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝　 ▲ 　，x1x2＝　 ▲ 　． （2）类比应用：已知一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根分别为m，n，求的值． 21．（本题满分10分）某电商店铺销售一种儿童服装，其进价为每件50元，现在的销售单价为每件80元，每周可卖出200件，双十二期间，商家决定降价让利促销，经过市场调查发现，单价每件降低1元，每周可多卖出20件． （1）若想满足每周销售利润为7500元，同时尽可能让利于顾客，则每件童服装应降价多少元. （2）该店铺每周可能盈利10000元吗？请说明理由． 22．（本题满分12分）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数y＝x2+2ax+a﹣3的最值问题展开探究． 【经典回顾】二次函数求最值的方法． （1）老师给出a＝﹣4，求二次函数y＝x2+2ax+a﹣3的最小值． ①请你写出对应的函数解析式； ②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值； 【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成如表： a … ﹣4 ﹣2 0 2 4 … x … * 2 0 ﹣2 ﹣4 … y的最小值 … * ﹣9 ﹣3 ﹣5 ﹣15 … 注：*为②的计算结果． 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．” 甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取x＝﹣a，就能得到y的最小值．” 乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值” （2）请结合函数解析式y＝x2+2ax+a﹣3，解释甲同学的说法是否合理？ （3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由． 23.（本题满分12分）综新变化新定义类几何探究题学习了矩形和正方形的知识后，同学们对于特殊平行四边形的性质有了一定程度的了解．某班数学兴趣小组发现对于平面内的一个四边形ABCD，O是AD上一点，连接BO，CO，存在点O，使得OB＝OC且OB⊥OC，我们称四边形ABCD是“可等垂四边形”，点O为四边形ABCD的“等垂点”． 【初步探索】 （1）如图（1），矩形ABCD是“可等垂四边形”，O是它的“等垂点”，则AB和AD的数量关系是　 ▲ 　． 【类比探究】 （2）如图（2），四边形ABCD是“可等垂四边形”，O是它的“等垂点”，分别过点B，C作AD的垂线，垂足分别为G和H． ①请写出BG，CH，GH之间的数量关系，并证明； ②若AB＝OB＝CD＝2，AO＝4，求OD的长． 【拓展应用】 （3）如图（3），在Rt△AMD中，AM＝6，DM＝10，∠DAM＝90°，点B，C为Rt△AMD中不在同一边上的两点，且点B为所在边的中点，若以A，B，C，D为顶点的四边形是“可等垂四边形”，当AO=或3时，请求出C，D两点之间的距离．（第23题图） NL2025.8.30A1 兴园2026中考备考九上数学 第 2 页 共 4 页 NL2025.8.30A1 兴园2026中考备考九上数学第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $